专题强化5　动力学中的临界问题 学案

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高中物理必修一素养提升学案
第四章 运动和力的关系
专题强化5　动力学中的临界问题
【专题问题解读】
1.产生临界值或极值的条件
临界或极值状态 对应条件
两物体刚好接触或刚好脱离 弹力FN＝0
两物体由相对静止开始相对滑动 静摩擦力达到最大值
绳子断裂 张力为绳子所能承受的最大张力
绳子恰被拉直 张力FT＝0
加速度最大或最小 当所受合力最大时，具有最大加速度；合力最小时，具有最小加速度
速度最大或最小 加速度为零
2.求解临界或极值问题的方法
在分析和求解临界或极值问题时，要注意通过分析物理过程，并根据条件变化或过程中的受力情况和状态的变化，找到临界点及临界条件.通常采用如下分析思路.
思想方法 适用情境 分析思路
极限思想 题目中出现“最大”“最小”“刚好”等字眼时，一般都隐含着临界问题 把物理问题（或过程）推向极端，从而使临界现象（或状态）暴露出来，达到快速求解的目的
假设推理 物理过程中没有明显出现临界问题的线索，但在变化过程中可能出现临界问题 一般先假设出某种临界状态，再分析物体的受力情况及运动情况是否与题设相符，最后根据实际情况进行处理
数学方法 利用临界值或临界条件作为求解问题的思维起点，在解决实际问题时经常用到 将物理过程转化为数学表达式，通过求解数学表达式的极值，求解临界问题
【分类解析】
一、接触与脱离的临界问题
【典例1】　如图,A、B两个物体相互接触,但并不粘连,放置在水平面上,水平面与物体间的摩擦力可忽略,两物体的质量分别为mA=4 kg,mB=6 kg。从t=0开始,推力FA和拉力FB分别作用于A、B上,FA、FB随时间的变化规律为FA=(8-2t)N,FB=(2+2t)N。
(1)经过多长时间两物体分离
(2)求物体B在1 s时和5 s时运动的加速度大小
答案　(1)2 s　(2)1 m/s2　2 m/s2
解析　(1)设两物体在t1时刻恰好分离(即相互作用的弹力为0),此时二者的加速度仍相同,由牛顿第二定律得=,代入数据解得t1=2 s。
(2)在t=1 s内,两物体以共同的加速度运动。对A、B系统,由牛顿第二定律有FA+FB=(mA+mB)a1,代入数据解得a1=1 m/s2
5 s时,A、B两物体已分离,对B物体,由牛顿第二定律有FB=mBa2
代入数据解得a2=2 m/s2。
【典例2】　如图所示,细线的一端固定在倾角为45°的光滑楔形滑块A的顶端P处,细线的另一端拴一质量为m的小球(重力加速度为g)。
(1)当滑块A以多大的加速度向左运动时,小球对滑块的压力刚好等于零
(2)当滑块以2g的加速度向左运动时,细线上的拉力为多大 (不计空气阻力)
答案　(1)g　(2)mg
解析　
(1)由牛顿第三定律知,小球对滑块压力刚好为零时,滑块对小球支持力也为零。此时滑块和小球的加速度仍相同,当FN=0时,小球受重力和拉力作用,如图甲所示,F合=,
由牛顿第二定律得F合=ma,则a==g。
所以此时滑块的加速度a=g。
(2)
当滑块加速度大于g时,小球将“飘”离滑块,只受细线的拉力和小球的重力的作用,如图乙所示,设细线与水平方向夹角为α,此时对小球受力分析,由牛顿第二定律得FT'cos α=ma',FT'sin α=mg,解得FT'=mg。
二、相对静止(或相对滑动)的临界问题
【典例3】如图,物块A放在物块B上,A、B质量分别为m、M,A、B间的动摩擦因数为μ,水平地面光滑,现用水平向右的力F拉B。
(1)若A、B没有发生相对滑动,求A、B的加速度大小。
(2)A、B未发生相对滑动,随着F的增大,A所受的摩擦力如何变化
(3)A、B发生相对滑动的临界条件是什么
答案　(1)对A、B整体:F=(m+M)a,
解得a=。
(2)对物块A:Ff=ma
Ff=F,随着F增大,Ff增大。
(3)A所受摩擦力达到最大静摩擦力。
【归纳总结】
两物体相接触且处于相对静止时,常存在着静摩擦力,则相对静止或相对滑动的临界条件是:静摩擦力达到最大值。
【典例3】如图所示,质量为M的长木板位于光滑水平面上,质量为m的物块静止在长木板上,两者之间的动摩擦因数为μ,现对物块施加水平向右的恒力F,若恒力F超过某一临界数值,长木板与物块将发生相对滑动,重力加速度大小为g,物块与长木板之间的最大静摩擦力等于两者之间的滑动摩擦力,则恒力F的临界值为 (　　)
A.μmg B.μMg
C.μmg(1+) D.μmg(1+)
答案　C
解析　物块与长木板恰好不发生相对滑动时,对整体有F=(M+m)a,对长木板有μmg=Ma
解得F=μmg(1+),C正确。
【典例4】如图所示,质量分别为m、M的两物块A、B叠放在光滑的水平面上,m∶M=2∶1,A、B间的动摩擦因数为μ,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,用水平力分别作用在A、B上,恰能使A、B不发生相对滑动时,其作用力分别是如图中的F1、F2。则F1∶F2等于 (　　)
A.1∶3 B.3∶1
C.1∶2 D.2∶1
答案　C
解析　对题图甲,A、B恰好不发生相对滑动时,有
F1=(M+m)a1
μmg=ma1
对题图乙,A、B恰好不发生相对滑动时,有
F2=(M+m)a2
μmg=Ma2
联立可得=,故选C。
三、绳子断裂或松弛的临界问题
绳子所能承受的张力是有限的,绳子断裂的临界条件是实际张力等于它所能承受的最大张力,绳子松弛的临界条件是绳子上的张力为零。
【典例4】一个质量为m的小球B,用两根等长的细绳1、2分别固定在车厢的A、C两点,如图所示。已知两绳拉直时,两绳与车厢前壁的夹角均为45°,当车以加速度a=g(重力加速度为g)向左做匀加速直线运动时,求1、2两绳拉力的大小。
答案　mg　0
解析　设当细绳2刚好拉直而无张力时,车的加速度向左且大小为a0,由牛顿第二定律得F1cos 45°=mg,F1sin 45°=ma0,可得a0=g。
因a=g【针对性训练】
1.(2022·江苏卷)高铁车厢里的水平桌面上放置一本书,书与桌面间的动摩擦因数为0.4,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,取重力加速度g=10 m/s2。若书不滑动,则高铁的最大加速度不超过 (　　)
A.2.0 m/s2 B.4.0 m/s2
C.6.0 m/s2 D.8.0 m/s2
答案　B
解析　书放在水平桌面上,若书相对于桌面不滑动,则最大静摩擦力提供加速度即Ffm=μmg=mam,解得am=μg=4 m/s2,书相对高铁静止,故若书不滑动,高铁的最大加速度为4 m/s2,B正确,A、C、D错误.
2.质量为0.1 kg的小球,用细线吊在倾角α为37°斜面上,如图所示,系统静止时细线与斜面平行,不计一切摩擦。当斜面体向右做匀加速运动时,小球与斜面刚好不分离,则斜面体的加速度为(重力加速度为g) (　　)
A.gsin α B.gcos α
C.gtan α D.
答案　D
解析　
因小球与斜面刚好不分离,即斜面对小球的支持力刚好为零,小球受力如图所示,由图知tan α=,由F合=ma,得a=,D正确。
3.如图所示,A、B两个物体叠放在一起,静止在粗糙水平地面上,B与水平地面间的动摩擦因数μ1=0.1,A与B间的动摩擦因数μ2=0.2。已知A的质量m=2 kg,B的质量M=3 kg,重力加速度g取10 m/s2。现对物体B施加一个水平向右的恒力F,为使A与B保持相对静止,则恒力F的最大值是(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力) (　　)
A.20 N B.15 N
C.10 N D.5 N
答案　B
解析　恒力最大时,对A有μ2mg=ma;对A、B整体有Fmax-μ1(m+M)g=(m+M)a,联立解得Fmax=15 N,选项B正确。
4.(多选)如图所示,已知物块A、B的质量分别为m1=4 kg、m2=1 kg,A、B间的动摩擦因数为μ1=0.5,A与水平地面之间的动摩擦因数为μ2=0.5,设最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等,g取10 m/s2,在水平力F的推动下,要使A、B一起运动且B不下滑,则力F的大小可能是 (　　)
A.50 N　B.100 N　C.125 N　D.150 N
答案　CD
解析　若B不下滑,对B有μ1FN≥m2g,由牛顿第二定律得FN=m2a;对整体有F-μ2(m1+m2)g=(m1+m2)a,则F≥(m1+m2)g=125 N,选项C、D正确。
5.(12分)(2024·兰州市高一期末)如图所示,两条轻绳将一质量为m的小球悬挂在小车的车厢内,其中轻绳OA沿水平方向,轻绳OB与竖直方向的夹角θ=30°,重力加速度为g。
(1)(4分)若小车在水平路面上向左做匀速直线运动,求两轻绳拉力的大小;
(2)(4分)若轻绳OA上的拉力恰好为0,求此时小车的加速度大小;
(3)(4分)若小车在水平路面上以加速度a=向右做匀加速直线运动,求两轻绳拉力的大小。
答案　(1)mg　　(2)g　(3)0　
解析　(1)若小车在水平路面上向左做匀速直线运动,对小球进行受力分析,如图甲所示
根据平衡条件有
=mgtan θ,=
解得=mg,=
(2)若轻绳OA上的拉力恰好为0,表明小车加速度方向水平向右,对小球进行分析,如图乙所示
根据牛顿第二定律有
mgtan θ=ma1
解得a1=g
(3)若小车在水平路面上以加速度a=向右做匀加速直线运动,由于
a=>a1=g
可知,此时小球稳定时的位置将处于O点的左上方,轻绳OA处于松弛状态,则有
=0
对小球分析,如图丙所示
则有=(mg)2+(ma)2
解得=。
6.(多选)(2024·凉山州高一期末)如图所示,A、B两物块的质量分别为2m和m,静止叠放在水平地面上。A、B间的动摩擦因数为μ,B与地面间的动摩擦因数为0.5μ。最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度为g。现对A施加一水平拉力F,则 (　　)
A.当F>1.5μmg时,A相对B滑动
B.当F>3μmg时,A相对B滑动
C.当F=2.5μmg时,A的加速度为0.25μg
D.无论F为何值,B的加速度不会超过0.5μg
答案　BD
解析　A、B之间最大静摩擦力Ffmax=2μmg
B与地面间的最大静摩擦力为
Ffmax'=0.5μ·3mg=1.5μmg
A、B间恰好发生相对滑动时,
设加速度为a0
对A:Fmin-Ffmax=2ma0,
对B:Ffmax-Ffmax'=ma0
联立解得:a0=0.5μg,
Fmin=3μmg
所以若要A、B发生相对滑动,F不小于3μmg,B的加速度最大值为0.5μg,故A错误,B、D正确;
当F=2.5μmg时,A、B一起加速运动,
由牛顿第二定律F-Ffmax'=3ma1
得a1=μg,故C错误。
7.(2024·延安市高一期末)如图所示,细线的一端固定在倾角为30°的光滑楔形滑块A的顶端P处,细线的另一端拴一质量为m的小球,静止时细线与斜面平行,(已知重力加速度为g)。则 (　　)
A.当滑块向左做匀速运动时,细线的拉力为mg
B.若滑块以加速度a=g向左加速运动时,小球对滑块压力为零
C.当滑块以加速度a=g向左加速运动时,线中拉力2mg
D.当滑块以加速度a=g向左加速运动时,线中拉力为2mg
答案　D
解析　当滑块向左做匀速运动时,对小球根据平衡条件可得FT=mgsin 30°=0.5mg,故A错误;设当小球贴着滑块一起向左运动且支持力为零时加速度为a0,小球受到重力、拉力作用,根据牛顿第二定律可得mgtan 60°=ma0,解得a0=g
此时绳中的拉力大小为==2mg,故B错误,D正确;
由于aFTsin 30°+FNcos 30°=mg
联立解得FT=mg,故C错误。
8.(多选)(2024·广东省高一期末)如图所示,质量都为m的A、B两物体叠放在竖直弹簧上并保持静止,用大小等于mg的恒力F向上拉B,运动距离h时B与A分离,重力加速度为g。则下列说法中正确的是 (　　)
A.B和A刚分离时,弹簧为原长
B.弹簧的劲度系数等于
C.在B与A分离之前,它们的加速度逐渐变大
D.在B与A分离之前,它们的加速度逐渐变小
答案　BD
解析　B和A刚分离时,两者有共同的加速度,此时对B受力分析,B受重力和拉力F,且F=mg,因此B所受合力为零,加速度为零,则此时A的加速度也为零,因此对A受力分析可知,弹簧对A的弹力等于A自身的重力,即F弹=mg,因此B和A刚分离时,弹簧处于压缩状态,故A错误;
初始状态,未施加恒力F时,对整体受力分析得
F弹1=kx1=2mg
B和A刚分离时,对A受力分析有
F弹2=kx2=mg
其中,由几何关系得x1-x2=h
联立解得k=,故B正确;
对整体受力分析,由牛顿第二定律得
F+kx-2mg=2ma
其中F=mg
代入整理可得kx-mg=2ma
由题意可知,向上运动过程中,弹簧形变量x逐渐减小,因此加速度a逐渐减小,故C错误,D正确。
9.(15分)一辆货车运载着圆柱形光滑的空油桶。在车厢底,一层油桶平整排列,相互紧贴并被牢牢固定,上一层只有一只桶C,自由地摆放在桶A、B之间,没有用绳索固定。桶C受到桶A和桶B的支持力,和货车一起保持静止,如图所示。(重力加速度为g)
(1)(10分)当货车以某一加速度向左加速时,A对C和B对C的支持力大小会增大还是减小 请说明理由。
(2)(5分)当货车向左运动的加速度增大到一定值时,桶C就脱离A而运动到B的右边,这个加速度为多大
答案　(1)A对C的支持力减小,B对C的支持力增大　理由见解析　(2)g
解析　(1)当桶C与货车保持静止时,以C为研究对象,对C进行受力分析,如图所示。
由题意知α=β=30°
货车静止时,对桶C,水平方向上有FBCsin α=FACsin β,竖直方向上有FBCcos α+FACcos β=mCg
整理得FAC=FBC=mCg
货车向左加速时,仍有α=β=30°,同理水平方向上有FBC'sin α-FAC'sin β=mCa
竖直方向上有FBC'cos α+FAC'cos β=mCg
整理得FBC'>mCg,FAC'综上,货车向左加速时A对C的支持力减小,B对C的支持力增大。
(2)当桶C脱离A时,有FAC″=0,这一瞬间仍有α=β=30°,此时有
FBC″cos α=mCg,FBC″sin α=mCa'
解得a'=g。
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