玉溪一中 2027 届高一数学月考试卷
参考答案
BCDA ACBD
BD ABD ABC
8 ④ 30
1. 解： B x x 2 3 x 1 x 5 ,则 A B x x 1 ，
故选：B．
2.解：若 a b，而m2 0，则 am2 bm2，
取m 0， a 1， b 1，此时 am2 bm2，但 a b，
故“ a b”是“ am2 bm2”的充分不必要条件．
故选：C．
3.解：在阴影部分区域内任取一个元素 x，
则 x A且 x B，即 x U A且 x B，
所以，阴影部分可表示为 ( U A) B．
故选： D．
4.解：由 x 3，可得 x 3 0，
2x 1 2(x 3) 1 1 6 2 2(x 3) 6 2 2 6，
x 3 x 3 x 3
当且仅当 2(x 3) 1 2 ，即 x 3 时取等号，
x 3 2
所以 2x 1 的最小值为 2 2 6．
x 3
故选：A．
5.解：由 x2 (1 2a)x 2a 0可得 (x 1)(x 2a) 0，
a 1当 时，原不等式解得 2a x 1，由于解集中恰有 2个整数，
2
所以该整数解为 1和 0，因此由数轴法可得 2 2a 1，即 1 a 1 .
2
故选：A．
6.解：此题等价为全称命题：“ x R， 4mx2 4mx 3 0成立”是真命题．
当m 0时，原不等式化为“ 3 0”， x R显然成立；
m 0
当m 0时，只需 2 ，
16m 48m 0
解得 3 m 0．
综上，得 3 m 0．
故选：C．
7.解：如图，过 A作 AH BC于H ，交DE于 F ，
DE AF x AF
易知 ，即 ，
BC AH 40 40
则 AF x， FH 40 x，
所以矩形花园的面积 S x(40 x) 300，
解得10 x 30，
即 x的取值范围是 [10，30]．
故选：B．
8. 解：对于 A：当 x 1,[x] 1，所以 A错误；
对于 B：当 x Z 时， x [x]，
当 x Z 时，设 k x k 1， (k Z )，则 [x] k，则 [x] x [x] 1
由定义得： [x] x [x] 1，故 B错误；
对于 C: [x] x [x] 1， 0 x [x] 1， 函数 y x [x](x R)的值域为 [0，1) ，故 C
错误；
1 t3 1 t 3 2 2
2 t
4 3 4 2 t 4 3
D 对于 ，由题意可得 3 t5 4 ，则 5 3 t 5 4 同时成立，
n 2 t n n 1 n n 2 t n n 1
6 4 3 2 ，
若 n 6时，则不存在 t满足1 t 3 2 与 6 4 t 6 5同时成立，
只有当 n 5时，存在 t [ 5 3 ， 3 2)满足题意，故 D正确．
9.解：命题“ x R， | x | x2 0”的否定为“ x R， | x | x2 0”，B 正确；
a2 (b 1)2 0等价于 a 0且 b 1，而 a(b 1) 0等价于 a 0或 b 1，
故“ a2 (b 1)2 0”是“ a(b 1) 0”的充分不必要条件，D正确；
集合 A {y | y x2 1} [1， )，是函数 y x2 1的值域，
而集合 B {x | y x2 1} R，是函数 y x2 1的定义域，
故集合 A与集合 B不表示同一集合，C 错误；
故选： BD．
10.解：因为不等式 ax2 bx c 0的解集是{x |1 x 3}，
所以 a 0且 1，3为方程 ax2 bx c 0的两根， A正确；
1 3
b
a
故 ，
1 3 c
a
所以 b 4a， c 3a，
所以 a b c a 4a 3a 0， B正确；
4a 2b c 4a 8a 3a a 0，C错误；
由不等式 cx2 bx a 3ax2 4ax a 0 可得 3x2 4x 1 0，
1
解得 x 1或 x ， D正确．
3
故选： ABD．
11.解： A选项，因为 a 0， b 0，且 2a b 2，所以 2 2ab 2，
所以 ab 1 ，当且仅当 2a b 1时，等号成立，
2
1 4 4
2 2 8，当且仅当 2a b 1时，等号成立，故 A正确；a b ab
B 1 1 1选项，因为 [(4a b) (2a 2b)]( 1 1 )
4a b 2a 2b 6 4a b 2a 2b
1
(2 2a 2b 4a b ) 1 (2 2) 2 ，
6 4a b 2a 2b 6 3
2a 2b 4a b
当且仅当 ，即 2a b 1时取等号，故 B项正确；
4a b 2a 2b
C选项， (2 a 2b)2 4a 2b 4 2ab 2a b 4 4 2ab 4 4 4 4 8，
2
当且仅当 2a b 1时取等号，所以 2 a 2b 2 2，所以 2 a 2b的最大值为 2 2，故C
项正确；
D选项，因为 b2 2a2 (2 2a)2 2a2 6a2 2 4 4 2 8a 4 6(a )2 ，当且仅当 a b
3 3 3 3
时取等号，
4
所以 a2 2b2 的最小值为 ，故 D项错误．
3
故选： ABC．
12.解：集合 P的个数等于 4,5,6 的子集个数 23 8 ;
13.解：对于①②③，当 a 1， b 1， c 1， d 1时，满足 a b， c d ，但①②③均
不满足，故①②③错误；
对于④， c d ， a b，
则 a c b d，即 a d b c，
14. 8 9x解：由题意可得，每件产品的销售价格为 2 ，
x
y 2 8 9x 1 9则 x (8 m 9x) 8 9x m 8 9(3 ) m 35 m，
x x 1 m 1
y 35 9 9 9 9 m 36 [ (m 1)] 2 (m 1) 36 30，当且仅当 m 1，
m 1 m 1 m 1 m 1
即m 2时，等号成立，
故该厂 2024年的促销费用投入 3万元时，利润最大为 30万元．
15.解：（1）当m 3时， A {x | 2 x 7} [2， 7]，
B {x | x 3 0} x 3对于 ，解不等式 0，可得 1 x 3，即 B ( 1，3]，
x 1 x 1
所以 A B [2， 7] ( 1， 3] ( 1， 7]；
（2）因为 x A是 x B的充分不必要条件，所以 A是 B的真子集，
A m 1 3m 2 m 1①当 时， ，解得 ，符合题意；
2
1 m 1 1 1 5
②当 A 时，m 且
2 ，解得 m ． 3m 2 3 2 3
综上所述m 5 5，即实数m的取值范围为 ( , ]．
3 3
16.（1）证明： c d 0， c d 0，
a b 0， a c b d 0，
可得 a c 2 b d 2 0
1 1
进而得到 ，
a c 2 b d 2
e 0 e e，
a c 2 b d 2
．
（2）证明：因为 a， b， c均为正实数，且 a b c 1，
则 ：
(1 1)(1 1)(1 1) a b c a a b c b a b c c b c a c a b bc ac ab 2 2 2 8
a b c a b c a b c a b c
1
，当且仅当 a b c 时取等号．
3
17. 4 9解：（1）解： 正数 a， b满足 4a 9b ab， 1，
b a
a 4 9 b (a b)( ) 4a 9b 13 2 36 13 25 ，
b a b a
4a 9b
当且仅当 ，即 a 15， b 10时取等号，
b a
a b的最小值为 25，
a b m2 24m有解， 25 m2 24m ，
即m2 24m 25 0，解得m 25或m 1，
实数m的取值范围是：m 25或m 1 .
（2）解：因为 a 0， b 0，且满足 ab a 2b 2 0，
b a 2所以 0，
a 2
所以 a 4 2， b 1 ，
a 2
则
(a 1)(b 2) ab 2a b 2 3(a b) 4 3a 12 7 3(a 2) 12 13 2 3(a 12 2) 13 25
a 2 a 2 a 2
，
12
当且仅当 3(a 2) ，即 a 4， b 3时取等号．
a 2
故所求最小值为：25．
18. 解：（1）当m 2时， f (x) m，即 (m 1)x2 mx m 1 m，
可得 [(m 1)x 1](x 1) 0，因为m 2，
①当m 1 0时，即m 1，不等式的解集为{x | x 1}，
②当 2 m 1时，不等式整理可得： (x 1 )(x 1 1) 0，因为 1，
m 1 m 1
1
所以不等式的解集为{x | x 1}
m 1
1 1
③当m 1时，不等式整理可得： (x )(x 1) 0，又 0 1，
m 1 m 1
1
所以不等式的解集为{x | x 或x 1}，
m 1
综上：m 1，不等式的解集为{x | x 1}；
1
当 2 m 1时，不等式的解集为{x | x 1}；
m 1
1
当m 1时，不等式的解集为{x | x 或x 1}；
m 1
（2）由题对任意 x [ 1，1]，不等式 (m 1)x2 mx m 1 x2 x 1恒成立，
即m(x2 x 1) 2 x，因为 x [ 1，1]时， x2 x 1 0恒成立，
m 2 x可得 2 ，设 t 2 x，则1 t 3，所以 x 2 t，x x 1
2 x t 1
可得 2 ，x x 1 (2 t)2 (2 t) 1 t 3 3
t
3
因为 t 2 3 ，当且仅当 t 3时取等号，
t
2 x 1 2 3 3
所以 ，当且仅当 x 2 3时取等号．
x2 x 1 2 3 3 3
故m的取值范围为：m 2 3 3 ．
3
19.解：（1）由已知条件②得T1 的可能元素为：2，4，8，
又满足条件③，所以T1 {2，4，8}．
（2）证明：若集合 S2 {p1， p2 ， p3， p4}，且 p4 p3 p2 p1，
由条件②得T2 的可能元素为 p1p2 ， p1p3， p1p4 ， p2 p3， p2 p4 ， p3 p4，
p p p
由条件③可知 1 3 S ，得 3 S ，
p1p
2
2 p
2
2
p3 p p同理得 S ，同理得 3 S ， 2 p p2 2 S2， 4 S ， 42 Sp p 2
，
1 1 p1 p1 p3
p j所以对于任意1 i j 4，有 S2．pi
（3）因为 p4 p3 p2 p1 2，
由（2 p p）知 2 S ，得 2 p 即 p 2
p p 1 2
p1 ，
1 1
p p
同理可得 3 p 4
p 2
， p ，
1 p
3
1
所以 p p3， p p43 1 4 1 ，
又因为T的可能元素为： p1p2 ， p1p3， p1p4 ， p2 p3， p2 p4 ， p3 p4，
所以T {p31 ， p
4 5 6 7
1 ， p1 ， p1 ， p1 }共 5个元素，玉溪一中 2027届高一数学月考试卷
满分：150 分 时间：120min
一、单选题：本题共 8小题,每小题 5分,共 40分,每小题给出的四个选项中,只有一个选项是
正确的.
1．已知集合 A y | y 1 , B x x 2 3 ,则 A B
A．{x | x 1} B．{x | x 1} C． D．{x | 1 x 2}
2. 设 a , b为实数,则“ a b”是“ am2 bm2”的
A．必要不充分条件 B．充要条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
3. 如图,已知矩形 U表示全集,A、B是 U的两个子集,则阴影部分可表示为
A． CU A CUB B． CU A CUB
C． CUB A D． CU A B
4. 若 x 3,则 2x 1 的最小值是
x 3
A．2 2 6 B． 2 2 6 C．2 2 D． 2 2 2
5. 关于 x的不等式 x2 (1 2a)x 2a 0 1的解集中恰有 2 个整数,且 a ,则实数 a的取值范
2
围是
A ． a 1 a
1
B a 1 1 a
2
．
2
C ． a a
1 1
D ． a a
2 2
6. 若命题：“ x0 R ,使得 4mx
2
0 4mx0 3 0成立”是假命题,则实数m的取值范围是
A． 3 m 0 B．m 0或m 3 C． 3 m 0 D．m 0或m 3
7．在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分）,
则图中矩形花园的其中一边的边长 x（单位：m）的取值范围是
A．15 x 20 B．10 x 30
C．12 x 25 D．20 x 30
8. 对 x R , x 表示不超过 x的最大整数.十八世纪, y x 被“数学王子”高斯采用,因此得
名为高斯取整函数,则下列命题中的真命题是
A． x x 2 x 1 , x 2
B． x R , x x 1
C．函数 y x x x R 的取值集合为 y 0 y 1
D．若 t R , 3 4使得 t 1 , t 2 ,
5 n
t 3 ,…, t n 2同时成立,则正整数 n的最大
值是 5
二、多选题：本题共 3题,每小题 6分,共 18分,在每小题给出的选项中有多个选项符合要求,
全部选对得 6分,部分选对得部分分,有选错的得 0分.
9. 下列命题中的真命题是
b b m
A．若 a b 0, m 0 ,则 ;
a a m
B．命题“ x R , x x2 0 2”的否定为“ x R , x x 0”;
C．集合 A y y x2 1 , B x y x2 1 表示同一集合;
D．“ a2 b 1 2 0”是“a b 1 0”的充分不必要条件．
10. 已知关于 x的不等式 ax2 bx c 0的解集是{x |1 x 3} ,则
A． a 0
B． a b c 0
C． 4a 2b c 0
D．不等式 cx2 bx a 1 0的解集是{x | x 1或 x }
3
11. 若正实数 a , b满足 2a b 2 ,则下列结论中正确的有
A 1 4 1 1 2． 2 2 的最小值为 8 B． 的最小值为a b 4a b 2a 2b 3
C． 2 a 2b的最大值为 2 2 D． b2 2a2 2的最小值为
3
三、填空题：本题共 3小题,每小题 5分,共 15分.
12．满足 2,3 P 2,3,4,5,6 的集合 P的个数为
13. 已知 a b , c d ,则下列不等式一定成立的是
① ac bd ② a b ③ a2 b2 ④ a d b c
d c
14. 某厂家拟在 2024年举办某产品的促销活动,经调查测算,该产品的年销售量（即该厂的年
1
产量）x万件与年促销费用m万元 (m 0)之间满足 x 3 ．已知 2024年生产该产
m 1
品的固定投入为 8万元,每生产 1万件该产品需要再投入 9万元,厂家将每件产品的销售
价格定为每件产品年平均成本的 2倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．则
该厂家 2024年的利润最大值为 万元.
四、解答题：本题共 5小题,共 77分.解答题需写出必要的演算步骤,或文字说明.
15.（13分）
4
已知集合 A x m 1 x 3m 2 ,不等式 1的解集为 B.
x 1
（1）当m 3时,求 A B ;
（2）若 x A是 x B的充分不必要条件,求实数 m的取值范围.
16.（15分）
证明下列不等式：
（1）已知 a b 0，c d 0,e 0 ,求证： e e ;
a c 2 b 2 d
1 1 1
（2
）已知 a,b,c均为正实数,且 a b c 1,求证： 1a
1
b
1 8．
c
17.（15分）
已知 a 0 ,b 0 .
（1） 4a 9b ab a b m2且 24m有解,求实数m的取值范围;
（2） ab a 2b 2 0，求 (a 1)(b 2)的最小值.
18.（17分）
已知函数 f x m 1 x2 mx m 1 m R
（1）当m 2时,解不等式 f x m ;
（2）对任意的 x x 1 x 1 ,不等式 f x x2 x 1恒成立,求m的取值范围.
19.（17分）
设集合 S N* ,且 S中至少有两个元素,若集合 T满足以下三个条件：
①T N* ,且 T中至少有两个元素;
②对于任意 x, y S ,当 y x ,都有 xy T ;
③对于任意 x, y T ,若 y x
y
,则 S ;则称集合T 为集合S的“耦合集”.
x
（1）若集合 S1 1, 2, 4 ,求集合 S1的“耦合集”T1 ;
（2）若集合 S2存在“耦合集”T2 ,集合 S2 p1 , p2 , p3 , p4 ,且 p4 p3 p2 p1 ,求证：
p j
对于任意1 i j 4 ,有 Sp 2 ;i
（3）设集合 S p1, p2 , p3 , p4 ,且 p4 p3 p2 p1 2 ,求集合 S的“耦合集”T中元
素的个数.
