浙江省宁波市余姚市子陵教育集团2024-2025学年八年级（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年浙江省宁波市余姚市子陵教育集团八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）若a＜b，则下列不等式中成立的是（　　）
A．a﹣3＞b﹣3 B．a+3＞b+3 C．﹣3a＞﹣3b D．
3．（3分）等腰三角形的底角等于50°，则这个等腰三角形顶角的度数是（　　）
A．50° B．65° C．80° D．100°
4．（3分）如图，点E、H、G、N共线，∠E＝∠N，EF＝NM，添加一个条件，不能判断△EFG≌△NMH的是（　　）
A．EH＝NG B．∠F＝∠M C．FG＝MH D．FG∥HM
5．（3分）如图，△ABC中，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC．若DE＝5，AE＝8，则BE的长度是（　　）
A．5 B．5.5 C．6 D．6.5
6．（3分）给出下列命题：①三角形任何两边之和大于第三边；②三角形任何一外角等于两内角之和；③两边和一角对应相等的两个三角形全等，下列属于真命题的是（　　）
A．①③ B．②③ C．①② D．①
7．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB为钝角．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．使∠ADC＝2∠B，则符合要求的作图痕迹是（　　）
A． B．
C． D．
8．（3分）若一个直角三角形的两边长分别为3和4，则它的第三边长为（　　）
A．5 B． C．5或4 D．5或
9．（3分）如图，在矩形ABCD中，BC＝6，CD＝3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C′处，BC′交AD于点E，则线段DE的长为（　　）
A．3 B． C．5 D．
10．（3分）如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（　　）
A．140° B．100° C．50° D．40°
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）“x的3倍与y的差是负数”用不等式表示为 　 　．
12．（4分）已知三角形的三边长分别为3，5，x，若x是整数，则x的值可取 　 　（只填一个）．
13．（4分）“内错角相等，两直线平行”的逆命题是 　 　．
14．（4分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，且满足（a﹣b）2+|b﹣c|2＝0，则△ABC是 　 　三角形．
15．（4分）如图，△ABC的周长为24，AC的垂直平分线交BC于点D，垂足为E，若AE＝3，则△ADB的周长是 　 　．
16．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，点D是BC上一动点，将△ABD沿AD折叠得到△ADE，当△ADE与△ABC重叠部分是直角三角形时，∠BAD的度数为 　 　．
三、解答题（本大题共有8小题，共66分）
17．（8分）解不等式（组），把解集在数轴上表示出来．
（1）3﹣x＜2x+6；
（2）．
18．（6分）如图，在正方形网格中，点A、B、C、M、N都在格点上．
（1）作△ABC关于直线MN对称的图形△A′B′C′；
（2）在直线MN上找一点P，使PA+PC的值最小，标出点P的位置（保留作图痕迹）．
19．（6分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝AB＝4，BC＝6，CD＝2，求∠ADC的度数．
20．（6分）2如图，AB＝AE，∠B＝∠E，∠BCA＝∠EDA，AF⊥CD．
（1）求证：△ABC≌△AED；
（2）试说明∠BAF与∠EAF的数量关系．
21．（8分）如图，在△ABC中，AE是边BC上的高．
（1）若AD是∠BAC的平分线，∠B＝40°，∠C＝50°，求∠DAE的度数；
（2）若AD是BC边上的中线，，，求S△AEC．
22．（10分）某电器超市销售A、B两种型号的电风扇，A型号每台进价为200元，B型号每台进价为150元，下表是近两天的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A种型号 B种型号
第一天 3台 5台 1620元
第二天 4台 10台 2760元
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润不少于1060元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
23．（10分）对m、n定义一种新运算“ ”，规定：m n＝am﹣bn+5．（a，b均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：5 6＝5a﹣6b+5．
（1）已知2 3＝1，3 （﹣1）＝10．
①求a、b的值；
②若关于x的不等式组有且只有两个整数解，求字母t的取值范围；
（2）若运算“ ”满足加法交换律，即对于我们所学过的任意数m、n，结论“m n＝n m”都成立，试探究a、b应满足的关系．
24．（12分）如图1，△ABC和△CDE均为等腰三角形，AC＝BC，CD＝CE，AC＞CD，∠ACB＝∠DCE＝α，且点A、D、E在同一直线上，连接BE．
（1）求证：AD＝BE．
（2）如图2，若α＝90°，CM⊥AE于M．若CM＝7，BE＝10，试求AB的长．
（3）如图3，若α＝120°，CM⊥AE于M，BN⊥AE于N，，CM＝b，直接写出AE的值（用a，b的代数式表示）．
2024-2025学年浙江省宁波市余姚市子陵教育集团八年级（上）期中数学试卷
参考答案
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
选：B．
2．（3分）若a＜b，则下列不等式中成立的是（　　）
A．a﹣3＞b﹣3 B．a+3＞b+3 C．﹣3a＞﹣3b D．
选：C．
3．（3分）等腰三角形的底角等于50°，则这个等腰三角形顶角的度数是（　　）
A．50° B．65° C．80° D．100°
选：C．
4．（3分）如图，点E、H、G、N共线，∠E＝∠N，EF＝NM，添加一个条件，不能判断△EFG≌△NMH的是（　　）
A．EH＝NG B．∠F＝∠M C．FG＝MH D．FG∥HM
选：C．
5．（3分）如图，△ABC中，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC．若DE＝5，AE＝8，则BE的长度是（　　）
A．5 B．5.5 C．6 D．6.5
选：C．
6．（3分）给出下列命题：①三角形任何两边之和大于第三边；②三角形任何一外角等于两内角之和；③两边和一角对应相等的两个三角形全等，下列属于真命题的是（　　）
A．①③ B．②③ C．①② D．①
选：D．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB为钝角．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．使∠ADC＝2∠B，则符合要求的作图痕迹是（　　）
A． B．
C． D．
选：B．
8．（3分）若一个直角三角形的两边长分别为3和4，则它的第三边长为（　　）
A．5 B． C．5或4 D．5或
选：D．
9．（3分）如图，在矩形ABCD中，BC＝6，CD＝3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C′处，BC′交AD于点E，则线段DE的长为（　　）
A．3 B． C．5 D．
选：B．
10．（3分）如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（　　）
A．140° B．100° C．50° D．40°
选：B．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）“x的3倍与y的差是负数”用不等式表示为 　3x﹣y＜0　．
12．（4分）已知三角形的三边长分别为3，5，x，若x是整数，则x的值可取 　3（答案不唯一）　（只填一个）．
13．（4分）“内错角相等，两直线平行”的逆命题是 　两直线平行，内错角相等　．
14．（4分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，且满足（a﹣b）2+|b﹣c|2＝0，则△ABC是 　等边　三角形．
15．（4分）如图，△ABC的周长为24，AC的垂直平分线交BC于点D，垂足为E，若AE＝3，则△ADB的周长是 　18　．
16．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，点D是BC上一动点，将△ABD沿AD折叠得到△ADE，当△ADE与△ABC重叠部分是直角三角形时，∠BAD的度数为 　25°或50°或75°　．
三、解答题（本大题共有8小题，共66分）
17．（8分）解不等式（组），把解集在数轴上表示出来．
（1）3﹣x＜2x+6；
（2）．
【解答】解：（1）移项得：﹣x﹣2x＜6﹣3，
合并同类项得：﹣3x＜3，
系数化为1得：x＞﹣1，
在数轴上表示解集为：
（2），
解不等式①得：x＜3，
解不等式②得：x≥﹣1，
所以不等式组的解集为：﹣1≤x＜3，
在数轴上表示解集为：
18．（6分）如图，在正方形网格中，点A、B、C、M、N都在格点上．
（1）作△ABC关于直线MN对称的图形△A′B′C′；
（2）在直线MN上找一点P，使PA+PC的值最小，标出点P的位置（保留作图痕迹）．
【解答】解：（1）如图所示，即为所求；
（2）如图所示，点P即为所求．
19．（6分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝AB＝4，BC＝6，CD＝2，求∠ADC的度数．
【解答】解：连接BD，
∵∠A＝90°，AD＝AB＝4，
∴∠ADB＝45°，
在Rt△ADB中，BD2＝AD2+AB2＝16+16＝32，
在△CDB中，CB2﹣DC2＝62﹣22＝32，
∴CB2﹣DC2＝BD2，
∴∠CDB＝90°，
∴∠ADC＝∠ADB+∠CDB＝135°．
20．（6分）2如图，AB＝AE，∠B＝∠E，∠BCA＝∠EDA，AF⊥CD．
（1）求证：△ABC≌△AED；
（2）试说明∠BAF与∠EAF的数量关系．
【解答】（1）证明：在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（AAS）；
（2）解：∠BAF＝∠EAF，理由如下：
∵△ABC≌△AED，
∴AC＝AD，∠BAC＝∠EAD，
∵AF⊥CD，
∴∠CAF＝∠DAF，
∴∠BAC+∠CAF＝∠EAD+∠DAF，
∴∠BAF＝∠EAF．
21．（8分）如图，在△ABC中，AE是边BC上的高．
（1）若AD是∠BAC的平分线，∠B＝40°，∠C＝50°，求∠DAE的度数；
（2）若AD是BC边上的中线，，，求S△AEC．
【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣40°﹣50°＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC＝45°，
∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝85°，
∵AE是边BC上的高，
∴∠DAE+∠ADE＝90°，
∴∠DAE＝5°．
（2）∵AD是BC边上的中线，，
∴S△ABD＝S△ACD＝6cm2，
∵，S△ACD＝S△ADE+S△AEC，
∴S△AEC＝4cm2．
22．（10分）某电器超市销售A、B两种型号的电风扇，A型号每台进价为200元，B型号每台进价为150元，下表是近两天的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A种型号 B种型号
第一天 3台 5台 1620元
第二天 4台 10台 2760元
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润不少于1060元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
【解答】解：（1）设A种型号电风扇的销售单价为x元，B种型号电风扇的销售单价为y元，
依题意，得：，
解得：．
答：A种型号电风扇的销售单价为240元，B种型号电风扇的销售单价为180元．
（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30﹣a）台，
依题意，得：200a+150（30﹣a）≤5400，
解得：a≤18．
答：A种型号的电风扇最多能采购18台．
（3）依题意，得：（240﹣200）a+（180﹣150）（30﹣a）≥1060，
解得：a≥16．
∵a≤18，
∴16≤a≤18．
∵a为整数，
∴a＝16，17，18．
∴共有三种采购方案，方案1：采购A种型号电风扇16台，B种型号电风扇14台；方案2：采购A种型号电风扇17台，B种型号电风扇13台；方案3：采购A种型号电风扇18台，B种型号电风扇12台．
23．（10分）对m、n定义一种新运算“ ”，规定：m n＝am﹣bn+5．（a，b均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：5 6＝5a﹣6b+5．
（1）已知2 3＝1，3 （﹣1）＝10．
①求a、b的值；
②若关于x的不等式组有且只有两个整数解，求字母t的取值范围；
（2）若运算“ ”满足加法交换律，即对于我们所学过的任意数m、n，结论“m n＝n m”都成立，试探究a、b应满足的关系．
【解答】解：（1）①由题意，∵2 3＝1，3 （﹣1）＝10，
∴可得方程组．
∴解得．
∴a＝1，b＝2．
②由题意，∵a＝1，b＝2，
∴不等式组可化为．
∴．
又∵上面的不等式组有且只有两个整数解，
∴2≤＜3．
∴23≤t＜26．
（2）由m n＝n m，
∴ma﹣nb+5＝na﹣mb+5．
∴ma﹣nb﹣na+mb＝0．
∴m（a+b）﹣n（a+b）＝0．
∴（a+b）（m﹣n）＝0．
又∵m，n为任意数，
∴（m﹣n）不一定等于0．
∴a+b＝0．
24．（12分）如图1，△ABC和△CDE均为等腰三角形，AC＝BC，CD＝CE，AC＞CD，∠ACB＝∠DCE＝α，且点A、D、E在同一直线上，连接BE．
（1）求证：AD＝BE．
（2）如图2，若α＝90°，CM⊥AE于M．若CM＝7，BE＝10，试求AB的长．
（3）如图3，若α＝120°，CM⊥AE于M，BN⊥AE于N，，CM＝b，直接写出AE的值（用a，b的代数式表示）．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE；
（2）解：设AE交BC于点H，如图2，
由（1）得：△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE＝10，
∵∠AHC＝∠BHE，
∴∠AEB＝∠ACH＝90°，
∵∠ACB＝∠DCE＝α＝90°，CD＝CE，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∵CM⊥DE，
∴CM＝DM＝ME＝7，
∴DE＝2CM＝14，
∵AE＝AD+DE＝10+14＝24，∠AEB＝90°，
∴AB＝＝＝26；
（3）解：AE＝2a+2b；理由如下：
∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝120°，
∴∠CDM＝∠CEM＝×（180°﹣120°）＝30°．
∵CM⊥DE，
∴∠CMD＝90°，DM＝EM．
在Rt△CMD中，∠CMD＝90°，∠CDM＝30°，
∴CD＝2CM＝2b，
∴DM＝＝＝b，
∴DE＝2DM＝2b．
∵∠BEC＝∠ADC＝180°﹣30°＝150°，∠BEC＝∠CEM+∠AEB，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CEM＝150°﹣30°＝120°，
∴∠BEN＝180°﹣120°＝60°．
在Rt△BNE中，∠BNE＝90°，∠BEN＝60°，
∴∠NBE＝90°﹣∠BEN＝30°，
∴BE＝2NE，
∴BN＝＝NE＝a，
∴NE＝a，
∴BE＝2a．
∵AD＝BE，AE＝AD+DE，
∴AE＝BE+DE＝2a+2b．