4.1指数 课件（共23张PPT）-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

(共23张PPT)
4.1 指数
第四章 指数函数与对数函数
旧知重温
例如：① (±2)2＝4，则称±2为4的　 　　；
② 23=8，则称2为8的　　　　；
③ (-3)3=-27，则称-3为-27的　　　　；
平方根
立方根
1. 平方根、立方根
如果x =a,那么x叫做a的平方根.
如果x =a,那么x叫做a的立方根.
立方根
总结：
① 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，
负数没有平方根；
② 一个数的立方根只有一个，正数的为正，负数的为负；
③ 0的平方根和立方根都是0.
旧知重温
类似地：
例如：① (±2)2＝4，则称±2为4的　 　　；
② 23=8，则称2为8的　　　　；
③ (-3)3=-27，则称-3为-27的　　　　；
平方根
立方根
①如果(±2)4=16，那么±2叫做16的 　 ；
②如果25=32，则2叫做32的 .
4次方根
5次方根
立方根
如果xn＝a，那么x叫a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.
结论
1. n次方根的定义
新知探究
当n为奇数时，a的n次方根是 ;
当n为偶数时，正数a的n次方根是 ，
负数没有偶次方根;
0的任何次方根都是0.
为什么？
根指数
根式
被开方数
2.根式
a
n
式子 叫做根式(radical)，这里n叫做根指数，
a叫做被开方数.
性质1:
3.根式的性质
a的取值范围是什么？
例如：
5
-3
当n为奇数时， ;
当n为偶数时， .
性质2：
例如：
2
-2
2
2
a的取值范围是什么？
例题分析 — 根式的运算
方法总结：
根式化简或求值的注意点:
解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式
还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．
若开偶次方根，注意要带上绝对值然后再化简;
若式子中含有字母参数，展开时如有必要应对字母参数进行讨论.
迁移应用
-3
新知探究
根据n次方根的定义和数的运算，我们知道
这就是说，当根式的被开方数(看成幂的形式)的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式.
当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式.
③ 规定：0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义.
① 正数的正分数指数幂的意义：
② 正数的负分数指数幂的意义：
4.分数指数幂
规定了分数指数幂以后，幂中指数x的取值范围就从整数拓展到了有理数.
新知探究
5. 有理指数幂运算性质
6.无理数指数幂及其运算性质
① 无理数指数幂的意义
一般地，无理数指数幂(a>0，α是无理数)是一个确定的实数.
有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.
② 实数指数幂的运算性质：
有理数指数幂的运算性质，可以进一步推广到实数指数幂，即：
①＝ (a>0，r，s∈R)；
②＝ (a>0，r，s∈R)；
③＝ (a>0，b>0，r∈R).
拓展：＝ (a>0，r，s∈R).
例1 把下列根式化成分数指数幂的形式，其中a>0，b>0
(1)； (2) ； (3) ； (4).
(1) ＝.
(3) ＝＝＝.
(4)
(2)
解：
例题分析 — 根式化分数指数幂
例2 求下列各式的值
例题分析 — 利用分数指数幂化简、求值
例3 用分数指数幂的形式表示并计算下列各式，其中a>0：
(1) ； (2).
例题分析 — 利用分数指数幂化简、求值
迁移应用
用分数指数幂的形式表示并计算下列式子，其中a>0，b>0：
例4. 计算下列各式的值（式中字母都是正数）
例题分析 — 利用分数指数幂化简、求值
计算下列各式
迁移应用
例5 已知＝3，求下列各式的值．
（1）；（2）.
(1)∵，
即＋2＋＝9，∴＋＝7.
(2) ∵＋＝7，∴＝49，
即＋2＋＝49.∴＋＝47.
解：
互动探究
1、n次方根和根式的概念。
2、
3、
4、
当n为奇数时，a的n次方根是 。
当n为偶数时，正数a的n次方根是
负数没有偶次方根。
0的任何次方根都是0
当n是奇数时，
当n是偶数时，
课堂小结
4.分数指数概念
(a＞0,m,n∈N*, n＞1)
5.有理指数幂运算性质
( 3 ) 0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义.