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专题11 相似三角形
5年真题
考点1 相似三角形的性质
1．（2023·广东·中考真题）边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为 ．
考点2 相似三角形综合运用
2．（2021·广东·中考真题）如图，边长为1的正方形中，点E为的中点．连接，将沿折叠得到交于点G，求的长．
1年模拟
3．（2024·广东东莞·三模）如图，和都是等腰三角形，且，点B，C，D在同一条直线上，和的面积分别为16和25，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．18 B．20 C． D．22
4．（2024·广东佛山·二模）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆”．度方知圆，感悟数学之美．如图，以面积为1的正方形的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的面积为（ ）
A．9 B．6 C．4 D．3
5．（2024·广东中山·二模）如图，在小提琴的设计中，蕴含着数学知识，，各部分长度的比满足，这体现了数学中的（ ）
A．黄金分割数 B．平移 C．平均数 D．轴对称
6．（2024·广东梅州·一模）如图所示，在中，为中点．为上一点，，和相交于点，则（ ）
A． B．2 C．3 D．4
7．（2024·广东·三模）如图，在正方形中，，点E，F在边上，G，H分别是，的中点，和交于点M，若，则图中阴影部分的面积为 ．
8．（2024·广东·二模）如图，美术素描课堂上有很多关于黄金分割比的元素，比如脸部素描就需要考虑黄金分割比的问题，按照如下要求作出的人脸图像比较美观：（1）眉头、眼头、鼻翼在一条竖直直线上；（2）眉头和眉峰的水平距离（图中直线①和直线②的距离）和眼长大致相等（设此长度为a），眉头和眉尾的水平距离（图中直线①和直线③的距离）设为b，a与b的比例为黄金分割比；（3）眉尾、眼梢、鼻翼在同一直线上．某同学按照以上要求进行素描，已知他的素描作品中眼梢到眉尾的距离为，则眼梢到鼻翼的距离为 ．（，结果保留两位小数）
9．（2024·广东·二模）如图，在矩形中，，，为边上一点，将沿翻折，若点刚好落在边上的点处，则 ．
10．（2024·广东佛山·三模）如图，平行于的直线把分成面积相等的两部分，则 ．
11．（2024·广东惠州·二模）如图，在菱形中，对角线与相交于点O，过点D作于点F，交于点E．已知，，则的长为 ．
12．（2024·广东东莞·三模）如图，在等腰中，．点D是边上的动点，连接，将绕点A旋转至，使点C与点B重合，连结交于点F．作交于点G，连结，交于点H．
(1)求证：；
(2)求证：．
13．（2024·广东东莞·一模）如图1是一张折叠型方桌子，图是其侧面结构示意图，支架与交于点，测得，．
(1)若，求的长；
(2)将桌子放平后，两条桌腿叉开角度，求距离地面的高．结果保留整数参考数值，
14．（2024·广东肇庆·二模）如图，在矩形中，，点在边上，，垂足为．
(1)求证：；
(2)若，求线段的长．
15．（2024·广东肇庆·二模）如图，已知在矩形中，，点为边上一点（不与点、点重合），将矩形沿折叠，使点落在点处，交于点．
(1)写出图1中一个与相似的三角形；
(2)如图2，当与的交点恰好是的中点时，求阴影部分的面积；
(3)如图3，当点的对应点落在边的垂直平分线上时，求的长．
16．（2024·广东惠州·二模）如图，四边形是某学校的一块种植实验基地，其中是水果园，是蔬菜园．已知．
(1)求证：；
(2)若蔬菜园的面积为80，求水果园的面积．
17．（2024·广东惠州·一模）综合与实践
主题：某数学实践小组以标准对数视力表为例，探索视力表中的数学知识
操作：步骤一：用硬纸板复制视力表中视力为0.1，0.2所对应的“E”，并依次编号为①，②，垂直放在水平桌面上，开口的底部与桌面的接触点为，；
步骤二：如1图所示，将②号“E”沿水平桌面向右移动，直至从观测点O看去，对应顶点，与点O在一条直线上为止．
结论：这时我们说，在处用①号“E”测得的视力与在处用②号“E”测得的视力相同．
探究：（1）①如1图，与之间存在什么关系？请说明理由；
②由标准视力表中的，，可计算出时，___________mm；
运用：（2）如果将视力表中的两个“E”放在如2图所示的平面直角坐标系中，两个“E”字是位似图形，位似中心为点O，①号“E”与②号“E”的相似比为，点P与点Q为一组对应点．若点Q的坐标为，则点P的坐标为___________．
18．（2024·广东河源·一模）如图，在中，点D、E分别在、上，连接，若，，，求的长．
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专题11 相似三角形
5年真题
考点1 相似三角形的性质
1．（2023·广东·中考真题）边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】15
【分析】根据正方形的性质及相似三角形的性质可进行求解．
【详解】解：如图，
由题意可知，，
∴，∵，∴，
∴，∴，∵，∴，∴，
∴，∴，
∴；
故答案为15．
【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
考点2 相似三角形综合运用
2．（2021·广东·中考真题）如图，边长为1的正方形中，点E为的中点．连接，将沿折叠得到交于点G，求的长．
【答案】
【分析】根据题意，延长交于H连，通过证明、得到，再由得到，进而即可求得的长．
【详解】解：延长交于H连，
∵由沿折叠得到，∴，，
∵E为中点，正方形边长为1，∴，∴，
∵四边形是正方形，∴，
在和中，，
∴，∴，又∵，
∴，∵，∴，∴，
∴，∴，∴，∵，∴，
∴，∴，∵，，，∴，
∴，∴．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定及性质、三角形相似的判定及性质以及正方形的性质，熟练掌握相关几何知识是解决本题的关键．
1年模拟
3．（2024·广东东莞·三模）如图，和都是等腰三角形，且，点B，C，D在同一条直线上，和的面积分别为16和25，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．18 B．20 C． D．22
【答案】B
【分析】根据题意可判定，，从而得到的比，再由边上的高和边上的高相等，得到的比，即可计算的面积．
【详解】和是等腰三角形，且
，，
又，，，，
△ABC边上的高和边上的高相等
，．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，相似三角形的面积比等于对应边的比的平方，平行线之间的距离处处相等，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
4．（2024·广东佛山·二模）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆”．度方知圆，感悟数学之美．如图，以面积为1的正方形的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的面积为（ ）
A．9 B．6 C．4 D．3
【答案】C
【分析】本题考查的是位似图形的性质，由位似图形的性质可得正方形的面积正方形的面积，再进一步可得答案．
【详解】解：∵正方形的面积为1，，正方形与正方形是位似图形，
∴正方形的面积正方形的面积；∴四边形的面积为；
故选C．
5．（2024·广东中山·二模）如图，在小提琴的设计中，蕴含着数学知识，，各部分长度的比满足，这体现了数学中的（ ）
A．黄金分割数 B．平移 C．平均数 D．轴对称
【答案】A
【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义可得点为的黄金分割点，即可求解，掌握黄金分割的定义是解题的关键．
【详解】解：∵，各部分长度的比满足 ，
∴点为的黄金分割点，
故选：．
6．（2024·广东梅州·一模）如图所示，在中，为中点．为上一点，，和相交于点，则（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是熟练运用平行线分线段成比例的性质，构造平行线进行求解．过点D作，可得，根据相似三角形的性质可得，从而证明，即可求解．
【详解】过点D作，交于M，
则
∴
∵为中点，∴，∴，∴，∵
∴，∴，∵，∴
∴，∴，∵
∴
故选：C．
7．（2024·广东·三模）如图，在正方形中，，点E，F在边上，G，H分别是，的中点，和交于点M，若，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．连接，过点M作于点N，延长交于点Q，证明四边形是矩形，根据矩形的性质证，根据相似三角形的性质，结合三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：如图，连接，过点M作于点N，延长交于点Q，
∵在正方形中，点G，H分别是，的中点，∴四边形是矩形，
∴，，∴，
∴，∵，∴，，
∴，
∴，，
∴．
8．（2024·广东·二模）如图，美术素描课堂上有很多关于黄金分割比的元素，比如脸部素描就需要考虑黄金分割比的问题，按照如下要求作出的人脸图像比较美观：（1）眉头、眼头、鼻翼在一条竖直直线上；（2）眉头和眉峰的水平距离（图中直线①和直线②的距离）和眼长大致相等（设此长度为a），眉头和眉尾的水平距离（图中直线①和直线③的距离）设为b，a与b的比例为黄金分割比；（3）眉尾、眼梢、鼻翼在同一直线上．某同学按照以上要求进行素描，已知他的素描作品中眼梢到眉尾的距离为，则眼梢到鼻翼的距离为 ．（，结果保留两位小数）
【答案】3.24
【分析】本题考查的是黄金分割的含义，平行线分线段成比例的含义，先画出图形，可得，再建立方程求解即可．
【详解】解：如图，
由题意可得：，，，
∴，而，，∴，
∴，
经检验符合题意；∴眼梢到鼻翼的距离约为，
故答案为
9．（2024·广东·二模）如图，在矩形中，，，为边上一点，将沿翻折，若点刚好落在边上的点处，则 ．
【答案】/0.6
【分析】本题考查了折叠变换，矩形的性质，勾股定理和相似三角形的判定与性质，由四边形是矩形得，，，由翻折性质可知，，，再通过定理求得，然后证明，根据相似三角形的性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
由翻折性质可知，，，，
在中，由勾股定理得，
∵，，∴，∴，
∴，∴，
故答案为：．
10．（2024·广东佛山·三模）如图，平行于的直线把分成面积相等的两部分，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，由平行得，由相似三角形的性质得，即可求解；掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
【详解】解：设，
，
，
，，，
故答案：．
11．（2024·广东惠州·二模）如图，在菱形中，对角线与相交于点O，过点D作于点F，交于点E．已知，，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质和相似三角形的判定是解题的关键．根据菱形的性质得出，，，，即可求出，再证，即可得出答案．
【详解】解：∵四边形为菱形，
∴，，，，∴，
∵，∴，∴，∴，
又∵，∴，
∴，即，∵，，∴，
∴，∴，∴，∴，
故答案为：．
12．（2024·广东东莞·三模）如图，在等腰中，．点D是边上的动点，连接，将绕点A旋转至，使点C与点B重合，连结交于点F．作交于点G，连结，交于点H．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定、平行线的判定：
（1）根据两直线平行，内错角相等，得到，再根据等边对等角得到，最后根据旋转的性质得到结果；
（2）根据等角对等边得到，一组对边平行且相等可得到四边形是平行四边形，即，两直线平行，同位角相等，可得到两个三角形三个角对应相等，则两个三角形相似；
掌握旋转的性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，∴，∵，∴，
由旋转的性质得到：，∴；
（2）证明：∵，∴，
由旋转的性质得到：，∴，∵，
∴四边形是平行四边形，∴，∴，，
∴．
13．（2024·广东东莞·一模）如图1是一张折叠型方桌子，图是其侧面结构示意图，支架与交于点，测得，．
(1)若，求的长；
(2)将桌子放平后，两条桌腿叉开角度，求距离地面的高．结果保留整数参考数值，
【答案】(1)AB的长为cm
(2)AB距离地面的高为48cm
【分析】此题考查了相似三角形的判定及性质、解直角三角形的应用，
（1）先证明，再由相似三角形的性质求出的长即可；
（2）过点作于点，于点，在中，，在中，，，进而作答即可．
【详解】（1）解：，，与是等腰三角形，，，，，，即的长为；
（2）过点作于点，于点，如图，
∵，∴E、O、F三点共线，
，与是等腰三角形，，
在中，，
在中，，，
距离地面的高为．
14．（2024·广东肇庆·二模）如图，在矩形中，，点在边上，，垂足为．
(1)求证：；
(2)若，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质；
（1）根据矩形的性质得出，根据，即可求解；
（2）根据勾股定理求得，进而根据相似三角形的性质，即可求解．
【详解】（1）证明：四边形为矩形，，
，，，
（2）解：在中，
，即
解得
15．（2024·广东肇庆·二模）如图，已知在矩形中，，点为边上一点（不与点、点重合），将矩形沿折叠，使点落在点处，交于点．
(1)写出图1中一个与相似的三角形；
(2)如图2，当与的交点恰好是的中点时，求阴影部分的面积；
(3)如图3，当点的对应点落在边的垂直平分线上时，求的长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查相似三角形综合应用，矩形的折叠问题；
（1）由，，可得，故，从而；
（2）由点是的中点，得，，故，证明，可得，，根据三角形面积公式得阴影部分的面积是；
（3）设的中点为，的中点为，直线为矩形的对称轴，当在上时，求出，，设，则，证明，可得，即可解得
【详解】（1）解：四边形是矩形，，
将矩形沿折叠，使点落在点处，交于点，
，，，
，，
故答案为：或（写出一个即可）；
（2）解：点是的中点，，，
，
，，，
，即，，
，
阴影部分的面积是；
（3）解：设的中点为，的中点为，直线为矩形的对称轴，当在上时，如图所示：
，，，，
，
设，则，，，
，，
，即，
解得；
16．（2024·广东惠州·二模）如图，四边形是某学校的一块种植实验基地，其中是水果园，是蔬菜园．已知．
(1)求证：；
(2)若蔬菜园的面积为80，求水果园的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键
（1）由，可得，由，，即，可证．
（2）由（1）知，则，即，计算求解即可．
【详解】（1）证明：∵， ∴，
∵，∴，，∴，
∴．
（2）解：由（1）知，
∴，即，解得，，
答：水果园△ABC的面积为．
17．（2024·广东惠州·一模）综合与实践
主题：某数学实践小组以标准对数视力表为例，探索视力表中的数学知识
操作：步骤一：用硬纸板复制视力表中视力为0.1，0.2所对应的“E”，并依次编号为①，②，垂直放在水平桌面上，开口的底部与桌面的接触点为，；
步骤二：如1图所示，将②号“E”沿水平桌面向右移动，直至从观测点O看去，对应顶点，与点O在一条直线上为止．
结论：这时我们说，在处用①号“E”测得的视力与在处用②号“E”测得的视力相同．
探究：（1）①如1图，与之间存在什么关系？请说明理由；
②由标准视力表中的，，可计算出时，___________mm；
运用：（2）如果将视力表中的两个“E”放在如2图所示的平面直角坐标系中，两个“E”字是位似图形，位似中心为点O，①号“E”与②号“E”的相似比为，点P与点Q为一组对应点．若点Q的坐标为，则点P的坐标为___________．
【答案】（1）①相等，见解析；②43.2；（2）
【分析】本题考查了相似三角形的的应用，位似的性质．
（1）①根据题意证明，从而得到，即可得到；②把，，，代入即可求解．
（2）根据位似比为，代入数据计算即可．
【详解】解：（1）①．
由题意得，
∴，∴，，；
②，，，．．
故答案为：．
（2）①号“E”与②号“E”的相似比为，点P与点Q为一组对应点．若点Q的坐标为，
点P的坐标为，即，
故答案为：．
18．（2024·广东河源·一模）如图，在中，点D、E分别在、上，连接，若，，，求的长．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据变形得出，易证，再根据相似三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：，∴，，∴，
∵，∴，
∴，即，∴．
故答案为：．
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