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专题8 三角形及全等三角形
5年真题
考点1 三角形基础
1．（2023·广东·中考真题）综合与实践
主题：制作无盖正方体形纸盒
素材：一张正方形纸板．
步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；
步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒．
猜想与证明：
(1)直接写出纸板上与纸盒上的大小关系；
(2)证明（1）中你发现的结论．
2．（2022·广东·中考真题）如图，在△ABC中，，点D，E分别为，的中点，则（ ）
A． B． C．1 D．2
考点2 全等三角形的判定和性质
3．（2022·广东·中考真题）如图，已知，点P在上，，，垂足分别为D，E．求证：．
4．（2020·广东·中考真题）如图，在中，点，分别是、边上的点，，，与相交于点，求证：是等腰三角形．
1年模拟
5．（2024·广东东莞·三模）如图，将以O为中心点的量角器与含角的直角三角板紧靠着放在同一平面内，此时点D，C，B在同一条直线上，且．过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E，则点E在量角器上所对应的锐角度数是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·广东梅州·二模）如图，在△ABC中，为中点，且交于点E，，则的长为（ ）
A． B． C．6 D．
7．（2024·广东汕头·二模）如图，在等腰三角形中， ，，将绕点C顺时针旋转得到，连接，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·广东揭阳·一模）如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等，，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·广东珠海·一模）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，使点B落在边上的点D处，点A落在点E处，与相交于点F，若，，，则的长为 ．
10．（2024·广东东莞·一模）毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形．欧几里得在《几何原本》中曾对该图做了深入研究，如图，在△ABC中，，分别以△ABC的三条边为边向外作正方形，连接BF，CD，过点C作于点M，若，，则△CDM的面积为 ．
11．（2024·广东惠州·二模）【综合实践】某综合实践小组设计了一个简易发射器，如图1所示，发射杆 始终平分同一平面内两条固定轴所成的， 其中，， 发射中心能沿着发射杆滑动，， 为橡皮筋．
(1)证明：；
(2)当 由图2中的等边变成直角的过程中，求发射中心 向下滑动的距离的长度．
12．（2024·广东湛江·二模）如图，为线段上的一点，都是等边三角形，连接．若，求的长．
13．（2024·广东河源·一模）如图，在△ABC中，，，，试猜想与的位置关系，并说明理由．
14．（2024·广东东莞·一模）如图，在中，，，证明：．
15．（2024·广东潮州·一模）如图所示，△ABC和都是等腰直角三角形，是的中点，．
(1)求证：；
(2)求的长．
16．（2024·广东阳江·一模）问题情境：在数学探究活动中，老师给出了如图所示的图形及下面三个等式：①，②，③，若以其中两个等式作为已知条件，能否得到余下一个等式成立？
解决方案：探究与全等．
问题解决：
(1)当选择①②作为已知条件时，与全等吗？
_________（填“全等”或“不全等”），依据是_________；
(2)当选择_________两个等式作为已知条件时，不能说明，但补充一个条件例如_________也可以证明，请写出过程．
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专题8 三角形及全等三角形
5年真题
考点1 三角形基础
1．（2023·广东·中考真题）综合与实践
主题：制作无盖正方体形纸盒
素材：一张正方形纸板．
步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；
步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒．
猜想与证明：
(1)直接写出纸板上与纸盒上的大小关系；
(2)证明（1）中你发现的结论．
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【分析】（1）△ABC和均是等腰直角三角形，；
（2）证明△ABC是等腰直角三角形即可.
【详解】（1）解：
（2）证明：连接，
设小正方形边长为1，则，，
，
为等腰直角三角形，
∵，
∴为等腰直角三角形，
，
故
【点睛】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用和等腰三角形的性质，熟练掌握其性质是解答此题的关键．
2．（2022·广东·中考真题）如图，在△ABC中，，点D，E分别为，的中点，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】利用中位线的性质：平行三角形的第三边且等于第三边的一半即可求解．
【详解】∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴，
∵BC=4，
∴DE=2，
故选：D．
【点睛】本题考查了中位线的判定与性质，掌握中位线的判定与性质是解答本题的关键．
考点2 全等三角形的判定和性质
3．（2022·广东·中考真题）如图，已知，点P在上，，，垂足分别为D，E．求证：．
【答案】见解析
【分析】根据题意，用AAS证明．
【详解】证明：∵，∴为的角平分线，
又∵点P在上，，，
∴
又∵（公共边），
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，利用合适的条件证明三角形全等是本题的关键．
4．（2020·广东·中考真题）如图，在中，点，分别是、边上的点，，，与相交于点，求证：是等腰三角形．
【答案】见解析
【分析】先证明，得到，，进而得到，故可求解．
【详解】证明：在和中
∴
∴
∴
又∵
∴
即
∴是等腰三角形．
【点睛】此题主要考查等腰三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质．
1年模拟
5．（2024·广东东莞·三模）如图，将以O为中心点的量角器与含角的直角三角板紧靠着放在同一平面内，此时点D，C，B在同一条直线上，且．过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E，则点E在量角器上所对应的锐角度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质以及垂直平分线的性质．此题难度适中，解题的关键是掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．设半圆的圆心为O，连接，由题意易得是线段的垂直平分线，即可求得，又由是切线，证明，继而求得的度数，则可求得答案．
【详解】解：设半圆的圆心为O，连接，
∵，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是切线，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即点E在量角器上所对应的锐角度数是．
故选：D．
6．（2024·广东梅州·二模）如图，在△ABC中，为中点，且交于点E，，则的长为（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】B
【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，勾股定理等，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键．
连接，根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的判定与性质求出，根据等腰三角形的性质及三角形外角性质求出，根据三角形内角和定理求出，解直角三角形求出，，再根据线段的和差求解即可．
【详解】解：如图，连接，
，，
，
为中点，且交于点，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
7．（2024·广东汕头·二模）如图，在等腰三角形中， ，，将绕点C顺时针旋转得到，连接，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、求锐角三角函数值、旋转的性质等知识过点D作交的延长线于点E，过点A作于点F，由旋转的性质可知，由等腰三角形三线合一得到，求出，证明，则即可得到，即可求出.
【详解】解：过点D作交的延长线于点E，过点A作于点F，
由旋转的性质可知，，
∵，，∴，
∴，∵,∴，
∵，∴，∵
∵∴，
∴∴
∴，
故选：D
8．（2024·广东揭阳·一模）如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理的应用．由题意可知点O为△ABC的三条角平分线的交点，可得，，根据三角形内角和定理求出，可得的度数，再根据三角形内角和定理求出的度数即可．
【详解】解：∵点O到△ABC三边距离相等，∴点O为△ABC的三条角平分线的交点，
∴，，∵，
∴，∴，
∴，
故选：B．
9．（2024·广东珠海·一模）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，使点B落在边上的点D处，点A落在点E处，与相交于点F，若，，，则的长为 ．
【答案】
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，通过题意构造辅助线是解题的关键．
如图，过点作于点，证明，得到，，再证明，得到，由及旋转可得到，由勾股定理得到，即可求出长．
【详解】解：如图，过点作于点，
由旋转可知：，，，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
10．（2024·广东东莞·一模）毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形．欧几里得在《几何原本》中曾对该图做了深入研究，如图，在△ABC中，，分别以△ABC的三条边为边向外作正方形，连接BF，CD，过点C作于点M，若，，则△CDM的面积为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形全等的判定定理和性质定理，含30度角直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
先由已知条件利用的三角形全等的判定定理证出，然后得到，，进而得到，，然后利用勾股定理求出，最后利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：∵四边形和四边形是正方形
∴，，，∴，
∴，
在和中，
，
，
，，
∵，∴，
∵，
∴，
∴，
∴△CDM的面积．
故答案为：．
11．（2024·广东惠州·二模）【综合实践】某综合实践小组设计了一个简易发射器，如图1所示，发射杆 始终平分同一平面内两条固定轴所成的， 其中，， 发射中心能沿着发射杆滑动，， 为橡皮筋．
(1)证明：；
(2)当 由图2中的等边变成直角的过程中，求发射中心 向下滑动的距离的长度．
【答案】(1)见解析
(2)．
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质；
（1）本题考查了全等三角形的性质与判定；
（2）根据题意得出为直角三角形，进而根据含30度角的直角三角形的性质得出，进而根据即可求解．
【详解】（1）解： 平分，，
， ，，．
（2）， ，
为等边三角形，
为直角三角形，
答：发射中心向下滑动的距离是．
12．（2024·广东湛江·二模）如图，为线段上的一点，都是等边三角形，连接．若，求的长．
【答案】4
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，先证明得到，再由线段之间的关系求出即可得到答案．
【详解】解：都是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
．
13．（2024·广东河源·一模）如图，在△ABC中，，，，试猜想与的位置关系，并说明理由．
【答案】，理由见解析．
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．证明，推出，可得结论．
【详解】解：结论：，
理由：连接．
在与中，
，
，
，
，即．
14．（2024·广东东莞·一模）如图，在中，，，证明：．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，等角对等边，先证明，再根据“”进行证明即可．
【详解】证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴．
15．（2024·广东潮州·一模）如图所示，△ABC和都是等腰直角三角形，是的中点，．
(1)求证：；
(2)求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质
根据，可以得到，又由是的中点,所以，即可证得；
由和可以得到，于是可求得，即可求得答案.
【详解】（1）解：证明：和都是等腰直角三角形，，
，，又是的中点，，
，．
（2）解：，见答图，
，，．
，，
．
．
在中，是的中点，
．
16．（2024·广东阳江·一模）问题情境：在数学探究活动中，老师给出了如图所示的图形及下面三个等式：①，②，③，若以其中两个等式作为已知条件，能否得到余下一个等式成立？
解决方案：探究与全等．
问题解决：
(1)当选择①②作为已知条件时，与全等吗？
_________（填“全等”或“不全等”），依据是_________；
(2)当选择_________两个等式作为已知条件时，不能说明，但补充一个条件例如_________也可以证明，请写出过程．
【答案】(1)全等；
(2)当选择②③作为已知条件时，不能说明，补充条件，证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定：
（1）利用即可证明；
（2）当选择①③作为已知条件时，可以利用证明；当选择②③作已知条件时，不能说明，据此根据全等三角形的判定定理补充条件证明即可．
【详解】（1）解：当选择①②作为已知条件时，
在和中，
，
∴，
故答案为：全等；；
（2）解；当选择①③作为已知条件时，可以利用证明；当选择②③作为已知条件时，不能说明，补充条件，证明如下：
在和中，
，
∴；
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