2024-2025学年新疆乌鲁木齐实验学校九年级（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年新疆乌鲁木齐实验学校九年级（上）期中数学试卷
一、单选题（每题4分，共36分）
1．（4分）下列函数中，y是x的二次函数是（　　）
A． B．y＝ax2+bx+c
C．y＝x（x﹣2）﹣1 D．y＝x2﹣x（x+1）
2．（4分）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（4分）抛物线y＝﹣3（x﹣2）2﹣3可以由抛物线y＝﹣3x2+1平移得到，则下列平移过程正确的是（　　）
A．先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度
B．先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度
C．先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度
D．先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度
4．（4分）如图，在△ABO中，AB⊥OB，，AB＝1，将△ABO绕O点旋转90°后得到△A1B1O，则点A1的坐标是（　　）
A． B．或
C． D．或
5．（4分）用反证法证明命题“四边形中至少有一个角不是锐角”时，应先假设（　　）
A．没有一个角是钝角或直角
B．至多有一个钝角或直角
C．没有一个角是锐角
D．没有一个角是钝角
6．（4分）如图是唐代亭皋发明了“桨轮船”，该桨轮船的轮子被水面截得线AB为10，轮子的吃水深度CD为3，则该桨轮船的轮子半径为（　　）
A． B． C． D．6
7．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以BC为直径的⊙O交AB于点D．E是⊙O上一点，且，连接OE．过点E作⊙O的切线交AC的延长线于点F，则∠F的度数为（　　）
A．90° B．100° C．110° D．120°
8．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CP，CM分别是AB上的高线和中线．如果⊙A是以点A为圆心，4为半径的圆，那么下列判断中，正确的是（　　）
A．点P，M均在⊙A内
B．点P，M均在⊙A外
C．点P在⊙A内，点M在⊙A外
D．以上选项都不正确
9．（4分）如图，在正方形ABCD中，AD＝15，E，F分别是CD，BC边上的点，且∠EAF＝45°，EC＝5，将△AED绕点A沿顺时针方向旋转90°后与△AGB重合，连接EF．给出下列结论：①DE+BF＝EF；②BF＝3；③；④四边形AEFG的面积是195，其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每题4分，共24分）
10．（4分）已知点A（a，﹣2），B（3，b）关于原点对称，则ab的值为 　 　．
11．（4分）正十边形绕着它的中心至少旋转 　 　度，能与它本身重合．
12．（4分）某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件．如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元，那么y与x的函数关系式是 　 　．
13．（4分）已知△ABC的面积是54cm2，周长是36cm，则△ABC的内切圆半径是 　 　cm．
14．（4分）如图，△ABC周长为20cm，BC＝6cm，圆O是△ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N，则△AMN的周长为　 　cm．
15．（4分）如图，MN是⊙O的直径，MN＝6，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值是 　 　．
三、解答题（共8小题，共90分）
16．（16分）用适当的方法解下列一元二次方程：
（1）x2﹣4x＝0；
（2）x2+4x﹣2＝0；
（3）x（x+5）＝3（x+5）；
（4）2x2+5x+1＝0．
17．（12分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0．
（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；
（2）若该方程有一个根为4，求m的值；
（3）若方程的两个实数根为x1，x2，且满足，求m的值．
18．（8分）在如图所示平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上．
（1）以O为旋转中心，将△ABC逆时针旋转90°，画出旋转后的△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于原点对称的△A2B2C2；
（3）若△ABC内有一点P（a，b），经过上面两次变换后点P在△A2B2C2中的对应点为P′，则点P′的坐标为　 　．
19．（10分）“低碳生活，绿色出行”，自行车已成为人们喜爱的交通工具．某运动商城自行车销量逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆．
（1）若该商城前4个月的自行车销售的月平均增长率相同，求2、3月份的月平均增长率？
（2）求商城4月份卖出多少辆自行车？
（3）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知A型自行车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型自行车的进价为1000元/辆，售价为1300元/辆．根据销售验，A型自行车不少于B型自行车的2倍，但不超过B型自行车的2.8倍．假设所进自行车全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？
20．（8分）如图，一位篮球运动员身高为1.8m，在距离篮下4m处跳起投篮，篮球运行的路线是抛物线，当篮球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05m．求他跳离地面的高度．
21．（12分）已知△ABC，∠A＝60°，BC＝6．
（1）求作△ABC的外接圆．
（2）求∠BOC的度数．
（3）求⊙O的半径．
22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，以CD为直径作⊙O，交BC边于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F．
（1）求证：EF为⊙O的切线；
（2）若AC＝6，CD＝5，求DF的长．
23．（14分）（1）发现：如图1，点B是线段AD上的一点，分别以AB，BD为边向外作等边三角形ABC和等边三角形BDE，连接AE，CD，相交于点O．
①线段AE与CD的数量关系为：　 　；∠AOC的度数为　 　．
②△CBD可看作△ABE经过怎样的变换得到的？　 　．
（2）应用：如图2，若点A，B，D不在一条直线上，（1）中的结论①还成立吗？请说明理由；
（3）拓展：在四边形ABCD中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠ADC＝45°，若AD＝8，CD＝6，请直接写出B，D两点之间的距离．
2024-2025学年新疆乌鲁木齐实验学校九年级（上）期中数学试卷
参考答案
一、单选题（每题4分，共36分）
1．（4分）下列函数中，y是x的二次函数是（　　）
A． B．y＝ax2+bx+c
C．y＝x（x﹣2）﹣1 D．y＝x2﹣x（x+1）
选：C．
2．（4分）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
选：D．
3．（4分）抛物线y＝﹣3（x﹣2）2﹣3可以由抛物线y＝﹣3x2+1平移得到，则下列平移过程正确的是（　　）
A．先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度
B．先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度
C．先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度
D．先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度
选：C．
4．（4分）如图，在△ABO中，AB⊥OB，，AB＝1，将△ABO绕O点旋转90°后得到△A1B1O，则点A1的坐标是（　　）
A． B．或
C． D．或
选：B．
5．（4分）用反证法证明命题“四边形中至少有一个角不是锐角”时，应先假设（　　）
A．没有一个角是钝角或直角
B．至多有一个钝角或直角
C．没有一个角是锐角
D．没有一个角是钝角
选：A．
6．（4分）如图是唐代亭皋发明了“桨轮船”，该桨轮船的轮子被水面截得线AB为10，轮子的吃水深度CD为3，则该桨轮船的轮子半径为（　　）
A． B． C． D．6
选：B．
7．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以BC为直径的⊙O交AB于点D．E是⊙O上一点，且，连接OE．过点E作⊙O的切线交AC的延长线于点F，则∠F的度数为（　　）
A．90° B．100° C．110° D．120°
选：B．
8．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CP，CM分别是AB上的高线和中线．如果⊙A是以点A为圆心，4为半径的圆，那么下列判断中，正确的是（　　）
A．点P，M均在⊙A内
B．点P，M均在⊙A外
C．点P在⊙A内，点M在⊙A外
D．以上选项都不正确
选：C．
9．（4分）如图，在正方形ABCD中，AD＝15，E，F分别是CD，BC边上的点，且∠EAF＝45°，EC＝5，将△AED绕点A沿顺时针方向旋转90°后与△AGB重合，连接EF．给出下列结论：①DE+BF＝EF；②BF＝3；③；④四边形AEFG的面积是195，其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
选：D．
二、填空题（每题4分，共24分）
10．（4分）已知点A（a，﹣2），B（3，b）关于原点对称，则ab的值为 　9　．
11．（4分）正十边形绕着它的中心至少旋转 　36　度，能与它本身重合．
12．（4分）某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件．如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元，那么y与x的函数关系式是 　y＝﹣10x2+100x+2000（0≤x≤12）　．
13．（4分）已知△ABC的面积是54cm2，周长是36cm，则△ABC的内切圆半径是 　3　cm．
14．（4分）如图，△ABC周长为20cm，BC＝6cm，圆O是△ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N，则△AMN的周长为　8　cm．
15．（4分）如图，MN是⊙O的直径，MN＝6，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值是 　3　．
三、解答题（共8小题，共90分）
16．（16分）用适当的方法解下列一元二次方程：
（1）x2﹣4x＝0；
（2）x2+4x﹣2＝0；
（3）x（x+5）＝3（x+5）；
（4）2x2+5x+1＝0．
【解答】解：（1）原方程左侧提取公因式得：（x﹣4）x＝0，
∴x﹣4＝0或x＝0，
解得：x1＝0，x2＝4；
（2）x2+4x﹣2＝0，
∴x2+4x+4＝2+4，
∴（x+2）2＝6，
∴，
解得：∴；
（3）原方程变形得：x（x+5）﹣3（x+5）＝0，
∴（x﹣3）（x+5）＝0，
∴x﹣3＝0或x+5＝0，
解得：x1＝﹣5，x2＝3．
（4）2x2+5x+1＝0，
∴Δ＝52﹣4×2×1＝17＞0，
∴，
解得：．
17．（12分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0．
（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；
（2）若该方程有一个根为4，求m的值；
（3）若方程的两个实数根为x1，x2，且满足，求m的值．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（m+2）2﹣4×2m
＝m2+4m+4﹣8m
＝m2﹣4m+4
＝（m﹣2）2≥0，
∴不论m为何值时，方程总有实数根；
（2）解：根据题意得：42﹣（m+2）×4+2m＝0，
解得：m＝4；
（3）解：由根与系数的关系得：x1+x2＝m+2，x1x2＝2m，
∵，
∴（m+2）2﹣2×2m＝9，
解得m1＝，m2＝﹣，
∴m的值为或．
18．（8分）在如图所示平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上．
（1）以O为旋转中心，将△ABC逆时针旋转90°，画出旋转后的△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于原点对称的△A2B2C2；
（3）若△ABC内有一点P（a，b），经过上面两次变换后点P在△A2B2C2中的对应点为P′，则点P′的坐标为　（b，﹣a）　．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；
（3）点P′的坐标为（b，﹣a）．
故答案为（b，﹣a）．
19．（10分）“低碳生活，绿色出行”，自行车已成为人们喜爱的交通工具．某运动商城自行车销量逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆．
（1）若该商城前4个月的自行车销售的月平均增长率相同，求2、3月份的月平均增长率？
（2）求商城4月份卖出多少辆自行车？
（3）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知A型自行车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型自行车的进价为1000元/辆，售价为1300元/辆．根据销售验，A型自行车不少于B型自行车的2倍，但不超过B型自行车的2.8倍．假设所进自行车全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？
【解答】解：（1）设平均增长率为a，根据题意得：
64（1+a）2＝100，
解得：a＝0.25＝25%或a＝﹣2.25，
答：2、3月份的月平均增长率为25%；
（2）四月份的销量为：100 （1+25%）＝125（辆）．
答：四月份的销量为125辆；
（2）设购进A型车x辆，则购进B型车辆，
根据题意得：2×≤x≤2.8×，
解得：30≤x≤35，
利润W＝（700﹣500）x+（1300﹣1000）＝9000+50x．
∵50＞0，
∴W随着x的增大而增大．
当x＝35时，不是整数，故不符合题意，
∴x＝34，此时＝13（辆）．
答：为使利润最大，该商城应购进34辆A型车和13辆B型车．
20．（8分）如图，一位篮球运动员身高为1.8m，在距离篮下4m处跳起投篮，篮球运行的路线是抛物线，当篮球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05m．求他跳离地面的高度．
【解答】解：根据题意得，顶点坐标为（0，3.5），
∴设抛物线的解析式为y＝ax2+3.5．
∵点（1.5，3.05）在此抛物线上，
∴3.05＝a×1.52+3.5，
解得a＝﹣，
∴所求抛物线的解析式为y＝﹣x2+3.5．
当x＝﹣2.5时，y＝﹣×（﹣2.5）2+3.5＝2.25，
∴他跳离地面的高度为2.25﹣1.8＝0.45（m）．
21．（12分）已知△ABC，∠A＝60°，BC＝6．
（1）求作△ABC的外接圆．
（2）求∠BOC的度数．
（3）求⊙O的半径．
【解答】解：（1）如图所示：⊙O即为所求△ABC的外接圆；
（2）∵∠A＝60°，
∴∠BOC＝2∠A﹣120°；
（3）过点O作OD⊥BC于点D，
∵∠A＝60°，BC＝6，
∴∠COD＝60°，CD＝BC＝3，
∴sin∠COD＝，
∴OC＝＝2．
即⊙O的半径为2．
22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，以CD为直径作⊙O，交BC边于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F．
（1）求证：EF为⊙O的切线；
（2）若AC＝6，CD＝5，求DF的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OE，DE，
∵CD是⊙O直径，
∴∠CED＝90°，
即DE⊥BC，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴CD＝BD，
∴点E是BC的中点，
又∵点O是CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴OE∥AB，
∵EF⊥AB，
∴EF⊥OE，
∵OE是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：∵CD是直角三角形ABC斜边中线，CD＝5，
∴AB＝2CD＝10，
∵AC＝6，
∴BC＝＝8，
∵点E是BC的中点，
∴BE＝BC＝4，
在Rt△BDE中，BD＝5，BE＝4，
∴DE＝＝3，
∵S△BDE＝DE BE＝BD EF，即3×4＝5×EF，
∴EF＝，
在Rt△DEF中，DE＝3，EF＝，
∴DF＝＝．
23．（14分）（1）发现：如图1，点B是线段AD上的一点，分别以AB，BD为边向外作等边三角形ABC和等边三角形BDE，连接AE，CD，相交于点O．
①线段AE与CD的数量关系为：　AE＝CD　；∠AOC的度数为　60°　．
②△CBD可看作△ABE经过怎样的变换得到的？　△CBD可看作△ABE绕点B顺时针旋转60°得到的　．
（2）应用：如图2，若点A，B，D不在一条直线上，（1）中的结论①还成立吗？请说明理由；
（3）拓展：在四边形ABCD中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠ADC＝45°，若AD＝8，CD＝6，请直接写出B，D两点之间的距离．
【解答】解：（1）①∵△ABC、△BDE都为等边三角形，
∴AB＝BC，BE＝BD，∠ACB＝∠CAB＝∠ABC＝∠EBD＝60°，
∴∠ABE＝∠CBD，
在△ABE和△CBD中，，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE＝CD，∠BAE＝∠BCD，
∴∠CAE+∠BCD＝60°，
∴∠AOC＝180°﹣∠ACB﹣∠CAE﹣∠BCD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
故答案为：AE＝CD，60°；
②由①知：△ABE≌△CBD，
∴AB＝BC，BE＝BD，AE＝CD，
∵∠EBD＝60°，
∴△CBD可看作△ABE绕点B顺时针旋转60°得到的，
故答案为：△CBD可看作△ABE绕点B顺时针旋转60°得到的；
（2）若点A，B，D不在一条直线上，（1）中的结论①依然成立；理由如下：
∵△ABC、△BDE都为等边三角形，
∴AB＝BC，BE＝BD，∠ACB＝∠CAB＝∠ABC＝∠EBD＝60°，
∴∠ABE＝∠CBD，
在△ABE和△CBD中，，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE＝CD，∠BAE＝∠BCD，
∴∠CAE+∠BCD＝60°，
∴∠AOC＝180°﹣∠ACB﹣∠CAE﹣∠BCD＝180°﹣60°﹣60°＝60°；
（3）过点C作CE⊥AD于E，过点B作BF⊥AD，交DA延长线于F，如图3所示：
∵∠ADC＝45°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CE＝DE＝＝＝3，
∴AE＝AD﹣DE＝8﹣3，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAF+∠CAE＝90°，
∵∠BAF+∠ABF＝90°，
∴∠ABF＝∠CAE，
在△BFA和△AEC中，，
∴△BFA≌△AEC（AAS），
∴AF＝CE＝3，BF＝AE＝8﹣3，
∴DF＝AD+AF＝8+3，
BD＝＝＝2．