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专题12 解直角三角形及应用
5年真题
考点1 三角函数在几何计算中的应用
1．（2021·广东·中考真题）如图，在中，，作的垂直平分线交于点D，延长至点E，使．
（1）若，求的周长；
（2）若，求的值．
【答案】（1）1；（2）
【分析】(1)作出BC的垂直平分线，连接BD，由垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等得到DB=DC，由此即可求出△ABD的周长；
(2)设，，进而求出，在Rt△ABD中使用勾股定理求得，由此即可求出的值．
【详解】解：(1)如图，连接，设垂直平分线交于点F，
∵为垂直平分线，∴，
∵，∴．
(2)设，∴，
又∵，∴，
在Rt△ABD中，．
∴．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角函数的定义及勾股定理等知识，熟练掌握垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等是解决本题的关键．
考点2 解直角三角形的实际应用
2．（2024·广东·中考真题）中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形充电站的平面示意图，矩形是其中一个停车位．经测量，，，，，是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定．
根据以上信息回答下列问题：（结果精确到，参考数据）
(1)求的长；
(2)该充电站有20个停车位，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了矩形的性质，解直角三角形的实际应用：
（1）先由矩形的性质得到，再解得到，接着解直角三角形得到，进而求出，据此可得答案；
（2）解得到，解得到，再根据有20个停车位计算出的长即可得到答案．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
在中，，，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴
（2）解：在中，，
在中，，
∵该充电站有20个停车位，
∴，
∵四边形是矩形，
∴．
3．（2023·广东·中考真题）2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站，如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态，当两臂，两臂夹角时，求A，B两点间的距离．(结果精确到，参考数据，，)
【答案】
【分析】连接，作作于D，由等腰三角形“三线合一”性质可知，，，在中利用求出，继而求出即可．
【详解】解：连接，作于D，
∵，，
∴是边边上的中线，也是的角平分线，
∴，，
在中，，，
∴，
∴
∴
答：A，B两点间的距离为．
【点睛】本题考查等腰三角的性质，解直角三角形的应用等知识，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
1年模拟
4．（2024·广东佛山·三模）如图， 网格中的点A、B、C、D都在小正方形顶点上，连接、交于点P，则的正切值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了正切函数，勾股定理，正方形的性质等，连接、，，由平行线的性质得，由勾股定理求出、的长，由正切函数求出的值；掌握正切函数的定义，作出辅助线使得，构建直角三角形求解是解题的关键．
【详解】解：如图，连接、，
由正方形的性质得：，
，，，，，
， ；
故选：A．
5．（2024·广东佛山·三模）下表是小亮填写的实践活动报告的部分内容：设树顶到地面的高度米，根据以上条件，可以列出求树高的方程为（ ）
题目 测量树顶到地面的距离
测量目标示意图
相关数据 米，，
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，先表示出，，再根据即可列等式，问题随之得解．
【详解】在中，，即，
在中，，即，
∵米，，，
∴， 即：，
则有：，
故选：B．
6．（2024·广东河源·二模）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形面积为136，小正方形面积为16，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查正方形性质，锐角三角函数，勾股定理．根据题意先求得大正方形边长的平方为136，再求得小正方形边长为4，再利用三角函数正切值等于该角的对边与邻边的比值即可得到本题答案．
【详解】解：∵大正方形面积为136，小正方形面积为16，
∴大正方形边长的平方为136，小正方形边长为4，
∴设一个直角三角形短直角边为x，则长直角边为，
∴在一个直角三角形中应用勾股定理：，
解得或（舍去）
∴长直角长为10，短直角边长为6，
∴，
故选：A．
7．（2024·广东·三模）人民公园是当地人民喜欢的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们的喜爱．如图所示，秋千静止时，秋千链子与支柱重合，秋千链子，将座板推至点处，此时秋千链子与支柱夹角为，松开后座板摆动至点处，此时秋千链子与支柱夹角为，则座板从点处摆动至点处的水平距离为 ．（结果保留根号）
【答案】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．分别过点，作的垂线，垂足分别为，，利用三角函数分别求得的长度，即可求得答案．
【详解】解：如图，分别过点，作的垂线，垂足分别为，，
由题意，得，，，
∴，，
∴座板从处摆动至处的水平距离为．
故答案为：．
8．（2024·广东东莞·二模）某校“数学”小组的同学想要测量校园内文化长廊（如图1）的最高点到地面的高度．如图2是其测量示意图，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，垂直平分，垂足为F，垂直平分，与交于点G．经测量，可知，，，，则文化长廊的最高点到地面的高度约为 m．（结果保留一位小数．参考数据：，，，）
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，过点作于点，证明四边形为矩形，得出，，求出，得到，求出，再解直角三角形得出的长，再由计算即可得出答案．
【详解】解：过点作于点，如解图所示．
∵垂直平分，垂足为，垂直平分，与交于点．，
∴，，
∴四边形为矩形，
∴，．
∴．
∵
∴．
∴是等腰直角三角形
∴．
∵，∴．
在中，，∴．
∴．
即文化长廊的最高点离地面的高度约为．
故答案为．
9．（2024·广东河源·二模）如图，均为等边三角形，点O、A、B、C在同一条直线上，，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，解直角三角形，过点B作于H，先求出，再由等边三角形的性质得到，解直角三角形得到，则，证明，则，可得；同理可得，则．
【详解】解：如图所示，过点B作于H，
∵，∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴；
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴；
同理可得，
∴，
故答案为：．
10．（2024·广东惠州·三模）在学习《解直角三角形》一章时，小明同学对互为倍数的两个锐角正切三角比产生了浓厚的兴趣，进行了一些研究．
(1)初步尝试：我们知道： ， 发现结论： ； （选填“”或“”）
(2)实践探究： 如图1， 在中，，，，求的值：小明想构造包含 的直角三角形： 延长至点，使得，连接，所以得到，即转化为求的正切值．请按小明的思路求解 ．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了三角函数，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形外角性质，正确作出辅助线是解题的关键．
（）根据特殊角的三角函数值即可求解；
（）利用勾股定理求出，延长至，使得，连接，如图所示，可得，，进而得，，根据即可求解．
【详解】（1）解：，
又∵，
∴，
即有，
故答案为：，；
（2）解：在中，，，，
∴，
延长至，使得，连接，如图所示，
∴，，
∴，，
∴．
11．（2024·广东汕头·三模）甲、乙两人去登山，甲从小山西边山脚处出发，已知西面山坡的坡角为．同时，乙从东边山脚处出发，东面山坡的坡度，坡面米．求甲、乙两人出发时的水平距离．
【答案】米
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用 坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
过点A作，设，则，利用勾股定理可得、，再根据坡度角计算出，最后根据线段的和差即可解得．
【详解】解：如图:过点A作，
由题意得：，
设，则，
，解得：，
，，
，
，解得：，
米．
答：甲、乙两人出发时的水平距离米．
12．（2024·广东佛山·三模）如图，为测量佛山电视塔的高度，某兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼顶D处测得塔尖处的仰角为，塔底B处的俯角为，若建筑物的高为68米，求电视塔的高度．（结果精确到1米， ）
【答案】238米
【分析】此题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，过点D作于点E，根据题意可得四边形是矩形，根据矩形的性质得到，再根据锐角三角函数可得的长，进而可得的值．
【详解】解：如图，过点D作于点E，
根据题意可得四边形是矩形，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
即电视塔的高度约为238米．
13．（2024·广东佛山·三模）综合与实践
泉州开元寺的东西石塔是泉州古城的标志性建筑之一，是中国古代石构建筑瑰宝．在五一假期，某“综合与实践”小组相约到开元寺开展测量石塔高度的实践活动，他们选择测量东塔镇国塔的高度，并制订了测量方案，在镇国塔底部所在的平地前，选取两个不同测点，分别测量了该塔顶端的伸角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）．
课题 测量镇国塔的高度
测量工具 测量角度的仪器，皮尺等
测量示意图 说明：线段GH表示镇国塔，测量角度的仪器的高度，测点A，B与点H在同一条水平直线上，点A，B之间的距离可以直接测得，且点G，H，A，B，C，D都在同一竖直平面内．点C，D，E在同一条直线上，点E在GH上
测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值
的度数
的度数
点A，B之间的距离
任务一：两次测量点A，B之间的距离的平均值是________m．
任务二：根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出镇国塔的高度．（参考数据：，，，，，）
【答案】任务一：15；任务二：镇国塔的高度．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题等知识，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
任务一：由两次测量结果直接求平均值即可；
任务二：设，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：任务一：，
两次测量、之间距离的平均值是，
故答案为：15；
任务二：由题意得：，，，
设，则，
在中，，
，
在中，，
，
，
解得：，
，
，
答：镇国塔的高度．
14．（2024·广东佛山·二模）综合与实践
素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3是它的侧面示意图，点为墙壁上的固定点，摇臂绕点旋转过程中长度保持不变，遮阳棚可自由伸缩，棚面始终保持平整．米．
素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角的正切值：
时刻（时） 12 13 14 15
角的正切值 5 2.5 1.25 1
【问题解决】
(1)如图2，当时，这天12时在点位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离；
(2)如图3，旋转摇臂，使得点离墙壁距离为1.2米，为使绿萝在这天12时时都不被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）过作于，则四边形是正方形，得出，解直角三角形得出，再由计算即可得解；
（2）过作于，过作于，则四边形为矩形，得出，求出，解直角三角形得出，再由计算即可得解．
【详解】（1）解：如图1，过作于，
，
则，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
在中，，即，
，
，
答：绿萝摆放位置与墙壁的距离为．
（2）解：过作于，过作于，
，
则，
四边形为矩形，
，
，
，
由表格可知，在12时时，角的正切值逐渐减小，即逐渐较小，
当14时，点最靠近墙角，此时DE的长度就是绿萝摆放位置与墙壁的最大距离，
在中，，
即，
，
，
答：绿萝摆放位置与墙壁的最大距离为．
15．（2024·广东东莞·三模）如图1，是一电动门，当它水平下落时，可以抽象成如图2所示的矩形ABCD，其中，，此时它与出入口OM等宽，与地面的距离；当它抬起时，变为平行四边形，如图3所示，此时，与水平方向的夹角为．
(1)求图3中点到地面的距离；
(2)在电动门抬起的过程中，求点C所经过的路径长；
(3)图4中，一辆宽，高的汽车从该入口进入时，汽车需要与BC保持的安全距离，此时，汽车能否安全通过﹖若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．
（参考数据：，，所有结果精确到）
【答案】(1)点到地面的距离约为
(2)点C所经过的路径约为
(3)汽车能安全通过，理由见解析
【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题．
（1）过点作于点，交于点，根据解直角三角形、锐角三角函数进行解答即可．
（2）根据弧长公式解答即可；
（3）根据解直角三角形、锐角三角函数进行解答即可．
【详解】（1）解：如图1，过点作于点N，交AB于点E，
依题意得：，，，
在中，
答：点到地面的距离约为；
（2）解：点是点C绕点D旋转得到的，
点C经过的路径长为．
答：点C所经过的路径约为．
（3）汽车能安全通过．
解：在OM上取，，作于点F，交AB于点H，交于点G，
即汽车与BC保持安全距离，汽车的宽，
，
依题意得：，，四边形AOFH是矩形，
，，
在中，
汽车高度为，，
汽车能安全通过
16．（2024·广东东莞·三模）【综合与实践】
要测量学校旗杆的高度，三个数学研究小组设计了不同的方案，测量方案与数据如表：
课题 测量学校旗杆的高度
测量工具 测量角度的仪器，皮尺，小镜子，直角三角形纸板等
测量小组 第一小组 第二小组 第三小组
测量方案示意图
说明 利用镜子反射测量旗杆的高度，点O为镜子，眼睛B看到镜子中的旗杆顶端C． 先测量观测台的高，再在观测点E处测得旗杆顶端C点的仰角，旗杆底端D点的俯角．（其中于F） 利用直角三角形纸板的直角边保持水平，并且边与点M在同一直线上，直角三角板的斜边与旗杆顶端C在同一直线上．
测量数据 ，． ，，． ，，．
(1)根据测量数据，无法计算学校旗杆的高度的小组有第________小组和第_______小组；
(2)请选择其中一个可计算的方案及运用其数据求学校旗杆的高度．
【答案】(1)一；三
(2)选择方案二，旗杆的高度为
【分析】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，相似三角形的应用，解决本题的关键是熟练掌握仰角俯角定义．
（1）根据相似三角形的性质和解直角三角形的知识，可作出判断；
（2）对方案二，先求出，进而求出，即可求出．
【详解】（1）解：第一，第三小组的数据无法算出大楼高度，
理由：第一小组是利用进行计算的，即利用求，但只测量了，，没有测量长度，所以第一小组的数据无法算出大楼高度，
第三小组利用进行计算的，即利用求，再加，但只测量了，，．没有测量线段或的长度，所以第三小组的数据无法算出大楼高度，
故答案为：一，三；
（2）解：选择第二小组的方案，
在中，，，，
∴，
在中，，，
，
∴，
答：学校旗杆的高度为．
17．（2024·广东阳江·二模）阳江市北山石塔，如图1，建于南宋宝佑年间（1253-1258年），是阁楼花岗岩结构，为广东省内唯一无灰砌石塔．某数学兴趣小组用无人机测量北山石塔的高度，测量方案为：如图2，先将无人机垂直上升至距离石塔底端水平面的点，测得北山石塔顶端的俯角为；再将无人机沿北山石塔的方向水平飞行到达点，测得北山石塔底端的俯角为，求北山石塔的高度．（结果精确到；参考数据：，，）
【答案】北山石塔的高度约为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题．延长交于点，根据题意可得：，，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：延长交于点，
由题意得：，，，
在中，，
，
，
在中，，
，，
北山石塔的高度约为．
18．（2024·广东河源·一模）无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中点处，测得点距地面上点米，同时测得点距楼顶点米，点A处的俯角为，楼顶点处的俯角为．求大楼的高度（结果保留根号）．
【答案】米
【分析】本题主要考查矩形的判定及性质和锐角三角函数，过点作于点，过点作于点，证明四边形是矩形，得到，利用锐角三角函数得到，的数值，即可求得答案．
【详解】如图所示：
过点作于点，过点作于点．
∵，
∴四边形是矩形．
∴．
∵米，米，，，
∴米，米 ．
∴米．
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专题12 解直角三角形及应用
5年真题
考点1 三角函数在几何计算中的应用
1．（2021·广东·中考真题）如图，在中，，作的垂直平分线交于点D，延长至点E，使．
（1）若，求的周长；
（2）若，求的值．
考点2 解直角三角形的实际应用
2．（2024·广东·中考真题）中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形充电站的平面示意图，矩形是其中一个停车位．经测量，，，，，是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定．
根据以上信息回答下列问题：（结果精确到，参考数据）
(1)求的长；
(2)该充电站有20个停车位，求的长．
3．（2023·广东·中考真题）2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站，如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态，当两臂，两臂夹角时，求A，B两点间的距离．(结果精确到，参考数据，，)
1年模拟
4．（2024·广东佛山·三模）如图， 网格中的点A、B、C、D都在小正方形顶点上，连接、交于点P，则的正切值是（ ）
A．2 B． C． D．
5．（2024·广东佛山·三模）下表是小亮填写的实践活动报告的部分内容：设树顶到地面的高度米，根据以上条件，可以列出求树高的方程为（ ）
题目 测量树顶到地面的距离
测量目标示意图
相关数据 米，，
A． B． C． D．
6．（2024·广东河源·二模）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形面积为136，小正方形面积为16，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·广东·三模）人民公园是当地人民喜欢的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们的喜爱．如图所示，秋千静止时，秋千链子与支柱重合，秋千链子，将座板推至点处，此时秋千链子与支柱夹角为，松开后座板摆动至点处，此时秋千链子与支柱夹角为，则座板从点处摆动至点处的水平距离为 ．（结果保留根号）
8．（2024·广东东莞·二模）某校“数学”小组的同学想要测量校园内文化长廊（如图1）的最高点到地面的高度．如图2是其测量示意图，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，垂直平分，垂足为F，垂直平分，与交于点G．经测量，可知，，，，则文化长廊的最高点到地面的高度约为 m．（结果保留一位小数．参考数据：，，，）
9．（2024·广东河源·二模）如图，均为等边三角形，点O、A、B、C在同一条直线上，，则的值为 ．
10．（2024·广东惠州·三模）在学习《解直角三角形》一章时，小明同学对互为倍数的两个锐角正切三角比产生了浓厚的兴趣，进行了一些研究．
(1)初步尝试：我们知道： ， 发现结论： ；（选填“”或“”）
(2)实践探究： 如图1， 在中，，，，求的值：小明想构造包含 的直角三角形： 延长至点，使得，连接，所以得到，即转化为求的正切值．请按小明的思路求解 ．
11．（2024·广东汕头·三模）甲、乙两人去登山，甲从小山西边山脚处出发，已知西面山坡的坡角为．同时，乙从东边山脚处出发，东面山坡的坡度，坡面米．求甲、乙两人出发时的水平距离．
12．（2024·广东佛山·三模）如图，为测量佛山电视塔的高度，某兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼顶D处测得塔尖处的仰角为，塔底B处的俯角为，若建筑物的高为68米，求电视塔的高度．（结果精确到1米， ）
13．（2024·广东佛山·三模）综合与实践
泉州开元寺的东西石塔是泉州古城的标志性建筑之一，是中国古代石构建筑瑰宝．在五一假期，某“综合与实践”小组相约到开元寺开展测量石塔高度的实践活动，他们选择测量东塔镇国塔的高度，并制订了测量方案，在镇国塔底部所在的平地前，选取两个不同测点，分别测量了该塔顶端的伸角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）．
课题 测量镇国塔的高度
测量工具 测量角度的仪器，皮尺等
测量示意图 说明：线段GH表示镇国塔，测量角度的仪器的高度，测点A，B与点H在同一条水平直线上，点A，B之间的距离可以直接测得，且点G，H，A，B，C，D都在同一竖直平面内．点C，D，E在同一条直线上，点E在GH上
测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值
的度数
的度数
点A，B之间的距离
任务一：两次测量点A，B之间的距离的平均值是________m．
任务二：根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出镇国塔的高度．（参考数据：，，，，，）
14．（2024·广东佛山·二模）综合与实践
素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3是它的侧面示意图，点为墙壁上的固定点，摇臂绕点旋转过程中长度保持不变，遮阳棚可自由伸缩，棚面始终保持平整．米．
素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角的正切值：
时刻（时） 12 13 14 15
角的正切值 5 2.5 1.25 1
【问题解决】
(1)如图2，当时，这天12时在点位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离；
(2)如图3，旋转摇臂，使得点离墙壁距离为1.2米，为使绿萝在这天12时时都不被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是多少？
15．（2024·广东东莞·三模）如图1，是一电动门，当它水平下落时，可以抽象成如图2所示的矩形ABCD，其中，，此时它与出入口OM等宽，与地面的距离；当它抬起时，变为平行四边形，如图3所示，此时，与水平方向的夹角为．
(1)求图3中点到地面的距离；
(2)在电动门抬起的过程中，求点C所经过的路径长；
(3)图4中，一辆宽，高的汽车从该入口进入时，汽车需要与BC保持的安全距离，此时，汽车能否安全通过﹖若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．
（参考数据：，，所有结果精确到）
16．（2024·广东东莞·三模）【综合与实践】
要测量学校旗杆的高度，三个数学研究小组设计了不同的方案，测量方案与数据如表：
课题 测量学校旗杆的高度
测量工具 测量角度的仪器，皮尺，小镜子，直角三角形纸板等
测量小组 第一小组 第二小组 第三小组
测量方案示意图
说明 利用镜子反射测量旗杆的高度，点O为镜子，眼睛B看到镜子中的旗杆顶端C． 先测量观测台的高，再在观测点E处测得旗杆顶端C点的仰角，旗杆底端D点的俯角．（其中于F） 利用直角三角形纸板的直角边保持水平，并且边与点M在同一直线上，直角三角板的斜边与旗杆顶端C在同一直线上．
测量数据 ，． ，，． ，，．
(1)根据测量数据，无法计算学校旗杆的高度的小组有第________小组和第_______小组；
(2)请选择其中一个可计算的方案及运用其数据求学校旗杆的高度．
17．（2024·广东阳江·二模）阳江市北山石塔，如图1，建于南宋宝佑年间（1253-1258年），是阁楼花岗岩结构，为广东省内唯一无灰砌石塔．某数学兴趣小组用无人机测量北山石塔的高度，测量方案为：如图2，先将无人机垂直上升至距离石塔底端水平面的点，测得北山石塔顶端的俯角为；再将无人机沿北山石塔的方向水平飞行到达点，测得北山石塔底端的俯角为，求北山石塔的高度．（结果精确到；参考数据：，，）
18．（2024·广东河源·一模）无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中点处，测得点距地面上点米，同时测得点距楼顶点米，点A处的俯角为，楼顶点处的俯角为．求大楼的高度（结果保留根号）．
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