浙江省杭州四中吴山2023-2024学年高一上学期期末数学试题
1．（2024高一上·拱墅期末）若集合，，，则集合（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高一上·拱墅期末）“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2024高一上·拱墅期末）若，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高一上·拱墅期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高一上·拱墅期末）已知函数是上的减函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高一上·拱墅期末）函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024高一上·拱墅期末）已知函数有一条对称轴为，当取最小值时，关于x的方程在区间上恰有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高一上·拱墅期末）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高一上·拱墅期末）若，给出下列命题中，错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．（2024高一上·拱墅期末）古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示．下列结果等于黄金分割率的值的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024高一上·拱墅期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．该图象对应的函数解析式为
B．函数的图象关于直线对称
C．函数的图象关于点对称
D．函数在区间上单调递减
12．（2024高一上·拱墅期末）养正高中某同学研究函数，得到如下结论，其中正确的是（ ）
A．函数的定义域为，且是奇函数
B．对于任意的，都有
C．对于任意的，都有
D．对于函数定义域内的任意两个不同的实数，总满足
13．（2024高一上·拱墅期末）扇形的半径为2，圆心角为，则此扇形的面积为 ．
14．（2024高一上·拱墅期末）函数的零点，则的值为 ．
15．（2024高一上·拱墅期末）已知是第二象限角，且，则 ．
16．（2024高一上·拱墅期末）已知，若方程有四个根，且，则的取值范围为 ．
17．（2024高一上·拱墅期末）计算：
（1）；
（2）．
18．（2024高一上·拱墅期末）已知集合，.
（1）当时，求集合；
（2）若，求实数的取值范围.
19．（2024高一上·拱墅期末）某工厂要设计一个零部件（如图阴影部分所示），要求从圆形铁片上进行裁剪，该零部件由三个全等的矩形和一个等边三角形构成，设矩形的两边长分别为（单位：），该零部件的面积是．
（1）求关于的函数解析式，并求出定义域；
（2）设用到的圆形铁片的面积为（单位：），求的最小值．
20．（2024高一上·拱墅期末）已知函数．
（1）若过定点，求的单调递减区间；
（2）若值域为，求a的取值范围．
21．（2024高一上·拱墅期末）已知函数．
（1）求函数在R上的单调递增区间；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象向上平移1个单位长度，得到函数的图象，若实数满足，求的最小值．
22．（2024高一上·拱墅期末）设，函数．
（1）若函数为奇函数，求a的值；
（2）若，函数在区间上的值域是（），求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】并集及其运算；交集及其运算；交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：因为，，，
所以，则.
故答案为：C.
【分析】由题意，根据集合的交集、并集的定义计算即可.
2．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：不等式，解得，故由推不出，即充分性不成立；
但可以推得，即必要性成立，故“”是“”的必要不充分条件.
故答案为：A.
【分析】解不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
3．【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：因为在定义域上单调递减，所以，
即，在定义域上单调递减，所以，即，所以.
故答案为：B.
【分析】由题意，根据指数函数、对数函数的性质判断即可.
4．【答案】A
【知识点】三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：由，
则
.
故答案为：A.
【分析】由题意，利用诱导公式直接计算即可.
5．【答案】D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：函数是上的减函数，
则，解得，即实数的取值范围为.
故答案为：D.
【分析】根据函数 是上的减函数 ，列不等式组，求解即可.
6．【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：易知函数，其定义域为，定义域关于原点对称，且满足，
则函数为奇函数，排除B，、D；
因为，又，故排除A.
故答案为：C.
【分析】先求函数的定义域，根据函数的奇偶性定义判断函数的奇偶性排除BD；再由特殊值判断即可.
7．【答案】D
【知识点】正弦函数的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：因为函数的对称轴为，所以，
解得，又因为，所以的最小值为，即，
，则，令，
则有，，函数图象如图所示：
由于x的方程在区间上恰有两个不相等的实根，
根据的图像有实数a的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】根据函数的一条对称轴为，求得的值，求得函数的解析式为，再利用换元法令，画出函数，的函数图象，数形结合求解即可.
8．【答案】B
【知识点】一元二次不等式及其解法；基本不等式
【解析】【解答】解：因为、满足，化简可得，即，
则，
当且仅当，即，时等号成立，
因为正实数、满足，且恒成立，则
所以，解得，即实数的取值范围是.
故答案为：B．
【分析】根据题意可得，利用基本不等式求出的最小值，解不等式，求解即可.
9．【答案】B,C
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：A、因为，，所以，故A正确；
B、因为，，则，所以，故B错误；
C、若，，，，满足，，但，故C错误；
D、因为，，所以，故D正确.
故答案为：BC.
【分析】由题意，根据不等式的性质判断A、B、D，利用特殊值判断C即可.
10．【答案】A,D
【知识点】两角和与差的正弦公式；两角和与差的正切公式；二倍角的正弦公式
【解析】【解答】解：A、由，故A正确；
B、由，故B错误；
C、由，故C错误；
D、由，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】由题意，根据两角和的正弦公式，两角和差的余弦公式，正切函数的两角和公式，正弦二倍角公式逐项化简求解即可.
11．【答案】A,B
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：A、由图象，易知，，即，则，
因为，所以，又因为，所以，
所以，故A正确；
B、当时，，
所以函数的图象关于直线对称，故B正确；
C、当时，，
故函数的图象不关于点对称，故C错误；
D、当时，则，因为在上不单调，
所以函数在上不单调递减，故D错误．
故答案为：AB.
【分析】根据函数的图象求得函数的解析式，再代入验证对称轴、对称中心、单调区间，求解判断即可.
12．【答案】A,B,C
【知识点】函数的奇偶性；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A、由，解得，故函数的定义域为，关于原点对称，
又，所以是奇函数，故A正确；
B、任意的，，故B正确；
C、因为函数，所以，，则，故C正确；
D、取，则，则，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】根据真数大于0求定义域，利用奇偶性定义判断奇偶性即可判断A；根据对数运算化简即可判断BC；取特殊值即可判断D.
13．【答案】
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：，即扇形的面积为.
故答案为：.
【分析】由题意，根据扇形的面积公式计算即可.
14．【答案】
【知识点】函数单调性的性质；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：令，即和有交点，
因为函数和均为单调递增函数，所以也单调递增，
但，
所以由零点存在定理可知函数的唯一零点，
所以，即.
故答案为：.
【分析】由题意，根据函数的单调性以及零点存在定理，求得，由此求解即可.
15．【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为是第二象限角，且，
所以，且，
则.
故答案为：.
【分析】由题意，根据同角三角函数的基本关系求得，再根据两角和的正弦公式、二倍角的正弦公式化简求解即可.
16．【答案】
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为方程有四个根，
所以函数的图象与函数的图象有四个交点，如图所示：
当时，，且，故，
当时，，且，所以，解得，
因为函数的图象与函数的图象有四个交点，
由图可得，，故，所以，
令，，在上单调递增，
所以，，
故 的取值范围是.
故答案为：.
【分析】同一坐标系中，作出函数和函数的图象，将方程根的问题，转化为图象交点问题，得到与，与的关系，求解即可.
17．【答案】（1）解：
（2）解：
.
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）根据对数以及指数幂的运算法则化简求解即可；
（2）利用诱导公式化简求解即可.
（1）原式
.
（2）原式
.
18．【答案】（1）解：当时，集合，，
故；
（2）解：，则，
当时，，即，满足，故；
当时，，即时，则，解得，于是得，
综上所述：，所以实数的取值范围是.
【知识点】集合间关系的判断；交集及其运算
【解析】【分析】（1）将代入，求得集合B，再根据两个集合的交集的定义求出即可；
（2）根据，分时和时两种情况，分别求得的范围，再取并集，即可得实数m的取值范围.
（1）当时，集合，，
故.
（2），则，
当时，，即，满足，故；
当时，，即时，则，解得，
于是得，
综上所述：，所以实数的取值范围是.
19．【答案】（1）解：依题意可得零件的面积，
故，由，即，解得．
故，；
（2）解：作交于，交于，连接，如图所示：
故，又，设圆的半径为，
故
，
当，即时等号成立．
故当时，面积最小值，
即的最小值为．
【知识点】函数的定义域及其求法；函数解析式的求解及常用方法；基本不等式
【解析】【分析】（1）用表示阴影部分面积，由此可得y关于x的函数解析式，结合题意求定义域即可；
（2）用表示圆的半径的平方，再利用基本不等式求其最小值，由此可得圆的面积最小值即可.
（1）依题意可得零件的面积，
故，由，即，解得．
故，.
（2）如图所示：作交于，交于，连接．
故，又，设圆的半径为，
故
，
当，即时等号成立．
故当时，面积最小值，
即的最小值为．
20．【答案】（1）解：由函数过定点，
可得，可得，解得，所以，
令，解得或，即函数的定义域为，
设，则函数在上为单调递减函数，
又由函数在定义域上为单调递增函数，
结合复合函数的单调性的判定方法，可得函数在上单调递减，
所以函数的递减区间为；
（2）解：由函数的值域为，
即为函数值域的子集，即，
当时，可得，此时函数的值域为，符合题意；
当时，则满足，解得，所以；
当时，此时的开口向下，显然不满足题意，
综上可得，实数的取值范围为.
【知识点】函数的值域；复合函数的单调性；对数函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）由函数过定点，求得，得到，
再令，求得函数的定义域为，利用二次函数与对数函数的性质，结合复合函数的单调性的判定法求解即可；
（2）根据题意，转化为，结合二次函数的性质，列出不等式求解即可.
（1）解：由函数过定点，
可得，可得，解得，所以，
令，解得或，即函数的定义域为，
设，则函数在上为单调递减函数，
又由函数在定义域上为单调递增函数，
结合复合函数的单调性的判定方法，可得函数在上单调递减，
所以函数的递减区间为.
（2）解：由函数的值域为，
即为函数值域的子集，即，
当时，可得，此时函数的值域为，符合题意；
当时，则满足，解得，所以；
当时，此时的开口向下，显然不满足题意，
综上可得，实数的取值范围为.
21．【答案】（1）解：由函数，
令，解得，
所以函数的单调递增区间为；
（2）解：将函数的图形向左平移个单位长度，
得到，
再将得到的函数图象向上平移1个单位长度，可得，
由实数满足，则为函数的最值，
不妨设，
则，
解得，
则，
当或时，此时.
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用正余弦二倍角公式，结合辅助角公式化简函数得到，再结合三角函数的图象与性质求解即可；
（2）根据三角函数的图象变换，求得，根据题意，得到为函数的最值，结合三角函数的性质求解即可.
（1）解：由函数，
令，解得，
所以函数的单调递增区间为.
（2）解：将函数的图形向左平移个单位长度，
得到，
再将得到的函数图象向上平移1个单位长度，可得，
由实数满足，则为函数的最值，
不妨设，
则，
解得，
则，
当或时，此时.
22．【答案】（1）解：因为函数，且函数为奇函数，
所以，
即，
化简可得，解得，
当时，，定义域为，关于原点对称，满足题意；
当时，，定义域为，关于原点对称，满足题意.
所以函数为奇函数时，或；
（2）解：，
因为，所以，故，而，所以，
当时，在上为增函数，
当时，，
即是方程的两个不同的实根，
令，则在上有两个不等的实根，
故，即，解得；
当时，，函数定义域为，
时，，
若，则，而，所以，矛盾，
故，
因为在上单调递减，
故，即，
两式相减可得，因为，所以，即，
所以，即.
综上，当时，，当时，，
即的取值范围为.
【知识点】函数的奇偶性；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【分析】（1）根据函数为奇函数，利用奇函数的定义求解即可；
（2）分讨论，分别求出函数的定义域，单调性，时利用单调递增建立方程，根据方程根的分布列出不等式即可求出的范围，当时，可分析所在区间，据此得出关于的等式，化简求解即可.
（1）由函数，且函数为奇函数
所以，
即，
化简可得，解得，
当时，，定义域为，关于原点对称，满足题意；
当时，，定义域为，关于原点对称，满足题意.
所以函数为奇函数时，或.
（2），
，，故，而，，
当时，在上为增函数，
当时，，
即是方程的两个不同的实根，
令，则在上有两个不等的实根，
故，即，解得；
当时，，函数定义域为，
时，，
若，则，而，所以，矛盾，
故，
因为在上单调递减，
故，即，
两式相减可得，因为，所以，即，
所以，即.
综上，当时，，当时，，
即的取值范围为.
1 / 1浙江省杭州四中吴山2023-2024学年高一上学期期末数学试题
1．（2024高一上·拱墅期末）若集合，，，则集合（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】并集及其运算；交集及其运算；交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：因为，，，
所以，则.
故答案为：C.
【分析】由题意，根据集合的交集、并集的定义计算即可.
2．（2024高一上·拱墅期末）“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：不等式，解得，故由推不出，即充分性不成立；
但可以推得，即必要性成立，故“”是“”的必要不充分条件.
故答案为：A.
【分析】解不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
3．（2024高一上·拱墅期末）若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：因为在定义域上单调递减，所以，
即，在定义域上单调递减，所以，即，所以.
故答案为：B.
【分析】由题意，根据指数函数、对数函数的性质判断即可.
4．（2024高一上·拱墅期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：由，
则
.
故答案为：A.
【分析】由题意，利用诱导公式直接计算即可.
5．（2024高一上·拱墅期末）已知函数是上的减函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：函数是上的减函数，
则，解得，即实数的取值范围为.
故答案为：D.
【分析】根据函数 是上的减函数 ，列不等式组，求解即可.
6．（2024高一上·拱墅期末）函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：易知函数，其定义域为，定义域关于原点对称，且满足，
则函数为奇函数，排除B，、D；
因为，又，故排除A.
故答案为：C.
【分析】先求函数的定义域，根据函数的奇偶性定义判断函数的奇偶性排除BD；再由特殊值判断即可.
7．（2024高一上·拱墅期末）已知函数有一条对称轴为，当取最小值时，关于x的方程在区间上恰有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正弦函数的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：因为函数的对称轴为，所以，
解得，又因为，所以的最小值为，即，
，则，令，
则有，，函数图象如图所示：
由于x的方程在区间上恰有两个不相等的实根，
根据的图像有实数a的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】根据函数的一条对称轴为，求得的值，求得函数的解析式为，再利用换元法令，画出函数，的函数图象，数形结合求解即可.
8．（2024高一上·拱墅期末）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次不等式及其解法；基本不等式
【解析】【解答】解：因为、满足，化简可得，即，
则，
当且仅当，即，时等号成立，
因为正实数、满足，且恒成立，则
所以，解得，即实数的取值范围是.
故答案为：B．
【分析】根据题意可得，利用基本不等式求出的最小值，解不等式，求解即可.
9．（2024高一上·拱墅期末）若，给出下列命题中，错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B,C
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：A、因为，，所以，故A正确；
B、因为，，则，所以，故B错误；
C、若，，，，满足，，但，故C错误；
D、因为，，所以，故D正确.
故答案为：BC.
【分析】由题意，根据不等式的性质判断A、B、D，利用特殊值判断C即可.
10．（2024高一上·拱墅期末）古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示．下列结果等于黄金分割率的值的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,D
【知识点】两角和与差的正弦公式；两角和与差的正切公式；二倍角的正弦公式
【解析】【解答】解：A、由，故A正确；
B、由，故B错误；
C、由，故C错误；
D、由，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】由题意，根据两角和的正弦公式，两角和差的余弦公式，正切函数的两角和公式，正弦二倍角公式逐项化简求解即可.
11．（2024高一上·拱墅期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．该图象对应的函数解析式为
B．函数的图象关于直线对称
C．函数的图象关于点对称
D．函数在区间上单调递减
【答案】A,B
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：A、由图象，易知，，即，则，
因为，所以，又因为，所以，
所以，故A正确；
B、当时，，
所以函数的图象关于直线对称，故B正确；
C、当时，，
故函数的图象不关于点对称，故C错误；
D、当时，则，因为在上不单调，
所以函数在上不单调递减，故D错误．
故答案为：AB.
【分析】根据函数的图象求得函数的解析式，再代入验证对称轴、对称中心、单调区间，求解判断即可.
12．（2024高一上·拱墅期末）养正高中某同学研究函数，得到如下结论，其中正确的是（ ）
A．函数的定义域为，且是奇函数
B．对于任意的，都有
C．对于任意的，都有
D．对于函数定义域内的任意两个不同的实数，总满足
【答案】A,B,C
【知识点】函数的奇偶性；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A、由，解得，故函数的定义域为，关于原点对称，
又，所以是奇函数，故A正确；
B、任意的，，故B正确；
C、因为函数，所以，，则，故C正确；
D、取，则，则，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】根据真数大于0求定义域，利用奇偶性定义判断奇偶性即可判断A；根据对数运算化简即可判断BC；取特殊值即可判断D.
13．（2024高一上·拱墅期末）扇形的半径为2，圆心角为，则此扇形的面积为 ．
【答案】
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：，即扇形的面积为.
故答案为：.
【分析】由题意，根据扇形的面积公式计算即可.
14．（2024高一上·拱墅期末）函数的零点，则的值为 ．
【答案】
【知识点】函数单调性的性质；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：令，即和有交点，
因为函数和均为单调递增函数，所以也单调递增，
但，
所以由零点存在定理可知函数的唯一零点，
所以，即.
故答案为：.
【分析】由题意，根据函数的单调性以及零点存在定理，求得，由此求解即可.
15．（2024高一上·拱墅期末）已知是第二象限角，且，则 ．
【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为是第二象限角，且，
所以，且，
则.
故答案为：.
【分析】由题意，根据同角三角函数的基本关系求得，再根据两角和的正弦公式、二倍角的正弦公式化简求解即可.
16．（2024高一上·拱墅期末）已知，若方程有四个根，且，则的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为方程有四个根，
所以函数的图象与函数的图象有四个交点，如图所示：
当时，，且，故，
当时，，且，所以，解得，
因为函数的图象与函数的图象有四个交点，
由图可得，，故，所以，
令，，在上单调递增，
所以，，
故 的取值范围是.
故答案为：.
【分析】同一坐标系中，作出函数和函数的图象，将方程根的问题，转化为图象交点问题，得到与，与的关系，求解即可.
17．（2024高一上·拱墅期末）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
（2）解：
.
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）根据对数以及指数幂的运算法则化简求解即可；
（2）利用诱导公式化简求解即可.
（1）原式
.
（2）原式
.
18．（2024高一上·拱墅期末）已知集合，.
（1）当时，求集合；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：当时，集合，，
故；
（2）解：，则，
当时，，即，满足，故；
当时，，即时，则，解得，于是得，
综上所述：，所以实数的取值范围是.
【知识点】集合间关系的判断；交集及其运算
【解析】【分析】（1）将代入，求得集合B，再根据两个集合的交集的定义求出即可；
（2）根据，分时和时两种情况，分别求得的范围，再取并集，即可得实数m的取值范围.
（1）当时，集合，，
故.
（2），则，
当时，，即，满足，故；
当时，，即时，则，解得，
于是得，
综上所述：，所以实数的取值范围是.
19．（2024高一上·拱墅期末）某工厂要设计一个零部件（如图阴影部分所示），要求从圆形铁片上进行裁剪，该零部件由三个全等的矩形和一个等边三角形构成，设矩形的两边长分别为（单位：），该零部件的面积是．
（1）求关于的函数解析式，并求出定义域；
（2）设用到的圆形铁片的面积为（单位：），求的最小值．
【答案】（1）解：依题意可得零件的面积，
故，由，即，解得．
故，；
（2）解：作交于，交于，连接，如图所示：
故，又，设圆的半径为，
故
，
当，即时等号成立．
故当时，面积最小值，
即的最小值为．
【知识点】函数的定义域及其求法；函数解析式的求解及常用方法；基本不等式
【解析】【分析】（1）用表示阴影部分面积，由此可得y关于x的函数解析式，结合题意求定义域即可；
（2）用表示圆的半径的平方，再利用基本不等式求其最小值，由此可得圆的面积最小值即可.
（1）依题意可得零件的面积，
故，由，即，解得．
故，.
（2）如图所示：作交于，交于，连接．
故，又，设圆的半径为，
故
，
当，即时等号成立．
故当时，面积最小值，
即的最小值为．
20．（2024高一上·拱墅期末）已知函数．
（1）若过定点，求的单调递减区间；
（2）若值域为，求a的取值范围．
【答案】（1）解：由函数过定点，
可得，可得，解得，所以，
令，解得或，即函数的定义域为，
设，则函数在上为单调递减函数，
又由函数在定义域上为单调递增函数，
结合复合函数的单调性的判定方法，可得函数在上单调递减，
所以函数的递减区间为；
（2）解：由函数的值域为，
即为函数值域的子集，即，
当时，可得，此时函数的值域为，符合题意；
当时，则满足，解得，所以；
当时，此时的开口向下，显然不满足题意，
综上可得，实数的取值范围为.
【知识点】函数的值域；复合函数的单调性；对数函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）由函数过定点，求得，得到，
再令，求得函数的定义域为，利用二次函数与对数函数的性质，结合复合函数的单调性的判定法求解即可；
（2）根据题意，转化为，结合二次函数的性质，列出不等式求解即可.
（1）解：由函数过定点，
可得，可得，解得，所以，
令，解得或，即函数的定义域为，
设，则函数在上为单调递减函数，
又由函数在定义域上为单调递增函数，
结合复合函数的单调性的判定方法，可得函数在上单调递减，
所以函数的递减区间为.
（2）解：由函数的值域为，
即为函数值域的子集，即，
当时，可得，此时函数的值域为，符合题意；
当时，则满足，解得，所以；
当时，此时的开口向下，显然不满足题意，
综上可得，实数的取值范围为.
21．（2024高一上·拱墅期末）已知函数．
（1）求函数在R上的单调递增区间；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象向上平移1个单位长度，得到函数的图象，若实数满足，求的最小值．
【答案】（1）解：由函数，
令，解得，
所以函数的单调递增区间为；
（2）解：将函数的图形向左平移个单位长度，
得到，
再将得到的函数图象向上平移1个单位长度，可得，
由实数满足，则为函数的最值，
不妨设，
则，
解得，
则，
当或时，此时.
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用正余弦二倍角公式，结合辅助角公式化简函数得到，再结合三角函数的图象与性质求解即可；
（2）根据三角函数的图象变换，求得，根据题意，得到为函数的最值，结合三角函数的性质求解即可.
（1）解：由函数，
令，解得，
所以函数的单调递增区间为.
（2）解：将函数的图形向左平移个单位长度，
得到，
再将得到的函数图象向上平移1个单位长度，可得，
由实数满足，则为函数的最值，
不妨设，
则，
解得，
则，
当或时，此时.
22．（2024高一上·拱墅期末）设，函数．
（1）若函数为奇函数，求a的值；
（2）若，函数在区间上的值域是（），求的取值范围．
【答案】（1）解：因为函数，且函数为奇函数，
所以，
即，
化简可得，解得，
当时，，定义域为，关于原点对称，满足题意；
当时，，定义域为，关于原点对称，满足题意.
所以函数为奇函数时，或；
（2）解：，
因为，所以，故，而，所以，
当时，在上为增函数，
当时，，
即是方程的两个不同的实根，
令，则在上有两个不等的实根，
故，即，解得；
当时，，函数定义域为，
时，，
若，则，而，所以，矛盾，
故，
因为在上单调递减，
故，即，
两式相减可得，因为，所以，即，
所以，即.
综上，当时，，当时，，
即的取值范围为.
【知识点】函数的奇偶性；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【分析】（1）根据函数为奇函数，利用奇函数的定义求解即可；
（2）分讨论，分别求出函数的定义域，单调性，时利用单调递增建立方程，根据方程根的分布列出不等式即可求出的范围，当时，可分析所在区间，据此得出关于的等式，化简求解即可.
（1）由函数，且函数为奇函数
所以，
即，
化简可得，解得，
当时，，定义域为，关于原点对称，满足题意；
当时，，定义域为，关于原点对称，满足题意.
所以函数为奇函数时，或.
（2），
，，故，而，，
当时，在上为增函数，
当时，，
即是方程的两个不同的实根，
令，则在上有两个不等的实根，
故，即，解得；
当时，，函数定义域为，
时，，
若，则，而，所以，矛盾，
故，
因为在上单调递减，
故，即，
两式相减可得，因为，所以，即，
所以，即.
综上，当时，，当时，，
即的取值范围为.
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