13.3.2 等边三角形--含30度角的直角三角形 专项练 2024--2025学年上学期初中数学人教版八年级上册
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| 名称 | 13.3.2 等边三角形--含30度角的直角三角形 专项练 2024--2025学年上学期初中数学人教版八年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 922.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-18 19:02:22 | ||
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文档简介
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13.3.2 等边三角形--含30度角的直角三角形
专项练 2024--2025学年上学期初中数学人教版八年级上册
一、单选题
1．如图所示，是等边三角形，D为的中点，，垂足为E．若，则的边长为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
2．如图，在中，分别是的角平分线和高线，交于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，，点在的延长线上，，，则的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
4．如图，嘉琪想测量一座古塔的高度，在A处测得，再往前行进到达B处，测得，点 A，B，D在同一条直线上，根据测得的数据，这座古塔的高度为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，，平分，，垂足为E，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．如图，为的角平分线，，，点P，C分别为射线，上的动点，则的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图，在中，，，，点P从点B出发以每秒的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒，当为直角三角形时，t的值为（ ）
A．秒 B．3秒 C．或3秒 D．3或秒
8．如图所示是“人字形”钢架，其中斜梁，顶角，跨度，为支柱即底边的中线、两根支撑架、，则等于（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，若将沿DE折叠，使点B与点A重合，则折痕的长为（ ）
A． B．3 C． D．
10．如图，在中，，，，平分交于点，交于点，下列结论不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．如图，点D为的边上一点，且满足，作于点E，若，则的长为 ．
12．已知等腰的一底角∠B=15°，且斜边AB＝6cm，则的面积为
13．如图是屋架设计图的一部分，其中，点D是斜梁的中点，垂直于横梁，若，则的长为 m．
14．如图，某时刻码头A和码头B分别在游船M的南偏东和南偏东方向上，已知A，B相距1000米，此时游船M距离岸边的距离为 米．
15．如图，在四边形中，，则的长为 ．
16．如图，在中，，，D是的中点，，则 ．
三、解答题
17．如图，是等边三角形，点D为边上一点，，垂足为E，过D作交于点F，连接，若，求的边长．
18．如图，在等边中，点D为上一点，．
(1)求证：；
(2)延长交于点F，连接，若，猜想线段之间的数量关系，并证明你的猜想．
19．如图，在中，，为的中点，于点，于点，且，连接，点在的延长线上，且．
(1)求证：是等边三角形；
(2)若，求的长．
20．如图，在等边中，交于点于点．
(1)求证：；
(2)求证：
参考答案：
1．A
解：∵是等边三角形，D为的中点，，垂足为点E．若，
∴在直角三角形中，，，，
∴，
又∵D为的中点，
∴，
∴等边三角形的边长为12，
2．A
解：∵中，，，
∴，
∵是的角平分线，是高，
∴，，
∵，
∴的值为，
3．A
解：过点作，垂足为，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
4．B
解：∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
5．B
解：在中，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴．
6．A
解：过点B作于D，交于P，过P作于C，此时的值最小，
∵为的角平分线，，
∴，
∴，
∵，，
∴．
7．D
解：根据题意得：，，
为直角三角形，，
当时，则，
，解得：，
当时，则，
，解得：，
综上，当t的值为3秒或秒时，为直角三角形，
8．B
解：，，
，
，，垂足为，，
，，
，
．
9．A
解：∵将折叠，使点B与点A重合，
∴，，
在中，，
，，
,
∴平分，
∵，，
，
∴，
∵，
∴，
∴
10．D
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故A选项成立，不符合题意；
∵，，
∴，
∴，故B选项成立，不符合题意；
∵，，
∴，故C选项成立，不符合题意；
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故D选项错误，符合题意．
11．3
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案为：3．
12．
如图，过点C作CD⊥AB交BA的延长线于D，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B=15°，
∴∠CAD=∠ACB+∠B=15°+15°＝30°，
∴CD=AC＝6=3cm，
∴ cm2，
故答案为：．
13．
解：∵垂直于横梁，
∴，
∵，，
∴，
∵点D是斜梁的中点，
∴，
故答案为：．
14．500
过点作于点，
由题意，得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
即：游船M距离岸边的距离为500米；
故答案为：500．
15．
解：延长交于点E，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
故答案为：．
16．
解：连接，如图：
，，
，
D是的中点，，
，
，
，
，，
，
故答案为：．
17．的边长是3．
证明：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形
∴，
∴，
∴，
在和中
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴的边长为3．
18．(1)见解析
(2)．理由见解析
（1）∵为等边三角形，
∴．
又∵，
∴．
（2）．证明如下：
∵，
∴垂直平分．
∵，
∴平分，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴在中，．
19．(1)见解析
(2)
（1）证明：于点，于点，
，
为的中点，
，
在与中，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形；
（2）解：由（1）知，是等边三角形，
，
，
，
，
，
∴，
，
，
，，
，
，
．
20．(1)见解析
(2)见解析
（1）证明：∵是等边三角形，
∴，．
在与中，
∴．
（2）∵，
，
，
．
．
，
．
．
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13.3.2 等边三角形--含30度角的直角三角形
专项练 2024--2025学年上学期初中数学人教版八年级上册
一、单选题
1．如图所示，是等边三角形，D为的中点，，垂足为E．若，则的边长为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
2．如图，在中，分别是的角平分线和高线，交于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，，点在的延长线上，，，则的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
4．如图，嘉琪想测量一座古塔的高度，在A处测得，再往前行进到达B处，测得，点 A，B，D在同一条直线上，根据测得的数据，这座古塔的高度为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，，平分，，垂足为E，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．如图，为的角平分线，，，点P，C分别为射线，上的动点，则的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图，在中，，，，点P从点B出发以每秒的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒，当为直角三角形时，t的值为（ ）
A．秒 B．3秒 C．或3秒 D．3或秒
8．如图所示是“人字形”钢架，其中斜梁，顶角，跨度，为支柱即底边的中线、两根支撑架、，则等于（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，若将沿DE折叠，使点B与点A重合，则折痕的长为（ ）
A． B．3 C． D．
10．如图，在中，，，，平分交于点，交于点，下列结论不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．如图，点D为的边上一点，且满足，作于点E，若，则的长为 ．
12．已知等腰的一底角∠B=15°，且斜边AB＝6cm，则的面积为
13．如图是屋架设计图的一部分，其中，点D是斜梁的中点，垂直于横梁，若，则的长为 m．
14．如图，某时刻码头A和码头B分别在游船M的南偏东和南偏东方向上，已知A，B相距1000米，此时游船M距离岸边的距离为 米．
15．如图，在四边形中，，则的长为 ．
16．如图，在中，，，D是的中点，，则 ．
三、解答题
17．如图，是等边三角形，点D为边上一点，，垂足为E，过D作交于点F，连接，若，求的边长．
18．如图，在等边中，点D为上一点，．
(1)求证：；
(2)延长交于点F，连接，若，猜想线段之间的数量关系，并证明你的猜想．
19．如图，在中，，为的中点，于点，于点，且，连接，点在的延长线上，且．
(1)求证：是等边三角形；
(2)若，求的长．
20．如图，在等边中，交于点于点．
(1)求证：；
(2)求证：
参考答案：
1．A
解：∵是等边三角形，D为的中点，，垂足为点E．若，
∴在直角三角形中，，，，
∴，
又∵D为的中点，
∴，
∴等边三角形的边长为12，
2．A
解：∵中，，，
∴，
∵是的角平分线，是高，
∴，，
∵，
∴的值为，
3．A
解：过点作，垂足为，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
4．B
解：∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
5．B
解：在中，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴．
6．A
解：过点B作于D，交于P，过P作于C，此时的值最小，
∵为的角平分线，，
∴，
∴，
∵，，
∴．
7．D
解：根据题意得：，，
为直角三角形，，
当时，则，
，解得：，
当时，则，
，解得：，
综上，当t的值为3秒或秒时，为直角三角形，
8．B
解：，，
，
，，垂足为，，
，，
，
．
9．A
解：∵将折叠，使点B与点A重合，
∴，，
在中，，
，，
,
∴平分，
∵，，
，
∴，
∵，
∴，
∴
10．D
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故A选项成立，不符合题意；
∵，，
∴，
∴，故B选项成立，不符合题意；
∵，，
∴，故C选项成立，不符合题意；
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故D选项错误，符合题意．
11．3
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案为：3．
12．
如图，过点C作CD⊥AB交BA的延长线于D，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B=15°，
∴∠CAD=∠ACB+∠B=15°+15°＝30°，
∴CD=AC＝6=3cm，
∴ cm2，
故答案为：．
13．
解：∵垂直于横梁，
∴，
∵，，
∴，
∵点D是斜梁的中点，
∴，
故答案为：．
14．500
过点作于点，
由题意，得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
即：游船M距离岸边的距离为500米；
故答案为：500．
15．
解：延长交于点E，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
故答案为：．
16．
解：连接，如图：
，，
，
D是的中点，，
，
，
，
，，
，
故答案为：．
17．的边长是3．
证明：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形
∴，
∴，
∴，
在和中
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴的边长为3．
18．(1)见解析
(2)．理由见解析
（1）∵为等边三角形，
∴．
又∵，
∴．
（2）．证明如下：
∵，
∴垂直平分．
∵，
∴平分，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴在中，．
19．(1)见解析
(2)
（1）证明：于点，于点，
，
为的中点，
，
在与中，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形；
（2）解：由（1）知，是等边三角形，
，
，
，
，
，
∴，
，
，
，，
，
，
．
20．(1)见解析
(2)见解析
（1）证明：∵是等边三角形，
∴，．
在与中，
∴．
（2）∵，
，
，
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