选择必修第二册 第四章 4.3.1 等比数列的概念（第1课时）课件(共25张PPT)

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第四章 数列
4.3 等比数列
4.3.1 等比数列的概念（第1课时）
教学目标
学习目标 数学素养
1.理解等比数列的定义，会判定数列是否是等比数列． 1.数学抽象素养和逻辑推理素养.
2.理解等比中项的概念并会运用． 2.数学抽象素养.
3.掌握等比数列的通项公式，并了解其推导过程，体会等比数列与指数函数的关系. 3.逻辑推理素养和数学运算素养.
温故知新
1.等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列. 这个常数叫做等差数列的公差通常用字母d表示.
2.等差中项
等差数列的符号语言：an－an－1 = d (d是常数，n≥2，)
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时，A叫做a与b的等差中项.
2A=a+b或A=.
3.等差数列的通项公式
an=a1+(n-1)d.
首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为
知新引入
我们知道，等差数列的特征是“从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数”，类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的？
如果我们不是考虑相邻两项的差，而是考虑相邻两项的比，会得到什么样的数列呢？请看下面几个问题中的数列.
1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列:
9,92,93，…，910； ①
100,1002,1003，…，10010； ②
5，52,53，…，510. ③
古巴比伦用六十进制记数，这里转化为十进制.
2.《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是：
④
知新探究
3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是
2，4,8,16,32,64，…. ⑤
4.某人存入银行a元，存期为5年，年利率为r，那么按照复利，他5年内每年年末得到的本利和分别是：
细菌个数
第1次
第2次
第3次
2
4
第 n 次
……
分裂次数
8
2n
a(1＋r)，a(1＋r) ，a(1＋r) ，a(1＋r)4，a(1＋r)5 . ⑥
复利是指把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.
知新探究
9,92,93，…，910； ①
100,1002,1003，…，10010； ②
5，52,53，…，510. ③
④
我们可以通过除法运算探究以上数列的规律.
类比等差数列，你认为可以通过怎样的运算发现以下数列的取值规律？你发现了什么规律？
2，4,8,16,32,64，…. ⑤
a(1＋r)，a(1＋r) ，a(1＋r) ，a(1＋r)4，a(1＋r)5 . ⑥
如果用{an}表示数列①，那么有
数列①有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于 9．
.
其余数列也有这样的规律：从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数.
新知探究
类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能否抽象出等比数列的概念吗？
等差数列
定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列(arithmetic progression). 这个常数叫做等差数列的公差(common difference)，通常用字母d表示.
符号表示
an－an－1 = d (n≥2，)
()
等比数列
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列(geometric progression). 这个常数叫做等差数列的公比(common ratio)，通常用字母q表示(显然q≠0).
(n≥2，).
().
知新探究
请大家说一说①，②，③，④，⑤，⑥这六个例子的公比分别是多少？
⑴公差q是由后项除以前项所得，不能用前项除以后项来求.
.
注意：
⑵符号表示：(n≥2，)或().
⑶等比数列的每一项和公比都不为0().
⑷当q=1时，{an}为非零常数数列；当q<0时,{an}是摆动数列（正负项交替）.
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列(geometric progression). 这个常数叫做等差数列的公比(common ratio)，通常用字母q表示(显然q≠0).
知新探究
由三个数a，A，b组成的等差数列，A叫做a与b的等差中项.此时，A=.
如果a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项(geometric mean).此时，G2=ab.
任意实数a与b有且只有一个等差中项.
在等差数列中，我们学习了等差中项的概念.通过类比，在等比数列中有什么相应的概念？如何定义？
⑴实数a与b有等比中项的条件是：a与b同号；
⑵若实数a与b有等比中项，则它们的等比中项为G=.
⑶一个等比数列从第2项起，每一项是它的前一项与后一项的等比中项.
新知探究
an+1=an q.
方法1：设一个等比数列的首项是a1，公比是q，根据等比数列的定义，可得
所以
a4=a3q=(a1q2)q=a1q3，
a2=a1q，
因此，首项为a1，公比为q的等比数列{an}的通项公式为
类比等差数列的通项公式，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？
a3=a2q=(a1q)q=a1q2，
……
由此可得
an=a1qn-1(n≥2).
又a1=a1q0=a1q1-1，这就是说，当n=1时上式也成立.
an=a1qn-1.
不完全归纳法
新知探究
q.
方法2：设一个等比数列的首项是a1，公比是q，根据等比数列的定义，可得
所以
q，
q，
因此，首项为a1，公比为q的等比数列{an}的通项公式为
类比等差数列的通项公式，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？
q，
…
这n-1个等式两边相乘，得
q(n≥2).
又a1=a1q0=a1q1-1，这就是说，当n=1时上式也成立.
an=a1qn-1.
累乘法
q(n≥2).
即an=a1qn-1(n≥2).
新知探究
类比于等差数列与一次函数，由an=可知，当q>0且q≠1时，等比数列的第n项an是指数函数当x=n时的函数值，即an=f(n).a1>0,q>0的情形如图所示.
.
反之，任给函数f(x)=kax（k，a为常数，k≠0，a>0，且a≠1），则f(1)=ka，f(2)=ka2，…，f(n)=kan，…构成一个等比数列{kan}，其首项为ka，公比为a.
首项为a1，公比为q的等比数列{an}的通项公式为
an=a1qn-1.
指数型函数
新知探究
类比等差数列的性质，说说公比q>0的等比数列的单调性.
当q=1时，等比数列{an}是非零常数数列，不具备单调性.
新知探究
【例1】若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12,求{an}的第5项.
分析：等比数列{an}由 a1，q确定，可利用条件列出a1，q的方程（组），进而求解.
解：
解法1：由a4=48,a6=12，得
.
②的两边分别除以①的两边，得
,
解得.
把代入①，得a1=384，
此时，24.
把代入①，得a1=-384，
此时，-24.
因此，{an}的第5项是24或-24.
新知探究
【例1】若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12,求{an}的第5项.
解：
解法2：∵是a4和a6的等比中项，
∴.
∴.
因此，{an}的第5项是24或-24.
初试身手
方法1：∵a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，
1.已知等比数列{an}中，a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n．
即26-n=20.
解：
②的两边分别除以①的两边，得q=.
又an＝1，
∴，
将q=代入①，得a1=32.
∴,
∴n=6.
初试身手
方法2：∵a3＋a6＝q(a2＋a5)，a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，
1.已知等比数列{an}中，a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n．
即26-n=20.
解：
又an＝1，
∴q=,
将q=代入，得a1=32.
∴,
∴n=6.
知新探究
【例2】已知等比数列{an}的公比为q，试用{an}的第m项am表示an.
解：
由题意，得
,
∴.
①
②
②的两边分别除以①的两边，得
等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示.
我们由此可得等比数列的又一个通项公式.
.
知新探究
【例3】数列{an}共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132. 求这个数列．
解：
⑵设前三项的公比为q ,后三项的公差为d，则数列的各项依次为,80,80+d, 8+2d.
解方程组，得.
∴这个数列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16，-48.
于是得,
分析：先利用已知条件表示出数列各项，再进一步根据条件列方程组求解.
初试身手
设这四个数依次为a-d,a,a+d,,则
2.有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个是成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
故这四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
解：
当a=9,d=-6时，这四个数为15,9,3,1.
解得,
，
当a=4,d=4时，这四个数为0,4,8,16；
课堂小结
等差数列 等比数列
定义
符号表示
公差公比
通项公式
等差/等比中项
通项公式推导方法
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列
an－an－1 = d (n≥2，)
(n≥2，).
公差d可正、可负、可为零
公比q可正、可负但不可为零
an=a1+(n-1)d.
an=am+(n-m)d.
an=a1qn-1.
.
A是a与b的等差中项 A=.
G是a与b的等比中项 G2=ab(ab>0).
不完全归纳法
累加法
累乘法
作业布置
作业： P31 练习 第3,4，5题
P40 习题4.3 第1⑵,2题.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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