第5章 二次函数 单元达标测试题 （含答案） 2024-2025学年苏科版九年级数学下册

2024-2025学年苏科版九年级数学下册《第5章二次函数》单元达标测试题（附答案）
一、单选题（满分30分）
1．若函数是二次函数，则m的值为（ ）
A． B． C． D．或
2．若抛物线的对称轴是直线，则b的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
3．已知抛物线过点，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．二次函数在的范围内有最小值为，则c的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
5．对于抛物线，下列说法错误的是（ ）
A．抛物线开口向上 B．当时，
C．抛物线与轴有两个交点 D．当时，有最小值
6．在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到新抛物线的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
7．若函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（　　）
A． B．且 C． D．且
8．在同一平面直角坐标系中，函数和函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
9．便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足，由于某种原因，价格需满足，那么一周可获得最大利润是（ ）
A．758元 B．1508元 C．1556元 D．1558元
10．如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间．则下列结论：①；②；③； ④一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（满分30分）
11．写一个满足下列两个条件的二次函数：（1）开口向下；（2）顶点坐标是，可以是 ．
12．若抛物线中，无论m取何值都通过定点，则这个定点的坐标为 ．
13．在平面直角坐标系中，是抛物线两点，则抛物线的对称轴为 ．
14．已知，是二次函数（）的图象上两点，当时，二次函数的值是 ．
15．已知抛物线．
（1）若抛物线经过原点，则的值为 ．
（2）若抛物线关于轴对称，则抛物线与轴的交点坐标为 ．
16．已知二次函数，观察下表：
x … 0 …
y … 0 3 4 3 …
则关于x的一元二次方程的解为 ．
17．从地面竖直向上抛出一小球，秒后小球的高度（米）适用公式，经过4秒后，小球的高度是 米．
18．如图，一座拱桥的下方轮廓是抛物线型，拱高8米，跨度24米，相邻两支柱间的距离均为6米，则支柱的长度为 米．
19．已知二次函数的图像如图所示，当时，x的取值范围是 ．
20．如图，抛物线是由抛物线向上平移个单位得到的，与轴于点A、B（点在点B的左侧），与y轴交于点C．

（1）则 ；
（2）若将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线，它的顶点为，与轴的另一个交点为．若四边形为矩形，则 ．
三、解答题（满分60分）
21．求出符合下列条件的二次函数解析式:
(1)二次函数图象经过点，求该抛物线的解析式；
(2)已知抛物线的顶点坐标是，并且抛物线与x轴的一个交点坐标为，试求该抛物线的解析式．
22．已知二次函数．
(1)将化成的形式；
(2)与y轴的交点坐标是 ；与x轴的交点坐标是 ．
(3)在坐标系中利用描点法画出此抛物线．
(4)不等式 的解集是 ．
(5)当时，y的取值范围是 ．
23．如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系为．
(1)小球的飞行时间__________s时，飞行高度h为．
(2)小球的飞行高度能否达到？如果能，需要多少飞行时间？
(3)小球飞行高度能否达到？__________．（选填“能”或“否”）
24．如图，抛物线经过、、三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图①．在抛物线的对称轴上是否存在点，使得四边形的周长最小？若存在，求出四边形周长的最小值；若不存在，请说明理由．
25．某企业决定投资生产某种产品，已知投资生产该产品的有关数据如下：
年固定成本（万元） 每件成本（万元） 每件售价（万元） 每年最大产销量（件）
50 8 18 110
其中年固定成本与生产的件数无关，另外年销售x件该产品时需上交万元的特别关税．
(1)若产销该产品的年利润分别为y万元，每年产销x件，直接写出y与x的函数关系式；
(2)问年产销多少件产品时，年利润为370万元；
(3)当年产销量为多少件时，获得最大年利润？最大年利润是多少万元？
26．如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，以所在的直线为x轴，线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，最高点E到地面的距离为．
(1)求出抛物线的解析式；
(2)在距离地面高处，隧道的宽度是多少？
(3)如果该隧道为单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高m、宽，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论．
27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，点（点在点的左侧），与轴相交于点，，，连接．
(1)求抛物线解析式；
(2)点P在为抛物线上第一象限一动点，连接，，设点横坐标为t，面积为，求与之间的函数关系式（不要求写出的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，点为抛物线的顶点，连接，，，与相交于点，若，求的值．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B C B C C D C D
1解：由题意得，
解得：，
故选：．
2．解：∵，对称轴是直线，
∴，即，解得．
故选：C．
3．解：由二次函数，得它的对称轴为直线，开口向上，
∴图象上的点离对称轴越远则的值越大，
∵，，，
∴，
∴，
故选：．
4．解：二次函数中，，
∴图象开口向下，对称轴为，
∴离对称轴越远，值越小，
∵，，
∴当时，取到最小值，
∴，
解得，，
故选：C ．
5．解：抛物线的顶点坐标是，对称轴为直线，
A. ，抛物线开口向上，故该选项正确，不符合题意；
B. 当时，，故该选项不正确，符合题意；
C. ∵顶点，开口向上，∴抛物线与轴有两个交点，故该选项正确，不符合题意；
D. 当时，有最小值，故该选项正确，不符合题意；
故选：B．
6．解：将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，
所得抛物线的解析式为：．
故选：C．
7．解：当时，，图象与轴有一个交点；
当，把代入得，，
∵函数的图象与轴有交点，
∴，
解得；
综上，的取值范围为，
故选：．
8．解： A、由一次函数的图象可知，，则：，由二次函数的图象可知，，不符合题意；
B、由一次函数的图象可知，，则：，由二次函数的图象可知，，对称轴在轴右侧，当时，抛物线的对称轴为，在轴左侧，不符合题意；
C、由一次函数的图象可知，，则：，由二次函数的图象可知，，不符合题意；
D、由一次函数的图象可知，，则：，由二次函数的图象可知，，当时，抛物线的对称轴为，在轴左侧，符合题意；
故选D．
9．解： ，
二次函数的对称轴为，开口向下，
当时，y随x的增大而增大，
，
时，y取最大值，此时，
即一周可获得最大利润是1556元，
故选C．
10．解：由图象可知，时，，
则，①结论正确；
抛物线的顶点坐标为，
抛物线对称轴为直线，
，
，
，②结论正确；
顶点坐标为，
,
，
，③结论正确；
顶点坐标为，
抛物线与直线有一个交点，
抛物线开口向下，
抛物线与直线有两个交点，
一元二次方程有两个不相等的实数根，④结论正确；
即正确结论的个数是4，
故选：D．
11．解：根据题意可得，一个满足下列两个条件的二次函数为，
故答案为：（答案不唯一）
12．解：∵
∴
∴当时，；且与m的取值无关；
故不管m取何值时都通过定点．
故答案为：．
13．解：由题意可知：是抛物线上对称的两点，
∴抛物线的对称轴为直线，
故答案为：直线
14．解： ，是二次函数（）的图象上两点，
是方程的两个根，
，，
，
整理得，
，
，
即，
时，，
时，二次函数的值是0，
故答案为：0．
15．解：∵抛物线经过原点，
∴当时，，
∴；
故答案为：3．
（2）∵抛物线关于轴对称，
∴，
∴抛物线解析式为，
令，即，
则抛物线与轴的交点坐标为；
故答案为：．
16．解：由表格可知，当时和当时的函数值相同，
∴二次函数的对称轴为直线，
∵时，，
∴二次函数与x轴的一个交点坐标为，
∴二次函数与x轴的另一个交点坐标为，
∴关于x的一元二次方程的解为或1，
故答案为：或1．
17．解：当时，（米），
故答案为：40．
18．解：如图所示，建立平面直角坐标系，
由题意得A点坐标，B点坐标为，C点坐标为，N点横坐标为6，
设抛物线解析式为，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为，
∴当时，，
∴支柱的高度为：米，
故答案为：4．
19．解：由二次函数的图像可知：
抛物线对称轴为，
抛物线与x轴的另一交点坐标为，
所以当时，x的取值范围是：．
故答案为：．
20．解：（1）∵抛物线是由抛物线向上平移个单位得到的，
∴，
故答案为：；
（2）解：令，得：．
∴，
∵，
∴，
令，得：，
∴，
∴，，
∴
∴，
要使四边形是矩形，必须满足，
∴
∴，
解得，（舍去）
∴，
故答案为：．
21．（1）解：∵抛物线与x轴的交点坐标为，
∴设该抛物线的解析式为．
∵抛物线过点，
∴，
∴，
∴该抛物线的解析式为．
（2）解：∵二次函数的图象的顶点坐标为，
∴设该二次函数的解析式为．
∵二次函数图象过点，
∴，
∴，
∴该二次函数的解析式为．
22．（1）解：由题意知，，
∴；
（2）解：令，则，即该抛物线与y轴的交点坐标是 ，
令，
解得，，，
∴该抛物线与x轴的交点坐标是，．
故答案为：；，；
（3）解：列表：
x … 0 1 2 3 …
y … 0 -4 0 …
作图象如下：
（4）解：由图象可知，不等式的解集是或，
故答案为：或；
（5）解：由图象可知，当时，y的取值范围是，
故答案为：．
23．（1）解：依题意，令，得方程，
解这个方程得：，，
当小球的飞行和时，高度达到；
故答案为：1或3；
（2）解：依题意，令，得方程，
解这个方程得：，
当小球的飞行时，高度达到；
（3）解：令，得方程，
整理得：，
∵，
∴方程无实数根，
∴小球的飞行高度不能达到；
故答案为：否．
24．（1）解：设抛物线解析式为，
把代入得，解得，
所以抛物线解析式为，即；
（2）存在．
因为、，
所以抛物线的对称轴为直线，
连接交直线于点，如图，则，，此时最短，
所以此时四边形的周长最小，
因为，
所以四边形周长的最小值为．
25．（1）解：根据题意得：
；
（2）由（1）得，当时，
，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴年产销60件产品时，年利润为370万元；
（3）由（1）得，，
∵，
∴开口向下，存在最大值，
当时，最大值为450，
∴当年产销量为100件时，获得最大年利润，最大年利润是450万元．
26．（1）解：根据题意，得点，，，
设抛物线的解析式为：，
将点代入，
得到，
解得：；
∴抛物线的解析式为：．
（2）在中，令，
得到，
解得：，
，
故在距离地面高处，隧道的宽度是；
（3）这辆货车能通过该隧道，理由如下：
，
将代入，
得到：，
，
故这辆货车能通过该隧道．
27．（1）解：将点，，代入得
解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）∵时，，，
∴点，设直线解析式，得，解得，
∴直线解析式，
∵点Р在抛物线上，
∴，
过点P作轴，交延长线于点H，则，
∴．
．
（3）过点C作交轴于点K，
∴，
又∵，，
∴，
∵，
∴顶点坐标为，
设直线解析式，得，解得，
∴直线的解析式为，
∴直线与x轴的交点为，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴点坐标为，设直线解析式，得，解得，
∴直线解析式为，
设直线解析式为，把得，解得，
∴设直线解析式为，
联立抛物线与直线解析式得：
，解得，，
∴点，
∴