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专题5 分式方程及实际应用
5年真题
考点1 解分式方程
1．（2024·广东·中考真题）方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】把分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项、合并同类项得：，
解得：x=9，
经检验：x=9是原分式方程的解，
故选：C．
【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解题的关键是解分式方程注意要检验，避免出现增根．
考点2 利用分式方程解决问题
2．（2023·广东·中考真题）某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的倍，结果甲比乙早到，求乙同学骑自行车的速度．
【答案】乙同学骑自行车的速度为千米/分钟．
【分析】设乙同学骑自行车的速度为x千米/分钟，则甲同学骑自行车的速度为千米/分钟，根据时间=路程÷速度结合甲车比乙车提前10分钟到达，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论．
【详解】解：设乙同学骑自行车的速度为x千米/分钟，则甲同学骑自行车的速度为千米/分钟，
根据题意得：，解得：．
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：乙同学骑自行车的速度为千米/分钟．
【点睛】题目主要考查分式方程的应用，理解题意列出分式方程是解题的关键．
3．（2020·广东·中考真题）某社区拟建，两类摊位以搞活“地摊经济”，每个类摊位的占地面积比每个类摊位的占地面积多2平方米，建类摊位每平方米的费用为40元，建类摊位每平方米的费用为30元，用60平方米建类摊位的个数恰好是用同样面积建类摊位个数的．
（1）求每个，类摊位占地面积各为多少平方米？
（2）该社拟建，两类摊位共90个，且类摊位的数量不少于类摊位数量的3倍.求建造这90个摊位的最大费用．
【答案】（1）5平方米；3平方米 （2）10520元
【分析】（1）设类摊位占地面积平方米，则类占地面积平方米，根据同等面积建立A类和B类的倍数关系列式即可；
（2）设建类摊位个，则类个，设费用为，由（1）得A类和B类摊位的建设费用，列出总费用的表达式，根据一次函数的性质进行讨论即可．
【详解】解：（1）设每个类摊位占地面积平方米，则类占地面积平方米
由题意得，解得，
∴，经检验为分式方程的解
∴每个类摊位占地面积5平方米，类占地面积3平方米
（2）设建类摊位个，则类个，费用为
∵，∴
，
∵110>0，∴z随着a的增大而增大，又∵a为整数，
∴当时z有最大值，此时
∴建造90个摊位的最大费用为10520元
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用问题，熟练的掌握各个量之间的关系进行列式计算，是解题的关键．
1年模拟
4．（2024·广东湛江·二模）分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查解分式方程，先把分式方程化为整式方程，求出x的值，代入公分母进行检验即可；
【详解】解：，
去分母得，，
解得，，
经检验，是原方程的解，
即方程的解是，
故选：A
5．（2024·广东惠州·二模）2024年3月17日惠州举办了首届马拉松，本届赛事以“畅跑山海惠州，尽享东坡文化”为主题，以弘扬惠州东坡文化为主旨，是一场体现文旅体深度融合的“嘉年华”赛事．已知总赛程约为，在同一场比赛中A选手的平均速度是B选手的1.2倍，最终A选手冲刺终点的时间比B选手提前20分钟，若设B选手的平均速度是，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了分式方程的应用——行程问题．熟练掌握路程与速度和时间的关系列代数式，时间差列方程，是解决问题的关键．
20分钟化为小时，根据时间差20分钟列出方程，逐一判断即得．
【详解】∵在同一场比赛中A选手的平均速度是B选手的1.2倍， B选手的平均速度是，
∴A选手的平均速度为，
∵总赛程约为，最终A选手冲刺终点的时间比B选手提前20分钟，，
∴．
故选：B．
6．（2024·广东佛山·二模）在题目“甲、乙两地相距，一辆汽车从甲地匀速开往乙地，…，求汽车实际行驶的时间？”中，若设汽车原计划需行驶，可得方程，则题目中“…”表示的条件是（ ）
A．速度比原计划增加，结果提前到达
B．速度比原计划增加，结果晚到达
C．速度比原计划减少，结果提前到达
D．速度比原计划减少，结果晚到达
【答案】A
【分析】本题主要考查分式的实际运用，理解题目中的数量关系，分式方程表示的含义，掌握分式方程解实际问题的方法是解题的关键．根据设汽车原计划需行驶，可得表示的含义，由此可得，表示的含义，由此即可求解．
【详解】解：设汽车原计划需行驶，则表示原计划的速度，
∴表示的是在原计划的速度上提高，∴表示实际的速度，
∴A符合题意，
故选：．
7．（2024·广东梅州·一模）分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验，计算即可得出答案．
【详解】解：分式方程整理得：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，解得：，
经检验是分式方程的解．
故选：C．
8．（2024·广东揭阳·一模）已知关于的方程的解是负数，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】B
【分析】本题考查了解分式方程、根据分式方程解的情况求参数，先解分式方程得出，根据解是负数得出，且，求解即可得出答案．
【详解】解：去分母得：，
解得：，
关于的方程的解是负数，
，且，
解得：且，
故选：B．
9．（2024·广东揭阳·一模）若关于的分式方程有增根，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了增根的概念，利用增根的意义即可求解，正确理解增根的含义是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
∵关于的分式方程有增根，
∴，
∴，
故答案为：．
10．（2024·广东江门·二模）解方程：
【答案】x=3
【分析】首先两边同乘以(x－4)，将分式方程转化为整式方程，从而求出方程的解，最后需要进行验根得出答案．
【详解】解：原方程化为：3 x 1=x 4，
即： 2x= 6，
∴x=3，
经检验：x=3是原方程的解，
∴原方程的解为：x=3．
【点睛】本题主要考查的是解分式方程，属于基础题型．解分式方程时最后需要进行验根．
11．（2024·广东东莞·一模）解分式方程:
【答案】
【分析】本题主要考查解分式方程，观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解并检验即可．
【详解】解：原分式方程化为，
去分母，方程两边同乘以得：
，
解得，，
检验：当时，，
∴是原方程的解．
12．（2024·广东·三模）伴随着“双碳”政策的实施，新能源汽车应运而生，新能源汽车补充电量主要有两种方式，一种是用充电桩充电，一种是换电站换电池．已知某型号油电混合动力汽车每次换电池的时间比加油的时间多1.5分钟，且花6小时完成换电池服务的次数与花4小时完成加油服务的次数相等．求该车每次换电池服务和完成加油服务的时间分别是多少？
【答案】该车每次换电池服务的时间和完成加油服务的时间分别是4.5分钟和3分钟
【分析】本题考查分式方程的应用，找准等量关系并列出分式方程是解题的关键．
设每次完成换电池服务的时间为x分钟，根据“每次换电池的时间比加油的时间多1.5分钟”表示次完成加油服务的时间为分钟，根据“花6小时完成换电池服务的次数与花4小时完成加油服务的次数相等”建立方程，求解即可．
【详解】解：设每次完成换电池服务的时间为x分钟，则每次完成加油服务的时间为分钟，
根据题意，得，解得，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
∴（分钟）．
答：该车每次换电池服务的时间和完成加油服务的时间分别是4.5分钟和3分钟．
13．（2024·广东佛山·三模）据工信部有关信息显示，预计到2030年，我国新能源汽车保有量将达到6420万辆．为顺应时代发展，加快公共领域充电基础设施建设，某社区计划在社区相关区域建设一些充电基础设施，经过工程招标，拟定购买A型慢充桩和B型快充桩两种型号．已知A型慢充桩比B型快充桩的单价少1.1万元，且用6.4万元购买A型慢充桩与用24万元购买B型快充桩的数量相等．
(1)问A，B两种型号充电桩的单价各是多少？
(2)社区计划共建设50个A，B型充电桩，平均每个充电桩场地建设费用为5000元，且本项目预算建设总费用不超过60万元，那么安装购买A型慢充桩最少要有多少个？
【答案】(1)A种型号充电桩的单价是万元，B种型号充电桩的单价是万元
(2)安装购买A型慢充桩最多个
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，找出等量关系式和不等关系式是解题的关键
（1）等量关系式：B型快充桩的单价A型慢充桩的单价1.1万元，6.4万元购买A型慢充桩的数量用24万元购买B型快充桩的数量，列出分式方程，即可求解；
（2）不等关系式：购买A型慢充桩的费用购买B型快充桩的费用充电桩的场地费，列出不等式，即可求解．
【详解】（1）解：设A种型号充电桩的单价是万元，B种型号充电桩的单价是（）万元，由题意得
，解得：，
经检验：是所列方程的根，且符合实际意义，（万元），
答：A种型号充电桩的单价是万元，B种型号充电桩的单价是万元；
（2）解：设安装购买A型慢充桩个，由题意得，
解得：，是整数，取，
故安装购买A型慢充桩最多个．
14．（2024·广东珠海·三模）2024年是甲辰龙年，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，千百年来，龙的形象贯穿文学、艺术、民俗、服饰、绘画等各个领域，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．某商店销售A，B两款与龙相关的吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元，若顾客花1000元购买A款吉祥物的数量与花500元购买B款吉祥物的数量相同，求A，B两款吉祥物单价．
【答案】每个A款吉祥物的售价为40元，每个B款吉祥物的售价为20元
【分析】本题考查了分式方程实际应用问题，根据题意找到相等关系是解题的关键．设一个B款吉祥物的售价为元，则一个A款吉祥物的售价为元，根据顾客花1000元购买A款吉祥物的数量与花500元购买B款吉祥物的数量相同，即可列出等量关系求解．
【详解】解：设一个B款吉祥物的售价为元，则一个A款吉祥物的售价为元，
根据题意，得，解得．
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
（元）．
答：每个A款吉祥物的售价为40元，每个B款吉祥物的售价为20元．
15．（2024·广东清远·二模）某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．现该公司分别花费960元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多，每份牛肉面比每份杂酱面的价格贵5元，求每份牛肉面的价格．
【答案】每份牛肉面的价格为15元
【分析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
设每份杂酱面的价格为元，则每份牛肉面的价格为元，根据“购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多”列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
【详解】解：设每份杂酱面的价格为元，则每份牛肉面的价格为元，
根据题意，得．
解得．
经检验：是原方程的解．
则每份牛肉面的价格为：（元．
答：每份牛肉面的价格为15元．
16．（2024·广东肇庆·二模）为了响应国家低碳出行的号召，李老师上班的交通方式由开汽车改为骑自行车，李老师家距学校5千米，已知汽车的速度是自行车速度的4倍，若李老师要按原来的时间到校，则每天比原来提前15分钟出发，求李老师骑自行车的速度．
【答案】15千米/时
【分析】本题主要考查分式方程的应用，正确列出方程是解题的关键．
设张老师骑自行车的平均速度是每小时千米，每天比原来提前15分钟出发列方程求解即可；
【详解】解：设李老师骑自行车的速度是x千米/时，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意．
答：李老师骑自行车的速度是15千米/时．
17．（2024·广东河源·二模）某店在批发中心选购鸡仔饼和杏仁饼．鸡仔饼每盒进价比杏仁饼每盒进价多5元，用300元购进鸡仔饼的盒数是用100元购进杏仁饼的盒数的2 倍．
(1)鸡仔饼、杏仁饼的进价各是多少元/盒？
(2)该店计划购进鸡仔饼、杏仁饼共60盒，其中鸡仔饼每盒售价28 元，杏仁饼每盒售价18元．若鸡仔饼、杏仁饼全部售出时，总获利超过680元，则至少购进鸡仔饼多少盒？
【答案】(1)鸡仔饼的进价是15元/盒，杏仁饼的进价是10元/盒
(2)至少购进鸡仔饼41盒
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找出数量关系，正确列出分式方程和一元一次不等式．
（1）设鸡仔饼的进价是元/盒，则杏仁饼的进价是元/盒，根据用300元购进鸡仔饼的盒数是用100元购进杏仁饼的盒数的2倍．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购进鸡仔饼盒，则购进杏仁饼盒，根据总获利超过680元，列出一元一次不等式，解不等式，即可解决问题．
【详解】（1）解：设鸡仔饼的进价是元/盒，则杏仁饼的进价是元/盒，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：鸡仔饼的进价是15元/盒，杏仁饼的进价是10元/盒；
（2）设购进鸡仔饼盒，则购进杏仁饼盒，
由题意得：，
解得：，
∵为正整数，
∴的最小值为41，
答：至少购进鸡仔饼41盒．
18．（2024·广东河源·一模）某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．现该公司分别花费1080元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多，每份牛肉面比每份杂酱面的价格贵5元，求每份牛肉面的价格．
【答案】每份牛肉面的价格为20元
【分析】本题考查分式方程的应用．设每份杂酱面的价格为元，则每份牛肉面的价格为元，根据“购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多”列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
【详解】解：设每份杂酱面的价格为元，则每份牛肉面的价格为元，
根据题意，得．
解得．
经简要是原方程的解．
则每份牛肉面的价格为：（元）．
答：每份牛肉面的价格为20元．
19．（2024·广东江门·一模）港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，连起了世界最具活力经济区，快速通道的建成对香港、澳门、珠海三地经济社会一体化意义深远．桥长约48千米，是原来开车从香港到珠海路程的，若现在利用快速通道开车从香港到珠海的平均速度是原来平均速度的2倍，所需时间比原来缩短了约3小时，求现在开车从香港到珠海的平均速度．
【答案】112千米/时
【分析】本题考查了分式方程的应用，设原来开车从香港到珠海的平均速度为x千米/时，则现在开车从香港到珠海的平均速度为千米/时，根据时间路程速度，结合开车从香港到珠海所需时间缩短了约3小时，即可得出关于的分式方程，解之经检验即可得出结论．找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【详解】解：设原来开车从香港到珠海的平均速度为x千米/时，则现在开车从香港到珠海的平均速度为千米/时，根据题意，得：，解得
经检验是所列方程的根，且符合题意．
所以
答：现在开车从香港到珠海的平均速度为112千米/时．
20．（2024·广东汕头·一模）为提高快递包裹分拣效率，物流公司引进了A型自动分拣流水线，一条A型自动分拣流水线每小时分拣的包裹量是1名工人每小时分拣包裹量的4倍，分拣6000件包裹，用一条A型自动分拣流水线分拣比1名工人分拣少用小时．
(1)一条A型自动分拣流水线每小时能分拣多少件包裹？
(2)春节将至，S地转运中心预计每日需分拣的包裹量高达576000件，现准备购买A型自动分拣流水线进行24小时作业，则至少应购买多少条？
【答案】(1)2400件
(2)10条
【分析】本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式的应用：
（1）设1名工人每小时分拣x件包裹，根据等量关系列出方程，解方程并检验即可求解；
（2）设购买A型自动分拣流水线y条，根据不等关系列出不等式，解不等式即可求解；
理清题意，根据等量关系列出方程及不等关系列出不等式是解题的关键．
【详解】（1）解：设1名工人每小时分拣x件包裹，
依题意，得：，解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
（件），
答：一条A型自动分拣流水线每小时能分拣2400件包裹．
（2）设购买A型自动分拣流水线y条，
依题意得：，解得：，
答：至少应购买10条A型自动分拣流水线．
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专题5 分式方程及实际应用
5年真题
考点1 解分式方程
1．（2024·广东·中考真题）方程的解为（ ）
A． B． C． D．
考点2 利用分式方程解决问题
2．（2023·广东·中考真题）某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的倍，结果甲比乙早到，求乙同学骑自行车的速度．
3．（2020·广东·中考真题）某社区拟建，两类摊位以搞活“地摊经济”，每个类摊位的占地面积比每个类摊位的占地面积多2平方米，建类摊位每平方米的费用为40元，建类摊位每平方米的费用为30元，用60平方米建类摊位的个数恰好是用同样面积建类摊位个数的．
（1）求每个，类摊位占地面积各为多少平方米？
（2）该社拟建，两类摊位共90个，且类摊位的数量不少于类摊位数量的3倍.求建造这90个摊位的最大费用．
1年模拟
4．（2024·广东湛江·二模）分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·广东惠州·二模）2024年3月17日惠州举办了首届马拉松，本届赛事以“畅跑山海惠州，尽享东坡文化”为主题，以弘扬惠州东坡文化为主旨，是一场体现文旅体深度融合的“嘉年华”赛事．已知总赛程约为，在同一场比赛中A选手的平均速度是B选手的1.2倍，最终A选手冲刺终点的时间比B选手提前20分钟，若设B选手的平均速度是，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·广东佛山·二模）在题目“甲、乙两地相距，一辆汽车从甲地匀速开往乙地，…，求汽车实际行驶的时间？”中，若设汽车原计划需行驶，可得方程，则题目中“…”表示的条件是（ ）
A．速度比原计划增加，结果提前到达
B．速度比原计划增加，结果晚到达
C．速度比原计划减少，结果提前到达
D．速度比原计划减少，结果晚到达
7．（2024·广东梅州·一模）分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·广东揭阳·一模）已知关于的方程的解是负数，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
9．（2024·广东揭阳·一模）若关于的分式方程有增根，则的值为 ．
10．（2024·广东江门·二模）解方程：
11．（2024·广东东莞·一模）解分式方程:
12．（2024·广东·三模）伴随着“双碳”政策的实施，新能源汽车应运而生，新能源汽车补充电量主要有两种方式，一种是用充电桩充电，一种是换电站换电池．已知某型号油电混合动力汽车每次换电池的时间比加油的时间多1.5分钟，且花6小时完成换电池服务的次数与花4小时完成加油服务的次数相等．求该车每次换电池服务和完成加油服务的时间分别是多少？
13．（2024·广东佛山·三模）据工信部有关信息显示，预计到2030年，我国新能源汽车保有量将达到6420万辆．为顺应时代发展，加快公共领域充电基础设施建设，某社区计划在社区相关区域建设一些充电基础设施，经过工程招标，拟定购买A型慢充桩和B型快充桩两种型号．已知A型慢充桩比B型快充桩的单价少1.1万元，且用6.4万元购买A型慢充桩与用24万元购买B型快充桩的数量相等．
(1)问A，B两种型号充电桩的单价各是多少？
(2)社区计划共建设50个A，B型充电桩，平均每个充电桩场地建设费用为5000元，且本项目预算建设总费用不超过60万元，那么安装购买A型慢充桩最少要有多少个？
14．（2024·广东珠海·三模）2024年是甲辰龙年，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，千百年来，龙的形象贯穿文学、艺术、民俗、服饰、绘画等各个领域，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．某商店销售A，B两款与龙相关的吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元，若顾客花1000元购买A款吉祥物的数量与花500元购买B款吉祥物的数量相同，求A，B两款吉祥物单价．
15．（2024·广东清远·二模）某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．现该公司分别花费960元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多，每份牛肉面比每份杂酱面的价格贵5元，求每份牛肉面的价格．
16．（2024·广东肇庆·二模）为了响应国家低碳出行的号召，李老师上班的交通方式由开汽车改为骑自行车，李老师家距学校5千米，已知汽车的速度是自行车速度的4倍，若李老师要按原来的时间到校，则每天比原来提前15分钟出发，求李老师骑自行车的速度．
17．（2024·广东河源·二模）某店在批发中心选购鸡仔饼和杏仁饼．鸡仔饼每盒进价比杏仁饼每盒进价多5元，用300元购进鸡仔饼的盒数是用100元购进杏仁饼的盒数的2 倍．
(1)鸡仔饼、杏仁饼的进价各是多少元/盒？
(2)该店计划购进鸡仔饼、杏仁饼共60盒，其中鸡仔饼每盒售价28 元，杏仁饼每盒售价18元．若鸡仔饼、杏仁饼全部售出时，总获利超过680元，则至少购进鸡仔饼多少盒？
18．（2024·广东河源·一模）某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．现该公司分别花费1080元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多，每份牛肉面比每份杂酱面的价格贵5元，求每份牛肉面的价格．
19．（2024·广东江门·一模）港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，连起了世界最具活力经济区，快速通道的建成对香港、澳门、珠海三地经济社会一体化意义深远．桥长约48千米，是原来开车从香港到珠海路程的，若现在利用快速通道开车从香港到珠海的平均速度是原来平均速度的2倍，所需时间比原来缩短了约3小时，求现在开车从香港到珠海的平均速度．
20．（2024·广东汕头·一模）为提高快递包裹分拣效率，物流公司引进了A型自动分拣流水线，一条A型自动分拣流水线每小时分拣的包裹量是1名工人每小时分拣包裹量的4倍，分拣6000件包裹，用一条A型自动分拣流水线分拣比1名工人分拣少用小时．
(1)一条A型自动分拣流水线每小时能分拣多少件包裹？
(2)春节将至，S地转运中心预计每日需分拣的包裹量高达576000件，现准备购买A型自动分拣流水线进行24小时作业，则至少应购买多少条？
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