4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 课件（共45张PPT）-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

(共45张PPT)
单位圆与正弦函数
余弦函数的基本性质
单位圆与任意角的正弦函数
余弦函数的基本性质
锐角的正弦函数与余弦函数
任意角的正弦函数与弦函数
温故知新
学习目标
1. 通过单位圆研究正弦函数、余弦函数的基本性质. （重点）
2. 掌握正弦函数、余弦函数的基本性质(定义域、最大(小)值，值域、周期性、单调性).（难点）
3. 掌握正弦函数值域余弦函数值的符号.（重点）
课文精讲
观察图，设任意角α的终边与单位圆交于点P(u，v) ，当自变量α变化时，点P的横坐标、纵坐标也在变化.因此.根据正弦函数v =sinα和余弦函数u=cosα的定义.不难看出它们具有以下基本性质.
导入
课文精讲
正弦函数、余弦函数的定义域均是R.
定义域
最大(小)值、值域
当自变量α∈R时，0≤|sinα| ≤ 1，0 ≤|cosα| ≤1.
当α=2kπ+ ，k∈Z时，正弦函数v=sinα取得最大值1；
当α=2kπ- ，k∈Z时，正弦函数取得最小值-1.
当α=2kπ，k∈Z时，余弦函数u=cosα取得最大值1；
当α=(2k+1) π， k∈Z时，余弦函数取得最小值-1.
课文精讲
因为函数v =sinα，u=cosα均能取到-1和1之间的任意值，所以它们的值域均为[-1，1].
最大(小)值、值域
课文精讲
根据正弦函数、余弦函数的定义(如图).有
终边相同的角的正弦函数值相等，即对任意k∈Z，sin(α+2kπ)=sinα，α∈R；
终边相同的角的余弦函数值相等，即对任意k∈Z，cos(α+2kπ)=cosα，α∈R.
周期性
课文精讲
上述两个等式说明：对于任意一个角α，每增加2π的整数倍，其正弦函数值、余弦函数值均不变，所以正弦函数v= sinα和余弦函数u=cosα均是周期函数.对任何k∈Z且k≠0，2kπ均是它们的周期，最小正周期为2π.
周期性是正弦函数、余弦函数最重要的性质.
周期性
课文精讲
单调性
图①
根据正弦函数的定义，在单位圆中，如图①，当角α由 增加到 时，sinα的值由-1增加到1；
课文精讲
单调性
图②
如图②，当角α由sinα的值由1减小到-1.因此正弦函数在区间[ ， ]上单调递增，在区间[ ， ]上单调递减.
课文精讲
单调性
由正弦函数的周期性可知，对任意的k∈Z ，正弦
函数在区间[2kπ- ， 2kπ+ ]上单调递增，在区间[2kπ+ ， 2kπ+ ]上单调递减.
由余弦函数的周期性可知，对任意的k∈Z ，余弦函数在区间[2kπ-π， 2kπ]上单调递增，其值从-1增大到1；在区间[2kπ， 2kπ+π]上单调递减，其值从1减到-1.
课文精讲
正弦函数值和余弦函数值的符号
根据正弦函数和余弦函数的定义，如图，在平面直角坐标系中，当点P(u，v)在上半平面时，正弦函数(v= sinα)值为正，即点P在第一、第二象限或y轴的正半轴时，正弦函数值为正；
课文精讲
正弦函数值和余弦函数值的符号
当点P在x轴上时，正弦函数值为零；当点P在平面直角坐标系的下半平面时，正弦函数值为负，即点P在第三、第四象限或y轴的负半轴时，正弦函数值为负.
课文精讲
正弦函数值和余弦函数值的符号
同理，当点P在平面直角坐标系的右半平面时，余弦函数值为正，即点P在第一、第四象限或x轴的正半轴时，余弦函数值为正；当点P在y轴上时，余弦函数值为零；当点P在左半平面时，余弦函数值为负，即点P在第二、第三象限或x轴的负半轴时，余弦函数值为负.
课文精讲
正弦函数值和余弦函数值的符号
x
y
O
(-)
(-)
(+)
(+)
sinα
x
y
O
(+)
(-)
(-)
(+)
cosα
正弦函数、余弦函数的值在各象限的符号如图所示：
典型例题
例1：借助单位圆，讨论函数v=sinα在给定区间上的单调性.
典型例题
例2：求函数v=cosα在区间 上的最大值和最小值，并写出取得最大值和最小值时自变量α的值.
已知角α的终边与单位圆的交点的坐标为(a，b)，若 ，
则cosα的值为( )
综合练习
B
综合练习
不等式sinx＜0， 的解集为__________________.
本课小结
单位加圆与正弦函数的基本性质
定义域
最大(小)值，值域
周期性
单调性
正弦函数值和余弦函数值的符号
4.2　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
核心知识目标 核心素养目标
1.掌握正弦函数、余弦函数的定义域、值域、周期性、单调性. 2.掌握正弦函数、余弦函数的符号. 通过单位圆中正弦函数、余弦函数的定义探索正弦函数、余弦函数的性质的过程,提高直观想象、数学抽象等核心素养.
探究点一 定义域、值域、周期性
知识点1:定义域、值域、周期性
(1)正弦函数、余弦函数的定义域:正弦函数、余弦函数的定义域均是R.
(3)正弦函数、余弦函数的周期性
正弦函数、余弦函数均为周期函数,其周期为2kπ(k∈Z,k≠0),最小正周期为2π.
[例1] (1)求下列函数的定义域:
[例1] (1)求下列函数的定义域:
[例1] (1)求下列函数的定义域:
方法总结
在单位圆中,把角α的终边的范围标出,根据正弦函数、余弦函数的定义即可得出其定义域、最值和值域.
探究点二 单调性
知识点2:正弦函数、余弦函数的单调性
[思考] 能否说角α为第一象限角时,正弦函数单调递增
(2)求下列函数的单调区间.
① y=2sin x,x∈[-π,π];
变式训练2-1:求下列函数的单调性、最大值和最小值以及取得最大值和最小值时自变量x的值.
变式训练2-1:求下列函数的单调性、最大值和最小值以及取得最大值和最小值时自变量x的值.
方法总结
利用单位圆、正弦函数和余弦函数的定义,即可得出在某个指定的区间上正弦函数、余弦函数的单调区间.
探究点三
正弦函数值和余弦函数值的符号
知识点3:正弦函数值和余弦函数值的符号
(1)当角α的终边在第一象限、y轴正半轴、第二象限时sin α>0;角α的终边在第三象限、y轴负半轴、第四象限时sin α<0.
(2)当角α的终边在第四象限、x轴正半轴、第一象限时cos α>0;角α的终边在第二象限、x轴负半轴、第三象限时cos α<0.
[例3] (1)设θ是第二象限角,则点P(sin(cos θ),cos(sin θ))在(　)
(A)第一象限 (B)第二象限
(C)第三象限 (D)第四象限
(2)若角α的终边经过点P(3,a)(a≠0),则(　　)
(A)sin α>0 (B)sin α<0
(C)cos α>0 (D)cos α<0
变式训练3-1:“α为第二象限角”是“cos α<0”的(　　)
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
方法总结
利用单位圆中正弦函数、余弦函数的定义以及坐标系中各个象限中横坐标、纵坐标的正负情况,即可由角α的终边确定正弦函数值和余弦函数值的符号.