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分课时教学设计
第一课时《4.4解直角三角形的应用》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课主要介绍了如何利用直角三角形的性质解决实际问题，特别是涉及到仰角和俯角的情况。教材通过一系列实际案例，如测量建筑物高度、计算两点间距离等，引导学生理解和掌握解直角三角形的方法。同时，教材也强调了数形结合、方程思想等数学思想的渗透，旨在培养学生的数学应用意识和解决问题的能力。
学习者分析 学生在进入本章学习前，已经掌握了直角三角形的性质、锐角三角函数的概念及特殊角的三角函数值等基础知识。然而，将这些知识应用于实际问题中，特别是涉及到仰角和俯角的情况时，学生可能会感到困难。因此，在教学过程中，需要注重培养学生的数学建模能力和问题解决能力，通过实际案例引导学生理解和掌握解直角三角形的方法。
教学目标 1.学生能够理解仰角和俯角的概念，并会根据直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题。 2.学生能够掌握解直角三角形的基本方法，包括利用三角函数求解边长和角度等。 3.学生能够经历从实际问题抽象出数学模型的过程，学会将实际问题转化为解直角三角形的问题。 4.学生能够通过观察、思考、讨论等方式，逐步掌握解直角三角形的方法和技巧。
教学重点 1.仰角和俯角的概念及其在实际问题中的应用。 2.解直角三角形的基本方法和技巧。
教学难点 1.如何将实际问题转化为解直角三角形的问题。 2.灵活运用三角函数求解边长和角度等。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 回顾 解直角三角形的常见类型 已知两直角边(如a，b)： 由tanA=，求∠A，∠B=90°-∠A，c=; 斜边，一直角边(如c，a): 由sinA=，求∠A，∠B=90°-∠A，b=; 已知锐角，邻边(如∠A，b)： ∠B=90°-∠A，a=btanA，c=; 已知锐角，对边(如∠A，a): ∠B=90°-∠A，a=，c=; 已知锐角，斜边(如∠A，b)： ∠B=90°-∠A，a=ctanA，b=ccosA.学生活动1： 跟随教师的讲授回顾旧知 举手回答问题，认真听讲活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机。环节二：讲授新知教师活动2： 预备知识 教师讲授：仰角和俯角都是视线与水平线所形成的角，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角。 动脑筋 某探险者某天到达如图所示的点A处时，他准备估算出离他的目的地——海拔为3500m的山峰顶点B处的水平距离. 你能帮他想出一个可行的办法吗？ 教师讲授： 如图，BD表示点B的海拔，AE表示点A的海拔，AC⊥BD，垂足为点C.先测量出海拔AE，再测出仰角∠BAC，然后用锐角三角函数的知识就可求出A，B两点之间的水平距离AC． 做一做 如图，如果测得点A的海拔AE为1600 m，仰角∠BAC=40°，求A，B两点之间的水平距离AC（结果保留整数）. 教师讲授： 解: ∵ BD=3500m，AE=1600m，AC⊥BD，∠BAC=40°， ∴ 在Rt△ABC中，tan∠BAC===tan 40°． ∴≈0.839 1， 即 AC ≈2 264（m）. 因此，A，B两点之间的水平距离 AC 约为2264m.学生活动2： 认真听讲，理解仰角和俯角的概念 认真思考，合作交流 从实际问题中抽象出几何图形 应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题活动意图说明：使学生经历从实际问题抽象出数学模型的过程，学会将实际问题转化为解直角三角形的问题。让学生根据直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力。环节三：例题精析教师活动3： 例1如图，在离上海东方明珠塔底部1000m的A处，用仪器测得塔顶的仰角∠BAC 为 25°，仪器距地面高AE为1.7m．求上海东方明珠塔的高度BD(结果精确到1m). 解:如图，在Rt△ABC中，∠BAC=25°，AC=1000m， 因此tan25°==． 从而BC=1000×tan25° ≈ 466.3(m)． 因此，上海东方明珠塔的高度BD=466.3+1.7=468 (m) ． 答：上海东方明珠塔的高度 BD为468m. 学生活动3： 学生认真思考，独立完成习题 学生认真听讲 活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。环节四：课堂总结教师活动4： 运用解直角三角形的知识解决视角相关问题的方法： 1.实际问题中已知视角的度数求边长时，应先根据题意画出直角三角形，求出这个角的三角函数值，再利用三角函数的定义求得相应边长. 2.利用三角函数求实际问题中视角的度数时，应先根据题意画出直角三角形，并根据已知条件求出这个角的三角函数值，再求出角的度数.学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，从热气球A看一栋楼底部C的俯角是（ ） A． B． C． D． 2.如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC的高度为（ ） A．40m B．80m C．120m D．160m 3.在地面上离旗杆底部15米处的地方用测角仪测得旗杆顶端的仰角为 ，如果测角仪的高为1.5米，那么旗杆的高为 米．（用含 的三角函数表示） 选做题： 4.如图所示，在地面上的点A处测得树顶B的仰角α＝75°，若AC＝6米，则树高BC为( ) A．6sin75°米 B.米 C.米 D．6tan75°米 5.如图，在高出海平面100米的悬崖顶A处观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC＝________米． 6.某校数学兴趣小组要测量西山植物园浦宁之珠的高度．如图，他们在点A处测得浦宁之珠最高点C的仰角为45°，再往浦宁之珠方向前进至点B处测得最高点C的仰角为56°，AB＝62 m，根据这个兴趣小组测得的数据，求得浦宁之珠的高度CD约为________m．(参考数据：sin56°≈0.83，tan56°≈1.49，结果精确到0.1 m) 【综合拓展类作业】 如图，某客船失事之后，本着“关爱生命，救人第一”的宗旨，搜救部门紧急派遣直升机到失事地点进行搜救，搜救过程中，假设直升机飞到A处时，发现前方江面上B处有一漂浮物，从A处测得B处的俯角为30°，已知该直升机一直保持在距江面100米高度飞行搜索，飞行速度为10米/秒，求该直升机沿直线方向朝漂浮物飞行多少秒可到达漂浮物的正上方．(结果精确到0.1秒，≈1.73)
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光的照射下在水平地面和坡面上的影子分别是BC，CD，则得BC=6m，CD=4m， ，在D处测得电线杆顶端A的仰角为 ，则电线杆AB的高度为（ ） A． B． C． D． 2.如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道(B、C在同一水平面上)．为了测量B、C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100 m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B、C两地之间的距离为( ) A．100 m B．50 m C．50 m D. m 3.如图，从热气球C处测得地面两点A、B的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为80米，点A、D、B在同一直线上，那么A、B两点的距离是( ) A．160米 B．80米 C．100米 D．80(1＋)米 【综合拓展类作业】 如图，某煤矿因不按规定操作发生瓦斯爆炸，救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A，B两个探测点探测到地下C处有生命迹象．已知A，B两点相距8米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度．(结果保留根号)
教学反思 1.针对学生的困难点，设计更多的实际问题和案例，帮助学生理解和掌握仰角和俯角的概念及其在实际问题中的应用。 2.在教学过程中，注重培养学生的思维能力和创新能力，鼓励学生独立思考和提出新的问题。同时，加强与学生的互动和交流，及时了解学生的学习情况和困难，以便更好地调整教学策略和方法。 3.可以通过引入更多的辅助教学工具，如多媒体课件、动画演示等，帮助学生更直观地理解问题和解决问题。
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学 科 数学 年 级 九 设计者
教材版本 湘教版 册、章 上册第四章
课标要求 1.利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(sinA,cosA，tanA)，知道30°，45°，60°角的三角函数值。 2.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角。 3.能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。
内容分析 本章是湘教版九年级上册第四章《锐角三角函数》，属于《义务教育数学课程标准》中的“图形与几何”领域中的“图形的变化”.在中学数学教育中，三角学内容被分为两部分：一部分在义务教育第三学段（主要研究锐角三角函数和解直角三角形的内容），另一部分在高中阶段（包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程）。锐角三角函数作为三角学的初步内容，为后续学习三角函数和解斜三角形提供了重要的基础。 本章主要内容包括：锐角三角函数（正弦、余弦和正切）以及解直角三角形。锐角三角函数是自变量为锐角时的三角函数，即缩小了定义域的三角函数。解直角三角形在实际应用中有着广泛的应用，而锐角三角函数为解直角三角形提供了有效的工具。相似三角形的知识和勾股定理也是学习锐角三角函数的重要基础。并且研究图形中各个元素之间的关系，并把这种关系进行量化，是分析和解决问题中常用的一种数形结合的方法，这种方法是一种重要的数学思想.因此本章还包含了数形结合的思想.
学情分析 《锐角三角函数》通常安排在初中数学课程的后期，学生在此之前已经学习了直角三角形、相似三角形以及勾股定理等相关知识。这些知识为学习锐角三角函数提供了必要的基础。且经过之前的学习，学生已经具备了初步的逻辑思维能力和简单的抽象概括能力，掌握了一些科学的学习方法，学会了独立思考和与人合作交流的能力。大部分学生对数学学习有着浓厚的兴趣，乐于参与到学习活动中去，特别是对一些动手操作、合作学习、实践活动等学习内容尤为感兴趣。 然而，也有部分学生基础较差，上课听到的知识课后不会运用，作业的正确率低，个别学生有拖拉作业的习惯。因此，在本章的数学课上，需要培养学生对数学的学习兴趣，让学生善于思考、乐于思考，不怕错误，具有问题意识，并养成良好的学习习惯。
单元目标 （一）教学目标 1.认识锐角三角函数（sinA,cosB,tanA）。 2.知道30°，45°，60°角的三角函数值。 3.会使用计算器求已知锐角的三角函数值，及由已知锐角的三角函数值求锐角。 4.能用锐角三角函数解决一些简单的实际问题。 （二）教学重点、难点 教学重点： 1.正弦、余弦、正切的概念。 2.解直角三角形的方法。 教学难点： 1.用含有几个字母的符号sinA、cosA、tanA表示正弦、余弦、正切。 2.锐角三角函数的概念反映了角度与数值之间对应的函数关系，这种角与数之间的对应关系是学生过去没有接触过的，因此有一定的难度。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数4.1正弦和余弦34.2正切14.3解直角三角形14.4解直角三角形的应用2小结与复习单元复习1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务4.1正弦和余弦（1）1.初步了解锐角三角函数的意义，理解在直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比值就是这个锐角的正弦的定义，并会根据已知直角三角形的边长求一个锐角的正弦值。 2.经历探索直角三角形中边与角的关系的过程会根据已知直角三角形的边长求一个锐角的正弦值任务一：通过问题要求求锐角的对边与斜边的比值。 任务二：经历探索直角三角形中边与角的关系的过程。 任务三：例题精讲，经历求正弦值的过程。 任务四：习题检测。4.1正弦和余弦（2）1.理解并掌握锐角正弦的定义，能够根据定义求出特殊锐角的正弦值。 2.会用计算器求锐角的正弦值。 3.学会利用正弦函数解决直角三角形中的相关问题。1.能够根据定义求出特殊锐角的正弦值。 2.会用计算器求锐角的正弦值。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：动手计算，求出特殊锐角的正弦值。 任务三：用计算器求锐角的正弦值。 任务四：习题检测。4.1正弦和余弦（3）1.理解锐角余弦的概念，掌握余弦函数的定义和计算方法，能够运用余弦函数解决相关问题。 2.用计算器求锐角的余弦值。1.会根据已知直角三角形的边长求一个锐角的余弦值。 2.用计算器求锐角的余弦值。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：理解锐角余弦的概念。 任务三：掌握求余弦值计算方法。 任务四：习题检测。4.2正切1.经历锐角正切的探索过程，理解并掌握锐角正切的概念及其计算方法。 2.掌握正切的符号，会用符号表示一个锐角的正切函数 3.能够运用正切函数解决相关的数学问题。1.会根据已知直角三角形的边长求一个锐角的正切值。 2.用计算器求锐角的正切值。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：理解锐角正切的概念。 任务三：掌握求正切值计算方法。 任务四：习题检测。4.3解直角三角形1.理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。 2.探索发现解直角三角形所需的最简条件。 1.会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。 2.运用数学知识解决一些简单的实际问题任务一：回顾正弦、余弦和正切。 任务二：经历解直角三角形的过程。 任务三：探索发现解直角三角形所需的最简条件。 任务四：习题检测。4.4解直角三角形的应用（1）1.学生能够理解仰角和俯角的概念。 2.学生能够掌握解直角三角形的基本方法。3.学生能够经历从实际问题抽象出数学模型的过程，学会将实际问题转化为解直角三角形的问题。1.会根据直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题。 2.利用三角函数求解边长和角度等。 3.会将实际问题转化为解直角三角形的问题并解决。任务一：回顾解直角三角形。 任务二：探究解直角三角形的应用。 任务三：将实际问题转化为解直角三角形的问题并解决。 任务四：习题检测。4.4解直角三角形的应用（2）运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，使学生能够运用解直角三角形的知识解决有关方向角、坡度等实际问题。能够运用解直角三角形的知识解决有关方向角、坡度等实际问题。任务一：新知导入，问题驱动。 任务二：探究解直角三角形的应用。 任务三：将实际问题转化为解直角三角形的问题并解决。 任务四：习题检测。小结与复习1.回顾锐角三角函数（sinA,cosB,tanA）。 2.巩固30°，45°，60°角的三角函数值。 3.巩固由已知锐角的三角函数值求锐角。 4.能用锐角三角函数解决一些简单的实际问题。1.会求锐角三角函数。 2.能由已知锐角的三角函数值求锐角 3.能用锐角三角函数解决一些简单的实际问题。任务一：回顾旧知，进行单元复习。 任务二：习题检测，查漏补缺。
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（湘教版）九年级
上
4.4解直角三角形的应用（1）
锐角三角函数
第四章
“—”
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
内容总览
教学目标
1.学生能够理解仰角和俯角的概念，并会根据直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题。
2.学生能够掌握解直角三角形的基本方法，包括利用三角函数求解边长和角度等。
3.学生能够经历从实际问题抽象出数学模型的过程，学会将实际问题转化为解直角三角形的问题。
4.学生能够通过观察、思考、讨论等方式，逐步掌握解直角三角形的方法和技巧。
新知导入
回顾
已知两直角边(如a,b)：
由tanA=,求∠A,∠B=90°-∠A,c=;
斜边，一直角边(如c,a):
由sinA=,求∠A,∠B=90°-∠A,b=;
解直角三角形的常见类型
新知导入
已知锐角，邻边(如∠A,b)：
∠B=90°-∠A,a=btanA,c=;
已知锐角，对边(如∠A,a):
∠B=90°-∠A,a=,c=;
已知锐角，斜边(如∠A,b)：
∠B=90°-∠A,a=ctanA,b=ccosA.
新知讲解
预备知识
仰角和俯角都是视线与水平线所形成的角，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角。
新知讲解
动脑筋
某探险者某天到达如图所示的点 A 处时， 他准备估算出离他的目地——海拔为 3500 m 的山峰顶点B 处的水平距离. 你能帮他想出一个可行的办法吗？
A
B
C
已知BD=3500m，
求AC
新知讲解
如图， BD 表示点 B 的海拔， AE 表示点 A 的海拔， AC⊥BD， 垂足为点 C. 先测量出海拔AE， 再测出仰角∠BAC， 然后用锐角三角函数的知识就可求出 A，B 两点之间的水平距离 AC．
新知讲解
如图，如果测得点 A 的海拔AE为1600 m，仰角∠BAC=40°，求A，B两点之间的水平距离AC（结果保留整数）.
做一做
解:
∵ BD=3500m,AE=1600m,AC⊥BD,∠BAC=40°,
∴ 在Rt△ABC中,tan∠BAC===tan 40°．
∴≈0.839 1， 即 AC ≈2 264（m）.
因此,A,B两点之间的水平距离 AC 约为2264m.
典例精析
例1
如图，在离上海东方明珠塔底部1000m的A处,用仪器测得塔顶的仰角∠BAC 为 25°,仪器距地面高AE为1.7m．求上海东方明珠塔的高度BD(结果精确到1m).
解:如图,在Rt△ABC中,∠BAC=25°,AC=1000m，
因此tan25°==．
从而BC=1000×tan25° ≈ 466.3(m)．
因此,上海东方明珠塔的高度BD=466.3+1.7=468 (m) ．
答：上海东方明珠塔的高度 BD为468m.
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1.如图，从热气球A看一栋楼底部C的俯角是（ ）
A．∠BAD
B．∠ACB
C．∠BAC
D．∠DAC
D
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
2.如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC的高度为（ ）
A．40m
B．80m
C．120m
D．160m
D
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
3.在地面上离旗杆底部15米处的地方用测角仪测得旗杆顶端的仰角为 α ，如果测角仪的高为1.5米，那么旗杆的高为 米．（用含 α 的三角函数表示）
（1.5+15tanα）
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
4. 如图所示，在地面上的点A处测得树顶B的仰角α＝75°，若AC＝6米，则树高BC为( )
A．6sin75°米
B.米
C. 米
D．6tan75°米
D
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
5.如图，在高出海平面100米的悬崖顶A处观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC＝________米．
100
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
6.某校数学兴趣小组要测量西山植物园浦宁之珠的高度．如图，他们在点A处测得浦宁之珠最高点C的仰角为45°，再往浦宁之珠方向前进至点B处测得最高点C的仰角为56°，AB＝62 m，根据这个兴趣小组测得的数据，求得浦宁之珠的高度CD约为________m．(参考数据：sin56°≈0.83，tan56°≈1.49，结果保留整数)
189
【综合拓展类作业】
课堂练习
如图，某客船失事之后，本着“关爱生命，救人第一”的宗旨，搜救部门紧急派遣直升机到失事地点进行搜救，搜救过程中，假设直升机飞到A处时，发现前方江面上B处有一漂浮物，从A处测得B处的俯角为30°，已知该直升机一直保持在距江面100米高度飞行搜索，飞行速度为10米/秒，求该直升机沿直线方向朝漂浮物飞行多少秒可到达漂浮物的正上方．(结果精确到0.1秒，≈1.73)
【综合拓展类作业】
课堂练习
解:过点B作BD⊥AD于点D，则BD＝100米，
在Rt△ABD中，tan∠BAD＝，
∴AD＝＝100米．
∵直升机的飞行速度为10米/秒，
∴飞行时间为100÷10＝10≈17.3(秒)，
∴该直升机沿直线方向朝漂浮物飞行约17.3秒可到达漂浮物的正上方．
课堂总结
1.实际问题中已知视角的度数求边长时，应先根据题意画出直角三角形，求出这个角的三角函数值，再利用三角函数的定义求得相应边长.
2.利用三角函数求实际问题中视角的度数时，应先根据题意画出直角三角形，并根据已知条件求出这个角的三角函数值，再求出角的度数.
运用解直角三角形的知识解决视角相关问题的方法
板书设计
仰角、俯角：
运用解直角三角形的知识解决视角相关问题的方法：
4.4解直角三角形的应用（1）
习题讲解书写部分
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1.如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光的照射下在水平地面和坡面上的影子分别是BC，CD，则得BC=6m，CD=4m， ，在D处测得电线杆顶端A的仰角为 ，则电线杆AB的高度为（ ）
A．
B．
C．
D．
B
2.如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道(B、C在同一水平面上)．为了测量B、C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100 m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B、C两地之间的距离为( )
A．100 m
B．50 m
C．50 m
D. m
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
A
3.如图，从热气球C处测得地面两点A、B的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为80米，点A、D、B在同一直线上，那么A、B两点的距离是( )
A．160米
B．80米
C．100米
D．80(1＋)米
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
D
【综合拓展类作业】
作业布置
如图，某煤矿因不按规定操作发生瓦斯爆炸，救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A，B两个探测点探测到地下C处有生命迹象．已知A，B两点相距8米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度．(结果保留根号)
【综合拓展类作业】
作业布置
解：过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，如图所示，
由已知可得，AB＝8米，∠CBD＝45°，∠CAD＝30°，
∴AD＝，BD＝，
∴AB＝AD－BD＝－，
即8＝－，
解得CD＝(4＋4)米，
即生命所在点C的深度是(4＋4)米．
Thanks!
2
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