2024学年第一学期衢州五校联盟期中联考
高二年级数学学科试题
一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.
【答案】A
2.
【答案】B
3.
【答案】A
4.
【答案】B
5.
【答案】C
6.
【答案】C
7.
【答案】D
8.
【答案】C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分．
9.
【答案】AD
10.
【答案】BCD
11.
【答案】ABD
非选择题部分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.
【解析】
【分析】（1）根据两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值；
（2）求出圆的标准方程，分析可知，当时，圆心到直线的距离最大，此时，圆截直线的弦长最短，利用勾股定理可求得弦长的最小值.
【小问1详解】
因为直线与直线平行，
则，解得.
【小问2详解】
圆关于直线的对称图形为曲线是圆，
圆的圆心为，半径为，
设圆心，直线的斜率为，
由题意可得，解得，
所以，圆的标准方程为，
因为，所以，点在圆内，
当时，圆心到直线的距离取最大值，且，
所以，圆截直线的弦长的最小值为.
16.
【解析】
【分析】（1）在中，由正弦定理，，求解得和.
（2）由（1）结合已知求得，令，，由余弦定理及基本不等式可求出的最大值，即可求出四边形周长的最大值.
【小问1详解】
在中，由正弦定理得：，
又，则，于是．
【小问2详解】
依题意，，
则，有，，
则，在中，，
令，在中，由余弦定理得，
于是，解得，当且仅当时取等号，
所以四边形周长的最大值为.
17.
【解析】
分析】（1）过点作，根据角度关系证明，结合可证明平面；
（2）方法一：根据四棱锥的体积先计算出四棱锥的高，然后建立空间直角坐标系分别求解出平面和平面的法向量，根据法向量夹角的余弦值求解出二面角的平面角的余弦值；方法二：通过三垂线作法先找到二面角的平面角，然后结合线段长度求解出二面角的平面角的余弦值.
【小问1详解】
过点作交于点，如下图所示，
四边形为等腰梯形，，
，所以，即，即，
又平面，
平面.
【小问2详解】
方法一：设四棱锥的高为，
，
四边形为平行四边形，
，
，
又平面；
如图，以为原点，以方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，
，，
，，且
，
设平面的法向量为，则，
取，则，，
设面法向量为，则，
取，则，得，
由题意，，
设二面角夹角为是钝角，则．
方法二：设四棱锥的高为，，
，
又平面；
又平面平面平面，
过作交延长线于，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
平面，
过作的垂线，垂足为，连，
由于平面，
平面
平面，，
则为所求二面角的平面角的补角．
，
四边形平行四边形，，
，，
，，
平面，平面，
，，
设二面角的平面角为则．
18.
【分析】（1）设直线：，与椭圆方程联立，根据直线与椭圆相切，所以方程组只有一解，可求的值，进而可得切点坐标.
（2）设直线：，根据直线与椭圆相切，可得的关系；再根据直线，得到直线的方程，联立直线的方程，可得点坐标，表示出的面积，结合基本（均值）不等式求最大值.
【小问1详解】
设直线：，代入椭圆，
得：
动直线与椭圆相切于点．
又因为点在第一象限，．
方程的解为，得
【小问2详解】
如图：
设直线交轴于
因为直线与垂直，．联立与，得
将代入椭圆
得
动直线与椭圆相切于点得
即
当且仅当，即时取等号．面积的最大值为．
19.
【解析】
【分析】（1）根据定义计算即可；
（2）设，分类讨论，去绝对值即可得到正方形，后求面积；
（3）动点围成的几何体为八面体，每个面均为边长的正三角形，根据公式得到体积，求m．
【小问1详解】
．
【小问2详解】
设，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
所以动点围成的图形是正方形，边长为，面积为8．
【小问3详解】
动点围成的几何体为八面体，每个面均为边长的正三角形，
其体积为．
证明如下：
不妨将平移到，处，设，
若，则，
当时，即，
设，
由，得
所以四点共面，
所以当时，在边长为的等边三角形内部（含边界），
同理可知等边三角形内部任意一点，均满足．
所以满足方程的点，
构成的图形是边长为的等边三角形内部（含边界）、
由对称性可知，围成的图形为八面体，每个面均为边长为的等边三角形．
故该几何体体积．2024学年第一学期衢州五校联盟期中联考
高二年级数学学科试题
考生须知：
1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4．考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
2. 设复数满足，则的虚部为（）
A. 2 B. C. D.
3. 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（）
A. B. C. D.
4. “”是方程“表示双曲线”的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知，则（）
A. B. C. D. 1
6. 已知正四面体的棱长为1，动点在平面上运动，且满足，则的值为（）
A. B. C. 0 D. 2
7. 已知事件满足，则（）
A. 若与相互独立，则 B. 若与互斥，
C. 若，则与相互对立 D. 若，则
8. 设，若存在，使为偶函数，则可能的值为（）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分．
9. 已知圆与圆交于两点，则（）
A两圆半径相同 B. 两圆有3条公切线
C. 直线的方程是 D. 线段的长度是
10. 已知样本数据是两两不同四个自然数，且样本的平均数为4，方差为5，则该样本数据中（）
A. 众数4 B. 上四分位数为6 C. 中位数为4 D. 最小值为1
11. 数学家伯努利仿照椭圆的定义，找到了一种新的曲线：伯努利双纽线．他是这样定义双纽线的：设两个定点，动点到的距离之积为的点的轨迹．则下列说法正确的是（）
A. 双纽线有对称中心和对称轴 B. 双纽线的方程是
C. 的最大值为 D. 面积的最大值为
非选择题部分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知点为抛物线的焦点，则点坐标为______．
13. 若关于的方程有解，则的取值范围是______．
14. 棱长为2的正方体中，为内一点，且，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15已知直线．
（1）若直线与直线平行，求值；
（2）若圆关于直线的对称图形为曲线，直线过点，求曲线截直线所得的弦长的最小值．
16. 在平面四边形中，，点在上且满足，且
（1）求；
（2）若，求四边形周长的最大值
17. 已知四棱锥的底面为等腰梯形，，
（1）求证：平面；
（2）若四棱锥的体积为，求二面角的平面角的余弦值
18. 椭圆，动直线与椭圆相切于点，且点在第一象限．
（1）若直线的斜率为．求点的坐标；
（2）若过原点的直线与垂直，垂足为，求面积的最大值．
19. 曼哈顿距离是一个充满神秘与奥秘的距离，常用于需要按照网格布局移动的场景，例如无人驾驶出租车行驶、物流配送等．在算法设计中，曼哈顿距离也常用于图像处理和路径规划等问题．曼哈顿距离用于标明两个点在空间（平面）直角坐标系上的绝对轴距总和．例如在平面直角坐标系内有两个点它们之间的曼哈顿距离
（1）已知点，求的值；
（2）已知平面直角坐标系内一定点，动点满足，求动点围成的图形的面积：
（3）已知空间直角坐标系内一定点，动点满足，若动点围成的几何体的体积是，求的值．
