中小学教育资源及组卷应用平台
专题14 点与圆、直线与圆的位置关系
5年真题
考点1 切线的判定
1．（2020·广东·中考真题）如图1，在四边形中，，，是的直径，平分．
（1）求证：直线与相切；
（2）如图2，记（1）中的切点为，为优弧上一点，，.求的值．
1年模拟
2．（2024·广东河源·二模）如图，是的切线，切点分别为点A、B，点C为上一点，，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·广东汕头·一模）如图，为的直径，是的切线，点A是切点，连接交于点D，连接，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·广东清远·三模）如图，是的切线，A，B是切点，C是上一点，若，则 ．
5．（2024·广东汕头·二模）如图，已知中，，，内切圆半径为，则图中阴影部分面积是 ．
6．（2024·广东·三模）如图，在菱形中，是边上的高，以为直径的分别交，于点F，G，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)若，，求．
7．（2024·广东·二模）如图，P是外一点，，是的两条切线，切点分别为A，B，C为劣弧上一点，过点C作的切线，分别交，于点D，E．
(1)若的周长为12，求的长；
(2)若，求的度数．
8．（2024·广东惠州·三模）如图，是的内接三角形，是的直径，，，弦于，点是延长线上一点，且，连接．
(1)填空： °；
(2)判断与的位置关系，并说明理由；
(3)取的中点，连接，求图中阴影部分的面积．
9．（2024·广东惠州·二模）如图1，已知在中，，，，点O为的中点，分别与，相切于点D，E，点P是上的动点，过点P作的切线交，于点M，N．
(1)求点B到线段的距离；
(2)如图2，当点P是的中点时，求的长；
(3)与的乘积是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
10．（2024·广东佛山·三模）综合与运用：如图，为的切线，为切点，直线交于点，，过点作的垂线，垂足为点，交于点，延长与交于点，连接，．
(1)求证：直线为的切线；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
11．（2024·广东东莞·三模）如图，是的两条直径，且，点E是上一动点（不与点B，D重合），连接并延长交的延长线于点F，点P在上，且，连接分别交于点M，N，连接，设的半径为．
(1)求证：是的切线；
(2)当时，求证：；
(3)在点E的移动过程中，判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
12．（2024·广东东莞·一模）如图1，在边长为6的正方形中，E是边的动点，以E为圆心，为半径作圆，与相切于点F，连接并延长交于点G，连接
(1)求证：；
(2)当与相切时，求的长；
(3)如图2，AE与相交于点H，连接并延长交于点K，当满足时，求证：是的切线．
13．（2024·广东东莞·一模）如图，是的外接圆，点在边上，的平分线交于点，连接、，过点作的平行线与的延长线相交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)当，时，求和的长．
14．（2024·广东东莞·一模）已知：如图，是的直径，，是上两点，过点的切线交的延长线于点E，，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
15．（2024·广东中山·三模）如图，是的直径，且，点是上的一个动点，是的一条弦，且，点在的延长线上．
(1)若，求证：是的切线；
(2)若点为半圆的中点，连接，求的长．
16．（2024·广东珠海·三模）如图，四边形是的内接正方形， E是外一点，平分，连接并延长交于点F，连接交于点G．
(1)求证：为的切线；
(2)求证：．
17．（2024·广东韶关·二模）如图，为的直径，C是圆上一点，D是的中点，于点F，延长至点Q，连接，，
(1)求证：是的切线；
(2)若点P是上的一点，连接．
①求的值；
②若为的角平分线，求的长．
18．（2024·广东江门·二模）如图，是的切线，切点为B，点A在⊙O上，且，连接并延长交于点C，交直线于点D，连接．
(1)证明：是的切线；
(2)证明：；
(3)若，，求线段的长．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题14 点与圆、直线与圆的位置关系
5年真题
考点1 切线的判定
1．（2020·广东·中考真题）如图1，在四边形中，，，是的直径，平分．
（1）求证：直线与相切；
（2）如图2，记（1）中的切点为，为优弧上一点，，.求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）如图（见解析），先根据平行线的性质得出，再根据角平分线的性质可得，然后根据圆的切线的判定即可得证；
（2）如图（见解析），先根据圆周角定理可得，，再根据圆的切线的判定、切线长定理可得，然后根据相似三角形的判定与性质可得，设，从而可得，又根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，最后根据正切三角函数的定义即可得．
【详解】（1）如图，过点作于点
∵，，∴，即
又∵平分，，∴
即OE是的半径，∴直线与相切；
（2）如图，连接，延长交延长线于点
由圆周角定理得：，
是的直径，，，AD、BC都是的切线
由切线长定理得：
∵，∴
在和中，
∴，∴
设，则
，
在和中，
，，即，解得
在中，，则．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定与性质、圆周角定理、切线长定理、相似三角形的判定与性质、正切三角函数等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．
1年模拟
2．（2024·广东河源·二模）如图，是的切线，切点分别为点A、B，点C为上一点，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，四边形内角和定理，先由切线的性质得到，再由四边形内角和为360度求出，则由圆周角定理即可得到．
【详解】解：∵是的切线，∴，∵，
∴，∴，
故选：C．
3．（2024·广东汕头·一模）如图，为的直径，是的切线，点A是切点，连接交于点D，连接，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了切线的性质和圆周角定理．先根据切线的性质得到，再利用互余计算出，然后根据圆周角定理得到的度数．
【详解】解：∵为的直径，是的切线，点A是切点，
∴，∴，∵，∴，∵，∴
∴．
故选：D．
4．（2024·广东清远·三模）如图，是的切线，A，B是切点，C是上一点，若，则 ．
【答案】/70度
【分析】题目主要考查切线的性质，圆周角定理，连接，根据题意得出，再由多边形内角和得出，最后利用圆周角定理即可求解，熟练掌握这些基础知识点是解题关键．
【详解】解：连接，
∵是的切线，∴，∴，
∵，∴，∴．
故答案为： ．
5．（2024·广东汕头·二模）如图，已知中，，，内切圆半径为，则图中阴影部分面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，扇形面积的计算，根据内切圆的性质可得图中阴影部分面积和是的面积扇形的面积，进而即可求解．解决本题的关键是掌握三角形的内切圆与内心．
【详解】解：设是的内切圆与，，的切点分别为，，，令，与分别交于，，
则、分别是、的角平分线，∴，，
∵，∴，∴，
∴，
由圆的对称性及角平分线的对称性可知，图中阴影部分面积和是的面积扇形的面积，
∴，
故答案为：．
6．（2024·广东·三模）如图，在菱形中，是边上的高，以为直径的分别交，于点F，G，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)若，，求．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）首先根据菱形的性质得到，求出，然后由直径得到是的切线；
（2）连接，首先得出，然后由得到，然后结合菱形的性质证明即可；
（3）连接交于点H，首先根据菱形的性质得到，，，然后利用勾股定理求出，然后利用代数求出，得到，进而等量代换求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，∴．∵，∴．
又∵为的直径，∴是的切线；
（2）证明：如图1，连接，
∵，是的直径，∴，，
∴，即．又∵，
∴．∵四边形是菱形，∴，则，
∴，；
（3）解：如图2，连接交于点H，
∵四边形是菱形，，∴，，，
在中，∵，∴，解得，∴．
∵，∴，解得．
在中，．由（2）知，，∴，
∵，∴，
∴．
【点睛】此题考查了圆与四边形综合题，圆周角定理，菱形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
7．（2024·广东·二模）如图，P是外一点，，是的两条切线，切点分别为A，B，C为劣弧上一点，过点C作的切线，分别交，于点D，E．
(1)若的周长为12，求的长；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)6
(2)
【分析】本题考查的是切线的性质，切线长定理的含义，四边形的内角和定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．
（1）由切线长定理可得答案；
（2）如图，连接，，，利用切线的性质与切线长定理的含义，再结合四边形的内角和定理可得答案．
【详解】（1）解：由切线长定理可知，，，．
则的周长．
．
（2）如图，连接，，，
则，．
．
在四边形中，，，
即，
．
8．（2024·广东惠州·三模）如图，是的内接三角形，是的直径，，，弦于，点是延长线上一点，且，连接．
(1)填空： °；
(2)判断与的位置关系，并说明理由；
(3)取的中点，连接，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)30
(2)与相切，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据垂径定理得到，根据圆周角定理得到结论；
（2）连接，根据垂径定理得到，，根据全等三角形的性质得到，根据切线的判定定理得到结论；
（3）根据圆周角定理得到，根据勾股定理得到，连接，根据三角形中位线定理得到，，求得，得到，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）解：弦于，是的直径，，，
故答案为：30；
（2）解：与相切，理由如下：
连接，如图所示：
弦于，是的直径，，，，
，，，，，
是的半径，与相切；
（3）解：是的直径，，，，，
，
连接，如图所示：
点是的中点，，，是的中位线，
，，，，，
图中阴影部分的面积的面积扇形的面积的面积．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，切线的判定，垂径定理，扇形的面积的计算，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
9．（2024·广东惠州·二模）如图1，已知在中，，，，点O为的中点，分别与，相切于点D，E，点P是上的动点，过点P作的切线交，于点M，N．
(1)求点B到线段的距离；
(2)如图2，当点P是的中点时，求的长；
(3)与的乘积是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】过点B作于点F，在中求得，即为点B到线段的距离；
连接，，连接交于点，可证得，有，结合题意可判定点P与点重合，可证得，得到，有，利用面积法得，进一步证得，得，求得和即可求得；
连接，求得，，由可证得，得到，同理可证，则有，证得，则，得到即可求得答案．
【详解】（1）解：过点B作于点F，如图，
在中，，∵，∴，
∴点B到线段的距离为．
（2）连接，，连接交于点，如图，
∴，，∵，，∴，
∴，∴，又∵点P是的中点，∴，
∴点P与点重合，∵，点O为的中点，
∴，，
又∵为的切线，∴，∴，
∴，∴，∴，∴，
在中，由面积法得∶
，
∵，，∴，
∴，即，∴，
∴，∴，
∴；
（3）定值，理出如下，
连接，如图，
∵，，∴，∴，
∴，
∵分别与，相切于点D，E，∴，
在和中
∴，∴，
同理可证，则，
∴，∴，
∴，∴，
∴，
则．
【点睛】本题主要考查解直角三角形、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质和平行线的判定和性质，解题的关键是作辅助线，并找到对应的边角关系．
10．（2024·广东佛山·三模）综合与运用：如图，为的切线，为切点，直线交于点，，过点作的垂线，垂足为点，交于点，延长与交于点，连接，．
(1)求证：直线为的切线；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接，由垂直于，利用垂径定理得到D为的中点，即垂直平分，可得出，再由，得，由为圆的切线，得到垂直于，利用全等三角形的对应角相等及垂直的定义得到垂直于，即可得出结论；
（2）先证明，得出，通过等量代换即可得证．
（3）根据，求出．设，表示出，在中，由勾股定理求得x后即可求得半径，从而求得直径．
【详解】（1）证明：如图，连接，
是的切线，．于D，．
又，．,，为的半径，
∴直线为的切线．
（2），．，
，，即．又，；
（3），．设
．
在中，由勾股定理，得．
解得，（不合题意，舍去）．．是的直径，
．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，相似及全等三角形的判定与性质以及解直角三角形的相关计算，勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．
11．（2024·广东东莞·三模）如图，是的两条直径，且，点E是上一动点（不与点B，D重合），连接并延长交的延长线于点F，点P在上，且，连接分别交于点M，N，连接，设的半径为．
(1)求证：是的切线；
(2)当时，求证：；
(3)在点E的移动过程中，判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)是定值，为200
【分析】（1）连接，由直径所对圆周角是直角可得，则，由，可知，根据，可得，进而可证得，即可证明结论；
（2）由圆周角定理可知，进而可得，，再证明，结合含的直角三角形即可求解；
（3）证明，得到即可．
【详解】（1）证明：连接，
∵是的直径，∴，则，∵，
∴，又∵，∴，
∴，∴，∴是的切线；
（2）解：∵，∴，∵，则，∴，
∵，∴，则，又∵，∴，
∴；
（3）是定值，为200，理由如下：
∵，∴，∵为直径，∴，∵，
∴，∴，∴，
∴是定值，为200．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，切线的判定定理，勾股定理，含的直角三角形以及相似三角形的性质等知识，证明是解答本题的关键．
12．（2024·广东东莞·一模）如图1，在边长为6的正方形中，E是边的动点，以E为圆心，为半径作圆，与相切于点F，连接并延长交于点G，连接
(1)求证：；
(2)当与相切时，求的长；
(3)如图2，AE与相交于点H，连接并延长交于点K，当满足时，求证：是的切线．
【答案】(1)见解析
(2)BG＝2
(3)见解析
【分析】（1）利用圆的切性的性质定理，正方形的性质和全等三角形的判定定理得到，则，再利用全等三角形的判定定理解答即可；
（2）利用（1）的结论得到，设，则，，利用勾股定理列出方程解答即可得出结论；
（3）利用（1）的结论得到，利用正方形的性质和同圆的半径相等的性质得到，利用全等三角形的判定与性质和直角三角形的性质得到，再利用圆的切线的判定定理解答即可得出结论．
【详解】（1）证明：与相切于点，，四边形为正方形，
，．
在和中，
，
，，．
在和中，
，
；
（2）解：当与相切时，如图，
与相切，为半径作圆，．由（1）知：，
，设，则，，，
，，．；
（3）证明：由（1）知：，，，
．
，，，，，
，．，，．
在和中，
，
，，，，
，，为的半径，是的切线．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定与性质定理，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握圆的有关性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
13．（2024·广东东莞·一模）如图，是的外接圆，点在边上，的平分线交于点，连接、，过点作的平行线与的延长线相交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)当，时，求和的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)，
【分析】（1）先得出，进而得出，得出即可得出结论；
（2）先说明，再推出，即可得出结论；
（3）先求出，再推出，利用勾股定理求出，最后由得出比例式求解即可得出的长，如图，过点作于点，在中，根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，∵是⊙O的直径，∴，∵平分，
∴，∵，∴，∵，
∴，∴，∵是半径，∴是的切线；
（2）证明：∵，∴，∵，∴，
∵四边形是圆内接四边形，∴，∵，
∴，∴；
（3）解：∵是的直径，，，∴，
在中，，∵平分，∴，
∴，∴，∴，∵，∴，
在中，，∴，∵，∴，
即，∴，
如图，过点作于点，∴，∵，，
∴，∴，∴，
在中，，
∴，
在中，，∴，
∴的长为，的长为．
【点睛】本题是圆的综合题，考查直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，圆内接四边形的性质，切线的判定，圆心角、圆周角、弦、弧之间的关系，勾股定理，相似三角形的判定和性质，同角的补角相等，平行线的性质等知识点．判断出、掌握圆的基本性质是解题的关键．
14．（2024·广东东莞·一模）已知：如图，是的直径，，是上两点，过点的切线交的延长线于点E，，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据切线的性质，已知条件可得，进而根据平行线的性质可得，根据圆周角定理可得，等量代换即可得证；
（2）连接，根据同弧所对的圆周角相等，可得，进而根据正切值以及已知条件可得的长，勾股定理即可求得，进而即可求得圆的半径．
【详解】（1）证明：连接，如图，
是的切线，，，，，
，，．
（2）解：连接，如图所示：
是的直径，，，，
，，∵，∴，∴，
∴⊙O的半径为．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，正切的定义，同弧所对的圆周角相等，勾股定理，理解题意添加辅助线是解题的关键．
15．（2024·广东中山·三模）如图，是的直径，且，点是上的一个动点，是的一条弦，且，点在的延长线上．
(1)若，求证：是的切线；
(2)若点为半圆的中点，连接，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了圆周角定理、解直角三角形、含角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）连接，由圆周角定理得出，求出得到，解直角三角形得出，求出即可得证；
（2）连接，则，由含角的直角三角形的性质得出，证明，推出，再由勾股定理计算即可得解．
【详解】（1）证明：连接，
，
为的直径，，，，
，，，
，，为的半径，
是的切线；
（2）解：连接，则，
，
在中，，，为半圆的中点，
，
在中，．
16．（2024·广东珠海·三模）如图，四边形是的内接正方形， E是外一点，平分，连接并延长交于点F，连接交于点G．
(1)求证：为的切线；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由四边形是的内接正方形，可得，由平分，可得，进而结论得证；
（2）证明，由题意知，是四边形的外接圆，则，证明，进而结论得证．
【详解】（1）证明：∵四边形是的内接正方形，∴，
∵平分，∴，即，又∵是半径，
∴为的切线；
（2）证明：∵正方形，∴，，
∴，即，
由题意知，是四边形的外接圆，∴，
∵，，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆内接四边形，角平分线，正方形的性质，切线的判定，全等三角形的判定与性质．熟练掌握圆内接四边形，角平分线，正方形的性质，切线的判定，全等三角形的判定与性质是解题的关键．
17．（2024·广东韶关·二模）如图，为的直径，C是圆上一点，D是的中点，于点F，延长至点Q，连接，，
(1)求证：是的切线；
(2)若点P是上的一点，连接．
①求的值；
②若为的角平分线，求的长．
【答案】(1)详见解析
(2)①；②
【分析】（1）根据，证明，再根据圆周角定理得出，即可证明，即可证明；
（2）①连接，证明，设的半径为，利用相似三角形的性质得，，由勾股定理求得，得到，即可得到；
②过点作交于点，证明是等腰直角三角形，解直角三角形得到，由得到，解得，由即可求解．
本题考查圆的综合应用，主要考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理，圆周角定理及推论，解直角三角形等知识，熟练掌握以上知识并灵活运用是解题的关键．
【详解】（1）证明：如图，连接，
．，，，，为的直径，
，，是的切线；
（2）解：①如图，连接，
是的中点，，，为的直径，，
，，．，
设的半径为，则，解得，
经检验，是方程的解，，，
，，．
②如图，过点作交于点，
，，是的角平分线，，
，，，，
，．
18．（2024·广东江门·二模）如图，是的切线，切点为B，点A在⊙O上，且，连接并延长交于点C，交直线于点D，连接．
(1)证明：是的切线；
(2)证明：；
(3)若，，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接，判定，从而得到，即可得证；
（2）连接，根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角推出判定的条件，判定相似后根据相似三角形的性质即可推出结论；
（3）先解直角三角形，求出，再根据锐角三角函数的定义和已知条件求出的长，再根据勾股定理即可求出．
【详解】（1）证明：如图1，连接，
∵是的切线，∴，在和中，
，
∴，∴，∴，又∵点A在上，
∴是的切线；
（2）证明：如图2，连接，,
∴∴∵是的切线，∴即
∵是的直径，∴∴，∴
∴，又∵，∴，∴，∴；
（3）解：在中，，设，，∴，∵，
∴，∴，
在中，，∴，
在中，．
【点睛】本题主要考查圆的切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识点，深入理解题意解决问题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
