第24章 圆 综合测试题（含详解） 2024—2025学年人教版数学九年级上册

第24章 圆综合测试题
考试范围：24章 圆；考试时间：100分钟；总分：120
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列说法：
①直径是弦；②半圆是弧；③半径相等的两个圆是等圆；④长度相等的两条弧是等弧；
⑤在同圆中任意两条直径都互相平分．其中正确的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．已知⊙O的半径为3cm，点A到圆心O的距离为4cm，则点A与⊙O的位置关系是（　　）
A．点A在⊙O内 B．点A在⊙O上 C．点A在⊙O外 D．不能确定
3．如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A＝68°，则∠OBC的大小是（　　）
A．22° B．26° C．32° D．68°
4．如图，A是⊙O上一点，BC是直径，AC＝2，AB＝4，点D在⊙O上且平分，则DC的
长为（　　）
A． B． C． D．
（3题） （4题） （5题） （6题） （7题）
5．如图，圆O与正方形ABCD的两边AB、AD相切，且DE与圆O相切于E点．若圆O的半径为5，且AB＝11，则DE的长度为何？（　　）
A．5 B．6 C． D．
6．如图，已知BC与⊙O相切于点B，CO的延长线交⊙O于点A，连接AB，若BC＝2，AC＝6，则⊙O的半径为（　　）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
7．如图，在5×6的正方形网格中，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AB′C′，则的长为（　　）
A．π B． C．7π D．6π
8．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝4，点O为BC的中点，以O为圆心，OB长为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．5π B．54π C．52π D．102π
9．如图，在四边形材料ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝9cm，AB＝20cm，BC＝24cm．现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是（　　）
A．cm B．8cm C．6cm D．10cm
10．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点G，则下列结论：①∠BAD＝∠CAD；②若∠BAC＝60°，则∠BEC＝120°；③若点G为BC的中点，则∠BGD＝90°；④BD＝DE．其中一定正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
（9题） （10题） （11题） （12题） （13题）
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．如图，AB是⊙O的直径，弦CD∥AB，若∠ABD＝60°，则∠ADC的度数是　 　．
12．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O．若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB＝　 　．
13．如图所示，Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝12cm，BC＝5cm．将其绕直角边AB所在的直线旋转一周得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积为　 　cm2．
14．在直径为10cm的⊙O中，弦AB的长为5cm，则AB所对的圆周角是　 　．
15．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最小值是　 　．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）如图，圆中两条弦AB、CD相交于点E，且AB＝CD，求证：EB＝EC．
17．（8分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O直径，AB＝6，AD平分∠BAC，交BC于点E，交⊙O于点D，连接BD．
（1）求证：∠ABD＝∠BED；
（2）若∠AEB＝125°，求的长（结果保留π）．
18．（9分）在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），B（4，4），C（6，2）．
（1）请确定经过点A，B，C的圆弧所在圆的圆心M的位置，并写出点M的坐标；
（2）若一个点D（7，0），试判断直线CD与圆M的位置关系，并说明理由．
19．（9分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，其切线AE与直径BD的延长线相交于点E，且AE＝AB．
（1）求∠ACB的度数；
（2）若DE＝2，求⊙O的半径．
（3）在（2）的前提下，求阴影部分面积．
20．（9分）如图，AB是⊙O的直径，弦AC＝6，BC＝8，∠ACB的平分线交⊙O于点D，连接AD．
（1）求直径AB的长；
（2）求阴影部分的面积．（结果保留π）
21．（9分）如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为点E，过点C作DA的平行线与AF相交于点F，CD＝4，BE＝2．
（1）求AD的长；
（2）求证：四边形FADC是菱形；
（3）求证：FC是⊙O的切线．
22．（11分）牂牁江“余月郎山，西陵晚渡”的风景描绘中有半个月亮挂在山上，月亮之上有个“齐天大圣”守护洞口的传说．真实情况是老王山上有个月亮洞，洞顶上经常有猴子爬来爬去，如图是月亮洞的截面示意图．
（1）科考队测量出月亮洞的洞宽CD约是28m，洞高AB约是12m，通过计算截面所在圆的半径可以解释月亮洞像半个月亮，求半径OC的长（结果精确到0.1m）；
（2）若∠COD＝162°，点M在上，求∠CMD的度数，并用数学知识解释为什么“齐天大圣”点M在洞顶上巡视时总能看清洞口CD的情况．
23．（12分）在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点P，∠ABC＝63°．
（Ⅰ）如图①，若∠APC＝100°，求∠BAD和∠CDB的大小；
（Ⅱ）如图②，若CD⊥AB，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点E，求∠E的大小．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：①直径是弦，正确，符合题意；
②半圆是弧，正确，符合题意；
③半径相等的两个圆是等圆，正确，符合题意；
④长度相等的两条弧不一定是等弧，原命题错误，不符合题意；
⑤在同圆中任意两条直径都互相平分，正确，符合题意，
正确的有4个，
选：D．
2．解：OA＞3cm，则点A与⊙O的位置关系是：点A在圆外．
选：C．
3．解：∵∠A与∠BOC是同弧所对的圆周角与圆心角，∠A＝68°，
∴∠BOC＝2∠A＝136°．
∵OB＝OC，
∴∠OBC22°．
选：A．
4．解：∵A是⊙O上一点，BC是直径，
∴∠BAC＝∠BDC＝90°，
在Rt△ABC中，AC＝2，AB＝4，
由勾股定理得：AB2+AC2＝BC2，即BC2＝22+42＝20，
∵点D在⊙O上且平分弧BC，
∴BD＝DC，
在Rt△BDC中，由勾股定理得：BD2+DC2＝BC2，即2DC2＝BC2＝20，
解得：DC，
选：B．
5．解：
连接OM、ON，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝11，∠A＝90°，
∵圆O与正方形ABCD的两边AB、AD相切，
∴∠OMA＝∠ONA＝90°＝∠A，
∵OM＝ON，
∴四边形ANOM是正方形，
∴AM＝OM＝5，
∵AD和DE与圆O相切，圆O的半径为5，
∴AM＝5，DM＝DE，
∴DE＝11﹣5＝6，
选：B．
6．解：连接OB，
∵BC与⊙O相切于点B，
∴OB⊥BC，
设⊙O的半径为r，
在Rt△OBC中，OB2+BC2＝OC2，
即，
解得：r＝2，
选：B．
7．解：根据图示知，∠BAB′＝45°，
∴的长为：π．
选：A．
8．解：连接OD．
在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝4，
∴BCAB＝4，
∴OC＝OD＝OB＝2，
∴∠DOB＝2∠C＝60°，
∴S阴＝S△ACB﹣S△COD﹣S扇形ODB4×4
＝832π
＝52π．
选：C．
9．解：如图，当AB，BC，CD相切于⊙O于点E，F，G时，⊙O的面积最大．连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，过点D作DH⊥BC于点H．
∵AD∥CB，∠BAD＝90°，
∴∠ABC＝90°，
∵∠DHB＝90°，
∴四边形ABHD是矩形，
∴AB＝DH＝20cm，AD＝BH＝9cm，
∵BC＝24cm，
∴CH＝BC﹣BH＝24﹣9＝15（cm），
∴CD25（cm），
设OE＝OF＝OG＝r cm，
则有（9+24）×2020×r24×r25×r9×（20﹣r），
∴r＝8，
选：B．
10．解：∵E是△ABC的内心，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，①正确；
如图，连接BE，CE，
∵E是△ABC的内心，
∴∠EBC∠ABC，∠ECBACB，
∵∠BAC＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∴∠BEC＝180°﹣∠EBC﹣∠ECB＝180°（∠ABC+∠ACB）＝120°，②正确；
∵∠BAD＝∠CAD，
∴，
∴OD⊥BC，
∵点G为BC的中点，
∴G一定在OD上，
∴∠BGD＝90°，③正确；
如图，连接BE，
∴BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠DBC＝∠DAC＝∠BAD，
∴∠DBC+∠EBC＝∠EBA+∠EAB，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DB＝DE，④正确．
∴一定正确的①②③④，共4个．
选：D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°（直径所对的圆周角是直角）；
又∵∠ABD＝60°，
∴∠DAB＝30°（直角三角形的两个锐角互余）；
又∵CD∥AB，
∴∠ADC＝∠DAB（两直线平行，内错角相等），
∴∠ADC＝30°（等量代换）．
答案为：30°．
12．解：连接OB，AD，BD，
∵多边形ABCDEF是正多边形，
∴AD为外接圆的直径，
∠AOB60°，
∴∠ADB∠AOB60°＝30°．
∵直线PA与⊙O相切于点A，
∴∠PAB＝∠ADB＝30°．
答案为：30°．
13．解：圆锥的侧面积＝π×5×12＝60πcm2．
14．解：连接OA、OB，∠C和∠D为AB所对的圆周角，如图，
∵OA＝OB＝5，AB＝5，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴△OAB为直角三角形，
∴∠AOB＝90°，
∴∠C∠AOB＝45°，
∴∠D＝180°∠C＝135°．
即AB所对的圆周角为45°或135°．
答案为45°或135°．
15．解：
当O、Q、P三点一线且OP⊥BC时，PQ有最小值，设AC与圆的切点为D，连接OD，如图，
∵AC为圆的切线，
∴OD⊥AC，
∵AC＝8，BC＝6，AB＝10，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴OD∥BC，且O为AB中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴ODBC＝3，
同理可得POAC＝4，
∴PQ＝OP﹣OQ＝4﹣3＝1，
答案为：1．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．证明：如图，连接AD，
∵AB＝CD，
∴，
∴，即，
∴∠BAD＝∠CDA，
∴AE＝DE，
又∵AB＝CD，
∴EB＝EC．
17．（1）如图：
证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∵∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∵∠ABD＝∠ABC+∠3，∠BED＝∠ABC+∠2，
∴∠ABD＝∠BED．
（2）解：连接OD，
∵∠AEB＝125°，
∴∠AEC＝55°，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACE＝90°，
∴∠1＝35°，
∴∠2＝∠1＝35°，
∴∠BOD＝2∠2＝70°，
∴的长π．
18．解：（1）如图，点M即为所求．
M（2，0），
（2）直线CD与圆M相切，
理由：圆M的半径CM2，
∵D（7，0），M（2，0），
∴OD＝7，OM＝2，
∴DM＝7﹣2＝5，CD，
∵CM2+CD2＝20+5＝25＝52＝DM2，
∴∠MCD＝90°，
∴MC⊥CD，
∵MC是圆M的半径，
∴直线CD与圆M相切．
19．解：（1）连接OA，
∵AE是⊙O的切线，
∴∠OAE＝90°，
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠OAB，
∴∠OAB＝∠ABE＝∠E，
∵∠OAB+∠ABE+∠E+∠OAE＝180°，
∴∠OAB＝∠ABE＝∠E＝30°，
∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠ABO＝120°，
∴∠ACB∠AOB＝60°；
（2）设⊙O的半径为r，则OA＝OD＝r，OE＝r+2，
∵∠OAE＝90°，∠E＝30°，
∴2OA＝OE，即2r＝r+2，
∴r＝2，
⊙O的半径为2；
（3）∵∠AOB＝120°，
∴∠AOE＝60°，
∴AE＝AO tan60°＝2，
∴S阴影＝S△OAE﹣S扇形AOD2×22π．
20．解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
由勾股定理得：AB10；
（2）连接OD，
∵∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，
∴∠ACDACB＝45°，
∴∠AOD＝2∠ACD＝90°，
∵直径AB＝10，
∴半径OA＝OD＝5，
∴阴影部分的面积S＝S扇形AOD﹣S△AOD
．
21．解：（1）连接OC，
∵AF为圆O的切线，
∴AF⊥AB，
∵AB⊥CD，
∴AF∥CD，E为CD中点，即CE＝DECD＝2，
∵FC∥AD，
∴四边形ADCF为平行四边形，
∴FC＝AD，AF＝CD
在Rt△OCE中，设OC＝OB＝r，则OE＝OB﹣EB＝r﹣2，
根据勾股定理得：OC2＝CE2+OE2，即r2＝（2）2+（r﹣2）2，
解得：r＝4，
∴AE＝AO+OE＝4+2＝6，
在Rt△ADE中，AD4，
（2）∵AD4，CD＝4，
∴AD＝CD，
∵AF是⊙O切线，
∴AF⊥AB，
∵CD⊥AB，
∴AF∥CD，
∵CF∥AD，
∴四边形FADC是平行四边形，
∵AD＝CD，
∴平行四边形FADC是菱形；
（3）连接OF，AC，
∵四边形FADC是菱形，
∴FA＝FC，
∴∠FAC＝∠FCA，
∵AO＝CO，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠FAC+∠OAC＝∠FCA+∠OCA，
即∠OCF＝∠OAF＝90°，
即OC⊥FC，
∵点C在⊙O上，
∴FC是⊙O的切线．
22．解：（1）设OA＝OC＝R m，
∵OA⊥CD，
∴CB＝BDCD＝14m，
在Rt△COB中，OC2＝OB2+CB2，
∴R2＝142+（R﹣12）2，
∴R，
∴OC14.2m．
（2）如图，补全⊙O，在CD的下方取一点N，连接CN，DN，CM，DM，
∵∠N∠COD＝81°，
∵∠CMD+∠N＝180°，
∴∠CMD＝99°．
∵∠CMD＝99°不变，是定值，
∴“齐天大圣”点M在洞顶上巡视时总能看清洞口CD的情况．
23．解：（1）∵∠APC是△PBC的一个外角，
∴∠C＝∠APC﹣∠ABC＝100°﹣63°＝37°，
由圆周角定理得：∠BAD＝∠C＝37°，∠ADC＝∠ABC＝63°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠CDB＝∠ADB﹣∠ADC＝90°﹣63°＝27°；
（2）连接OD，如图②所示：
∵CD⊥AB，
∴∠CPB＝90°，
∴∠PCB＝90°﹣∠ABC＝90°﹣63°＝27°，
∵DE是⊙O的切线，
∴DE⊥OD，
∴∠ODE＝90°，
∵∠BOD＝2∠PCB＝54°，
∴∠E＝90°﹣∠BOD＝90°﹣54°＝36°．