德阳市2024年初中学业水平考试与高中阶段学校招生考试数学试题题型示例
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D C A B C A D C B C B D
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填在题中横线上）
13 14 15 16 17 18
x≠1 2.7 5 ①③
三、解答题（本大题共7个小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
19．（14分）（1）解：原式= ……………………………………5分
= 3…………………………………………………………………7分
（2）解：解不等式①得：……………………………………………………………9分
解不等式②得：……………………………………………………………11分
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如下图
所以不等式组无解。…………………………………………………………14分
20．（12分）（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE=∠FCE，∠DAE=∠CFE，
∵E为线段CD的中点，
∴DE=CE，
∴△ADE≌△FCE（AAS），……………………………………………………3分
∴AE=FE，
∴四边形ACFD是平行四边形，………………………………………………4分
∵∠ACF=90°，
∴四边形ACFD是矩形；…………………………………………………………6分
（2）解：∵四边形ACFD是矩形，
∴∠CFD=90°，AC=DF，
∵CD=10，CF=6，
∴DF===8，………………………………………………8分
∵△ADE≌△FCE，且ABCD是平行四边形
∴BC=AD=CF=6
∵S△ADE=S△ACD=××6×8=12，
S平行四边形ABCD=AD AC=6×8=48，
∴S四边形ABCE=S平行四边形ABCD-S△ADE=48-12=36．……………………………………12分
21．（12分）解：（1）∵A组的数据分别为：0.5，0.4，0.4，0.4，0.3，
∴A组数据的众数是0.4；…………………………………………………………3分
（2）本次调查的样本容量是15÷25%＝60，……………………………………6分
∵a＝60﹣5﹣20﹣15﹣8＝12，
∴B组所在扇形的圆心角的大小是360°×＝72°，………………………9分
（3）18000×＝12900（人），
答：估计该校社区居民运动时间超过1h的大约有12900人．………………12分
22．（12分）解：（1）∵B（2，﹣3）点在反比例函数图象上，
∴k＝﹣6；
∴反比例函数解析式为y＝﹣，………………………………………………3分
∵A（m，1）点在反比例函数y＝﹣的图象上，
∴1＝﹣，解得x＝﹣6，
∴A（﹣6，1），B（2，﹣3），
∵A（﹣6，1），B（2，﹣3）在一次函数y＝ax+b的图象上，
，解得，
∴一次函数解析式为：y＝﹣；…………………………………………6分
（2）由（1）可知C（0，﹣2），设点E的坐标是（m，），则D（m，﹣）
∴ED＝﹣﹣（﹣）＝﹣++2，……………………………………8分
∴S△CDE＝×（﹣m）×（﹣）＝﹣＝﹣（m+2）2+4，
当m＝﹣2时，S△CDE最大值为4，
∴E（﹣2，3）．……………………………………………………………………12分
23．(12分）解：（1）设书籍和实验器材分别为x、y套．…………………………1分
根据题意得：………………………………………………………3分
解得：
故书籍和实验器材分别为240套，120套．…………………………………4分
（2）设安排甲型号的货车a辆(a＞0)，则安排乙型号的货车（8﹣a）辆．
根据题意得：…………………………………………6分
解得：0＜a≤4
又∵a取整数，
∴a＝1，2，3，4
8﹣a＝7，6，5，4，
∴共有4种方案，如下：
方案一：甲1辆，乙7辆
方案二：甲2辆，乙6辆
方案三：甲3辆，乙5辆
方案四：甲4辆，乙4辆…………………………………………………………8分
（3）方案一所需运费：1000+7×900＝7300（元）
方案二所需运费：2×1000+6×900＝7400（元）
方案三所需运费：3×1000+5×900＝7500（元）
方案四所需运费：4×1000+4×900＝7600（元）
故推荐选择方案一，租甲种型号的车1辆，乙种型号的车7辆时，所付运费最少，最少运费是7200元．……………………………………………………………………12分
24.（14分）（1）证明：连接OE，………………………………………………1分
∵EF⊥AB，
∴∠BFE＝90°，
∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC．
∴∠B＝∠C，
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝∠C，
∴∠OEC＝∠B，
∴OE∥AB，
∴∠OEF＝∠BFE＝90°，
∴EF⊥OE．
∵OE是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；………………………………………………………………4分
（2）解：过点O作OM⊥AB于点M．
∵OM⊥AB，
∴∠OMF＝90°，
∵∠AFE＝∠OEF＝∠OMF＝90°，
∴四边形OMFE是矩形，
∴OM＝EF＝4，MF＝OE，
∵∠AEF+∠BEF＝90°．∠B+∠BEF＝90°，
∴∠AEF＝∠B，
∵∠BFE＝∠AFE＝90°，
∴△BFE∽△EFA，
∴，即，
解得AF＝8，…………………………………………………………………………6分
设⊙O的半径为r，则有MF＝OE＝OA＝r，AM＝8﹣r，
∵OM⊥AD，
∴∠AMO＝90°，AD＝2AM．
在Rt△AMO中，∠AMO＝90°，
由勾股定理可得：AM2+OM2＝AO2，
即（8﹣r）2+42＝r2，
解得r＝5，
故AM＝8﹣5＝3，
∴AD＝2AM＝2×3＝6，
故AD的长为6；…………………………………………………………………………9分
（3）解：∵AC为⊙O的直径，
∴AE⊥CB，∠AEC＝90°
∵AB＝AC，
∴BE＝CE，
如图所示，连接CD，OE，
∵AF＝2，EF＝4，∠AFE＝90°，
由勾股定理可得：
∴，
∵OC＝OE，
∴∠OCE＝∠OEC，
∵∠AEF+∠AEO＝90°，∠OEC+∠AEO＝90°，
∴∠AEF＝∠OEC．
∴∠OCE＝∠AEF，
∵∠AEC＝∠AFE＝90°
∴△AEF∽△ACE，
∴，
即，
解得AC＝10，…………………………………………………………………………11分
∵AC为⊙O的直径，
∴∠D＝90°，
∴∠BFE＝∠D＝90°，
∴EF∥CD，
∴△BEF∽△BCD，
∴，
∴，
∴CD＝2EF＝8，
∴．………………………………………………14分
25.（14分）解：（1）当y＝0时，x2﹣2x﹣8＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝4，
当x＝0时，y＝﹣8，
∴A（﹣2，0），B（4，0），C（0，﹣8）．……………………………………3分
（2）过点B作BT⊥CE于点T（m，n），
∵∠BCE=45°，则△CBT为等腰直角三角形，
则CT=BT，
过点T作x轴的垂线MN交x轴于点N，交点C和x轴的平行线于点M，
∵∠BTN+∠CTM=90°，∠CTM+∠MCT=90°，
∴∠BTN=∠MCT，
∵∠TNB=∠CMT=90°，
∴△TNB≌△CMT（AAS），
则BN=TM且NT=CM，
即m-4=n-(-8)且-n=m,
解得：m=6=-n,
即点T（6，-6），
由点C、T的坐标得，直线CT的表达式为：，
将上式和抛物线的表达式联立得：x2﹣2x﹣8＝，
解得：（舍去），，
则点E（，-）．………………………………………………………………8分
（3）∵F是直线x＝t与抛物线的交点，
∴F（t，t2﹣2t﹣8）．
①如图，若△BE1D1∽△CE1F1时．
则∠BCF1＝∠CBO，
∴CF1∥OB．
∵C（0，﹣8），
∴t2﹣2t﹣8＝﹣8．
解得：t＝0（舍去）或t＝2．…………………………………………………………11分
②如图，若△BE2D2∽△F2E2C时．
过 F2 作F2T⊥y轴于点T．
∵∠BCF2＝∠BD2E2＝90°，
∴∠CBO+∠BCO＝90°，∠F2CT+∠BCO＝90°，
∴∠F2CT＝∠OBC，
又∵∠CTF2＝∠BOC，
∴△BCO∽△CF2T，
∴，
∵B（4，0），C（0，﹣8），
∴OB＝4，OC＝8．
∵F2T＝t，CT＝﹣8﹣（t2﹣2t﹣8）＝2t﹣t2，
∴＝，
∴2t2﹣3t＝0，
解得：t＝0（舍去）或 ，
综上，符合题意的t的值为2或；……………………………………………………14分
第2页（共8页）德阳市2024年初中学业水平考试与高中阶段学校招生考试数学试题题型示例
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的）
1．实数2024的相反数是（ ）
A．2024 B． C． D．﹣2024
2．在神奇的自然界中，平衡与和谐是永恒的主题，许多自然界的事物都展现出了对称之美．汉字，作为中华文化的瑰宝，其中有些字也巧妙地融入了这种对称特性．下列汉字是轴对称图形的是（ ）
A．如 B．意 C．吉 D．祥
3．掷两枚质地均匀的骰子，下列事件是随机事件的是（ ）
A．点数的和为6 B．点数的和为1
C．点数的和大于12 D．点数的和小于13
4．如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
5．计算（-2a2）3的结果是（ ）
A．-2a6 B．-6a5 C．-8a6 D．6a6
6．如图，BD是等边△ABC的边AC上的中线，以点D为圆心，DB长为半径画弧交BC的延长线于点E，则∠CDE=（ ）
A．30° B．25° C．20° D．40°
7.在恒温下，气体对汽缸壁的压强p（kPa）与汽缸内气体体积V（mL）的函数关系如图所示．若压强由75kPa加压到100kPa,则气体体积压缩了（ ）
A．80mL B．60mL C．40mL D．20mL
8．如图，在平行四边形ABCD中，F为BC的中点，延长AD至点E，使DE：AD=1：3，连接EF交DC于点G，则S△DEG：S△CFG等于（ ）
A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．9：4
9．已知x2﹣x﹣1＝0，计算的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
在一堂充满探索与创意的“幻方”与“幻圆”活动课上，一个小组的同学勇敢地挑战了一项任务：他们试图将数字1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12这12个数字巧妙地填入“六角幻星”图中．这个图形的魅力在于，它的6条边上的四个数字之和必须完全相同．如图．部分数字已经被填入图中的圆圈内，请你确定a的值为（ ）
A．9 B．7 C．6 D．4
11．如图，抛物线y=ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为（ ）
A．-1 B．-2 C．-3 D．-4
12.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以D为圆心，AD为半径的弧恰好与BC相切，切点为E，若，则tanC的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填在题中横线上）
13．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
14．文房四宝是我国传统文化中的文书工具，即笔、墨、纸、砚．某数学兴趣小组将传统与现代相结合，推出文房四宝盲盒游戏，盲盒外观和重量完全相同，内含对应文房四宝之一的卡片．小红从一套四个盲盒（笔墨纸砚盲盒各一个）中随机选两个，恰好抽中的是她喜欢的笔和纸的概率是 ．
15．如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2cm，若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数是 cm（结果精确到0.1cm，参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．
16．在一次数学探索活动中，老师带领同学们研究了一次函数y=kx+b的系数k，b与图象的关系．为了更直观地理解这一关系，老师给出了直角坐标系中的三个特殊点：A（0，2），B（2，3），C（3，1）．老师要求同学们尝试画出经过这三个点中任意两个点的一次函数图象．同学们通过计算得到了三个一次函数的表达式：y1=k1x+b1，y2=k2x+b2，y3=k3x+b3．接着，老师提出了一个有趣的问题：分别探究k1+b1，k2+b2，k3+b3的值，则其中最大的值等于 ．
17．如图，点E是正方形ABCD的对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，以DE，EF为邻边作平行四边形DEFG，连接CG．下列结论：①平行四边形DEFG是正方形；②2CE+CG＝CD；③CG⊥AC；④CE=CF．其中正确的是 （填序号）．
18．如图，DE平分等边△ABC的面积，折叠△BDE得到△FDE，AC分别与DF，EF相交于G，H两点．若DG＝m，EH＝n，用含m，n的式子表示GH的长是 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
19．（14分）（1）计算：．
（2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来：
20．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，E为线段CD的中点，连接AC，AE，延长AE，BC交于点F，连接DF，∠ACF=90°．
（1）求证：四边形ACFD是矩形；
（2）若CD=10，CF=6，求四边形ABCE的面积．
21．（12分）在共建全国文明城市的过程中，为了解市民在周末进行户外运动的时长，随机抽取了某社区部分居民在某个周末进行户外运动的时长t（单位：h）作为样本．收集的数据被整理后分为A，B，C，D，E五个组别．其中A组的数据分别为：0.5，0.4，0.4，0.4，0.3．根据这些数据，绘制成如下不完整的统计图表．
请根据以上信息解答下列问题．
（1）求A组数据的众数；
（2）求本次调查的样本容量以及B组所在扇形的圆心角；
（3）若该社区常住居民有18000人，请估计该社区居民运动时间超过1h的人数．
22．（12分）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象相交于A（m，1），B（2，﹣3）两点，与y轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）设D为线段AC上的一个动点（不包括A，C两点），过点D作DE∥y轴交反比例函数图象于点E，当△CDE的面积最大时，求点E的坐标．
23.（12分）为推进城乡教育均衡发展，我市某公益组织决定向某偏远乡镇学校的教育事业提供大力支持．他们精心准备了一批书籍和实验器材，共计360套，其中书籍的数量比实验器材多了120套，以更好地满足学生的阅读需求．
（1）求这批物资中书籍和实验器材各有多少套？
（2）为了将这些书籍和实验器材安全、高效地运送到目的地，该公益组织计划同时租用甲、乙两种型号的货车共8辆．每辆甲种货车最多可装书籍40套和实验器材10套，每辆乙种货车最多可装书籍30套和实验器材20套．请问他们有哪几种租车方案？
（3）在（2）的条件下，已知甲种型号的货车每辆需付运费1000元，而乙种型号的货车每辆需付运费900元．请你帮助该组织推荐一种能使运费最少的租车方案，并求最少运费是多少元？
24（14分）在德阳市数学文化节活动中，某兴趣小组设计了以下数学挑战题：
如图1，等腰△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB所在直线、BC分别交于点D、E，EF⊥AB于点F．
【初步感知】（1）求证：EF为⊙O的切线；
【深入研究】（2）当∠BAC＜90°时，若BF＝2，EF＝4，求AD的长．
【拓展延伸】（3）如图2，当∠BAC＞90°时，若AF＝2，EF＝4，求AD的长．
25.（14分）抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于点C．
（1）直接写出A，B，C三点的坐标；
（2）作射线CB，将射线CB绕点C顺时针旋转45°后，与抛物线相交于点E，如图1．求点E的坐标．
（3）作直线x＝t（0＜t＜4），分别交x轴，线段BC，抛物线于D，E，F三点，连接CF，若△BDE与△CEF相似，求t的值；
图1 图2
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