西城区2016年中考复习《图形变换》建议讲义及练习

北京市西城区重点中学2015-2016学年度第二学期初三数学中考复习
《图形变换》复习建议
平移、轴对称和旋转是几何变换中的基本变换. 通过平移、轴对称、旋转变换可以使复杂图形简单化、一般图形特殊化, 分散条件集中化. 从图形变换的角度思考问题, 可以整体把握图形的性质, 解决问题的思路更加简明、清晰. 当图形运动变化的时候, 从运动变换的角度分析图形, 更容易发现不变量和特殊图形.
一、2016年《考试说明》的要求
考试内容 考试要求
A B C
图形的变化 图形的平移 了解平移的概念; 理解平移的基本性质. 能画出简单平面图形平移后的图形; 能利用平移的性质解决有关简单问题. 运用平移的有关内容解决有关问题
图形的轴对称 了解轴对称的概念; 理解轴对称的基本性质; 了解轴对称图形的概念. 能画出简单平面图形关于给定对称轴的对称图形; 探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质; 能利用轴对称的性质解决有关简单问题. 运用轴对称的有关内容解决有关问题
图形的旋转 认识平面图形关于旋转中心的旋转; 理解旋转的基本性质; 了解中心对称、中心对称图形的概念; 理解中心对称的基本性质. 能画出简单平面图形关于给定旋转中心的旋转图形; 探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质; 能利用旋转的性质解决有关简单问题. 运用旋转的有关内容解决有关问题
二、图形变换在近年中考中的呈现方式
显性: 题目以图形变换的语言叙述或图形本身具有变换的特征.
隐性: 解决问题时需利用图形变换的观点分析和思考, 并能适当添加辅助线构造所需图形.
三、对图形变换的认识过程
1. 掌握图形变换的概念和性质;
2. 对已学图形和常用辅助线的再认识:
(1) 从图形的构成和图形特点分析图形的轴对称性、中心对称和旋转对称性.
(2) 从图形变换的角度分析添加辅助线后构造出的图形性质.
3. 掌握基本辅助线:
(1) 中点、中线——中心对称——倍长中线——中位线
(2) 等腰三角形、角平分线、垂直平分线——轴对称——截长补短;
(3) 平行四边形、梯形——平移;
(4) 正多边形、共端点的等线段——旋转;
4. 利用图形变换的观点分析和思考问题并能适当添加辅助线构造特殊图形.
5. 用变换的性质解决坐标系中的图形变换问题, 用变换的观点研究函数的平移和对称.
四、复习建议
1. 基本概念明晰
平移、轴对称、旋转都是全等变换, 只改变图形的位置, 不改变图形的形状和大小.
由于变换方式的不同, 故变换前后具有各自的性质.
(1) 平移、轴对称、旋转
平移 轴对称 旋转
相同点 都是全等变换, 即变换前后的图形全等.
不同点 定义 把一个图形沿某一方向移动一定距离的图形变换, 叫~. 把一个图形沿着某一条直线折叠的图形变换叫~. 把一个图形绕着某一定点转动一个角度的图形变换叫~.
图形
要素 平移方向平移距离 对称轴 旋转中心、旋转方向、旋转角度
性质 连接各组对应点的线段平行(或共线)且相等. 任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分. 对应点到旋转中心的距离相等; 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角. 即: 对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等.
(2) 旋转与中心对称
中心对称是一种特殊的旋转(旋转180°), 满足旋转的性质, 由旋转的性质可以得到
中心对称性质.
旋转 中心对称
图形
性质 1 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角. 对称点所连线段都经过对称中心.
2 对应点到旋转中心的距离相等. 对称点所连线段被对称中心所平分.
3 旋转前、后的图形全等. 关于中心对称的两个图形是全等图形
2. 三种变换之间的一些联系.
①连续两次对称轴平行的轴对称变换可实现一次平移.
②以两垂直直线为对称轴, 连续做轴对称变换可实现中心对称变换.
③以两相交直线为对称轴, 连续做轴对称变换可实现旋转变换.
例: 已知△ABC, 直线PQ、PR, 作△ABC关于PQ的对称图形△A'B'C', 再作△A'B'C'关于PR的对称图形△A''B''C'', 则△ABC与△A''B''C''的关系是以P为中心将△ABC旋转2∠QPR得到△A''B''C'' . 由此可知, 将一个图形关于两条相交直线轴对称两次, 则可得到原图形关于两直线交点的旋转两倍夹角后的图形.
3. (1) 常见的平移有: 平移梯形的腰、对角线、高、平行四边形等.
(2) 涉及到“对称”均可考虑对称变换.
如沿等腰三角形的底边上的高翻折, 沿角的平分线翻折等.
(3) 常用到旋转的有绕等边三角形的一个顶点旋转60 , 绕正方形的一个顶点旋转90 、
绕等腰三角形的顶点旋转, 旋转角等于等腰三角形的顶角等.
五、专题复移变换
1. (2011湖北黄冈) 如图, 把Rt△ABC放在直角坐标系内, 其中
∠CAB=90°, BC=5, 点A、B的坐标分别为(1, 0) 、(4, 0) ,
将△ABC沿x轴向右平移, 当点C落在直线y=2x6上时, 线段
BC扫过的面积为( C )
A. 4 B. 8 C. 16 D. 8
2. 如图, 在梯形ABCD中, AD∥BC, ∠B=90°, ∠C=45°, AD=1, BC=4,
E 为AB中点, EF //DC交BC于点F, 求EF的长．
3. (2007北京) 如图, 已知△ABC.
(1) 请你在BC边上分别取两点D, E(BC的中点除外) , 连结AD, AE, 写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件, 并表示出面积相等的三角形;
(2) 请你根据使(1) 成立的相应条件, 证明AB+AC > AD+AE.
4. 如图, 在Rt△ABC中, AD=BC, CD=BE. 求∠BOE的度数 45
轴对称变换
●轴对称计算．
5. (2014怀柔二模) 如图(a) , 有一张矩形纸片ABCD, 其中AD=6cm, 以AD为直径的半圆, 正好与对边BC相切,将矩形纸片ABCD沿DE折叠, 使点A落在BC上, 如图(b), 则半圆被覆盖部分(阴影部分) 的面积为________.
6. (2012江苏南京) 如图, 菱形纸片ABCD中,
∠A=60, 将纸片折叠, 点A、D分别落在A'、D' 处,
且A'D' 经过B, EF为折痕, 当D' FCD时, 的
值为( A )
A. B. C. D.
7. (1) 如图, 在直角坐标系中, 将矩形OABC沿OB对折, 使点A落在点处, 若OA =,
, 则点A' 的坐标是多少 (,)
(2) 如图, 把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中, 使OA、OC分别落在x轴、y轴上,
连结OB, 将纸片OABC沿OB折叠, 使点A落在A' 的位置, 若OB =,,
则点A' 的坐标是多少
●最短路径问题．
基本图形已经归纳总结在总复习书中
8.(2010天津)在平面直角坐标系中, 矩形的顶点O在坐标原点, 顶点A、B分别在x轴、
y轴的正半轴上, , , D为边OB的中点.
(Ⅰ) 若为边上的一个动点, 当△的周长最小时, 求点的坐标; (1, 0)
(Ⅱ) 若、为边上的两个动点, 且, 当四边形的周长最小时,
求点、的坐标. (, 0), (, 0)
9. 如图1, 已知等边△ABC的边长为1, D、E、F分别是AB、BC、AC边上的点(均不与点A、B、C重合) , 记△DEF的周长为.
(1) 若D、E、F分别是AB、BC、AC边上的中点, 则=_____;
(2) 若D、E、F分别是AB、BC、AC边上任意点, 则的取值范围是 . ≤ p < 3
小亮和小明对第(2) 问中的最小值进行了讨论, 小亮先提出了自己的想法: 将△ABC以AC边为轴翻折一次得, 再将以为轴翻折一次得, 如图2所示. 则由轴对称的性质可知, , 根据两点之间线段最短, 可得. 老师听了后说: “你的想法很好, 但的长度会因点D的位置变化而变化, 所以还得不出我们想要的结果.”小明接过老师的话说: “那我们继续再翻折3次就可以了”.请参考他们的想法, 写出你的答案.
●轴对称证明题．
10. (2012西城)已知: 在如图1所示的锐角三角形ABC中, CH⊥AB于点H, 点B关于直线CH的对称点为D, AC边上一点E满足∠EDA=∠A, 直线DE交直线CH于点F．
(1) 求证: BF∥AC;
(2) 若AC边的中点为M, 求证: ;
(3) 当AB=BC时(如图2) , 在未添加辅助线和其它字母的条件下, 找出图2中所有与BE相等的线段, 并证明你的结论．
旋转变换
●旋转变换的常见应用
(一) 以等边三角形为背景的旋转问题
11.如图, C为BD上一点,分别以BC, CD为边向同侧作等边△ABC与△ECD, AD, BE相交于点M.
①探究线段BE和AD的数量关系和位置关系. 在图中你还发现了什么结论
②当△ECD绕点C在平面内顺时针转动到如图所示的位置时, 线段BE和AD有何关系.
在转动的过程中, 特别是在一些特殊的位置, 你还会发现什么结论 有哪些结论是不随图形位置的变化而改变的呢
③如图, A、D、E在一直线上, △ABC、△CDE是等边三角形, 若BE=15cm, AE=6cm,
求CD的长度及∠AEB的度数. 9cm, 60°
12. 如图, D是等边△ABC内一点, 将△ADC绕C点逆时针旋转, 使得A、D两点的对应点分别为B、E, 则旋转角为_60_, 图中除△ABC外, 还有等边三角形是_△DEC __.
13. 已知E为正△ABC内任意一点. 求证: 以AE、BE、CE为边可以构成一个三角形.
若∠BEC=113, ∠AEC=123, 求构成三角形的各角度数. 63, 53, 64
14. 如图, △ABC是等边三角形, BM = 2, CM = 3, 求AM的最大值、最小值. 5, 1
(二) 以正方形或等腰直角三角形为背景的旋转问题
15. 如图①, B,C,E是同一直线上的三个点, 四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形.
连接BG,DE.
(1) 探究BG与DE之间的大小关系, 并证明你的结论;
(2) 当正方形CEFG绕点C在平面内顺时针转动到如图②所示
的位置时, 线段BG和ED有何关系 在转动的过程中, 特别是在一些特殊的位置, 你还会发现什么结论 有哪些结论是不随图形位置的变化而改变的呢
16. 如图1, 已知点D在AC上, △ABC和△ADE都是等腰直角三角形, 点M为EC的中点.
(1) 求证: △BMD为等腰直角三角形.
(2) 将△ADE绕点A逆时针旋转, 如图2, (1)中的“△BMD为等腰直角三角形”成立吗 .
(3) 我们是否可以猜想, 将△ADE绕点A任意旋转一定的角度, 如图3, (1)中的“△BMD为等腰直角三角形”均成立？(不用说明理由) .
(三) 以一般等腰三角形为背景的旋转问题
17. (1)如图①, 已知在△ABC中, AB=AC, P是△ABC内部任意一点, 将AP绕A顺时针旋转至AQ, 使∠QAP =∠BAC, 连接BQ、CP. 求证: BQ = CP.
(2) 如图②,将点P移到等腰三角形ABC之外, (1)中的
条件不变, “BQ=CP” 还成立吗
18. 在等腰△ABC中, AB=AC, D是△ABC内一点, ∠ADB =∠ADC. 求证: ∠DBC =∠DCB.
小结: (1) 只要图形中存在公共端点的等线段, 就可能形成旋转型问题.
(2) 当旋转角是60时, 作一个图形旋转后的图形的存在等边三角形; 当旋转角是90时, 存在等腰直角三角形. 反之, 如果图形中存在两个等边三角形或等腰直角三角形, 可以从图形旋转的角度分析图形关系.
●旋转变换在综合题中的应用
19. 在Rt△ABC中, ∠ACB=90°, tan∠BAC = , 点D在边AC上(不与A, C重合) ,
连结BD, F为BD中点.
(1) 若过点D作DE⊥AB于E, 连结CF、EF、CE, 如图1． 设, 则k = ; 1
(2) 若将图1中的△ADE绕点A旋转, 使得D、E、B三点共线, 点F仍为BD中点,
如图2所示. 求证: BE DE = 2CF;
(3) 若BC=6, 点D在边AC的三等分点处, 将线段AD绕点A旋转, 点F始终为BD中点,
求线段CF长度的最大值. 4
20. △ABC和△DBE是绕点B旋转的两个相似三角形, 其中ABC与DBE、A与D为对应角.
(1) 如图1, 若△ABC和△DBE分别是以ABC与DBE为顶角的等腰直角三角形, 且两三角形旋转到使点B、C、D在同一直线上的位置时, 请直接写出线段AD与线段EC的关系; 垂直相等
(2) 若△ABC和△DBE为含有30角的两直角三角形, 且两个三角形旋转到如图2的位置时, 试确定线段AD与EC线段的关系, 并说明理由; AD⊥EC,
(3) 若△ABC和△DBE为如图3的两个三角形, 且ACB = , BDE = , 在绕点B旋转的过程中, 直线AD与EC夹角的度数是否改变 若不改变, 直接写出用含、 的式子表示夹角的度数; 若改变, 请说明理由. 180° α – β
21. (2008北京) 请阅读下列材料:
问题: 如图1, 在菱形ABCD和菱形BEFG中, 点A, B, E在同一条直线上, P是线段DF的中点,
连结PG, PC. 若ABC = BEF = 60, 探究PG与PC的位置关系及的值.
小聪同学的思路是: 延长GP交DC于点H, 构造全等三角形, 经过推理使问题得到解决.
请你参考小聪同学的思路, 探究并解决下列问题:
(1) 写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及的值;
(2) 将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转, 使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上, 原问题中的其他条件不变(如图2) . 你在(1) 中得到的两个结论是否发生变化 写出你的猜想并加以证明.
(3) 若图1中ABC =BEF = 2α (0 < α < 90), 将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度,
原问题中的其他条件不变, 请你直接写出的值(用含α的式子表示) .
函数与变换
22. (2014房山二模) 已知关于x的一元二次方程
x2 – 3x + k – 1 = 0有实数根, k为正整数.
(1) 求k的值;
(2) 当此方程有两个不为0的整数根时, 将关于
x的二次函数y = x2 – 3x + k – 1的图象向下平移
2个单位, 求平移后的函数图象的解析式;
(3) 在(2) 的条件下, 将平移后的二次函数图象
位于y轴左侧的部分沿x轴翻折, 图象的其余
部分保持不变, 得到一个新的图象G.
当直线 y = 5x + b与图象G有3个公共点时, 请你直接写出b的取值范围.
23. (2012北京)已知二次函数在与的函数值相等.
(1) 求二次函数的解析式;
(2) 若一次函数y = kx + 6的图象与二次函数的图象都经过点A(, ) , 求m与k的值;
(3) 设二次函数的图象与x轴交于点B, C(点B在点C的左侧 ) , 将二次函数的图象B, C间的
部分(含点B和点C) 向左平移n () 个单位后得到的图象记为G, 同时将(2) 中得到的
直线y = kx + b向上平移n个单位.
请结合图象回答: 平移后的直线与图象G有公共点时, n的取值范围.
24. (2014丰台二模) 如图, 经过原点的抛物线 y = x2 + bx (b > 2) 与x轴的另一交点为A,
过点P(1, ) 作直线PN⊥x轴于点N, 交抛物线于点B. 点B关于抛物线对称轴的
对称点为C. 连结CB, CP.
(1) 当b = 4时, 求点A的坐标及BC的长;
(2) 连结CA, 求b的适当的值, 使得CA⊥CP;
(3) 当b = 6时, 如图2, 将△CBP绕着点C按逆时针方向旋转, 得到△CB'P', CP与抛物线
对称轴的交点为E, 点M为线段B'P' (包含端点) 上任意一点, 请直接写出线段EM长度
的取值范围.
A
B
C
O
y
x
C
B
D
E
A
A
B
C
B
O
A
D
C
E
(a)
C
B
F
E
A
A'
D
D'
A
B
C
O
D
D'
E
y
x
x
y
C
B
D
O
A
图2
图1
A
B
C
D
E
M
A
B
E
D
C
A
B
C
D
E
M
第13题图
第12题图
M
C
A
B
M'
M
C
B
A
A
B
C
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E
F
G
A
B
C
D
E
F
G
图②
图①
图3
图2
图1
A
B
C
P
Q
A
B
C
P
Q
图①
图②
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B
C
D
E
图2
图3
图1
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B
C
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E
30
30
A
B
E
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C
C
B
G
F
A
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D
E
C
B
F
E
A
P
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G
图2
图1
1
x
y
1
O
1
2
3
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