玉溪一中 2026 届高二上学期第一次月考
数学参考答案
一、单选题：CBABDCDB
二、多选题： AC、BD、ABD
11.【解析】在选项 A 中，∵ 1 1 ⊥ 1 1， 1 1 ⊥ 1， 1 1 ∩ 1 = 1，
且 1 1， 1 平面 1 1
∴ 1 1 ⊥平面 1 1， 1 平面 1 1，∴ 1 1 ⊥ 1，
同理， 1 ⊥ 1，
∵ 1 1 ∩ 1 = 1，且 1 1 ， 1 平面 1 1 ，
∴直线 1 ⊥平面 1 1 ，故 A 正确;
在选项 B 中，∵ 1 // 1 ， 1 平面 1 1 ， 1 平面 1 1 ，
∴ 1 //平面 1 1 ，∵点 在线段 1 上运动，
∴ 到平面 1 1 的距离为定值，又△ 1 1 的面积是定值，
∴三棱锥 1 1 的体积为定值，故 B 正确;
在选项 C 中，∵ 1 // 1 ，∴异面直线 与 1 所成角为直线 与直线 1 的夹角．
易知△ 1 为等边三角形，
当 为 1 的中点时， ⊥ 1 ；
当 与点 1或 重合时，直线 与直线 1 的夹角为 ． 3
故异面直线 与 1 所成角的取值范围是[ , ]，故 C 错误; 3 2
在选项 D 中，以 为原点， 为 轴， 为 轴， 1为 轴，建立空间直角坐标系，
设正方体 1 1 1 1的棱长为1， ( , 1, )，则 1(0,1,1)， (1,1,0), 1(0,0,1)，
1 = ( , 0, 1)， 1 = (1,1, 1)．
由 选项正确：可知 1 = (1,1, 1)是平面 1 1 的一个法向量，
∴直线 1 与平面 1 1 所成角的正弦值为：
| 1 1 | 1 1 1 √ 6= = ，∴当 = 时，最大值为 ，故 D 正确．
| | | 1 1 | √ 2 2 1 2 1 2 3 +( 1) ·√ 3 √ 3·√ 2( ) +2 2
故选 ABD．
三、填空题： 1、( 1, 3)、①③④
14.【解析】对于①，| × | = | || | 90° = 2 × 2 × 1 = 4，| | = 4，又由 与 1 1 、
都垂直且三个向量构成右手系，则 × = 1，①正确；
对于②， × = ，而 1 × = 1 ，②错误；
对于③， + = ，则有|( + ) × 1 | = | × 1 | = 2√ 2 × 4 × 1 = 8√ 2，
( + ) × 1方向与 相同，
| × | = 2 × 4 × 1 = 8， × 1 1与 方向相同，| × 1 | = 2 × 4 × 1 = 8，
且 × 1与 方向相同，
故| × + × | = 8√ 2，且 × + × 的方向与 + 即 1 1 1 1 方向相同，
则有( + ) × = 1 × 1 + × 1，③正确；
对于④，由于 × = 1，则( × ) = 1 1 1 = 4 × 4 = 16， =1 1 1 1
1
2 × 2 × 4 = 16，④正确；
故答案为：①③④．
四、解答题：
2 0 1
15.【解析】(1)由题可得直线 的斜率 = = ， 3 1 2
所以 边上高的斜率为2，
所以 边上高的方程为： 3 = 2 ，即2 + 3 = 0．
1
(2)由(Ⅰ)及条件知， 的直线方程为： = ( 1)，即 + 2 1 = 0，
2
5
顶点 到直线 的距离为 = = √ 5，
√ 5
又| | = √ 42 + 22 = 2√ 5，
1 1
所以△ 的面积为 △ = · · | | = × √ 5 × 2√ 5 = 5． 2 2
16.【解析】(1)证明：沿 将梯形 翻折后，
因为平面 ⊥平面 ，
平面 ∩平面 = ，
平面 , ⊥ ，
所以 ⊥平面 ,又 ⊥ ，
以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，
建立空间直角坐标系，
则 (0,0,0), (0,0,1), (1,0,0)， (0,1,1), (1,1,0)，
所以 = ( 1,1,1), = (1,1,0)，
因为 = 1 + 1 = 0，所以 ⊥ ；
3 3
(2)易得 (0, , 0), = ( 1,1,1)， = ( 1,0,1)， = ( 1, , 0)，
2 2
设平面 的法向量为 = ( , , )，
则{
= 0 + = 0 ，即{ 3 ,
= 0 + = 02
2 2
令 = 1，得 = , = 1，故平面 的一个法向量为 = (1, , 1)，
3 3
设 与平面 所成的角为 ，
2
|
| | 1+ +1| √ 66
则sin = |cos , | = = 3 = ．
| |·| | √ 4 33√ 3× 2+
9
√ 66
故 与平面 所成角的正弦值为 ．
33
17.【解析】(1)由已知可设圆心 ( , 5 2 )，
又由已知得√ 2 + (5 2 )2 = √ ( 3)2 + (5 2 + 1)2，解得： = 2．
于是圆心 (2,1)，半径 = √ 5．
所以，圆 的方程为( 2)2 + ( 1)2 = 5．
(2)设 ( , )， ( 0, 0)，
则( 2 20 2) + ( 0 1) = 5，
∵ (2,0)，点 是线段 的中点，
2+
∴ = 0
0+
， = 0，
2 2
0 = 2 2可得：{ ．
0 = 2
2
所以(2 2 2)2 + (2 1)2 = 5，
1 5
整理得( 2)2 + ( )2 = ，
2 4
1 5
故所求的轨迹方程为：( 2)2 + ( )2 = ．
2 4
18.【解析】(1)取 中点 ，连接 、 ，
∵ ， 分别为 ， 的中点，∴ // ，
又∵ // ，
∴ // ，
, 共面，
∴ 、 、 、 四点共面
(2)取 中点 ，连接 、 ，∴ 为等腰直角三角形，∴ ⊥ ， = 1，
又∵ = √ 3, = = √ 2，∴ 2 + 2 =
2，∴ ⊥ ，
∵ // ， ⊥ ∴ ⊥ ， ⊥
∩ = ， 、 平面 ，
∴ ⊥平面 ，而 平面 ，故 ⊥ ，
以 为原点，以 , , 方向分别为 轴、 轴、 轴，
建立如图所示空间直角坐标系．
(0,0,0)， (0,1,0)， (0,0, √ 2)
1 1
( 1,0,0) ( , , 0)， = (0, 1, √ 2) ， =
2 2
1 1
(1,0,0)， = ( , , √ 2)
2 2
故平面 的一个法向量为 = (0, √ 2, 1)，
√ 6 √ 6
∴ = | | = .故点 到平面 的距离为 .
| | 6 6
(Ⅲ)设点 ( , 0,0)在棱 上， = (0, 1, √ 2)， = ( , 1,0)
设面 的一个法向量为 1 = ( , , )，
= + √ 2 = 0,
{
= = 0,
2
∴取 = 2，面 的一个法向量为 1 = ( , 2, √ 2)
同理：面 的一个法向量为 2 = (1,1,0)
令半平面 与半平面 所成二面角的平面角为 ， 为锐角，
2
∴ cos = cos < , >=
+ 2 4√ 53
1 2 .
4 53
√ 2√ + 6
2
21 106 1
2 + + 5 = 0即 = ， = 21(舍) 5
4
此时 : = 2: 3，故当 : = 2: 3时，半平面 与半平面 所成二面角的余弦值为 √ 53
53
19.【解析】(1)因为 是角 的平分线，所以∠ = ∠ 且 在线段 上，
| |sin∠
所以( , ; ) = = ，
| |sin∠
3
1
又 = 3 ，所以( , ; ) = = ；
3
(2)因为点 在射线 上，
∠ = 60 ， ⊥ ，
所以 在线段 外，∠ = 30 ，
| | ∠ sin 90 2
所以( , ; ) = = = = 2 2√ 3， | | ∠ sin 30
√ 3+1
所以 = ，
2
在 中，由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 cos ，
4+2√ 3 2 2 √ 3+1 3即 + 2 = 2 = 16，
4 2 2
4√ 6 6√ 2+2√ 6
解得 = (负值舍去)，所以 = ，
3 3
所以 的周长为 = + + = 4 + 2√ 2 + 2√ 6；
(3)因为( , ; ) = > 0，
| |sin∠
所以 = ，
| |sin∠
则∠ = ∠ ，因为 = 120 ，所以∠ = ∠ = 60 ，
又 = + ，
1 1 1∴ sin120 = sin60 + sin60 ，
2 2 2
4 4
又 = 4，所以 = 4( + )，所以 + = 1，
4 4 16 4 16 4
所以 + 4 = ( + 4 )( + ) = + + 20 2√ + 20 = 36，
16 4
当且仅当 = ，即 = 12， = 6时等号成立。
4玉溪一中2026届高二上学期第一次月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项符
合题目要求。
1.下列说法中，正确的有()
A.过点P(1,2)且在x,y轴截距相等的直线方程为x+y一3=0
B.直线x-V3y+1=0的倾斜角为60
C.直线y=3x-2在y轴上的截距为-2
D.过点(5,4)并且倾斜角为90°的直线方程为y-4=0
2.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AC=xAB+2yBC+3zC1C,则x+
y+z=()
A.1
B名
c
D
3.设，，3是单位正交基底，己知向量在基底a,b,下的坐标为(8,6,4)，其中a=i+j,
万=+尼，=尼+i,则向量在基底亿，，房下的坐标是()
A.(12,14,10)
B.(10,12,14)
C.(14,12,10)
D.(4,3,2)
4.己知a+b=(2,-1,0),a-b=(0,3,-2),则c0s<,b>的值为()
A
B.-2
c.
3
D.9
5.已知A(0,0,0),B(1,1,1),M(-1,2,2),则M到直线AB的距离为()
A.6
B.9
C.1
D.v6
6.已知圆的方程为x2+y2-2x=0,Mx,y)为圆上任意一点，则-2的取值范围是()
X-1
A.[-3,3
B.[-1,1]
C.(-∞，-V3U[3,+∞)
D.(-0∞，-1]U[1,+∞)
7.在空间直角坐标系中，向量a=(2,-1,m),万=(-4,2,4)，下列结论正确的是()
A.若/b,则m=2
B.若16，则m=-月
C.若
为钝角，则m<
D.若在6上的投影向量为26，则m=4
8.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休.”事实上，有很多代数
问题可以利用其几何意义求解.V(x-a)2+y-b)2几何意义是平面上点M(x,y)与点
N(a,b)的距离，利用几何意义可得f(x)=Vx2+4x+20+Vx2+2x+10的最小值为()
A.2V5
B.5V2
C.4
D.8
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错项得0分。
9.关于方程x2+y2+2ax-2ay=0表示的圆，下列叙述中正确的是()
A.圆心在直线y=-x上
B.其圆心在x轴上
C.过原点
D.半径为V2a
10.对于直线l1:ax+2y+3a=0,l2:3x+(a-1)y+3-a=0.以下说法正确的有()
A.l1/l2的充要条件是a=3
B.412的充要条件是a=号
C.直线l2一定经过点M(-1,1)
D.点P(1,3)到直线l1的距离的最大值为5
11.如图正方体ABCD一A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则下列结论正确的是()
D
A.直线BD1⊥平面A1C1D
B
B.三棱锥P-A1C1D的体积为定值
C.异面直线AP与A1D所成角的取值范围是，]
D.直线CP与平面A1C,D所成角的正弦值的最大值为5
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.两平行直线3x+4y+5=0和6x+my+20=0间的距离是
13.点P(2,0)关于直线l:x+y+1=0的对称点Q的坐标为
14.给定两个不共线的空间向量a与b,
定义叉乘运算a×b规定：
(i)a×b为同时与a,b垂直的向量；
(i)元，，d×三个向量构成右手系
因
(如图1)方
(iii)川a×b|=|allbsin
长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2,AA1=4,如图2，给出下列四个结论：
(①AB×AD=AA1;
②AB x AD=AD×AB;
③(AB+AD)x AA=AB x AA+AD×AA1;
④VABCD--A1B1G1D1=(AB×AD)·CC.
其中，正确结论的序号是