第6章 图形的相似 单元达标测试题（含答案） 2024—2025学年苏科版九年级数学下册

2024-2025学年苏科版九年级数学下册《第6章图形的相似》单元达标测试题（附答案）
一、单选题（满分30分）
1．下列四组线段中，不是成比例线段的是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
2．如图，在等边三角形中，点E、F分别在上，且，那么下列不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，把矩形对折，折痕为，矩形与矩形相似，已知，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在正方形中，，点在边上，，把绕点顺时针旋转，得到，连接，交于点，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，以点O为位似中心，将放大得到．若与的周长之比为，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
6．大自然巧夺天工，一片小树叶也蕴含着黄金分割（黄金比例为），如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在中，，，D为上一点，且，在上取一点E，若以A、D、E为顶点的三角形与相似，则的长为（　　）
A．8 B． C．8或 D．8或
8．如图，直线，直线，分别交，，于点，，和，，，若，，则的长等于（ ）
A．18 B．20 C．25 D．30
9．如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为，到屏幕的距离为，且幻灯片中的图形的高度为，则屏幕上图形的高度为（ ）．
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在第二象限，点B的坐标为，点C的坐标为，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形．若点A的对应点M的坐标为，点B的对应点N的坐标为，则点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（满分30分）
11．若，且，则 ．
12．在中，若中线和中线相交于G，，那么的长为 ．
13．如图，已知∠1＝∠2，添加条件 后，使△ABC∽△ADE．
14．如图，点为的边上一点，且，点为的中点，交于点，则等于 ．
15．如图，在中，E为边上一点且满足，过点A作的平行线且交延长线于点D，若，，则的长为 ．
16．如图，是一块余料，，现要把它加工成正方形零件，使得正方形的四个顶点，，，都在三角形的三边上，其中点，在边上，加工后正方形的边长为，则的面积为 ．
17．一个三角形框架的模型的边长分别为20厘米、30厘米、40厘米，木工要以一根长180厘米的木条做一个与模型相似的三角形，木条无剩余，那么所制作的三角形的最短边长为 厘米．
18．如图，已知直线、、依次截直线于点A、B、C，截直线于点D、E、F，且，如果，，那么的长为 ．
19．如图，在直角坐标系中与是位似图形，则它们位似中心的坐标是 ．

20．如图，身高米的张亮想利用路灯下的影子测量路灯的高度．张亮晚上由路灯正下方的处走到处，测得影子的长为米，继续往前走米到达处时，测得影子的长为米，路灯的高度为 米．
三、解答题（满分60分）
21．如图，在中，．
(1)在上求作一点D，使（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，求的长．
22．如图，，，，、交于点，求的度数．
23．小明想测量在太阳光下一栋楼高，他设计了一种测量方案如下：如图，小明站到点处时，刚好使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，小明测得落在墙上的影子高度，，（点、、在同一直线上），已知小明的身高是1.7m，请你帮小明求出楼高（结果精确到0.1m）．
24．如图，在中，点、分别在边、上，且，，，．

(1)如果，求线段的长；
(2)设的面积为2，求的面积．
25．如图，正方形中，E、F分别是、上的点，于点P．
(1)如图1，如果点F是的中点，求证：；
(2)如图2，如果，连接，求证：．
26．如图，在平面直角坐标系中，与关于点位似，其中顶点的对应点依次为，且都在格点上．
(1)请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心；
(2)请在图中画出，使之满足如下条件：
①与关于点位似，且与的位似比为；
②与位于点的同侧．
27．如图，直角中，，在上，连接，作分别交于，交于．
(1)如图（1），若，求证：；
(2)如图（2），若，取的中点，连接交于，
求证：①；
②．
28．已知：在中，，为的角平分线，点在角平分线的延长线上．
(1)如图，连接、，，求证，；
(2)过点作，垂足为点；
①如图，若、，求的度数；
②如图，若垂足点恰好与点重合，点在线段上，且点在线段的垂直平分线上，连接，．若，求的面积．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A B A A C C B C
1．解：A．∵，故选项A中的线段成比例；
B．∵，故选项B中的线段成比例；
C．∵，故选项C中的线段不成比例；
D．∵，故选项D中的线段成比例；
故选：C．
2．解：∵，是等边三角形，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
所以A，C，D正确；
在和中，，
可知这两个三角形不相似．
所以B不正确．
故选：B．
3．解：由折叠可得，
∵矩形，
∴，
∵矩形与矩形相似，
∴，即，
∴．
故选：A．
4．解：在正方形中，，
∴，，
∵，
∴，
∵把绕点顺时针旋转，得到，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴三点共线，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B
5．解：∵将放大得到，
∴，，
∵与的周长之比为，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
6．解：∵P为的黄金分割点（），
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
7．解：当时，如图1，
，
，，，
，
，
；
当时，如图2，
，
，，，
，
．
综上，的长为8或．
故选：C．
8．解： ，
，即，
．
故选：C．
9．解：如图，
∵DE∥BC，
∴△AED∽△ABC
∴
设屏幕上图形的高度是x，则
解得x=18cm．
所以，屏幕上图形的高度为18．
故选：B．
10．解：分别过点A、M作x轴的垂线，垂足分别为D、E，如图所示：
∵，
∴，
∵在x轴的下方作的位似图形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选C．
11．解：∵，
∴，又，
∴，
故答案为：6．
12．解：连接，
∵中线和中线相交于点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：6．
13．解：添加条件∠B＝∠D后，△ABC∽△ADE．理由如下：
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，
即∠BAC＝∠DAE，
又∵∠B＝∠D，
∴ABC∽△ADE．
故答案为：∠B＝∠D．
14．解：延长，交于点H，
∵点为的中点，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，即，
∴．
∵，
∴，
，
故答案为：．
15．解：过点A作的平行线且交延长线于点，
，
， ，
，
，，
，即，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
16．解：如下图所示，过点作交于点，
四边形是正方形，
，，
，
，
，，
，
，
解得：，
，
故答案为： ．
17．解：设所制作的三角形的三条边为厘米、厘米、厘米，其中，
∵该三角形与模型相似的三角形，
∴，则，
又∵所制作的三角形是以一根长180厘米的木条所制作的，
∴，同理：，，
即：所制作的三角形的最短边长为40厘米，
故答案为：40．
18．解：∵．
，
，
故答案为：6．
19．解：如图所示：位似中心点P的坐标为．

故答案为：．
20．解： ，
当张亮在处时，，即，
当张亮在处时，，即，
，
米，米，米，米，
设，，
，
解得：，经检验是原方程的根．
，即，
解得米．
即路灯的高度米．
故答案为：6．
21．（1）解：∵，
∴，
如图，点D即为所求．
（2）解：，
．
在中，，
．
，
．
22．解：∵，，，
∴，，
由勾股定理得，，，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为．
23．解：过点作，分别交、于点、，
则，，，
．
因为，所以，
所以，即，
解之，得．
所以．
答：楼高约为20.0m．
24．（1）解：，，
，
且，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
．
25．（1）证明：四边形是正方形，
，
，点是的中点，
，
∵，
，
，
，
．
（2）证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
∵，
，
，
，
，
，
又，
，
，即，
．
26．（1）解：连接、、相交于点，作图如下
（2）解：取、、的中点、、，顺次连接各点，作图如下
27．（1）证明：
在和中，
，
即；
（2）解：①如图，过作交于，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
，
，
设，，
，
，
∴，
∴，
，
；
②如图，过作，
∵，
，
，
由①知，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
28．（1）证明：如图，过点作的延长线于点，于点，则，
∵是的平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②如图，过点作于，过点作于，过点作于，则，
∵点在线段的垂直平分线上，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的面积．