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专题22 函数综合压轴题
5年真题
1．（2024·广东·中考真题）【问题背景】
如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线上第一象限内的两个动点，以线段为对角线作矩形，轴．反比例函数的图象经过点A．
【构建联系】
（1）求证：函数的图象必经过点C．
（2）如图2，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E落在y轴上，且点B的坐标为时，求k的值．
【深入探究】
（3）如图3，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E，A重合时，连接交于点P．以点O为圆心，长为半径作．若，当与的边有交点时，求k的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）
【分析】（1）设，则，用含的代数式表示出，再代入验证即可得解；
（2）先由点B的坐标和k表示出，再由折叠性质得出，如图，过点D作轴，过点B作轴，证出，由比值关系可求出，最后由即可得解；
（3）当过点B时，如图所示，过点D作轴交y轴于点H，求出k的值，当过点A时，根 据A，C关于直线对轴知，必过点C，如图所示，连，，过点D作轴交y轴于点H，求出k的值，进而即可求出k的取值范围．
【详解】（1）设，则，∵轴，∴D点的纵坐标为，
∴将代入中得：得，∴，∴，∴，
∴将代入中得出，∴函数的图象必经过点C；
（2）∵点在直线上，∴，∴，
∴A点的横坐标为1，C点的纵坐标为2，∵函数的图象经过点A，C，
∴，，∴，∴，
∵把矩形沿折叠，点C的对应点为E，∴，，
∴，如图，过点D作轴，过点B作轴，
∵轴，∴H，A，D三点共线，∴，，
∴，∵，∴，∴，
∵，，∴，，∴，由图知，，
∴，∴；
（3）∵把矩形沿折叠，点C的对应点为E，当点E，A重合，∴，
∵四边形为矩形，∴四边形为正方形，，
∴，，，∵轴，
∴直线为一，三象限的夹角平分线，∴，
当过点B时，如图所示，过点D作轴交y轴于点H，∵轴，
∴H，A，D三点共线，
∵以点O为圆心，长为半径作，，
∴，∴，
∴，，，∵轴，
∴，∴，∴，∴，
∴，∴，∴，
当过点A时，根 据A，C关于直线对轴知，必过点C，如图所示，连，，过点D作轴交y轴于点H，
∵，∴为等边三角形，∵，∴，
∴，，
∴，， ∵轴，∴，
∴，∴，∴，
∴，∴，∴,
∴当与的边有交点时，k的取值范围为．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，一次函数的性质，反比例函数的性质，矩形的性质，正方形的判定和性质，轴对称的性质，圆的性质等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键．
2．（2023·广东·中考真题）综合运用
如图1，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A在轴的正半轴上，如图2，将正方形绕点逆时针旋转，旋转角为，交直线于点，交轴于点．
(1)当旋转角为多少度时，；（直接写出结果，不要求写解答过程）
(2)若点，求的长；
(3)如图3，对角线交轴于点，交直线于点，连接，将与的面积分别记为与，设，，求关于的函数表达式．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据正方形的性质及直角三角形全等的判定及性质得出，再由题意得出，即可求解；
（2）过点A作轴，根据勾股定理及点的坐标得出，再由相似三角形的判定和性质求解即可；
（3）根据正方形的性质及四点共圆条件得出O、C、F、N四点共圆，再由圆周角定理及等腰直角三角形的判定和性质得出，，过点N作于点G，交于点Q，利用全等三角形及矩形的判定和性质得出，结合图形分别表示出，，得出，再由等腰直角三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵正方形，∴，，∵，
∴，∴，∵，∴，
∵交直线于点，∴，∴，即；
（2）过点A作轴，如图所示：
∵，∴，∴，∵正方形，∴，，
∴，∵，∴，∴即，
∴；
（3）∵正方形，∴，∵直线，∴，
∴，∴O、C、F、N四点共圆，∴，
∴，∴为等腰直角三角形，∴，，
过点N作于点G，交于点Q，
∵，∴，∵，∴，∵，
∴，∴∴，
∵，，∴四边形为矩形，∴，
∴，
，
∴，∵，∴为等腰直角三角形，
∴，∴
【点睛】题目主要考查全等三角形、相似三角形及特殊四边形的判定和性质，四点共圆的性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
3．（2021·广东·中考真题）已知二次函数的图象过点，且对任意实数x，都有．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是（1）中二次函数图象上的动点．问在x轴上是否存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，或或或
【分析】（1）令，解得，可得函数 必过 ，再结合 必过 得出，，即可得到，再根据，可看成二次函数与一次函数仅有一个交点，且整体位于的上方，可得，有两个相等的实数根，再根据，可解得的值，即可求出二次函数解析式．
（2）结合（1）求出点C的坐标，设，①当为对角线时，②当为对角线时，③当为对角线时,根据中点坐标公式分别列出方程组，解方程组即可得到答案．
【详解】解：（1）令，解得，当时，，
∴ 必过 ，又∵ 必过 ，
∴，∴，即，
即可看成二次函数与一次函数仅有一个交点，且整体位于的上方∴，有两个相等的实数根，
∴，∴，∴，∴，，∴．
（2）由（1）可知：，，设，
①当为对角线时，∴，解得（舍），，∴，即．
②当为对角线时，∴，解得（舍），
∴，即．
③当为对角线时，∴，
解得，∴或，∴．
综上所述：N点坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，涉及到二次函数与不等式组，考查了平行四边形的存在性问题，利用中点公式，分类讨论是解题关键．
4．（2020·广东·中考真题）如图，点是反比例函数（）图象上一点，过点分别向坐标轴作垂线，垂足为，，反比例函数（）的图象经过的中点，与，分别相交于点，．连接并延长交轴于点，点与点关于点对称，连接，．
（1）填空：_________；
（2）求的面积；
（3）求证：四边形为平行四边形．
【答案】（1）2 （2）3 （3）见解析
【分析】（1）根据题意设点B的坐标为（x，），得出点M的坐标为（，），代入反比例函数（），即可得出k；
（2）连接，根据反比例函数系数k的性质可得，，可得，根据，可得点到的距离等于点到距离，由此可得出答案；
（3）设，，可得，，根据，可得，同理，可得，，证明，可得，根据，得出，根据，关于对称，可得，，，可得，再根据，即可证明是平行四边形．
【详解】解：（1）∵点B在上，∴设点B的坐标为（x，），
∴OB中点M的坐标为（，），∵点M在反比例函数（），∴k=·=2，
故答案为：2；
（2）连接，则，
，
∵，∴，∵，∴点到的距离等于点到距离，
∴；
（3）设，，，，又∵，∴，
同理，∴，，∵，∴，∴，
∵，∴，∴，关于对称，∴，∴，
∴，又∵，∴，又∵，
∴是平行四边形．
【点睛】本题考查了反比例函数系数的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定，平行线的性质，灵活运用知识点是解题关键．
5．（2020·广东·中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点，点，分别位于原点的左、右两侧，，过点的直线与轴正半轴和抛物线的交点分别为，，．
（1）求，的值；
（2）求直线的函数解析式；
（3）点在抛物线的对称轴上且在轴下方，点在射线上，当与相似时，请直接写出所有满足条件的点的坐标．
【答案】（1）；（2） （3），，，
【分析】（1）根据，得出，，将A，B代入得出关于b，c的二元一次方程组求解即可；
（2）根据二次函数是，，，得出的横坐标为，代入抛物线解析式求出，设得解析式为：，将B，D代入求解即可；
（3）由题意得tan∠ABD=，tan∠ADB=1，由题意得抛物线的对称轴为直线x=1，设对称轴与x轴交点为M，P（1，n）且n<0，Q（x，0）且x<3，分①当△PBQ∽△ABD时，②当△PQB∽△ABD时，③当△PQB∽△DAB时，④当△PQB∽△ABD时四种情况讨论即可．
【详解】解：（1）∵，∴，，
∴将A，B代入得，
解得，
∴，；
（2）∵二次函数是，，，
∴的横坐标为，代入抛物线解析式得
∴，设得解析式为：，将B，D代入得，
解得，
∴直线的解析式为；
（3）由题意得tan∠ABD=，tan∠ADB=1，
由题意得抛物线的对称轴为直线x=1，设对称轴与x轴交点为M，P（1，n）且n<0，
Q（x，0）且x<3，
①当△PBQ∽△ABD时，tan∠PBQ=tan∠ABD即=，解得n=，
tan∠PQB=tan∠ADB即，解得x=1-，
此时Q的坐标为（1-，0）；
②当△PQB∽△ABD时，tan∠PBQ=tan∠ADB即=1，解得n=-2，
tan∠QPB=tan∠ABD即=，解得x=1-，
此时Q的坐标为（1-，0）；
③当△PQB∽△DAB时，tan∠PBQ=tan∠ABD即=，解得n=，
tan∠PQB=tan∠DAB即，解得x=-1，
此时Q的坐标为（-1，0）；
④当△PQB∽△ABD时，tan∠PBQ=tan∠ABD即=1，解得n=-2，
tan∠PQB=tan∠DAB即，解得x=5-，
Q的坐标为（5-，0）；
综上：Q的坐标可能为，，，．
【点睛】本题考查了二次函数，一次函数，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，掌握知识点灵活运用是解题关键．
1年模拟
6．（2024·广东东莞·三模）城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点和，用以下方式定义两点间距离：．（其中均为坐标原点）
【数学理解】
(1)①已知点，则______，②函数的图象如图①所示，是图象上一点，，则点的坐标是__________；
(2)函数的图象如图②所示，求证：该函数的图象上不存在点，使．
(3)函数的图象如图③所示，是图象上一点，求的最小值及对应的点的坐标．
【答案】(1)①3；②
(2)证明过程见详解
(3)
【分析】本题主要考查定义新运算，一次函数图象的性质，反比例函数的性质，二次函数图象的性质，掌握以上图象的性质，两点之间距离的计算方法是，根与系数的关系，解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）①根据材料提示即可求解；②根据题意，设，结合材料提示进行计算即可求解；
（2）根据题意，设，可得的表达式，根据一元二次方程根与系数的关系即可求解；
（3）根据根的判别式可得二次函数在轴上方，即恒大于零，结合材料表示出的式子，结合二次函数最值的计算方法即可求解．
【详解】（1）解：①根据材料提示得，；
②，设，∴，
∴，解得，，∴；
故答案为：；
（2）证明：设，∴，∴，整理得，，
∴，∴原方程无解，
∴反比例函数的图象上不存在点，使得；
（3）解：二次函数，∴，
∴二次函数与轴无交点，∵点在二次函数图象上，∴设，
∴，整理得，，
∴当时，的最小值为，
∴．
7．（2024·广东东莞·三模）如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点P是直线上方抛物线上的动点，过点P作轴交直线于点E，作轴交直线于点F，求E，F两点间距离的最大值；
(3)如图2，连接，在抛物线上存在点Q，使，请直接写出符合题意的点Q坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)点Q的坐标为或
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由已知易得是等腰直角三角形，则；求出直线的表达式为，设点，则点，进而可表示出，求出的最大值即可得E，F两点间距离的最大值；
（3）分两种情况：点Q在下方时，设交y轴于点H，由题意得，从而其正切值相等，即，从而求得点H的坐标，用待定系数法求出直线的表达式，与抛物线表达式联立即可求得点Q的坐标；点Q在上方时，过点A作轴，使，连接，在线段上截取，连接，易得四边形是矩形，则，；接着用证明，则有，进而得，最后求得点N的坐标；则可求得直线的表达式，联立抛物线表达式即可求得点Q的坐标；综合即可得结果．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于两点，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：由抛物线的表达式知，点，，，，，
为等腰直角三角形，则，∵轴，轴，
，，是等腰直角三角形，，
由点A、C的坐标得：直线的表达式为：，设点，则点，
，，
故有最大值，当时，的最大值为：，则的最大值为：；
（3）解：当点Q在下方时，如图，设交y轴于点H，
，，
，∴，即，，故；
设直线的表达式为，把点A坐标代入得：，得，
故直线的表达式为：，
联立上式和抛物线的表达式得：，解得：（舍去）或，
则点；
当点Q在上方时，如图，过点A作轴，使，连接，在线段上截取，连接，
，，，
∴四边形是平行四边形，，∴四边形是矩形，
则，；，，
，，，，；，；
设直线解析式为，则有，解得：，
∴直线的表达式为：，
联立上式和抛物线的表达式得：，解得：（舍去）或，则点；
综上，点Q的坐标为或．
【点睛】本题是二次函数与几何的综合；考查了待定系数法求一次函数与二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正切函数，解一元二次方程等知识，综合性强，注意分类讨论与数形结合思想的应用．
8．（2024·广东东莞·二模）在平面直角坐标系中，有如下定义：若某图形上的所有点都在一个矩形的内部或边界上（该矩形的一条边平行于轴），这些矩形中面积最小的矩形叫图形的“美好矩形”．例如：如图1，已知，矩形，轴，点在上，点在上，则矩形为的美好矩形．
(1)如图2，矩形是函数图象的美好矩形，求出矩形的面积；
(2)如图3，点的坐标为，点是函数图象上一点，且横坐标为，若函数图象在之间的图形的美好矩形面积为9，求的值；
(3)对于实数，当时，函数图象的美好矩形恰好是面积为3，且一边在轴上的正方形，请求出的值．
【答案】(1)
(2)或
(3)或或
【分析】本题主要考查了二次函数综合题，矩形的性质，一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，正确理解题干给出的新定义是本题解题的关键．
（1）根据x的取值范围可以求出A点和C的坐标，从而推出B点和D的坐标，然后根据矩形面积公式求解即可；
（2）函数图象在A、B之间的图形的美好矩形即以为对角线的矩形，据此求出m的值即可；
（3）根据二次函数的对称轴是否在x的取值范围内分类讨论，当对称轴在x取值范围内，顶点在x轴上，端点纵坐标是或端点在x轴上，顶点纵坐标是，当对称轴不在取值范围内时，两个端点一个在x轴上，一个纵坐标是据此解答．
【详解】（1）解：
（2）解：设矩形是其美好矩形，
，或．
（3）解：∵美好矩形恰好是面积为3，且一边在x轴上的正方形，
∴正方形的边长为二次函数 的对称轴为直线
当 时，即
①顶点在x轴上，端点纵坐标是即
或
解得：或均符合题意；
②端点在x轴上，顶点纵坐标是即或
，
解得：或 (舍去，不符合a，b大小关系)或或或 (舍去，不满足a，b大小关系)；
当对称轴不在x的取值范围内时，有：或
，解得：或
综上所述，或或．
9．（2024·广东东莞·一模）如图1，抛物线经过点，，矩形的点A，D在x轴上，B，C在抛物线上，．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求点B，C的坐标；
(3)如图2，垂直于的直线m从底边出发，以每秒的速度沿方向匀速平移，分别交折线，，于M，N，H，当直线m到达点E时，停止运动，连接，，设运动时间为t秒，的面积记为y，请用t表示y，写出t的相应的取值范围，并求y的最大值．
【答案】(1)抛物线的表达式为：
(2)点，
(3)，y的最大值为
【分析】（1）将，代入中， 利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
（2）设点B的横坐标为m，由，得，则点．
将点B的坐标代入抛物线的表达式中求出m的值，则可得B点坐标，根据抛物线的对称性可得C的坐标．
（3）当时，可得，，由，即可得出y与t的关系式，并求出y的最大值；当时，先求得的表达式为，由可得，则可得N点的坐标为，同理可得M点的坐标为，由可得y与t的关系式，根据抛物线的顶点坐标即可求出y的最大值．最终可得函数y的最大值为．
【详解】（1）将，代入中， 得：，解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）（2）设点B的横坐标为m，，则，则点，
将点B的坐标代入抛物线的表达式得：，解得：(舍去),，
∴ ， 则点，∵抛物线的对称轴为： ，
，∴点；
（3）（3）当时，此时，，
则，当时，；
当时，如下图：
此时，设直线的表达式为：则，解得，
直线的表达式为：，
当时，即，则，即点，
设直线的表达式为：，则，解得，
直线的表达式为：，
当时，即，则，可得：点，
则，
，故函数y有最大值，
当时，函数y的最大值为，∵，
故y的最大值为，
即，y的最大值为．
【点睛】本题是一道二次函数与几何的综合题，熟练掌握二次函数图像的性质及分类讨论的方法和数形结合法是解题的关键．
10．（2024·广东清远·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，和，连接，为抛物线上一动点，过点P作轴交直线于点M，交x轴于点N．
(1)求抛物线和直线的解析式；
(2)如图1，连接，当是直角三角形时，求m的值；
(3)如图2，连接，当为等腰三角形时，求m的值；
(4)点P在第一象限内运动过程中，若在y轴上存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似（其中点P与点C相对应），请直接写出m的值．
【答案】(1)；
(2)m的值为1或
(3)或或
(4)m的值为或
【分析】（1）将点，，代入得，，计算求解，进而可得抛物线的表达式；待定系数法求直线的解析式即可；
（2）由题意知，当是直角三角形时，分，，两种情况求解；当时，轴，，则，计算求出满足要求的解即可；当时，，，，根据勾股定理求解即可；
（3）由题意知，点M的坐标为，则，，，当为等腰三角形时，分，，三种情况列方程计算求解即可；
（4）由，点P在第一象限内运动，可知，．由，可得，，．由点P与点C相对应，可知分或两种情况求解即可．
【详解】（1）解：将点，，代入得，，
解得，，∴；设直线的解析式为，将，
代入得，解得，，∴；
（2）解：由题意知，当是直角三角形时，分，，两种情况求解；当时，由题意知，轴，∴，∴，
解得，（舍去），或；
当时，∵，，∴，，，
由勾股定理得，，即，又∵，
联立①②，解得或（舍去），
综上所述，m的值为1或；
（3）解：∵点M在直线上，且，∴点M的坐标为，
∴，，，
当为等腰三角形时，分以下三种情况求解；
①当时，则，∴，解得；
②当时，则，∴，解得或（舍去）；
③当时，则，∴，解得或（舍去）．
综上所述，或或．
（4）解：∵，点P在第一象限内运动，∴，．∵，
∴，，．∵点P与点C相对应，
∴或，
①当时，即时，如图1，
∴直线的解析式为，∴，解得或（舍去）．
②当时，即时，如图2，作轴于，
∴，．∵，
∴，即，解得或（舍去），
综上所述，的值为或．
【点睛】本题考查了二次函数解析式，一次函数解析式，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，余弦，二次函数与特殊的三角形综合，二次函数与相似综合等知识．熟练掌握二次函数解析式，一次函数解析式，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，余弦，二次函数与特殊的三角形综合，二次函数与相似综合是解题的关键．
11．（2024·广东佛山·三模）综合应用
如图1，顶点为P的抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点B，连接、．
(1)求b、c的值及的度数；
(2)如图2，动点M从点O出发，沿着方向以1个单位/秒的速度向A匀速运动，同时动点N从点A出发，沿着方向以个单位/秒的速度向B匀速运动，设运动时间为t秒，轴交于E，轴交抛物线于F，连接、．
①当时，求点F的坐标；
②直接写出在运动过程中，使得与相似的t的值．
【答案】(1)，，
(2)①；②
【分析】（1）利用待定系数法求解b、c值即可；先求得点P、B的坐标，利用两点坐标距离公式和勾股定理的逆定理判断出即可；
（2）①如图2，延长交x轴于G，先根据等腰直角三角形的判定与性质推导出，，进而得到，再证明四边形是平行四边形得到，然后解方程求解即可；
②如图3，连接，，过N作轴于G，根据题意分两种情况：和，利用相似三角形的判定与性质分别求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点和点，
∴，解得；则，∴，
当时，，则，
∵，，，
∴，∴；
（2）解：①如图2，延长交x轴于G，
由题意，，，，∴是等腰直角三角形，
则，∵轴，轴，∴，，
∴，，∴，
∵当时，，∴，则，
∴，∵，，∴四边形是平行四边形，
∴，则，即，解得，，
当时，，此时M与A重合，不合题意，舍去，∴；
②如图3，连接，，过N作轴于G，
由①知，，则，∵,，
∴要使与相似，分两种情况：
当时，∵，
∴，又，∴，
∴，即，∴（不合题意，舍去）；
当时，则，又，
∴是等腰直角三角形，∴，,
∴，则，此时，∵，，
∴，∴，又，
∴，
综上，当时，与相似．
【点睛】本题考查二次函数与几何图形的综合，涉及待定系数法求函数解析式、坐标与图形、勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键．
12．（2024·广东汕头·三模）如图1，抛物线和直线交于A，两点，过点作直线轴于点．
(1)求的度数．
(2)如图2，点从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段向点A运动，点，同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为秒．以为边作矩形，使点在直线上．
①当为何值时，矩形的面积最小？并求出最小面积；
②直接写出当为何值时，恰好有矩形的顶点落在抛物线上．
【答案】(1)
(2)①当时，矩形的面积最小： ；②、或2.
【分析】本题属于二次函数的综合应用，主要考查了一次函数与坐标轴的交点问题、相似三角形的判定和性质、矩形的性质、二次函数求最值等知识点，掌握数形结合和分类讨论的数学思想是解题的关键．
（1）设直线与轴交于点，然后确定点 、，进而说明是等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质即可解答；
（2）①如图，过点作轴于点，根据题意可得、、，再联立和可得，秒时点坐标为、点坐标为，即；再证明可得，即,进而得到再结合可得，然后根据二次函数的性质即可解答；②由（1）点坐标为、、；由①证得可得，进而说明 、，然后讨论M、N、Q的位置情况并分别求出t值即可．
【详解】（1）解：设直线与轴交于点，
当时，，，当时，，，，
∴是等腰直角三角形，，；
（2）解：①如图，过点作轴于点，
，点速度为每秒个单位长度，点的速度为每秒2个单位长度，
，，，联立和可得，
，，秒时点坐标为，点坐标为，，
矩形，，，，
，又，，，
矩形的面积，，，当时，
矩形的面积最小：；
②当、或2时，矩形的顶点落在抛物线上．
由（1）点坐标为，，，，，
，点坐标为，
矩形对边平行且相等，，，，点坐标为，
当在抛物线上时，则有，解得：，
当点到时，在抛物线上，此时，当在抛物线上时，N，B重合：
，解得：，
综上所述，当、或2时，矩形的顶点落在抛物线上．
13．（2024·广东汕头·二模）如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点C，对称轴为
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D在抛物线的对称轴上，若， 求点D的坐标；
(3)点M在抛物线上，若中有一个内角为，请直接写出点M 的坐标．
【答案】(1)
(2)点的坐标为
(3)点的坐标为或或或
【分析】（1）根据抛物线对称轴得，再利用待定系数法求解即可；
（2）依题意得，求得直线的解析式为，根据，可知，则直线的为，将代入可得直线的解析式为，再根据点在抛物线的对称轴上即可求解；
（3）以为斜边，在上方作等腰，则，设，过点作轴，，可证，得，，进而求得，分三种情况：①当时，点为直线与抛物线的交点，②当时，点为直线与抛物线的交点，③当时，点为与抛物线的交点，分别讨论求解即可．
【详解】（1）解：抛物线与x轴交于、B两点，对称轴为．
∴，
将，代入得：，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）当时，，即，
设直线的解析式为，代入，得：，解得：，
∴直线的解析式为，
令中边上的高为，中边上的高为，
∵，即，则，
∴，∴直线的解析式为，
将代入，可得，解得，
∴直线的解析式为，∵点在抛物线的对称轴上，
∴当时，，∴点的坐标为；
（3）以为斜边，在上方作等腰，则，设，
过点作轴，，则，而，
∴，∴，∴，，
∵，即：，∴，则，即，
①当时，点为直线与抛物线的交点，
同（2）可得直线的解析式为：，
联立得直线与抛物线得，解得：或（舍去），
即：点的坐标为；
②当时，点为直线与抛物线的交点，
同上，可得点的坐标为；
③当时，∵，
∴点以点为圆心，为半径的圆上，
即点为与抛物线的交点，设，
∴，
即：，整理得：，
，，，
，，
解得：（舍去）或或或（舍去），
当时，点的坐标为，当时，点的坐标为，
即：点的坐标为或；
综上：点的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的性质，三角形全等的性质与判定，圆周角定理，一次函数与二次函数交点问题等，根据题意作出辅助线是解题的关键．
14．（2024·广东汕头·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B．
(1)求k的值；
(2)把一次函数向下平移个单位长度后，与y轴交于点C，与x轴交于点D．
①若，求的面积；
②若四边形为平行四边形，求m的值．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，一次函数的平移，平行四边形的性质，掌握一次函数的平移规律和中点坐标公式是解题的关键．
（1）把点的坐标代入一次函数和反比例函数的解析式，求出和的值即可；
（2）①一次函数的平移遵循“上加下减”，据此求出平移后的解析式，进而确定点和的坐标，用求面积；②用含的代数式表示点和的坐标，根据平行四边形的对角线互相平分，结合中点坐标公式求解即可．
【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，
，解得：的值；
（2）把一次函数向下平移个单位长度后，则其解析式为则直线与y轴交于点C坐标为，与x轴交于点D坐标为，时，C坐标为，D坐标为.
连接，如图所示，
②直线与x轴交于点B坐标为，，，
四边形为平行四边形，对角线、互相平分.
由或由，解得，的值为
15．（2024·广东惠州·二模）综合与探究：
如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点且与x轴的正半轴交于点B．
(1)求k的值及抛物线的解析式．
(2)如图1，若点D为直线上方抛物线上一动点，当时，求D点的坐标；
(3)如图2，若是线段的上一个动点，过点作直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点、，连接．设点的横坐标为．
①当为何值时，线段有最大值，并写出最大值为多少；
②是否存在以，，为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)的坐标为
(3)①当时，线段有最大值为4；②存在，当的值为或时，以，，为顶点的三角形与相似
【分析】（1）将点的坐标直接代入直线解析式可得出的值；再求出点的坐标，将，的坐标代入抛物线解析式，即可得出结论；
（2）由（1）可得，则，所以，过点作轴交抛物线于点，过点作的垂线，垂足为，则，设，可表达点的坐标，代入抛物线的解析式即可得出结论；
（3）①由点，坐标可得出直线的解析式，由此可表达点，的坐标，进而表达的长度，结合二次函数的性质可得出结论；
②根据题意需要分两种情况，当时，当时，分别求出的值即可．
【详解】（1）解：直线与轴交于点，，，
直线的表达式为；当时，，点的坐标为，
将点的坐标为，点的坐标为，代入，
得：，解得：，抛物线的解析式为；
（2）解：如图，过点作轴交抛物线于点，过点作的垂线，垂足为，
轴，，，，，
，，，，设，
∴的坐标为，将点的坐标代入解析式可得，，
解得或（舍去）∴的坐标为；
（3）解：①由（1）可知，直线的解析式为：，
点的横坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
设线段的长度为，则，
当时，线段有最大值为4；
②存在，理由如下：
由图形可知，若与相似，则需要分两种情况，
当时，由（2）可知，，此时；
当时，过点作轴交抛物线于点，
令，解得（舍或，即此时
综上，当的值为或时，以，，为顶点的三角形与相似．
【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查的是待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质，解题的关键是第（3）问中需分两种情况讨论．
16．（2024·广东中山·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点，与轴交于点．
(1)由图像可知，当x 时，；
(2)求出a，k的值；
(3)若为x轴上的一动点，当的面积为时，求m的值；
(4)在轴上是否存在点，使得，若存在，请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)，；
(3)或11；
(4)的坐标为或．
【分析】（1）根据图象求解即可；
（2）将点代入，即可求出的值，从而得到．再将代入，即可求出的值；
（3）根据一次函数解析式可求出，．结合为正轴上的一动点，可求出．最后根据，结合三角形面积公式，即可列出关于的等式，解出的值即可．
（4）过作轴于，作的垂直平分线交轴于，交于，连接，并延长交轴于，分两种情况，利用一次函数的解析式解答即可．
【详解】（1）根据图像可以看出表示一次函数在双曲线上方部分，
∴当时，；
（2）由题意可知点在一次函数的图象上，，．
一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，
，；
（3）对于，令，则，解得：，．令，则，
，为轴的一动点，，
，
，，，
，解得：或．
（4）过作轴于，轴，，，，，
把，代入，，
作的垂直平分线交轴于，交于，连接，并延长交轴于，
是等腰三角形，，，，
，，，
设直线的解析式为：，把，代入解析式可得：，
解得：，直线的解析式为：，把代入，
解得：，，
综上所述，的坐标为或．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，一次函数与坐标轴的交点问题等知识．利用数形结合的思想是解题关键．
17．（2024·广东河源·一模）如图，已知抛物线与轴交于点，且经过点，过点作轴的平行线，交轴于点，交抛物线于点，点是抛物线在第一象限内的一动点，过点作轴，垂足为．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)判断的形状，并说明理由；
(3)点N是x轴上的一点，当与相似时，求n的值．
【答案】(1)
(2)等腰三角形，见解析
(3)
【分析】（1）根据题意列方程组，即可得到结论；
（2）点是抛物线在第一象限内的一动点，于是得到，求得，根据勾股定理得到，，根据等腰三角形的判定定理得到是等腰三角形；
（3）根据是等腰三角形，当与相似时，得到是等腰三角形，求得或，当时，过作轴于，根据相似三角形的性质得到，延长交于，求得，解方程得到；当时，如图，同理；于是得到结论．
【详解】（1）抛物线与轴交于点，且经过点，
，，
该抛物线的解析式为；
（2）是等腰三角形，
理由：点是抛物线在第一象限内的一动点，，，
过点作轴的平行线，交轴于点，，
，，，是等腰三角形；
（3）过点作轴的平行线，交抛物线于点，，
是等腰三角形，当与相似时，是等腰三角形，
或，
当时，过作轴于，，，∴
，，，延长交于，，
，，，，
或（不合题意舍去），；
当时，如图，
同理；
综上所述，当与相似时，的值为．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，正确地求出函数解析式是解题的关键．
18．（2024·广东揭阳·一模）综合与探究：
如图1，抛物线与x轴相交于，两点，与y轴交于点C，连接，抛物线顶点为点M．
(1)求抛物线解析式及点M的坐标；
(2)平移直线得直线．
①如图2，若直线过点M，交x轴于点D，在x轴上取点，连接，求的度数．
②把抛物线在x轴下方图象沿x轴翻折得到新图象（如图3中的“W”形曲线）．当直线与新图象有两个公共点时，请直接写出n的取值范围．
【答案】(1)，
(2)①；②或
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）①如图2，过点作于，过点作轴于，利用解直角三角形求得，再利用三角形外角的性质即可求解；
②由题意可得翻折后的图象的解析式为，直线平移后的解析式为，联立方程得，利用根的判别式求得，即可求得答案．
【详解】（1）解：当时，，，设抛物线解析式为，
把代入解析式得：，解得：，
，点M的坐标为；
（2）①设直线的解析式为，把代入得，解得
直线解析式为，直线平移后的解析式为，
把点代入，得：，解得：，
直线的解析式为，令，得，，
如图2，过点E作于F，过点M作轴于H，
则，，，
在中，，，，
，，，，，
，，，，
，；
②当直线与新图象有两个公共点时，n的取值范围为或．
解题过程如下：，
把抛物线在x轴下方图象沿x轴翻折得到新图象，如图3，
则翻折后的图象的解析式为，直线解析式为，
直线平移后的解析式为，联立方程得，
整理得：，当直线平移后与抛物线只有一个交点时，，解得：，
当直线平移后经过点时，得，
当直线与新图象有两个公共点时，n的取值范围为或．
【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形的应用、勾股定理、一元二次方程的根与判别式的关系、解一元一次方程及解二元一次方程组，熟练利用待定系数法求得二次函数解析式是解题的关键．
19．（2024·广东湛江·一模）（1）如图1，点是线段上的一点，，，，垂足分别为，，，．求证：；
（2）如图2，点在反比例函数图象上，连接，将绕点逆时针旋转到，若反比例函数经过点．求反比例函数的解析式；
（3）如图3，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，已知点，连接，抛物线上是否存在点，便得，若存在，求出点的横坐标．
【答案】（1）证明见解析过程；（2）；（3）抛物线上存在点M，使得；M的坐标为或
【分析】（1）根据题意得出，，证明，即可得证；
（2）如图2，分别过点，作轴，轴，垂足分别为，．求解，，．利用，可得；由反比例函数经过点，可得，可得答案；
（3）如图3，当点位于轴上方，且，过点作，交于点，过点作轴于点．证明，可得，，可得，求解，令， 可得的坐标为；如图，当点位于轴下方，且，同理可得，为．由，可得的坐标是．
【详解】（1）证明：如图，
∵，，，∴，∴，∴，又∵，
∴．
（2）如图2，分别过点，作轴，轴，垂足分别为，．
将代入得：，∴，，．同（1）可得，
∴，，∴，∵反比例函数经过点，∴，
∴；
（3）存在；如图，当点位于轴上方，且，过点作，交于点，过点作轴于点．
∵，，∴，∴，∵轴，，
∴，，∴，
∵，∴，∴，，令，
得，，∴，又，∴，∴，
设为，则 解得：，∴
令，得，(舍去)，
当时，，∴；
如图，当点位于轴下方，且，
同理可得，为，由，
解得，(舍去)，∴当时，，∴．
综上：的坐标为或．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，反比例函数的应用，二次函数的性质，一元二次方程的解法，熟练的利用类比的方法解题是关键．
20．（2024·广东·一模）综合应用
如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接．
(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式；
(2)点P是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点P使？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，作出该二次函数图象的对称轴直线l，交x轴于点D．若点M是二次函数图象上一动点，且点M始终位于x轴上方，作直线，，分别交l于点E，F，在点M的运动过程中，的值是否为定值？若是，请直接写出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)，，，
(2)存在，点的坐标为或
(3)的值是定值；
【分析】（1）当时，即，解方程可得图象与轴交于点，，当时，，从而得图象与轴交于点，利用待定系数法即可求解直线的函数表达式；
（2）分点在上方时和点在下方两种情况讨论求解即可；
（3）由（）得抛物线的对称轴为直线，从而，设且，进而利用待定系数法求得直线和直线的解析式，从而得，于是即可得．
【详解】（1）解：当时，即，解得：．
∴图象与轴交于点，，当时，，∴图象与轴交于点，
设直线为：，把，代入得，解得，
∴直线的函数表达式为；
（2）解：存在，理由如下：
当点在上方时，
∵，∴，即轴，∴点与点关于抛物线的对称轴对称，
∵，∴抛物线的对称轴为直线；∵，∴；
当点在下方时，设交轴于点，
则，．∵，∴．
在中，，∴，解得：，∴，
设直线的解析式为，，解得：，
∴直线的解析式为，联立，得，解得：舍去，，∴．
综上所述，点的坐标为或；
（3）解：存在，的值为定值，理由如下：
由得抛物线的对称轴为直线，∴，设且，
设直线的解析式为，将和点的坐标代入得：，
解得：，∴直线的解析式为，当时，，
∴，
同理，直线的解析式为：，当时，，∴，
∴，∴，
∴的值是定值，．
【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，待定系数法求一次函数的解析式，二元一次方程组的应用以及勾股定理，熟练掌握二次函数的图像及性质以及勾股定理是解题的关键．
21．（2024·广东珠海·一模）已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点C
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点是线段上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的垂线交抛物线于点，连接，当四边形恰好是平行四边形时，求点的坐标；
(3)如图2，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线交于点，且，在直线上是否存在点，使得与相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，的坐标为或．
【分析】（1）用待定系数法可得；
（2）由，可得直线解析式为，设，由，有，即可解得；
（3）可得直线的表达式为，知在直线上，，，过点作轴于点，过作轴于，根据，可得直线和直线关于直线对称，有，，，从而可得直线的表达式为，点的坐标为，即得，，故，与相似，点与点是对应点，设点的坐标为，当时，有，解得；当时，，解得．
【详解】（1）解：把，代入得：，解得：，
；
（2）解：由，可得直线解析式为，设，则，，
，要使四边形恰好是平行四边形，只需，，解得，
；
（3）解：在直线上存在点，使得与相似，理由如下：
是的中点，点，点，由（2）知，
直线的表达式为，，在直线上，，，
过点作轴于点，过作轴于，如图：
，故，，，
直线和直线关于直线对称，，，
，由点，可得直线的表达式为，
联立，解得或，点的坐标为，，
，，，，，，
，，即，
与相似，点与点是对应点，设点的坐标为，则，当时，有，，
解得或（在右侧，舍去），；
当时，，，解得（舍去）或，
，
综上所述，的坐标为或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，平行四边形，相似三角形等知识，难度较大，综合性较强，解题的关键是证明，从而得到与相似，点与点是对应点．
22．（2024·广东珠海·一模）如图1，已知点，且a、b满足， 的边与y轴交于点E， 且E为的中点，双曲线经过C、D两点．
(1) ， ；
(2)求反比例函数解析式；
(3)以线段为对角线作正方形（如图2），点T是边上一动点，M是的中点，，交于N，当点T在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明．
【答案】(1)
(2)
(3)，不发生改变，理由见解析
【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b的值即可；
（2）设，由，可知，再根据反比例函数的性质求出t的值即可；
（3）连接、、，易证，故，推出，根据斜边上的中线得到，由此即可得出结论．
【详解】（1）解：，，解得：，
故答案为：；
（2）由（1）可知：，，E为中点，，设，
∵∴，
∵点先向右移动1个单位，再向下移动2个单位，得到点，
∴点先向右移动1个单位，再向下移动2个单位，得到点，
，∵双曲线经过C、D两点，，，∴，
∴；
（3）的值不发生改变，
理由：如图，连接、、，
∵M是的中点，，∴是线段的垂直平分线，，
四边形是正方形，，
在与中，
，
（），，，，
四边形中，，而，∴，
∵四边形内角和为，∴，， ∴，
即的值不发生改变．
【点睛】本题考查了非负数的性质，待定系数法求反比例函数解析式，平行四边形的性质，正方形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的性质和判定，四边形的内角和，直角三角形的性质等知识点，有一定的难度，解决本题的关键是熟练掌握相关知识点并能灵活运用．
23．（2024·广东珠海·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)根据图象直接写出不等式的解集．
(3)设D为线段上的一个动点（不包括A，C两点），过点D作轴交反比例函数图象于点E，当的面积最大时，求点E的坐标，并求出面积的最大值．
【答案】(1)，
(2)或
(3)最大值为4，
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式二次函数的图象性质以及待定系数法求解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）由点坐标可得反比例函数解析式，由反比例函数解析式可得点坐标，由、两点坐标可得一次函数解析式；
（2）运用数形结合思想，根据的两点坐标，即可作答．
（3）根据题意，设点的坐标为，则，，则，根据最值解答即可．
【详解】（1）解： 点在反比例函数图象上，；
反比例函数解析式为，点在反比例函数的图象上，
，解得，，，
，在一次函数的图象上，
，解得，
一次函数解析式为：；
（2）解：由（1）知，，
∴不等式的解集为或；
（3）解：由（1）可知，设点的坐标为，则
，
，
当时，最大值为4，
24．（2024·广东珠海·一模）如图， 抛物线 分别交轴于点（点在点的左侧）， 交轴于点．
(1)求点和点的坐标；
(2)以为圆心， 3 为半径作圆．
①如图1，连接是线段上的动点， 过点作的一条切线（点为切点）， 求线段的最小值；
②如图2，点为抛物线的顶点， 点在圆上，连接， 求的最大值．
【答案】(1)、
(2)①；②
【分析】（1）由题意，令，则，解一元二次方程，再根据点在点的左侧即可得到点和点的坐标；
（2）①根据切线性质，在中，由勾股定理表示出，从而得到当最小时，线段有最小值，再由动点最值问题-点线模型确定当时，线段最小，利用等面积法求出即可得到答案；②分析可知，线段端点为，其中为固定点；为动点，且动点轨迹是，这是动点最值问题-阿氏圆模型，求出，得到，，构造，使，则，由三角形三边关系可得，当三点共线时有最大值，利用相似三角形判定与性质求出点坐标，利用两点之间距离公式代值求解即可得到答案．
【详解】（1）解：抛物线 分别交轴于点（点在点的左侧），令，则，即，，解得或，、；
（2）解：①连接，如图所示：
过点作的一条切线（点为切点），，
在中，，当最小时，则线段有最小值，
连接是线段上的动点，，当时，线段最小，
，，，
，，则，即，，即线段的最小值；
②由可知，线段端点为，其中为固定点；为动点，且动点轨迹是，
，，，
，，，
，则在上找一点，使，即，如图所示：
，则，即，，
在中，，当三点共线时为最大值，
过点作轴，如图所示：
轴，则，，，即，，
解得，，，
的最大值为．
【点睛】本题考查二次函数综合，涉及二次函数图象与性质、二次函数图象与坐标轴交点、切线性质、动点最值问题-点线模型、勾股定理、等面积法求线段长、动点最值问题-阿氏圆模型、相似三角形的判定与性质、三角形三边关系、两点之间距离公式等知识，难度较大、综合性较强，熟练掌握动点最值问题的的解法，灵活构造辅助线求解是解决问题的关键．
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专题22 函数综合压轴题
5年真题
1．（2024·广东·中考真题）【问题背景】
如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线上第一象限内的两个动点，以线段为对角线作矩形，轴．反比例函数的图象经过点A．
【构建联系】
（1）求证：函数的图象必经过点C．
（2）如图2，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E落在y轴上，且点B的坐标为时，求k的值．
【深入探究】
（3）如图3，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E，A重合时，连接交于点P．以点O为圆心，长为半径作．若，当与的边有交点时，求k的取值范围．
2．（2023·广东·中考真题）综合运用
如图1，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A在轴的正半轴上，如图2，将正方形绕点逆时针旋转，旋转角为，交直线于点，交轴于点．
(1)当旋转角为多少度时，；（直接写出结果，不要求写解答过程）
(2)若点，求的长；
(3)如图3，对角线交轴于点，交直线于点，连接，将与的面积分别记为与，设，，求关于的函数表达式．
3．（2021·广东·中考真题）已知二次函数的图象过点，且对任意实数x，都有．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是（1）中二次函数图象上的动点．问在x轴上是否存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2020·广东·中考真题）如图，点是反比例函数（）图象上一点，过点分别向坐标轴作垂线，垂足为，，反比例函数（）的图象经过的中点，与，分别相交于点，．连接并延长交轴于点，点与点关于点对称，连接，．
（1）填空：_________；
（2）求的面积；
（3）求证：四边形为平行四边形．
5．（2020·广东·中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点，点，分别位于原点的左、右两侧，，过点的直线与轴正半轴和抛物线的交点分别为，，．
（1）求，的值；
（2）求直线的函数解析式；
（3）点在抛物线的对称轴上且在轴下方，点在射线上，当与相似时，请直接写出所有满足条件的点的坐标．
1年模拟
6．（2024·广东东莞·三模）城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点和，用以下方式定义两点间距离：．（其中均为坐标原点）
【数学理解】
(1)①已知点，则______，②函数的图象如图①所示，是图象上一点，，则点的坐标是__________；
(2)函数的图象如图②所示，求证：该函数的图象上不存在点，使．
(3)函数的图象如图③所示，是图象上一点，求的最小值及对应的点的坐标．
7．（2024·广东东莞·三模）如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点P是直线上方抛物线上的动点，过点P作轴交直线于点E，作轴交直线于点F，求E，F两点间距离的最大值；
(3)如图2，连接，在抛物线上存在点Q，使，请直接写出符合题意的点Q坐标．
8．（2024·广东东莞·二模）在平面直角坐标系中，有如下定义：若某图形上的所有点都在一个矩形的内部或边界上（该矩形的一条边平行于轴），这些矩形中面积最小的矩形叫图形的“美好矩形”．例如：如图1，已知，矩形，轴，点在上，点在上，则矩形为的美好矩形．
(1)如图2，矩形是函数图象的美好矩形，求出矩形的面积；
(2)如图3，点的坐标为，点是函数图象上一点，且横坐标为，若函数图象在之间的图形的美好矩形面积为9，求的值；
(3)对于实数，当时，函数图象的美好矩形恰好是面积为3，且一边在轴上的正方形，请求出的值．
9．（2024·广东东莞·一模）如图1，抛物线经过点，，矩形的点A，D在x轴上，B，C在抛物线上，．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求点B，C的坐标；
(3)如图2，垂直于的直线m从底边出发，以每秒的速度沿方向匀速平移，分别交折线，，于M，N，H，当直线m到达点E时，停止运动，连接，，设运动时间为t秒，的面积记为y，请用t表示y，写出t的相应的取值范围，并求y的最大值．
10．（2024·广东清远·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，和，连接，为抛物线上一动点，过点P作轴交直线于点M，交x轴于点N．
(1)求抛物线和直线的解析式；
(2)如图1，连接，当是直角三角形时，求m的值；
(3)如图2，连接，当为等腰三角形时，求m的值；
(4)点P在第一象限内运动过程中，若在y轴上存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似（其中点P与点C相对应），请直接写出m的值．
11．（2024·广东佛山·三模）综合应用
如图1，顶点为P的抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点B，连接、．
(1)求b、c的值及的度数；
(2)如图2，动点M从点O出发，沿着方向以1个单位/秒的速度向A匀速运动，同时动点N从点A出发，沿着方向以个单位/秒的速度向B匀速运动，设运动时间为t秒，轴交于E，轴交抛物线于F，连接、．
①当时，求点F的坐标；
②直接写出在运动过程中，使得与相似的t的值．
12．（2024·广东汕头·三模）如图1，抛物线和直线交于A，两点，过点作直线轴于点．
(1)求的度数．
(2)如图2，点从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段向点A运动，点，同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为秒．以为边作矩形，使点在直线上．
①当为何值时，矩形的面积最小？并求出最小面积；
②直接写出当为何值时，恰好有矩形的顶点落在抛物线上．
13．（2024·广东汕头·二模）如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点C，对称轴为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D在抛物线的对称轴上，若， 求点D的坐标；
(3)点M在抛物线上，若中有一个内角为，请直接写出点M 的坐标．
14．（2024·广东汕头·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B．
(1)求k的值；
(2)把一次函数向下平移个单位长度后，与y轴交于点C，与x轴交于点D．
①若，求的面积；
②若四边形为平行四边形，求m的值．
15．（2024·广东惠州·二模）综合与探究：
如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点且与x轴的正半轴交于点B．
(1)求k的值及抛物线的解析式．
(2)如图1，若点D为直线上方抛物线上一动点，当时，求D点的坐标；
(3)如图2，若是线段的上一个动点，过点作直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点、，连接．设点的横坐标为．
①当为何值时，线段有最大值，并写出最大值为多少；
②是否存在以，，为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
16．（2024·广东中山·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点，与轴交于点．
(1)由图像可知，当x 时，；
(2)求出a，k的值；
(3)若为x轴上的一动点，当的面积为时，求m的值；
(4)在轴上是否存在点，使得，若存在，请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由．
17．（2024·广东河源·一模）如图，已知抛物线与轴交于点，且经过点，过点作轴的平行线，交轴于点，交抛物线于点，点是抛物线在第一象限内的一动点，过点作轴，垂足为．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)判断的形状，并说明理由；
(3)点N是x轴上的一点，当与相似时，求n的值．
18．（2024·广东揭阳·一模）综合与探究：
如图1，抛物线与x轴相交于，两点，与y轴交于点C，连接，抛物线顶点为点M．
(1)求抛物线解析式及点M的坐标；
(2)平移直线得直线．
①如图2，若直线过点M，交x轴于点D，在x轴上取点，连接，求的度数．
②把抛物线在x轴下方图象沿x轴翻折得到新图象（如图3中的“W”形曲线）．当直线与新图象有两个公共点时，请直接写出n的取值范围．
19．（2024·广东湛江·一模）（1）如图1，点是线段上的一点，，，，垂足分别为，，，．求证：；
（2）如图2，点在反比例函数图象上，连接，将绕点逆时针旋转到，若反比例函数经过点．求反比例函数的解析式；
（3）如图3，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，已知点，连接，抛物线上是否存在点，便得，若存在，求出点的横坐标．
20．（2024·广东·一模）综合应用
如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接．
(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式；
(2)点P是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点P使？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，作出该二次函数图象的对称轴直线l，交x轴于点D．若点M是二次函数图象上一动点，且点M始终位于x轴上方，作直线，，分别交l于点E，F，在点M的运动过程中，的值是否为定值？若是，请直接写出该定值；若不是，请说明理由．
21．（2024·广东珠海·一模）已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点C
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点是线段上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的垂线交抛物线于点，连接，当四边形恰好是平行四边形时，求点的坐标；
(3)如图2，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线交于点，且，在直线上是否存在点，使得与相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（2024·广东珠海·一模）如图1，已知点，且a、b满足， 的边与y轴交于点E， 且E为的中点，双曲线经过C、D两点．
(1) ， ；
(2)求反比例函数解析式；
(3)以线段为对角线作正方形（如图2），点T是边上一动点，M是的中点，，交于N，当点T在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明．
23．（2024·广东珠海·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)根据图象直接写出不等式的解集．
(3)设D为线段上的一个动点（不包括A，C两点），过点D作轴交反比例函数图象于点E，当的面积最大时，求点E的坐标，并求出面积的最大值．
24．（2024·广东珠海·一模）如图， 抛物线 分别交轴于点（点在点的左侧）， 交轴于点．
(1)求点和点的坐标；
(2)以为圆心，3为半径作圆
①如图1，连接是线段上的动点， 过点作的一条切线（点为切点）， 求线段的最小值；
②如图2，点为抛物线的顶点， 点在圆上，连接， 求的最大值．
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