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分课时教学设计
第二课时《4.4解直角三角形的应用》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课内容主要涵盖了利用解直角三角形的知识来解决方向角、坡脚和坡度等实际问题。教材通过实际生活中的例子，如测量坡高、航海问题等，引导学生理解并掌握直角三角形的边角关系，以及锐角三角函数在解决这些问题中的应用。这些内容既是前面所学知识的综合运用，也是高中继续学习三角函数的重要基础。
学习者分析 学生在学习这部分内容之前，已经初步掌握了直角三角形的边角关系、锐角三角函数的基本概念，以及勾股定理等基础知识。因此，他们对于利用这些知识解决实际问题有一定的基础，但可能缺乏将理论知识与实际问题相结合的能力。在教学中，需要注重引导学生将理论知识应用到实际问题中，培养他们的应用意识和解决问题的能力。
教学目标 1.学生能够理解坡角和坡度的概念，并会根据解直角三角形的知识解决与坡角、坡度有关的实际问题。 2.学生能够掌握解直角三角形的基本方法，包括利用三角函数求解边长和角度等。 3.学生能够经历从实际问题抽象出数学模型的过程，学会将实际问题转化为解直角三角形的问题。 4.学生能够通过观察、思考、讨论等方式，逐步掌握解直角三角形的方法和技巧。
教学重点 掌握方向角、坡度等概念及其在实际问题中的应用。
教学难点 三角函数在解直角三角形中的灵活运用。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 观察： 如图，从山脚到山顶有两条路AB与BD，问哪条路比较陡？ 教师提问：如何用数量来刻画哪条路陡呢？学生活动1： 结合生活常识进行回答 积极思考，举手回答问题活动意图说明：通过情境导入，唤起学生求知的欲望，调动学生思维的积极性，激发学生学习新知识的兴趣，有利于活跃课堂教学氛围。环节二：讲授新知教师活动2： 教师讲授：如图，从山坡脚下点A上坡走到点B时，升高的高度h(即线段BC的长度)与水平前进的距离l(即线段AC的长度)的比叫作坡度，用字母i表示，即i= (坡度通常写成1:m的形式) 在图中，∠BAC叫作坡角(即山坡与地平面的夹角)，记作α， 显然，坡度等于坡角的正切， 即i==tanα． 坡度越大，山坡越陡．学生活动2： 认真听讲，结合生活常识理解坡角和坡度的概念 活动意图说明：结合生活常识使学生能够理解坡角和坡度的概念，将坡角和坡度与解直角三角形联系起来，为学生根据解直角三角形的知识解决与坡角、坡度有关的实际问题做铺垫。环节三：例题精析教师活动3： 例2如图，一山坡的坡度为i=1∶2. 小刚从山脚A出发， 沿山坡向上走了 240 m 到达点 C. 这座山坡的坡角是多少度？ 小刚上升了多少米？（角度精确到 0.01°， 长度精确到 0.1 m） 解:用α表示坡角的大小， 由题意可得tanα==0.5，因此 α≈26.57°． 如图， 在Rt△ABC 中， ∠B=90°，∠A=26.57°，AC=240m， 因此sinα==． 从而 BC=240×sin 26.57°≈107.3（m）． 答： 这座山坡的坡角约为26.57°， 小刚上升了约107.3 m． 例3如图，一艘船以40 km/h的速度向正东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上， 继续航行 1 h 到达 B 处， 这时测得灯塔 C 在北偏东 30°方向上. 已知在灯塔 C 的四周 30 km 内有暗礁． 问这艘船继续向东航行是否安全？ 教师分析：这艘船继续向东航行是否安全， 取决于灯塔 C 到 AB 航线的距离是否大于 30 km． 如果大于 30 km， 则安全， 否则不安全． 解:作CD⊥AB，交AB延长线于点D．设CD=xkm. 在 Rt△ACD 中，∵tan∠CAD=， ∴AD==. 同理，在 Rt△BCD 中， BD==． ∵ AB=AD-BD， ∴ =40． 解得 x=20． 又20≈34.64>30， 因此，该船能继续安全地向东航行．学生活动3： 学生认真思考，独立完成习题 学生认真听讲 学生认真思考 学生认真听讲，完成习题 学生认真听讲活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。环节四：课堂总结教师活动4： 教师讲授： 解直角三角形应用题的一般步骤: 1.弄清题中的名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型. 2.将实际问题化归为直角三角形中的边角关系问题.当有些图形不是直角三角形时，可适当添加辅助线，把它们分割成直角三角形或矩形. 3.寻找直角三角形，并解这个三角形.学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡度为1∶(坡度是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比)，则AC的长是( ) A．5米 B．10米 C．15米 D．10米 2.如图所示，渔船在A处看到灯塔C在北偏东60°方向上，渔船沿正东方向航行了12海里到达B处，在B处看到灯塔C在正北方向上，这时渔船与灯塔C的距离是( ) A．12海里 B．6海里 C．6海里 D．4海里 3.小明沿着坡度i为1∶的斜坡向上走了50 m，则小明沿垂直方向升高了________m. 选做题： 4.如图，修建抽水站时，沿着坡度为i＝1∶6的斜坡铺设管道，下列等式成立的是( ) A．sinα＝ B．cosα＝ C．tanα＝ D．以上都不对 5.如图，小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔(图中点A处)在距离北偏东60°方向的500米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是( ) A．250米 B．250米 C.米 D．500米 6.如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE，DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB＝6米，背水坡CD的坡度i＝1∶ (i为DF与FC的比值)，则背水坡CD的坡长为________米． 【综合拓展类作业】 海南为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米(即CD＝2米)，背水坡DE的坡度i＝1∶1(即DB∶EB＝1∶1)，如图所示．已知AE＝4米，∠EAC＝130°，求水坝原来的高度BC. (参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2)
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1. 如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度(坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度)，把一根长5 m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出竿长1 m处的点D离地面的高度DE＝0.6 m，又量得竿底与坝脚的距离AB＝3 m，则石坝的坡度为( ) A. B．3 C. D．4 2. 如图，小岛A在港口P的南偏东45°方向，距离港口81海里处．甲船从A出发，沿AP方向以9海里/时的速度驶向港口；乙船从港口P出发，沿南偏西60°方向，以18海里/时的速度驶离港口．现两船同时出发，当甲船在乙船的正东方向时，行驶的时间为________小时．(结果保留根号) 3.如图，一艘货轮由西向东航行，在A处测得灯塔P在它的北偏东60°方向上，继续向东航行到达B处，测得灯塔P在它的东北方向上，若灯塔P的正南方向4海里的C处是港口，点A，B，C在一条直线上，则这艘货轮由A到B航行的路程为__________海里．(结果保留根号) 【综合拓展类作业】 如图，这是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CB⊥DB，坡面AC的倾斜角为45°.为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i＝∶3.若新坡角下需留3米宽的人行道，则距离原坡角(点A处)10米的建筑物是否需要拆除？说明理由．(参考数据：≈1.414，≈1.732)
教学反思 1.在教学过程中，应注重学生思维多样性的培养，鼓励学生从不同的角度思考问题，提出不同的解决方案。 2.加强与学生的互动和交流，及时了解学生的学习情况和困难，并给予针对性的指导和帮助。 3.通过更多的实际问题和案例，让学生更好地理解和掌握解直角三角形在现实生活中的应用。
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学 科 数学 年 级 九 设计者
教材版本 湘教版 册、章 上册第四章
课标要求 1.利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(sinA,cosA，tanA)，知道30°，45°，60°角的三角函数值。 2.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角。 3.能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。
内容分析 本章是湘教版九年级上册第四章《锐角三角函数》，属于《义务教育数学课程标准》中的“图形与几何”领域中的“图形的变化”.在中学数学教育中，三角学内容被分为两部分：一部分在义务教育第三学段（主要研究锐角三角函数和解直角三角形的内容），另一部分在高中阶段（包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程）。锐角三角函数作为三角学的初步内容，为后续学习三角函数和解斜三角形提供了重要的基础。 本章主要内容包括：锐角三角函数（正弦、余弦和正切）以及解直角三角形。锐角三角函数是自变量为锐角时的三角函数，即缩小了定义域的三角函数。解直角三角形在实际应用中有着广泛的应用，而锐角三角函数为解直角三角形提供了有效的工具。相似三角形的知识和勾股定理也是学习锐角三角函数的重要基础。并且研究图形中各个元素之间的关系，并把这种关系进行量化，是分析和解决问题中常用的一种数形结合的方法，这种方法是一种重要的数学思想.因此本章还包含了数形结合的思想.
学情分析 《锐角三角函数》通常安排在初中数学课程的后期，学生在此之前已经学习了直角三角形、相似三角形以及勾股定理等相关知识。这些知识为学习锐角三角函数提供了必要的基础。且经过之前的学习，学生已经具备了初步的逻辑思维能力和简单的抽象概括能力，掌握了一些科学的学习方法，学会了独立思考和与人合作交流的能力。大部分学生对数学学习有着浓厚的兴趣，乐于参与到学习活动中去，特别是对一些动手操作、合作学习、实践活动等学习内容尤为感兴趣。 然而，也有部分学生基础较差，上课听到的知识课后不会运用，作业的正确率低，个别学生有拖拉作业的习惯。因此，在本章的数学课上，需要培养学生对数学的学习兴趣，让学生善于思考、乐于思考，不怕错误，具有问题意识，并养成良好的学习习惯。
单元目标 （一）教学目标 1.认识锐角三角函数（sinA,cosB,tanA）。 2.知道30°，45°，60°角的三角函数值。 3.会使用计算器求已知锐角的三角函数值，及由已知锐角的三角函数值求锐角。 4.能用锐角三角函数解决一些简单的实际问题。 （二）教学重点、难点 教学重点： 1.正弦、余弦、正切的概念。 2.解直角三角形的方法。 教学难点： 1.用含有几个字母的符号sinA、cosA、tanA表示正弦、余弦、正切。 2.锐角三角函数的概念反映了角度与数值之间对应的函数关系，这种角与数之间的对应关系是学生过去没有接触过的，因此有一定的难度。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数4.1正弦和余弦34.2正切14.3解直角三角形14.4解直角三角形的应用2小结与复习单元复习1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务4.1正弦和余弦（1）1.初步了解锐角三角函数的意义，理解在直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比值就是这个锐角的正弦的定义，并会根据已知直角三角形的边长求一个锐角的正弦值。 2.经历探索直角三角形中边与角的关系的过程会根据已知直角三角形的边长求一个锐角的正弦值任务一：通过问题要求求锐角的对边与斜边的比值。 任务二：经历探索直角三角形中边与角的关系的过程。 任务三：例题精讲，经历求正弦值的过程。 任务四：习题检测。4.1正弦和余弦（2）1.理解并掌握锐角正弦的定义，能够根据定义求出特殊锐角的正弦值。 2.会用计算器求锐角的正弦值。 3.学会利用正弦函数解决直角三角形中的相关问题。1.能够根据定义求出特殊锐角的正弦值。 2.会用计算器求锐角的正弦值。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：动手计算，求出特殊锐角的正弦值。 任务三：用计算器求锐角的正弦值。 任务四：习题检测。4.1正弦和余弦（3）1.理解锐角余弦的概念，掌握余弦函数的定义和计算方法，能够运用余弦函数解决相关问题。 2.用计算器求锐角的余弦值。1.会根据已知直角三角形的边长求一个锐角的余弦值。 2.用计算器求锐角的余弦值。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：理解锐角余弦的概念。 任务三：掌握求余弦值计算方法。 任务四：习题检测。4.2正切1.经历锐角正切的探索过程，理解并掌握锐角正切的概念及其计算方法。 2.掌握正切的符号，会用符号表示一个锐角的正切函数 3.能够运用正切函数解决相关的数学问题。1.会根据已知直角三角形的边长求一个锐角的正切值。 2.用计算器求锐角的正切值。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：理解锐角正切的概念。 任务三：掌握求正切值计算方法。 任务四：习题检测。4.3解直角三角形1.理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。 2.探索发现解直角三角形所需的最简条件。 1.会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。 2.运用数学知识解决一些简单的实际问题任务一：回顾正弦、余弦和正切。 任务二：经历解直角三角形的过程。 任务三：探索发现解直角三角形所需的最简条件。 任务四：习题检测。4.4解直角三角形的应用（1）1.学生能够理解仰角和俯角的概念。 2.学生能够掌握解直角三角形的基本方法。3.学生能够经历从实际问题抽象出数学模型的过程，学会将实际问题转化为解直角三角形的问题。1.会根据直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题。 2.利用三角函数求解边长和角度等。 3.会将实际问题转化为解直角三角形的问题并解决。任务一：回顾解直角三角形。 任务二：探究解直角三角形的应用。 任务三：将实际问题转化为解直角三角形的问题并解决。 任务四：习题检测。4.4解直角三角形的应用（2）运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，使学生能够运用解直角三角形的知识解决有关方向角、坡度等实际问题。能够运用解直角三角形的知识解决有关方向角、坡度等实际问题。任务一：新知导入，问题驱动。 任务二：探究解直角三角形的应用。 任务三：将实际问题转化为解直角三角形的问题并解决。 任务四：习题检测。小结与复习1.回顾锐角三角函数（sinA,cosB,tanA）。 2.巩固30°，45°，60°角的三角函数值。 3.巩固由已知锐角的三角函数值求锐角。 4.能用锐角三角函数解决一些简单的实际问题。1.会求锐角三角函数。 2.能由已知锐角的三角函数值求锐角 3.能用锐角三角函数解决一些简单的实际问题。任务一：回顾旧知，进行单元复习。 任务二：习题检测，查漏补缺。
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（湘教版）九年级
上
4.4解直角三角形的应用（2）
锐角三角函数
第四章
“—”
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
内容总览
教学目标
1.学生能够理解坡角和坡度的概念，并会根据直角三角形的知识解决与坡角、坡度有关的实际问题。
2.学生能够掌握解直角三角形的基本方法，包括利用三角函数求解边长和角度等。
3.学生能够经历从实际问题抽象出数学模型的过程，学会将实际问题转化为解直角三角形的问题。
4.学生能够通过观察、思考、讨论等方式，逐步掌握解直角三角形的方法和技巧。
新知导入
观察
如图，从山脚到山顶有两条路AB与BD，问哪条路比较陡？
如何用数量来刻画哪条路陡呢？
新知讲解
如图，从山坡脚下点A上坡走到点B时，升高的高度h(即线段BC的长度)与水平前进的距离l(即线段AC的长度)的比叫作坡度，用字母i表示，即
i= (坡度通常写成1:m的形式)
在图中，∠BAC叫作坡角(即山坡与地平面的夹角)，记作α， 显然，坡度等于坡角的正切， 即i==tanα．
坡度越大， 山坡越陡．
典例精析
例2
如图，一山坡的坡度为i=1∶2. 小刚从山脚A出发， 沿山坡向上走了 240 m 到达点 C. 这座山坡的坡角是多少度？ 小刚上升了多少米？ （角度精确到 0.01°， 长度精确到 0.1 m）
解:用α表示坡角的大小， 由题意可得tanα==0.5，因此 α≈26.57°．
如图， 在Rt△ABC 中， ∠B=90°，∠A=26.57°，AC=240m，
因此sinα==．
从而 BC=240×sin 26.57°≈107.3（m）．
答： 这座山坡的坡角约为26.57°， 小刚上升了约107.3 ｍ．
典例精析
例3
如图，一艘船以40 km/h的速度向正东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上， 继续航行 1 h 到达 B 处， 这时测得灯塔 C 在北偏东 30°方向上. 已知在灯塔 C 的四周 30 km 内有暗礁． 问这艘船继续向东航行是否安全？
分析: 这艘船继续向东航行是否安全， 取决于灯塔 C 到 AB 航线的距离是否大于 30 km． 如果大于 30 km， 则安全， 否则不安全．
典例精析
解:作CD⊥AB，交AB延长线于点D．设CD=xkm.
在 Rt△ACD 中，∵tan∠CAD=，
∴AD= = .
同理，在 Rt△BCD 中，
BD= = ．
∵ AB=AD-BD，
∴ =40．
解得 x=20．
又20≈34.64>30，
因此，该船能继续安全地向东航行．
典例精析
解直角三角形应用题的一般步骤:
1.弄清题中的名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.
2.将实际间题化归为直角三角形中的边角关系问题.当有些图形不是直角三角形时，可适当添加辅助线，把它们分割成直角三角形或矩形.
3.寻找直角三角形，并解这个三角形.
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1.河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡度为1∶(坡度是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比)，则AC的长是( )
A．5米
B．10米
C．15米
D．10米
A
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
2.如图所示，渔船在A处看到灯塔C在北偏东60°方向上，渔船沿正东方向航行了12海里到达B处，在B处看到灯塔C在正北方向上，这时渔船与灯塔C的距离是( )
A．12海里
B．6海里
C．6海里
D．4海里
B
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
3.小明沿着坡度i为1∶的斜坡向上走了50 m，则小明沿垂直方向升高了________m.
25
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
4.如图，修建抽水站时，沿着坡度为i＝1∶6的斜坡铺设管道，下列等式成立的是( )
A．sinα＝
B．cosα＝
C．tanα＝
D．以上都不对
C
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
5.如图，小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔(图中点A处)在距离北偏东60°方向的500米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是( )
A．250米
B．250米
C.米
D．500米
A
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
6.如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE，DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB＝6米，背水坡CD的坡度i＝1∶ (i为DF与FC的比值)，则背水坡CD的坡长为________米．
12
【综合拓展类作业】
课堂练习
海南为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米(即CD＝2米)，背水坡DE的坡度i＝1∶1(即DB∶EB＝1∶1)，如图所示．已知AE＝4米，∠EAC＝130°，求水坝原来的高度BC.
(参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2)
【综合拓展类作业】
课堂练习
解:设BC＝x米．
在Rt△ABC中，∠CAB＝180°－∠EAC＝50°，
∴AB＝≈＝＝x.
在Rt△EBD中，
∵i＝DB∶EB＝1∶1，
∴DB＝EB，
∴CD＋BC＝AE＋AB，
即2＋x＝4＋x，解得x＝12，
即BC＝12米．
答：水坝原来的高度BC约为12米．
课堂总结
解直角三角形应用题的一般步骤:
1.弄清题中的名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.
2.将实际间题化归为直角三角形中的边角关系问题.当有些图形不是直角三角形时，可适当添加辅助线，把它们分割成直角三角形或矩形.
3.寻找直角三角形，并解这个三角形.
板书设计
坡角、坡度：
方向角：
4.4解直角三角形的应用（2）
习题讲解书写部分
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1.如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度(坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度)，把一根长5 m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出竿长1 m处的点D离地面的高度DE＝0.6 m，又量得竿底与坝脚的距离AB＝3 m，则石坝的坡度为( )
A.
B．3
C.
D．4
B
2.如图，小岛A在港口P的南偏东45°方向，距离港口81海里处．甲船从A出发，沿AP方向以9海里/时的速度驶向港口；乙船从港口P出发，沿南偏西60°方向，以18海里/时的速度驶离港口．现两船同时出发，当甲船在乙船的正东方向时，行驶的时间为________小时．(结果保留根号)
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
(99)
3.如图，一艘货轮由西向东航行，在A处测得灯塔P在它的北偏东60°方向上，继续向东航行到达B处，测得灯塔P在它的东北方向上，若灯塔P的正南方向4海里的C处是港口，点A，B，C在一条直线上，则这艘货轮由A到B航行的路程为__________海里．(结果保留根号)
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
(44)
【综合拓展类作业】
作业布置
如图，这是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CB⊥DB，坡面AC的倾斜角为45°.为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i＝∶3.若新坡角下需留3米宽的人行道，则距离原坡角(点A处)10米的建筑物是否需要拆除？说明理由．(参考数据：≈1.414，≈1.732)
【综合拓展类作业】
作业布置
解：需要拆除．理由如下：
∵CB⊥DB，∠CAB＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝BC＝10米．
在Rt△BCD中，新坡面DC的坡度为i＝∶3，
∴tan∠CDB＝＝，
∴BD＝10米，
∴AD＝BD－AB＝10－10≈7.32(米)．
∵3＋7.32＝10.32(米)＞10米，
∴距离原坡角(点A处)10米的建筑物需要拆除．
25
Thanks!
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