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专题10 尺规作图
5年真题
考点1 作已知角的角平分线
1．（2024·广东·中考真题）如图，在△ABC中，．
(1)实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)应用与证明：在（1）的条件下，以点D为圆心，长为半径作．求证：与相切．
考点2 作已知线段的垂直平分线
2．（2020·广东·中考真题）如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点，为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点（作图痕迹如图所示），连接，，则的度数为 ．
考点3 过一点作已知直线的垂线
3．（2023·广东·中考真题）如图，在中，．
(1)实践与操作：用尺规作图法过点作边上的高；(保留作图痕迹，不要求写作法)
(2)应用与计算：在（1）的条件下，，，求的长．
1年模拟
4．（2024·广东惠州·二模）如图，在菱形中，按如下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于 长为半径作弧，两弧交于点 ， ； ②作直线， 与交于点 ， 连接， 若 ， 直线恰好经过点 ，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·广东汕头·二模）如图，在△ABC中，，，为边的中线．以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线射线与分别交于点、点，连接，以下结论正确的有几个（ ）
（1）点是的外心；（2）平分；（3）；（4）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2024·广东东莞·二模）用尺规在一个矩形内作菱形，下列作法错误的是（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·广东梅州·一模）下列尺规作图，能确定的是（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·广东江门·一模）如图，在菱形中，，，取大于的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点E（作图痕迹如图所示），连接，则的长度为 ．
9．（2024·广东佛山·三模）如图，已知三角形，点E是上一点．
(1)尺规作图：在上找到一点F，使得；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，连接，若，且平分，求的度数．
10．（2024·广东佛山·三模）如图，在中，点E在上，连接．
(1)尺规作图：过点B作的平行线，交于点F（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）中，求证：．
11．（2024·广东佛山·一模）如图，在△ABC中，是边上的一点．
(1)请用尺规作图，在内部求作，使交于点（不要求写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，若，求的长．
12．（2024·广东佛山·一模）综合探究
学习几何时，通常是先用几何的眼光去观察，再用代数的方法去验证．网格是研究几何图形的一种工具，也是培养几何直观的一种方式．
(1)如图是正方形网格，每一个小正方形的边长为1，其顶点称为格点．
①如图1，点均在格点上，仅用无刻度的直尺找出线段的中点（不写画法，保留画图痕迹）；
②如图2，点均在格点上，求；
(2)如图3，仅用无刻度的直尺找出的内心的位置，并说明点的位置是如何找到的；
(3)如图4，在△ABC和中，点在边上，且，连接．若，求的长．
13．（2024·广东东莞·三模）如图，矩形．
(1)尺规作图：作的角平分线，交于点E（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，连接，若，，写出长为 ____________．
14．（2024·广东珠海·三模）实践与探究：
在△ABC中，．设，若要证明，小明和小红两个同学分别做了以下尝试：
小明的思路
如图①，延长至点D，使，连接． 利用， 得出， 因为 得出 即 从而证明
小红的思路
如图②，将△ABC沿直线l翻折，使点B与点C重合，l与分别交于点D，E，连接．
(1)请你用尺规作图方法，帮小红画出折痕所在的直线，保留作图痕迹，不需要写做法；
(2)请你帮助小红完成证明过程；
(3)若中，，，的周长为l，请你求出l关于k的函数表达式，并写出l的取值范围．
15．（2024·广东揭阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，，，．
(1)以点为旋转中心，把△ABC逆时针旋转，画出旋转后的图形；
(2)若与关于点位似，且位似比为1:2，直接写出坐标______．
16．（2024·广东汕头·二模）如图，已知△ABC中，，，，，
(1)作的平分线，交于点；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)设的面积为，的面积为，试求的值．
17．（2024·广东汕头·一模）如图，四边形是平行四边形．
(1)作对角线的垂直平分线，分别交，于点E、F；（用尺规作图，不写作法和证明）
(2)分别连接，请判断四边形的形状，并说明理由．
18．（2024·广东梅州·一模）（综合与实践）下图是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，回答下列问题．（要求：作图只用无刻度的直尺）
(1)作，使得；
(2)作出的角平分线，并简要说明点的位置是如何找到的（不用证明）．
19．（2024·广东肇庆·一模）如图，在△ABC中，，．
(1)实践与操作：请用尺规作图的方法在线段上找点，使得；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)应用与计算：在（1）的条件下，求的长．
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专题10 尺规作图
5年真题
考点1 作已知角的角平分线
1．（2024·广东·中考真题）如图，在△ABC中，．
(1)实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)应用与证明：在（1）的条件下，以点D为圆心，长为半径作．求证：与相切．
【答案】(1)见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了尺规作角平分线，角平分线的性质定理，切线的判定等知识．熟练上述知识是解题的关键．
（1）利用尺规作角平分线的方法解答即可；
（2）如图2，作于，由角平分线的性质定理可得，由是半径，，可证与相切．
【详解】（1）解：如图1，即为所作；
（2）证明：如图2，作于，
∵是的平分线，，，
∴，
∵是半径，，
∴与相切．
考点2 作已知线段的垂直平分线
2．（2020·广东·中考真题）如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点，为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点（作图痕迹如图所示），连接，，则的度数为 ．
【答案】45°
【分析】根据题意知虚线为线段AB的垂直平分线，得AE=BE，得；结合°，，可计算的度数．
【详解】
，∵，∴
∴
故答案为：45°．
【点睛】本题考查了菱形的性质，及垂直平分线的性质，熟知以上知识点是解题的关键．
考点3 过一点作已知直线的垂线
3．（2023·广东·中考真题）如图，在中，．
(1)实践与操作：用尺规作图法过点作边上的高；(保留作图痕迹，不要求写作法)
(2)应用与计算：在（1）的条件下，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可，可用圆规以点D为圆心，在上找到两个点到点D的距离相等，再分别以这两个点为圆心，相等且大于这两点距离的一半为半径画弧，再找到一个到这两个点的距离相等的点，连接最后得到的点与点D所得线段所在的直线就是高所在的直线，据此画图即可；
（2）先利用度角的余弦值求出，再由计算即可．
【详解】（1）解：依题意作图如下，则即为所求作的高：
（2）∵，，是边上的高，
∴，即，
∴．
又∵，
∴，
即的长为．
【点睛】本题考查尺规作图—作垂线，度角的余弦值，掌握过直线外一点作垂线的方法和度角的余弦值是解题的关键．
1年模拟
4．（2024·广东惠州·二模）如图，在菱形中，按如下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于 长为半径作弧，两弧交于点 ， ； ②作直线， 与交于点 ， 连接， 若 ， 直线恰好经过点 ，则的长为 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、菱形的性质、勾股定理．由作图可知，直线为线段的垂直平分线，则，，结合菱形的性质，利用勾股定理计算即可．
【详解】解：四边形为菱形，，．
由作图可知，直线为线段的垂直平分线，，，
在中，由勾股定理得，，
∵，，．
在中，由勾股定理得，．
故选：C．
5．（2024·广东汕头·二模）如图，在△ABC中，，，为边的中线．以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线射线与分别交于点、点，连接，以下结论正确的有几个（ ）
（1）点是的外心；（2）平分；（3）；（4）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】由作图可知，点是的内心，故（1）错误．证明，推出，，，可以证明（2）、（3）正确，利用相似三角形的性质证明（4）错误即可．
【详解】解：由作图可知，是的角平分线，，是的中线，
∴是的角平分线∴点是△ABC的内心，故（1）错误；
，，，
在和中，
，
，
，，，即平分，故（2）正确；
，，，，故（3）正确；
，，，
，即，整理得，，
，，故（4）错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的作图及性质，解一元二次方程，熟练掌握相关性质及判定定理是解题的关键．
6．（2024·广东东莞·二模）用尺规在一个矩形内作菱形，下列作法错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】此题考查了矩形的性质，菱形的判定，全等三角形的性质和判定，尺规作图等知识，
根据矩形的性质和菱形的判定定理，结合全等三角形的性质和判定逐项证明即可．
【详解】A．由作图可得，垂直平分线段
∴，，∴，∵，∴
∴，∴，∴，∴四边形是菱形；
B．如图所示，连接，
由作图可得，，，又∵，∴，∴
同理可得，，又∵，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，∴
∴四边形是菱形；
C．由作图可得，，且，∴四边形是菱形；
D．如图所示，
由作图可得，平分，∴，∴是等腰直角三角形，∴
∵的长度和的长度关系不确定，∴四边形不一定是菱形．
故选：D．
7．（2024·广东梅州·一模）下列尺规作图，能确定的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查作图 基本作图，解题的关键是掌握垂直平分线，角平分线，垂线的尺规作图方法．
观察各选项作图痕迹，根据垂直平分线，角平分线，垂线性质逐项判断即可．
【详解】解：A、选项作图痕迹可知，D为中点，不能确定，故本选项不符合题意；
B、选项作图痕迹可知，D在 的垂直平分线上，不能确定，故本选项不符合题意；
C、选项作图痕迹可知，D在的平分线上，故本选项符合题意；
D、选项作图痕迹可知，是边上的高，不能确定，故本选项不符合题意；
故选：C．
8．（2024·广东江门·一模）如图，在菱形中，，，取大于的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点E（作图痕迹如图所示），连接，则的长度为 ．
【答案】
【分析】根据作图依据可知：直线是线段的垂直平分线，得到，由四边形是菱形，，，推出，，利用勾股定理求出，即可求出．
【详解】解：如图，设所作直线交边于点F，
由作图依据可知：直线是线段的垂直平分线，，
四边形是菱形，，，，
，，在中，，
，（负值舍去），，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的作法及性质，勾股定理及含30度角的直角三角形的性质，熟知以上知识点是解题的关键．
9．（2024·广东佛山·三模）如图，已知三角形，点E是上一点．
(1)尺规作图：在上找到一点F，使得；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，连接，若，且平分，求的度数．
【答案】(1)作图见解析过程
(2)
【分析】本题主要考查了作图-基本作图，熟练掌握平行线的性质，角平分线的定义以及相等角的尺规作图是解答本题的关键．
（1）如图所示，作交于，根据同位角相等，两直线平行，即可说明平行，则点即为所求；
（2）根据平行线的性质得到，再由角平分线的定义即可得到答案．
【详解】（1）解：如图1所示，作，交于，点即为所求；
（2）如图2，连接，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
10．（2024·广东佛山·三模）如图，在中，点E在上，连接．
(1)尺规作图：过点B作的平行线，交于点F（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）中，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查尺柜作图-作一个角等于已知角和平行四边形的性质，
（1）以B点为顶点，以为边，作一个角与相等即可；
（2）证明四边形是平行四边形即可．
【详解】（1）如下图所示，
（2）证明：∵四边形是平行四边形，∴，∵，
∴四边形是平行四边形，∴．
11．（2024·广东佛山·一模）如图，在△ABC中，是边上的一点．
(1)请用尺规作图，在内部求作，使交于点（不要求写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)9
【分析】本题考查作图-复杂作图，相似三角形的判定和性质等知识．
（1）根据要求作出图形；
（2）利用相似三角形的性质求解．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：∵，∴，
∴，∵，∴，∴．
12．（2024·广东佛山·一模）综合探究
学习几何时，通常是先用几何的眼光去观察，再用代数的方法去验证．网格是研究几何图形的一种工具，也是培养几何直观的一种方式．
(1)如图是正方形网格，每一个小正方形的边长为1，其顶点称为格点．
①如图1，点均在格点上，仅用无刻度的直尺找出线段的中点（不写画法，保留画图痕迹）；
②如图2，点均在格点上，求；
(2)如图3，仅用无刻度的直尺找出的内心的位置，并说明点的位置是如何找到的；
(3)如图4，在△ABC和中，点在边上，且，连接．若，求的长．
【答案】(1)①见详解②
(2)见详解
(3)
【分析】（1）①根据格点，构造全等三角形，即可求解，②根据格点，构造全等三角形，，由，即可求解，
（2）由图可知，，根据等腰三角形三线合一的性质，找到的中点，是的角平分线，以为临边，找到菱形，根据菱形的性质，得到是的角平分线，，的交点，即为所求，
（3）过点作的垂线，过点作的垂线，交于点，设，在中，应用勾股定理，得到，进而求出、的长，在中，求出的长，由，得到，即可求解，
本题考查了无刻度直尺作图，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键是：作辅助线构造全等三角形．
【详解】（1）解：①如图：
②连接、，
由图可知，，
∴，、、共线，，
∴，
故答案为：，
（2）解：无刻度的直尺作图如下：
点向右个单位，找到点，
点向右个单位，找到点，
点向右个单位，找到点，
连接，，交于点，
点即△ABC的内心．
（3）解：过点作的垂线，过点作的垂线，交于点，连接，
∵，，，设，则，
在中，，∵，
∴，解得：，
∴，则，,，
∵，，∴，∵，
∴，，
在中，，∵，，
∴，即：，∵，，
∴，
∴．
13．（2024·广东东莞·三模）如图，矩形．
(1)尺规作图：作的角平分线，交于点E（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，连接，若，，写出长为 ____________．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用尺规作角平分线的方法求解即可；
（2）首先根据矩形的性质得到，，，然后等量代换得到，求出，最后利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）如图所示；线段即为所求；
（2）∵四边形是矩形，∴，，，
∵平分，∴，∵，∴，∴，
∴，∴，∴．
【点睛】此题考查了尺规作角平分线，矩形的性质，角平分线的概念和平行线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
14．（2024·广东珠海·三模）实践与探究：
在△ABC中，．设，若要证明，小明和小红两个同学分别做了以下尝试：
小明的思路
如图①，延长至点D，使，连接． 利用， 得出， 因为 得出 即 从而证明
小红的思路
如图②，将△ABC沿直线l翻折，使点B与点C重合，l与分别交于点D，E，连接．
(1)请你用尺规作图方法，帮小红画出折痕所在的直线，保留作图痕迹，不需要写做法；
(2)请你帮助小红完成证明过程；
(3)若中，，，的周长为l，请你求出l关于k的函数表达式，并写出l的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)，
【分析】（1）由折叠的性质可知，作的垂直平分线，即为直线；
（2）由题意知，，∠B=∠DCB，由，可得，证明，则，即，可求，由，可得，整理即可；
（3）由题意知，，则，由，可得，即，即，解得，，由，可求，则，则，然后作答即可．
【详解】（1）解：如图②，作的垂直平分线，即为直线；
（2）证明：由题意知，，∠B=∠DCB，∵，
∴，∴，又∵，
∴，
∴，即，解得，，
∵，∴，即；∴；
（3）解：由题意知，，∴，∵，∴，即，即，
解得，，∵，∴，解得，，
∴，∴，
∴，．
【点睛】本题考查了作垂线，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，一次函数的应用等知识．熟练掌握作垂线，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，一次函数的应用是解题的关键．
15．（2024·广东揭阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，，，．
(1)以点为旋转中心，把△ABC逆时针旋转，画出旋转后的图形；
(2)若与关于点位似，且位似比为1:2，直接写出坐标______．
【答案】(1)见解析
(2)或
【分析】本题考查了作图—旋转变换和位似变换．
（1）利用网格特点和旋转的性质画出、的对应点，即可；
（2）根据点的位置，写出点的坐标，再根据位似的性质写出的坐标即可；
【详解】（1）解：如图，即为所求；
；
（2）解：由图可知，点的坐标为，
∴或．
故答案为：或．
16．（2024·广东汕头·二模）如图，已知△ABC中，，，，，
(1)作的平分线，交于点；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)设的面积为，的面积为，试求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了尺规作角平分线、角平分线的性质定理、三角形的面积公式，熟练掌握尺规作角平分线、角平分线的性质定理是解题的关键；
（1）以点为圆心，适当长为半径画弧，得到弧与角的两边的交点，再分别以这两个交点为圆心，大于这两个交点间的距离的一半为半径画弧，得到两弧的交点，连接点和这个交点即可；
（2）根据角平分线的性质定理，得出中，边上的高，再利用三角形的面积公式计算求值即可．
【详解】（1）解：如图，射线即为所求，
（2）解：∵平分，，∴中，边上的高，∵，，
∴，，
∴．
17．（2024·广东汕头·一模）如图，四边形是平行四边形．
(1)作对角线的垂直平分线，分别交，于点E、F；（用尺规作图，不写作法和证明）
(2)分别连接，请判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】(1)作图见详解
(2)四边形为菱形
【分析】（1）理由基本作图作的垂直平分线即可；
（2）先根据线段的垂直平分线的性质得到，再根据平行四边形的性质得到，所以，则可判断，所以，然后利用与互相垂直平分可判断四边形为菱形．
【详解】（1）解：直线即为所求：
（2）证明：四边形为菱形．设交于点G，
理由如下：垂直平分，，四边形为平行四边形，，
，
在和中，
，
，，∴四边形是平行四边形，∵，
四边形为菱形．
【点睛】本题考查了作图基本作图，熟练掌握5种基本作图是解决此类问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，菱形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．
18．（2024·广东梅州·一模）（综合与实践）下图是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，回答下列问题．（要求：作图只用无刻度的直尺）
(1)作，使得；
(2)作出的角平分线，并简要说明点的位置是如何找到的（不用证明）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了余弦的定义，根据等腰三角形的性质作已知角的角平分线等，根据网格作图知识．
（1）根据三角函数的定义，构造，其中，，即可得到；
（2）在上取点E，使得，连接，取的中点C，就是的平分线．
【详解】（1）解：如图1，即为求作的角：
；
证明：在中，，∴；
（2）解：如图2所示，在上取点E，使得，
连接，取的中点C，就是的平分线．
证明：∵，C为线段的中点，∴就是的平分线．
19．（2024·广东肇庆·一模）如图，在△ABC中，，．
(1)实践与操作：请用尺规作图的方法在线段上找点，使得；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)应用与计算：在（1）的条件下，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，作一个角等于已知角；
（1）作，交于点，即可求解;
（2）根据相似三角形的性质列出比例式，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，作，交于点，
根据作图可得，又∵，∴；
（2）解：∵
∴，∵，．∴，解得：
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