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专题6 一元二次方程及应用
5年真题
考点1 一元二次方程的解
1．（2022·广东·中考真题）若是方程的根，则 ．
【答案】1
【分析】本题根据一元二次方程的根的定义，把x=1代入方程得到a的值．
【详解】把x=1代入方程，得1 2+a=0，
解得a=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．
2．（2021·广东·中考真题）若一元二次方程（b，c为常数）的两根满足，则符合条件的一个方程为 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】设与交点为，根据题意关于y轴对称和二次函数的对称性，可找到的值（只需满足互为相反数且满足即可）即可写出一个符合条件的方程
【详解】设与交点为，
根据题意
则
的对称轴为
故设
则方程为：
故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程的关系，熟悉二次函数的性质和找到两根的对称性类比二次函数的对称性是解题的关键
考点2 一元二次方程判别式
3．（2024·广东·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ．
【答案】1
【分析】由有两个相等的实数根，可得进而可解答．
【详解】解：∵有两个相等的实数根，
∴，
∴．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查根据一元二次方程根的情况求参数，掌握相关知识是解题的关键．
考点3 一元二次方程的应用
4．（2020·广东·中考真题）已知关于，的方程组与的解相同．
（1）求，的值；
（2）若一个三角形的一条边的长为，另外两条边的长是关于的方程的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．
【答案】（1）； （2）等腰直角三角形，理由见解析
【分析】（1）关于x，y的方程组与的解相同．实际就是方程组的解，可求出方程组的解，进而确定a、b的值；
（2）将a、b的值代入关于x的方程x2＋ax＋b＝0，求出方程的解，再根据方程的两个解与为边长，判断三角形的形状．
【详解】解：由题意列方程组：
解得
将，分别代入和
解得，∴，
（2），解得
这个三角形是等腰直角三角形
理由如下：∵，∴该三角形是等腰直角三角形．
【点睛】本题考查一次方程组、一元二次方程的解法以及等腰直角三角形的判定，掌握一元二次方程的解法和勾股定理是得出正确答案的关键．
1年模拟
5．（2024·广东东莞·三模）若方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．且 B． C． D．且
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，求一元一次不等式的解集，根据，有两个不相等的实根即可列出bds不等式；再根据不等式求解集的方法即可求解，掌握一元二次方程根的判别式的关系是解题的关键．
【详解】解：∵方程有两个不相等的实根，
∴，且，
∴且，
故选：A ．
6．（2024·广东东莞·三模）已知方程的两根是，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键；由根与系数的关系得，再直接代入即可求解．
【详解】解：∵的两根是，
，．
故选：D．
7．（2024·广东东莞·二模）如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（ ）
A． B．2023 C．2024 D．2025
【答案】D
【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程求出，即可求解，解题的关键是熟记把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
【详解】解：将代入原方程得：，
∴，
∴，
故选：D．
8．（2024·广东佛山·三模）已知是方程的一个根，则它的另一根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握、是一元二次方程的两个根，则有是解题的关键．
【详解】解：设另一根是，则有
，
解得：，
故选：C．
9．（2024·广东惠州·三模）全国和美乡村篮球大赛——某县“村BA”赛区预选赛规定每两个球队之间都要进行一场比赛，共要比赛15场．设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设参加比赛的球队有支，根据题意，找到等量关系，列出方程即可，根据题意，找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：设参加比赛的球队有支，由题意可得，，
故选：．
10．（2024·广东惠州·一模）若有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ）
A． B．且 C．且 D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此根据一元二次方程的定义得到，再利用判别式求解即可．
【详解】解：根据题意得且，解得且．
故选：C．
11．（2024·广东云浮·一模）关于x的一元二次方程（其中）的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不等的实数根
【答案】D
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先计算判别式的值得到，则利用非负数的性质可判断，然后根据判别式的意义可判断方程根的情况．
【详解】
解：由题意，．
，，方程有两个不相等的实数根．
故选：D．
12．（2024·广东茂名·一模）已知a是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（ ）
A．4 B．8 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的解，依题意得，进而可求解，熟练掌握一元二次方程的解的意义是解题的关键．
【详解】解：依题意得：，即：，
故选A．
13．（2024·广东揭阳·一模）在一元二次方程中，若，则称a是该方程的中点值．已知的中点值是3，其中一个根是2，则x的另一个根是（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】D
【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的解，以及解一元二次方程．先根据方程的中点值的定义得到，然后把代入方程求出n，然后解方程即可．
【详解】根据题意得，
解得，
方程化为，
把代入得，
解得，
∴，
∴，
∴或，
∴．
故选D．
14．（2024·广东佛山·三模）关于x的方程的两根都是正整数且，则方程的两根是 ．
【答案】2，24
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，设方程的两根为，根据根与系数的关系得出，根据，得出，整理得出，根据方程的解为正整数，求出结果即可．
【详解】解：设方程的两根为，则
．
∵，
∴，
∴，
得，或．
解得：，或．
∴方程的两根为：2，24．
故答案为：2，24．
15．（2024·广东·二模）若a，b是一元二次方程的两个根，则 ．
【答案】4
【分析】本题考查根与系数的关系及一元二次方程的解，关键掌握用根与系数的关系与代数式变形相结合进行解题．由题意可得，，再整体代入计算即可．
【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴，
∴
；
故答案为：
16．（2024·广东东莞·一模）若m是方程的一个根．则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，求代数式的值．根据一元二次方程解的定义可得，再代入，即可求解．
【详解】解：∵m是方程的一个根，
∴，即，
∴．
故答案为：．
17．（2024·广东东莞·三模）作为东莞的城市文化名片之一，篮球已成为不少东莞人生活的一部分．这个五一，我市举行“缤纷运动‘莞’精彩、‘篮’不住”的篮球邀请赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），计划安排30场比赛．
(1)应邀请多少支球队参加比赛？
(2)若某支球队参加2场后，因故不参与以后比赛，问实际共比赛了多少场？
【答案】(1)设应邀请6支球队参加比赛
(2)实际共比赛22场
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设应该邀请支球队参加比赛，根据双循环比赛安排30场，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用比赛总场次数该球队参加的场次数剩下5支球队实行双循环比赛的场次数，即可求出结论．
【详解】（1）解：设应邀请x支球队参加比赛，
由题意得：
解得：，（不合题意，舍去）．
答：设应邀请6支球队参加比赛．
（2）解：（场）
答：实际共比赛22场．
18．（2024·广东东莞·一模）某市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，10月份售出150个，12月份售出216个．求该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率．
【答案】该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率为
【分析】本题主要查一元二次方程的应用，根据条件列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】设该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率为，
依题意得：．
解得：，（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率为．
19．（2024·广东佛山·二模）某单位响应绿色环保倡议，提出要节约用纸，逐步走向“无纸化”办公．据统计，单位2月份纸的用纸量为1000张，到了4月份纸的用纸量降到了640张．
(1)求单位纸的用纸量月平均降低率；
(2)根据（1）的结果，估算5月份单位纸的用纸量．
【答案】(1)单位纸的用纸量月平均降低率为
(2)估算5月份单位纸的用纸量为512张．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数乘法的实际应用：
（1）设单位纸的用纸量月平均降低率为x，则3月份的用纸量为张，4月份的用纸量为张，据此列出方程求解即可；
（2）根据（1）所求列式计算即可．
【详解】（1）解；设单位纸的用纸量月平均降低率为x，
由题意得，，
解得或（舍去），
答：单位纸的用纸量月平均降低率为；
（2）解：张，
答：估算5月份单位纸的用纸量为512张．
20．（2024·广东佛山·一模）香云纱作为广东省佛山市特产，中国国家地理标志产品，是世界纺织品中唯一用纯植物染料染色的丝绸面料，被纺织界誉为“软黄金”，在某网网店，香云纱连衣裙平均每月可以销售120件，每件盈利200元.为了尽快减少库存，决定降价促销，通过市场调研发现，每件每降价20元，则每月可多售出30件.如果每月要盈利2.88万元，则每件应降价多少元？
【答案】每件应降价80元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每件应降价x元，则每件的销售利润为元，每月可售出件，利用总利润=每件的销售利润×月销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合要尽快减少库存，即可确定结论．
【详解】解：设每件应降价x元，则每件的销售利润为元，每月可售出件，
根据题意得：，
整理得：
解得：
又∵要尽快减少库存，
∴，
答：每件应降价80元．
21．（2024·广东惠州·二模）新定义：如果一个矩形，它的周长和面积分别是另外一个矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是另一个矩形的“减半”矩形．
(1)验证：矩形 是矩形的“减半”矩形，其中矩形 的长为12、宽为2， 矩形长为4、宽为3．
(2)探索：一矩形的长为2、宽为1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)不存在，理由见解析
【分析】本题考查了矩形的性质，一元二次方程的应用；
（1）根据矩形的周长和面积公式进行计算即可求解；
（2）设该“减半”矩形长和宽分别为，，()，根据新定义得出联立解关于的一元二次方程，进而根据方程无实数解，即可求解．
【详解】（1）解： 矩形的周长为： ，
矩形的周长为： ，
矩形 的周长 矩形的周长．
矩形的面积为： ，
矩形的面积为： ，
矩形的面积 矩形 的面积．
矩形是矩形的“减半”矩形．
（2）该矩形不存在“减半”矩形，
若矩形存在“减半”矩形，设该“减半”矩形长和宽分别为，，
原矩形的长和宽分别为，，
由题可知：
由①得：
将 代入②得：
即
方程 无解．
该矩形不存在“减半”矩形．
22．（2024·广东清远·一模）某超市销售A、B两种玩具，每个A型玩具的进价比每个B型玩具的进价高2元，若用600元进A型玩具的的数量与用500元进B型玩具的数量相同．
(1)求A，B两种玩具每个进价是多少元？
(2)超市某天共购进A、B两种玩具共50个，当天全部销售完．销售A型玩具的的价格y（单位：元/个）与销售量x（单位：个）之间的函数关系是：；销售B玩具日获利m（单位：元）与销售量n（单位：个）之间的关系为：．若该超市销售这50个玩具日获利共300元，问B型玩具的销售单价是多少元？
【答案】(1)每个A型玩具的进价是12元，每个B型玩具的进价是10元
(2)B型玩具的销售单价为13元
【分析】此题考查了分式方程的应用及一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，列出方程，再求解．
（1）设B种玩具每种b元，则A种玩具每种元，根据题意列出方程，求解即可；
（2）由题意得：购进A型玩具x个，则购进B型玩具个，则，解该方程即可求出x的值，进而可得出B种玩具的个数，从而求出销售单价．
【详解】（1）解：设每个型玩具的进价为元，则每个A型玩具的进价为元，可列方程：，
解得，
经检验是原方程的解，
答：每个A型玩具的进价是12元，每个B型玩具的进价是10元；
（2）解：由题意得：购进A型玩具x个，则购进B型玩具个，
依题意可得方程：，
解得（舍去）
则销售B型玩具：（个），日获利：（元），
则每个获利（元），
（元），
故B型玩具的销售单价为13元．
23．（2024·广东汕头·二模）如果关于的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”．
(1)判断方程是否是“邻近根方程”；
(2)若关于的方程，是常数）是“邻近根方程”，求的最大值．
【答案】(1)是“邻近根方程”
(2)当时，有最大值，最大值为48．
【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了配方法的应用．
（1）先利用求根公式得到，，再计算出，从而可判断方程是“邻近根方程”；
（2）设一元二次方程两个实数根，，则利用根与系数的关系得，，再利用得到，所以，从而得到，所以，然后根据配方法结合二次函数的性质解决问题即可．
【详解】（1），，
，，，
方程是“邻近根方程”；
（2）设一元二次方程两个实数根，，
根据根与系数的关系得，，，，
，即，，
，
当时，有最大值，最大值为48．
24．（2024·广东汕头·一模）综合与实践
主题：如何利用闲置硬纸板制作收纳盒，收纳玩具．
素材：闲置的长方形（一张长为，宽为的硬纸板）．
目标：
(1)把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个长方体无盖收纳盒．若该无盖收纳盒的底面积为，求剪去的小正方形的边长．
(2)把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体收纳盒，如图所示，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．问可否把家里一个玩具机械狗收纳入内？机械狗的实物图和尺寸大小如图，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒．
【答案】(1)剪去的小正方形的边长为；
(2)玩具机械狗不能完全放入该收纳盒，理由见解析．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二元一次方程组的应用，合理将实际问题转化成方程（组）是解题的关键．
（1）设剪去的小正方形的边长，则无盖收纳盒的长为，宽为，列出方程求解即可；
（2）设小长方形的宽为，长，列出方程组求解即可．
【详解】（1）解：设剪去的小正方形的边长，则无盖收纳盒的长为，宽为，依题意得：
，整理得：，解得：，（舍去），
∴剪去的小正方形的边长．
（2）解：设小长方形的宽为，长，由题意得：
，解得：，
∴小长方形的宽为，
当和两边恰好重合且无重叠部分，收纳盒的高为，
∴玩具机械狗不能完全放入该收纳盒．
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专题6 一元二次方程及应用
5年真题
考点1 一元二次方程的解
1．（2022·广东·中考真题）若是方程的根，则 ．
2．（2021·广东·中考真题）若一元二次方程（b，c为常数）的两根满足，则符合条件的一个方程为 ．
考点2 一元二次方程判别式
3．（2024·广东·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ．
考点3 一元二次方程的应用
4．（2020·广东·中考真题）已知关于，的方程组与的解相同．
（1）求，的值；
（2）若一个三角形的一条边的长为，另外两条边的长是关于的方程的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．
1年模拟
5．（2024·广东东莞·三模）若方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．且 B． C． D．且
6．（2024·广东东莞·三模）已知方程的两根是，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2024·广东东莞·二模）如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（ ）
A． B．2023 C．2024 D．2025
8．（2024·广东佛山·三模）已知是方程的一个根，则它的另一根是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·广东惠州·三模）全国和美乡村篮球大赛——某县“村BA”赛区预选赛规定每两个球队之间都要进行一场比赛，共要比赛15场．设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·广东惠州·一模）若有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ）
A． B．且 C．且 D．
11．（2024·广东云浮·一模）关于x的一元二次方程（其中）的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不等的实数根
12．（2024·广东茂名·一模）已知a是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（ ）
A．4 B．8 C． D．
13．（2024·广东揭阳·一模）在一元二次方程中，若，则称a是该方程的中点值．已知的中点值是3，其中一个根是2，则x的另一个根是（ ）
A． B． C．2 D．4
14．（2024·广东佛山·三模）关于x的方程的两根都是正整数且，则方程的两根是 ．
15．（2024·广东·二模）若a，b是一元二次方程的两个根，则 ．
16．（2024·广东东莞·一模）若m是方程的一个根．则的值为 ．
17．（2024·广东东莞·三模）作为东莞的城市文化名片之一，篮球已成为不少东莞人生活的一部分．这个五一，我市举行“缤纷运动‘莞’精彩、‘篮’不住”的篮球邀请赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），计划安排30场比赛．
(1)应邀请多少支球队参加比赛？
(2)若某支球队参加2场后，因故不参与以后比赛，问实际共比赛了多少场？
18．（2024·广东东莞·一模）某市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，10月份售出150个，12月份售出216个．求该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率．
19．（2024·广东佛山·二模）某单位响应绿色环保倡议，提出要节约用纸，逐步走向“无纸化”办公．据统计，单位2月份纸的用纸量为1000张，到了4月份纸的用纸量降到了640张．
(1)求单位纸的用纸量月平均降低率；
(2)根据（1）的结果，估算5月份单位纸的用纸量．
20．（2024·广东佛山·一模）香云纱作为广东省佛山市特产，中国国家地理标志产品，是世界纺织品中唯一用纯植物染料染色的丝绸面料，被纺织界誉为“软黄金”，在某网网店，香云纱连衣裙平均每月可以销售120件，每件盈利200元.为了尽快减少库存，决定降价促销，通过市场调研发现，每件每降价20元，则每月可多售出30件.如果每月要盈利2.88万元，则每件应降价多少元？
21．（2024·广东惠州·二模）新定义：如果一个矩形，它的周长和面积分别是另外一个矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是另一个矩形的“减半”矩形．
(1)验证：矩形 是矩形的“减半”矩形，其中矩形 的长为12、宽为2， 矩形长为4、宽为3．
(2)探索：一矩形的长为2、宽为1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由．
22．（2024·广东清远·一模）某超市销售A、B两种玩具，每个A型玩具的进价比每个B型玩具的进价高2元，若用600元进A型玩具的的数量与用500元进B型玩具的数量相同．
(1)求A，B两种玩具每个进价是多少元？
(2)超市某天共购进A、B两种玩具共50个，当天全部销售完．销售A型玩具的的价格y（单位：元/个）与销售量x（单位：个）之间的函数关系是：；销售B玩具日获利m（单位：元）与销售量n（单位：个）之间的关系为：．若该超市销售这50个玩具日获利共300元，问B型玩具的销售单价是多少元？
23．（2024·广东汕头·二模）如果关于的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”．
(1)判断方程是否是“邻近根方程”；
(2)若关于的方程，是常数）是“邻近根方程”，求的最大值．
24．（2024·广东汕头·一模）综合与实践
主题：如何利用闲置硬纸板制作收纳盒，收纳玩具．
素材：闲置的长方形（一张长为，宽为的硬纸板）．
目标：
(1)把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个长方体无盖收纳盒．若该无盖收纳盒的底面积为，求剪去的小正方形的边长．
(2)把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体收纳盒，如图所示，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．问可否把家里一个玩具机械狗收纳入内？机械狗的实物图和尺寸大小如图，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒．
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