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专题4 一次方程（组）与不等式
5年真题
考点1 一元一次方程及其应用
1．（2022·广东·中考真题）《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生要凑钱购买1本．若每人出8元，则多了3元；若每人出7元，则少了4元．问学生人数和该书单价各是多少？
考点2 二元一次方程组及其应用
2．（2021·广东·中考真题）二元一次方程组的解为 ．
考点3 不等式解法
3．（2024·广东·中考真题）关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是 ．
4．（2023·广东·中考真题）某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于，则最多可打 折．
5．（2023·广东·中考真题）一元一次不等式组的解集为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·广东·中考真题）解不等式组：．
7．（2020·广东·中考真题）不等式组的解集为（ ）
A．无解 B． C． D．
1年模拟
8．（2024·广东佛山·三模）小明做作业时发现方程已被墨水污染：电话询问老师后知道：方程的解且被墨水遮盖的是一个常数．则该常数是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·广东·二模）若一元一次不等式组的解集为，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·广东云浮·一模）若不等式的解集为，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11．（2024·广东汕头·一模）若关于x，y的方程组的解满足，则的值为（ ）
A．8 B． C．6 D．
12．（2024·广东揭阳·三模）已知关于、的方程组的解满足．则的取值范围是 ．
13．（2023·广东河源·二模）不等式组无解，则a的取值范围为 ．
14．（2024·广东河源·一模）已知是二元一次方程组的解，则的值为 ．
15．（2024·广东阳江·一模）若关于的不等式组有个整数解，则的取值范围为 ．
16．（2024·广东惠州·三模）解不等式组 ，并在数轴上表示它们的解集．
17．（2024·广东惠州·二模）某中学计划购买消毒液和洗手液两种物品．若购买10瓶消毒液和3瓶洗手液需用180元；若购买4瓶消毒液和6瓶洗手液需用 120 元．
(1)消毒液和洗手液的单价各是多少元
(2)学校决定购买消毒液和洗手液共110瓶，总费用不超过1350元，最多可以购买多少瓶消毒液
18．（2024·广东佛山·三模）快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件，快递员的提成取决于送生数和揽件数．某快递公司快递员小李若平均每天的送件数和揽件数分别为120件和30件，则他平均每天的提成是240元；若平均每天的送件数和揽件数分别为140件和25件，则他平均每天的提成是260元．求快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是多少元？
19．（2024·广东佛山·三模）“红缬退风花著子，绿针浮水稻抽秧”这是宋朝诗人姚孝锡所作．诗中的“水稻”是我国种植的重要经济作物．某村在政府的扶持下建起了水稻种植基地，准备种植甲、乙两种水稻，若种植30亩甲种水稻和50亩乙种水稻，总收入为42万元；若种植50亩甲种水稻和30亩乙种水稻，总收入为38万元．
(1)求种植这两种水稻，平均每亩收入各是多少万元？
(2)村里规划种植这两种水稻共250亩，且甲种水稻的种植面积不少于乙种水稻种植面积的1.5倍，问甲种水稻的种植面积最少是多少？
20．（2024·广东清远·三模）某工厂接到生产第19届杭州亚运会吉祥物“江南忆（宸宸、琮琮、莲莲）”整套的订单，工厂安排甲、乙两个车间共同生产．若甲车间生产5天，乙车间生产3天，则两个车间的产量一样多．若甲车间先生产300套“江南忆”，然后两个车间又各生产4天，则乙车间比甲车间多生产100套“江南忆”．两车间每天各生产多少套“江南忆”？
21．（2024·广东东莞·二模）解不等式组，并写出它的所有整数解．
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专题4 一次方程（组）与不等式
5年真题
考点1 一元一次方程及其应用
1．（2022·广东·中考真题）《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生要凑钱购买1本．若每人出8元，则多了3元；若每人出7元，则少了4元．问学生人数和该书单价各是多少？
【答案】学生人数为7人，该书的单价为53元．
【分析】设学生人数为x人，然后根据题意可得，进而问题可求解．
【详解】解：设学生人数为x人，由题意得：
，
解得：，
∴该书的单价为（元），
答：学生人数为7人，该书的单价为53元．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键．
考点2 二元一次方程组及其应用
2．（2021·广东·中考真题）二元一次方程组的解为 ．
【答案】
【分析】由加减消元法或代入消元法都可求解．
【详解】解：，
由①式得： ，代入②式，得： ，解得 ，
再将代入①式， ，解得 ，
∴ ，故填：．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的基本解法，本题属于基础题，比较简单．
考点3 不等式解法
3．（2024·广东·中考真题）关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，在数轴上表示不等式组的解集，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：由数轴可知，两个不等式的解集分别为，，
∴不等式组的解集为，
故答案为：．
4．（2023·广东·中考真题）某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于，则最多可打 折．
【答案】8.8
【分析】设打x折，由题意可得，然后求解即可．
【详解】解：设打x折，由题意得，
解得：；
故答案为8.8．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式的应用，熟练掌握一元一次不等式的应用是解题的关键．
5．（2023·广东·中考真题）一元一次不等式组的解集为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】第一个不等式解与第二个不等式的解，取公共部分即可.
【详解】解：
解不等式得：，结合得：不等式组的解集是，
故选：D．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键．
6．（2022·广东·中考真题）解不等式组：．
【答案】
【分析】分别解出两个不等式，根据求不等式组解集的口诀得到解集．
【详解】解：
解①得：，
解②得：，
∴不等式组的解集是．
【点睛】本题考查求不等式组的解集，掌握求不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”是解题关键．
7．（2020·广东·中考真题）不等式组的解集为（ ）
A．无解 B． C． D．
【答案】D
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】解：解不等式2 3x≥ 1，得：x≤1，
解不等式x 1≥ 2（x＋2），得：x≥ 1，
则不等式组的解集为 1≤x≤1，
故选：D．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
1年模拟
8．（2024·广东佛山·三模）小明做作业时发现方程已被墨水污染：电话询问老师后知道：方程的解且被墨水遮盖的是一个常数．则该常数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了一元一次方程的解．设被污染的常数■是a，把代入计算即可求出a的值．
【详解】解：设被污染的常数■是a，
把代入，得：，
解得，
故选A．
9．（2024·广东·二模）若一元一次不等式组的解集为，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了不等式组的解集，解题关键是根据不等式组解集的确定方法，列出不等式，解不等式即可．
【详解】解：一元一次不等式组的解集为，
所以，，解得，，
故选：D
10．（2024·广东云浮·一模）若不等式的解集为，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了不等式的性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．根据不等式的解集为得出，然后求出m的取值范围即可．
【详解】解：∵不等式的解集为，∴，
∴m的取值范围为．
故选：A．
11．（2024·广东汕头·一模）若关于x，y的方程组的解满足，则的值为（ ）
A．8 B． C．6 D．
【答案】B
【分析】本题考查二次一次方程组含参问题，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键，利用得：，即可得到，再将，代入即可得到答案．
【详解】解：
得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
12．（2024·广东揭阳·三模）已知关于、的方程组的解满足．则的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式．将方程组内两个方程相加是解题的关键．
两个方程相加可得出，根据列出关于的不等式即可．
【详解】解：，
①+②得：
解得：
，
．
得：，解得：．
故答案为：．
13．（2023·广东河源·二模）不等式组无解，则a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据不等式组无解，可得出，即可得出答案．
【详解】∵不等式组无解，
∴a的取值范围是；
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
14．（2024·广东河源·一模）已知是二元一次方程组的解，则的值为 ．
【答案】7
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，把代入原方程组得，得：即可．注意整体思想的应用．
【详解】解：将代入原方程组得，
得：，
∴的值为7．
故答案为：7．
15．（2024·广东阳江·一模）若关于的不等式组有个整数解，则的取值范围为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，先求出不等式组的解集，再根据不等式组有个整数解即可求出的取值范围，正确求出一元一次不等式组的解集是解题的关键．
【详解】解：，
解得，，
解得，，
∴不等式组的解集为，
∵不等式组有个整数解，
∴，
故答案为：．
16．（2024·广东惠州·三模）解不等式组 ，并在数轴上表示它们的解集．
【答案】，数轴见解析
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示解集．熟练掌握解一元一次不等式组，在数轴上表示解集是解题的关键．
先分别计算两个不等式的解集，进而可得不等式组的解集，最后在数轴上表示解集即可．
【详解】解：，
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为．
在数轴上表示它们的解集如下：
17．（2024·广东惠州·二模）某中学计划购买消毒液和洗手液两种物品．若购买10瓶消毒液和3瓶洗手液需用180元；若购买4瓶消毒液和6瓶洗手液需用 120 元．
(1)消毒液和洗手液的单价各是多少元
(2)学校决定购买消毒液和洗手液共110瓶，总费用不超过1350元，最多可以购买多少瓶消毒液
【答案】(1)消毒液和洗手液的单价分别为15元和10元．
(2)最多可以购买50瓶消毒液．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用；
（1）设消毒液和洗手液的单价分别为x元和y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设可以购买m瓶消毒液，则可以购买瓶洗手液，根据题意列出一元一次不等式，解不等式，取最大整数解，即可求解．
【详解】（1）解：设消毒液和洗手液的单价分别为x元和y元，
依题意得： 解得：
答：消毒液和洗手液的单价分别为15元和10元．
（2）设可以购买m瓶消毒液，则可以购买瓶洗手液，
依题意得： ，
解得：．最大整数解为
答：最多可以购买50瓶消毒液．
18．（2024·广东佛山·三模）快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件，快递员的提成取决于送生数和揽件数．某快递公司快递员小李若平均每天的送件数和揽件数分别为120件和30件，则他平均每天的提成是240元；若平均每天的送件数和揽件数分别为140件和25件，则他平均每天的提成是260元．求快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是多少元？
【答案】快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成分别为元和元
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成分别为元和元，根据平均每天的送件数和揽件数分别为120件和30件，则他平均每天的提成是240元；平均每天的送件数和揽件数分别为140件和25件，则他平均每天的提成是260元；列出方程组进行求解即可．
【详解】解：设快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成分别为元和元，由题意，得：，解得：；
答：快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成分别为元和元．
19．（2024·广东佛山·三模）“红缬退风花著子，绿针浮水稻抽秧”这是宋朝诗人姚孝锡所作．诗中的“水稻”是我国种植的重要经济作物．某村在政府的扶持下建起了水稻种植基地，准备种植甲、乙两种水稻，若种植30亩甲种水稻和50亩乙种水稻，总收入为42万元；若种植50亩甲种水稻和30亩乙种水稻，总收入为38万元．
(1)求种植这两种水稻，平均每亩收入各是多少万元？
(2)村里规划种植这两种水稻共250亩，且甲种水稻的种植面积不少于乙种水稻种植面积的1.5倍，问甲种水稻的种植面积最少是多少？
【答案】(1)种植甲种水稻平均每亩收入万元，种植甲种水稻平均每亩收入万元
(2)甲种水稻的种植面积最少亩
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用；
（1）等量关系式：种植30亩甲种水稻的收入种植50亩乙种水稻的收入万元，种植50亩甲种水稻的收入种植30亩乙种水稻的收入万元，据此列出方程，即可求解；
（2）不等关系式：种植甲种水稻的亩数种植乙种水稻的亩数，据此列出不等式，即可求解；
找出等量关系式、不等关系式是解题的关键．
【详解】（1）解：设种植甲种水稻平均每亩收入万元，种植乙种水稻平均每亩收入万元，由题意得
，解得：，
答：种植甲种水稻平均每亩收入万元，种植甲种水稻平均每亩收入万元；
（2）解：设种植甲种水稻亩，则种植乙种水稻（）亩，由题意得
，解得：，
答：甲种水稻的种植面积最少亩．
20．（2024·广东清远·三模）某工厂接到生产第19届杭州亚运会吉祥物“江南忆（宸宸、琮琮、莲莲）”整套的订单，工厂安排甲、乙两个车间共同生产．若甲车间生产5天，乙车间生产3天，则两个车间的产量一样多．若甲车间先生产300套“江南忆”，然后两个车间又各生产4天，则乙车间比甲车间多生产100套“江南忆”．两车间每天各生产多少套“江南忆”？
【答案】甲车间每天生产150套“江南忆”，乙车间每天生产250套“江南忆”
【分析】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意列出方程组是解题关键．
设甲车间每天生产x套“江南忆”，乙车间每天生产y套“江南忆”，根据题意列出方程组求解即可．
【详解】解：设甲车间每天生产x套“江南忆”，乙车间每天生产y套“江南忆”，
则可列方程组为，解得．
答：甲车间每天生产150套“江南忆”，乙车间每天生产250套“江南忆”．
21．（2024·广东东莞·二模）解不等式组，并写出它的所有整数解．
【答案】不等式组的解集是， 不等式组的整数解是
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，再写出它的所有整数解．
【详解】由①得：得 由②得：得，
所以不等式组的解集是：， 则不等式组的整数解是：．
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