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专题3 分式及二次根式
5年真题
考点1 分式的基本运算
1．（2024·广东·中考真题）计算： ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了同分母分式减法计算，根据同分母分式减法计算法则求解即可．
【详解】解：，
故答案为：1．
2．（2023·广东·中考真题）计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分式的加法运算可进行求解．
【详解】解：原式；
故选C．
【点睛】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键．
考点2 代数式有意义
3．（2020·广东·中考真题）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式里面被开方数即可求解．
【详解】解：由题意知：被开方数，
解得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，必须保证被开方数大于等于0．
考点3 二次根式的性质及运算
4．（2023·广东·中考真题）计算 ．
【答案】6
【分析】利用二次根式的乘法法则进行求解即可．
【详解】解：．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法法则和二次根式的性质是解题的关键．
5．（2021·广东·中考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．9
【答案】B
【分析】根据一个实数的绝对值非负，一个非负实数的算术平方根非负，且其和为零，则它们都为零，从而可求得a、b的值，从而可求得ab的值．
【详解】∵，，且
∴，，即，且
∴， ，∴
故选：B．
【点睛】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，一般地，几个非负数的和为零，则这几个非负数都为零．
6．（2021·广东·中考真题）设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（ ）
A．6 B． C．12 D．
【答案】A
【分析】首先根据的整数部分可确定的值，进而确定的值，然后将与的值代入计算即可得到所求代数式的值．
【详解】∵，
∴，
∴的整数部分，
∴小数部分，
∴．
故选：．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确确定的整数部分与小数部分的值是解题关键．
7．（2020·广东·中考真题）若，则 ．
【答案】1
【分析】根据绝对值的非负性和二次根式的非负性得出a，b的值，即可求出答案．
【详解】∵
∴，，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了绝对值的非负性，二次根式的非负性，整数指数幂，得出a，b的值是解题关键．
考点4 分式求值
8．（2021·广东·中考真题）若且，则 ．
【答案】
【分析】根据，利用完全平方公式可得，根据x的取值范围可得的值，利用平方差公式即可得答案．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
∴=，
∴==，
故答案为：
【点睛】本题考查了完全平方公式及平方差公式，准确运用公式是解题的关键．
考点5 分式的化简求值
9．（2022·广东·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，11
【分析】利用平方差公式约分，再合并同类项即可；
【详解】解：原式=，
将a=5代入得：原式=2×5+1=11.
【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握平方差公式是解题关键．
1年模拟
10．（2024·广东佛山·三模）若分式的值为0，则（ ）
A．0 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】本题考查了分式值为零的条件，根据题意得出，且，进行求解即可．
【详解】解：，，且，
，
故选：C．
11．（2024·广东·三模）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了分式的化简求值，由可得，把转化为即可代入求值，掌握分式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：．
12．（2024·广东肇庆·二模）计算的结果为（ ）
A． B． C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的乘法，根据二次根式的乘法运算法则进行计算即可求解．
【详解】，
故选：B．
13．（2024·广东阳江·二模）若要使式子有意义，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】B
【分析】本题考查的知识点为二次根式有意义的条件和分式有意义的条件．根据二次根式被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出m的范围．
【详解】解：根据题意得：，
解得：且．
故选：B．
14．（2024·广东阳江·一模）已知，计算的值是（ ）
A． B．1 C．3 D．
【答案】A
【分析】本题考查了分式的化简求值，
首先由得到，然后根据分式的混合运算化简，进而求解即可．
【详解】∵
∴
．
故选：A．
15．（2024·广东清远·二模）要使代数式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故选：B．
16．（2024·广东汕头·二模）已知时，分式无意义；时，分式的值为0，则的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式无意义的条件、分式的值为0的条件，代数式求值，根据分式无意义的条件可得，根据分式的值为0可得，求出a，b的值，再把a，b的值代入代数式计算即可求解，掌握分式无意义的条件、分式的值为的条件是解题的关键．
【详解】解：∵当时，分式无意义，
∴，
解得：，
当时，分式的值为0，
即，
解得：，
∴，
故选：D．
17．（2024·广东东莞·一模）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了分式加减运算，根据同分母分式加减运算法则进行计算即可．
【详解】解：原式
，
故选：D．
18．（2024·广东东莞·一模）下列是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查最简二次根式的识别，最简二次根式需满足被开方数不含有分母，被开方数不含有开得尽方的因数或因式，根据定义逐一判断即可．
【详解】解：是最简二次根式，故A选项正确；
中被开方数含有分母，不是最简二次根式，故B选项错误；
中二次根式位于分母位置，不是最简二次根式，故C选项错误；
中被开方数含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，故D选项错误；
故选A．
19．（2024·广东江门·一模）若x、y为实数，且满足，则的值为（ ）
A．1或 B．1 C． D．无法确定
【答案】B
【分析】此题主要考查了二次根式以及偶次方的性质，根据非负数的性质列式求出x，y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解：，
，即，，
，
故选：B．
20．（2024·广东珠海·一模）化简的结果是（ ）
A．0 B．1 C．a D．
【答案】B
【分析】本题考查分式的混合运算，掌握分式的运算法则是解题的关键．先将分子分母因式分解，然后先计算分式的乘法，再计算加法即可．
【详解】解：
，
故选B．
21．（2024·广东·二模）已知，，则 ．
【答案】1
【分析】本题考查了分式的化简求值．先把分子因式分解，再约分化简，代入数据即可求解．
【详解】解：
；
当，时，原式．
故答案为：1．
22．（2024·广东湛江·二模）计算： ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算的运算顺序以及二次根式化简的方法．先算除法，再化简二次根式即可．
【详解】解：，
，
，
；
故答案为：．
23．（2024·广东中山·二模）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的乘法，根据二次根式的性质及乘法法则计算即可求解，掌握二次根式的性质及乘法法则是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
24．（2024·广东中山·一模）计算：的结果为 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了二次根式的乘法、平方差公式等知识点，掌握二次根式的乘法法则成为解题的关键．
【详解】解：．
故答案为：1．
25．（2024·广东肇庆·一模）计算 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的除法，根据二次根式的除法法则计算即可得出答案．
【详解】解：，
故答案为：．
26．（2024·广东佛山·三模）先化简，再求值：，其中．
【答案】．
【分析】根据分式的运算，先把括号里面的值通分，按照同分母的分式的加减计算，再算除法，约分化简后代入求值．
【详解】解：原式=
当时，原式=．
【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，注意解答此题的关键是把分式化到最简，然后代入计算．
27．（2024·广东佛山·一模）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键．先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简，最后把所给字母的值代入计算．
【详解】解：
，
当时，
原式．
28．（2024·广东江门·三模）下面是小明进行分式化简的过程，请认真阅读并完成任务．
……第一步
……第二步
……第三步
……第四步
……第五步
任务一：
①以上化简步骤中，第 步是通分，通分的依据是（ ）
A．分式的基本性质 B．等式的性质 C．乘法分配律
②第 步开始出现错误，错误的原因是：
任务二：直接写出该分式化简后的正确结果：
【答案】任务一：①一，A； ②三，去括号时运算符号未改变；任务二：
【分析】本题考查了分式的混合运算，属于基础题型，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键．
（1）①根据分式的基本性质即可作出判断；②根据去括号规则即可作出判断；
（2）根据分式的混合运算法则解答即可
【详解】解：任务一：①以上化简步骤中，第一步是通分，通分的依据是：分式的基本性质；
②第三步开始出现错误，错误的原因是：去括号时运算符号未改变；
故答案为：①一，A； ②三，去括号时运算符号未改变
任务二：
故答案为：
29．（2024·广东江门·二模）先化简，再求值：，其中﹣2≤a≤2，从中选一个你喜欢的整数代入求值．
【答案】，当a＝﹣1时，原式＝﹣2；当a＝2时，原式＝1．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，确定出的值，代入计算即可求出值．
【详解】解：原式＝
∵﹣2≤a≤2，且a为整数，
∴a＝0，1，﹣2时没有意义，a＝﹣1或2，
当a＝﹣1时，原式＝﹣2；
当a＝2时，原式＝1．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
30．（2024·广东东莞·二模）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先根据分式的加减法法则计算括号内的，再将除法变为乘法，然后因式分解，并约分化到最简，最后代入求值即可．
【详解】原式
．
当时，原式．
31．（2024·广东东莞·二模）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化；先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解．
【详解】解：
，
当时，原式=．
32．（2023·广东东莞·一模）化简求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查分式的化简求值，先将括号内式子通分，变分式除法为分式乘法，再约分化简，最后将代入求值即可．
【详解】解：
，
将代入，原式．
33．（2024·广东东莞·一模）先化简，再求值：，其中
【答案】，
【分析】本题考查分式的混合运算，化简求值、分母有理化，掌握运算顺序是解题的关键，先因式分解，按照分式的加法和分式除法法则进行化简，再把字母的值代入运算即可．
【详解】解：原式
；
当时，原式．
34．（2024·广东揭阳·二模）以下是某同学化简分式的部分运算过程：
解：原式……第一步
……第二步
……第三步
(1)上面第二步计算中，中括号里的变形的依据是________；
(2)上面的运算过程中第________步出现了错误；
(3)请你从出错的那一步开始把解题过程补充完整．
【答案】(1)分式的基本性质
(2)三
(3)见解析
【分析】本题主要考查了分式的混合计算：
（1）根据分式的基本性质填写即可；
（2）观察可知，上面的运算过程中第三步计算减法的时候第二个分式的分子中的符号没有变号；
（3）根据分式的运算法则，先乘除，后加减，有括号的先算括号内的．
【详解】（1）解：上面第二步计算中，中括号里的变形是通分，其依据是分式的基本性质，
故答案为：分式的基本性质；
（2）解：观察可知，上面的运算过程中第三步出现错误，原因是计算减法的时候第二个分式的分子中的符号没有变号，
故答案为：三；
（3）解：原式
35．（2024·广东河源·二模）已知，，且，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了分式的基本性质，等式的基本性质，用平方差公式分解因式等知识点，能正确根据分式和等式的性质进行计算是解此题的关键．先根据分式的进行性质等式的两边都乘得出，去括号，移项，合并同类项得出再根据平方差公式分解因式，最后求出答案即可．
【详解】证明：，
等式的两边都乘，得，
，
，
，
，
∵，，
∴，
∴，
即．
36．（2024·广东清远·二模）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
37．（2024·广东清远·二模）化简：
【答案】．
【分析】先算括号内的减法，再算乘法即可．
【详解】原式．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，掌握运算法则是解此题的关键．
38．（2024·广东汕头·二模）先化简，再求值：，其中．
【答案】，．
【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化．先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【详解】解：
，
当时，原式．
39．（2024·广东汕头·二模）先化简，再求值，其中．
【答案】，
【分析】此题考查分式的化简求值，先计算括号内的异分母分式减法，同时将除法化为乘法，再计算乘法，将代入计算后的结果中即可求出答案．正确计算分式的混合运算是解题的关键．
【详解】解：
，
当时，
原式．
40．（2024·广东汕头·一模）化简：．
【答案】
【分析】本题考查分式的混合运算，先计算括号内，将除法变乘法，约分化简即可．
【详解】解：原式
．
41．（2024·广东汕头·一模）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解题的关键．
先将除法运算转化为乘法运算，再进行减法运算，最后代入求值即可．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
42．（2024·广东汕头·一模）化简：．
【答案】
【分析】本题主要考查分式的混合运算，原式先将括号内的进行通分计算，再把除法转换为乘法约分后即可得到结果
【详解】解：
43．（2024·广东汕头·一模）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查了分式的化简求值，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，代入计算即可得出答案，熟练掌握分式的混合运算法则是解此题的关键．
【详解】解：
，
当时，原式．
44．（2024·广东茂名·二模）下面是小斌同学进行分式化简的过程，请认真阅读并解决问题．
，其中的值从的整数解中选取．
【答案】，当时，原式
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后根据分式有意义的条件选择合适的值代值计算即可．
【详解】解：
，
，为整数，且和0，
，
原式．
45．（2024·广东汕尾·二模）先化简，再求值：，其中
【答案】，
【分析】本题考查分式的化简求值．正确的将分式化简是解题关键．先通分，再计算分式的除法进行化简，最后代入求值即可求解．
【详解】解：
，
当时，
原式，
46．（2024·广东珠海·一模）先化简，再选择一个你认为合适的数作为x的值代入求值：．
【答案】，当时，原式=
【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把合适的x的值代入计算即可求出值．
【详解】解：
，
，，，
取，原式．
47．（2024·广东珠海·一模）化简求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查分式的化简求值,掌握分式的混合运算法则成为解题的关键．
先根据分式的混合运算法则化简，然后再将代入计算即可．
【详解】解：
；
当时，原式．
48．（2024·广东潮州·一模）化简：．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式的混合运算，掌握 分式的混合运算法则成为解题的关键．
根据分式的混合运算法则计算即可．
【详解】解：
．
49．（2024·广东中山·一模）化简：．
【答案】
【分析】此题考查了分式的混合运算，原式第二项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的加法法则计算得到最简结果．
【详解】解：
原式
，
50．（2024·广东云浮·一模）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查了分式化简求值；先对括号内进行通分运算，同时对分子、分母进行因式分解，再将除转化为乘，进行约分，结果化为最简分式或整式，然后代值计算，即可求解；掌握分式化简的步骤是解题的关键．
【详解】解：原式
．
当时，原式．
51．（2024·广东湛江·一模）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】此题考查了分式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．同时还考查了分母有理化．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则变形，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【详解】解：
．
当时，
原式．
52．（2024·广东惠州·一模）计算：．
【答案】
【分析】本题考查分式的除法运算．把原式中的除法转化为乘法，将分子分母经过分解因式、约分把结果化为最简即可．
【详解】解：原式
．
53．（2024·广东惠州·一模）下面是小明化简分式的过程，请认真阅读并完成相应任务：
解：原式 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步
【任务一】填空：
①以上化简步骤中，第一步变形使用的方法是______；
②第_____步是进行分式的通分，通分的依据是_____；
③第_____步开始出现错误．
【任务二】请直接写出正确的化简结果：_____．
【答案】任务一：①公式法分解因式；②三，分式的基本性质；③四；任务二：
【分析】本题主要考查了分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则成为解题的关键．
根据分式混合运算法则逐步分析即可．
【详解】解：任务一：①第一步变形使用的方法是公式法分解因式；
②第三步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质；
③第四步开始出现错误；
任务二：
原式＝
．
故答案为：任务一：①公式法分解因式；②三，分式的基本性质；③四；任务二：．
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专题3 分式及二次根式
5年真题
考点1 分式的基本运算
1．（2024·广东·中考真题）计算： ．
2．（2023·广东·中考真题）计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
考点2 代数式有意义
3．（2020·广东·中考真题）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点3 二次根式的性质及运算
4．（2023·广东·中考真题）计算 ．
5．（2021·广东·中考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．9
6．（2021·广东·中考真题）设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（ ）
A．6 B． C．12 D．
7．（2020·广东·中考真题）若，则 ．
考点4 分式求值
8．（2021·广东·中考真题）若且，则 ．
考点5 分式的化简求值
9．（2022·广东·中考真题）先化简，再求值：，其中．
1年模拟
10．（2024·广东佛山·三模）若分式的值为0，则（ ）
A．0 B． C．2 D．
11．（2024·广东·三模）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
12．（2024·广东肇庆·二模）计算的结果为（ ）
A． B． C．5 D．6
13．（2024·广东阳江·二模）若要使式子有意义，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
14．（2024·广东阳江·一模）已知，计算的值是（ ）
A． B．1 C．3 D．
15．（2024·广东清远·二模）要使代数式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
16．（2024·广东汕头·二模）已知时，分式无意义；时，分式的值为0，则的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
17．（2024·广东东莞·一模）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
18．（2024·广东东莞·一模）下列是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
19．（2024·广东江门·一模）若x、y为实数，且满足，则的值为（ ）
A．1或 B．1 C． D．无法确定
20．（2024·广东珠海·一模）化简的结果是（ ）
A．0 B．1 C．a D．
21．（2024·广东·二模）已知，，则 ．
22．（2024·广东湛江·二模）计算： ．
23．（2024·广东中山·二模）计算： ．
24．（2024·广东中山·一模）计算：的结果为 ．
25．（2024·广东肇庆·一模）计算 ．
26．（2024·广东佛山·三模）先化简，再求值：，其中．
27．（2024·广东佛山·一模）先化简，再求值：，其中．
28．（2024·广东江门·三模）下面是小明进行分式化简的过程，请认真阅读并完成任务．
……第一步
……第二步
……第三步
……第四步
……第五步
任务一：
①以上化简步骤中，第 步是通分，通分的依据是（ ）
A．分式的基本性质 B．等式的性质 C．乘法分配律
②第 步开始出现错误，错误的原因是：
任务二：直接写出该分式化简后的正确结果：
29．（2024·广东江门·二模）先化简，再求值：，其中﹣2≤a≤2，从中选一个你喜欢的整数代入求值．
30．（2024·广东东莞·二模）先化简，再求值：，其中．
31．（2024·广东东莞·二模）先化简，再求值：，其中．
32．（2023·广东东莞·一模）化简求值：，其中．
33．（2024·广东东莞·一模）先化简，再求值：，其中
34．（2024·广东揭阳·二模）以下是某同学化简分式的部分运算过程：
解：原式……第一步
……第二步
……第三步
(1)上面第二步计算中，中括号里的变形的依据是________；
(2)上面的运算过程中第________步出现了错误；
(3)请你从出错的那一步开始把解题过程补充完整．
35．（2024·广东河源·二模）已知，，且，求证：．
36．（2024·广东清远·二模）先化简，再求值：，其中．
37．（2024·广东清远·二模）化简：
38．（2024·广东汕头·二模）先化简，再求值：，其中．
39．（2024·广东汕头·二模）先化简，再求值，其中．
40．（2024·广东汕头·一模）化简：．
41．（2024·广东汕头·一模）先化简，再求值：，其中．
42．（2024·广东汕头·一模）化简：．
43．（2024·广东汕头·一模）先化简，再求值：，其中．
44．（2024·广东茂名·二模）下面是小斌同学进行分式化简的过程，请认真阅读并解决问题．
，其中的值从的整数解中选取．
45．（2024·广东汕尾·二模）先化简，再求值：，其中
46．（2024·广东珠海·一模）先化简，再选择一个你认为合适的数作为x的值代入求值：．
47．（2024·广东珠海·一模）化简求值：，其中．
48．（2024·广东潮州·一模）化简：．
49．（2024·广东中山·一模）化简：．
50．（2024·广东云浮·一模）先化简，再求值：，其中．
51．（2024·广东湛江·一模）先化简，再求值：，其中．
52．（2024·广东惠州·一模）计算：．
53．（2024·广东惠州·一模）下面是小明化简分式的过程，请认真阅读并完成相应任务：
解：原式 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步
【任务一】填空：
①以上化简步骤中，第一步变形使用的方法是______；
②第_____步是进行分式的通分，通分的依据是_____；
③第_____步开始出现错误．
【任务二】请直接写出正确的化简结果：_____．
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