3.5确定圆的条件 同步练习题（含答案） 2024-2025学年北师大版九年级数学下册

2024-2025学年北师大版九年级数学下册《3.5确定圆的条件》同步练习题（附答案）
一、单选题
1．下列命题正确的是（ ）
A．三点确定一个圆 B．三角形的内心是三边垂直平分线的交点
C．长度相等的弧是等弧 D．等弧所对的圆心角相等
2．在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（ ）
A．5 B．10 C．4 D．3
3．已知，，三点可以确定一个圆，则以下点坐标不满足要求的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
5．已知是圆内接等腰三角形，它的底边长是8，若圆的半径是5，则的面积是（ ）
A．32或16 B．32或8 C．8或16 D．24或32
6．如图，线段 ，为线段上的一个动点，以、为边作等边和等边，外接于，则半径的最小值为( )
A．6 B． C． D．3
7．如图，直角坐标系中，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，则点M的坐标为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，是的外接圆，弦交于点E，，，过点O作于点F，延长交于点G，若，，则的长为（ ）
A． B． C．13 D．14
二、填空题
9．已知的两直角边的长分别为和，则它的外接圆的半径为 ．
10．已知是的外接圆，若，则的度数为 ．
11．如图，点O是的外心，若，则 ．
12．如图，内接于，为的直径，，，则 ．
13．如图，在中，，于D，若的外心O在线段上．，则 ．

14．如图，等腰内接于，点为劣弧上一点，，若，则四边形的面积为 ．

15．如图，的三个顶点的坐标分别为，则的外接圆圆心的坐标为 ．
16．如图，过A、C、D三点的圆的圆心为点E，过B、F、E三点的圆的圆心为D，如果，那么 °．

三、解答题
17．如图是由小正方形组成的网格．每个小正方形的顶点叫做格点，请用一把无刻度直尺及圆规借助网格根据要求作图，要求保留作图痕迹．
(1)仅用一把无刻度直尺画出的外心点O．并用圆规面出外接圆；
(2)仅用一把无刻度直尺画弦，使得平分．
18．作图题
如图，在中，已知．
(1)尺规作图：画的外接圆（保留作图痕迹，不写画法）
(2)连接，；若，，求的长．
19．如图，在中，，，，是的角平分线，过，，三点的圆与斜边交于点，连接．
(1)求证：；
(2)求外接圆的半径．
20．如图，平面直角坐标系中有一个．
(1)利用网格，只用无刻度的直尺作出的外接圆的圆心O，并写出圆心坐标是______；
(2)判断点与的位置关系，说明理由；
(3)最小覆盖圆的半径为______．
21．如图1，是的外接圆，连接，若

(1)求证：；
(2)如图2，作交于D，的延长线交于E，若，求线段的长．
22．如图（1），在中，，是的外接圆，过点作交于点，连接，延长至点，使．
(1)求证：．
(2)如图（2），当为直径，的半径为1时，求的长．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B C B B B C D
1．解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故A选项错误；
B、三角形的内心到三边的距离相等，是三条角平分线的交点，故B选项错误；
C、在同圆或等圆中，能完全重合的弧才是等弧，故C选项错误；
D、等弧所对的圆心角相等，故D选项正确．
故选：D．
2．解：在中，，，，
斜边，
这个三角形的外接圆的直径是10，
故选：B．
3．解：设直线的解析式为，
，
解得，
，
A、当，，故不在直线上，根据不在同一直线三点确定一个圆得与，可以确定一个圆，故本选项不符合题意；
B、当，，同理，故本选项不符合题意；
C、当，，故在直线上，故不能确定一个圆，故本选项符合题意；
D、，，同理，故本选项不符合题意．
故选：C．
4．解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，只要有一段弧，即可确定圆心和半径，
∴小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是，
故选：B．
5．解：如图①，过A作于D，则必过点O，连接，
在中，，
由勾股定理得：，则，
；
如图②，
同（1）可求得，则，
，
综上，的面积是32或8，
故选：B．
6．解：如图，分别作与角平分线，交点为，
和都是等边三角形，
与为、垂直平分线，，
又圆心在、垂直平分线上，则交点与圆心重合，即圆心是一个定点；
连接，
若半径最短，则，
又，，
，
，
在直角中， ，
故选B．
7．解：如图，作线段和的垂直平分线，它们的交点为圆心M，则点M坐标为，
故选：C
8．解：∵，
∴，
∴．
又∵，
∴．
∴是等边三角形，
，
∵，
，，
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，
作于点M，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D
9．解：的两直角边的长分别为和，
斜边为，
外接圆的半径就是．
故答案为：5
10．解：当外接圆的圆心在三角形内时，如图所示：
∵是的外接圆，，
∴；
当外接圆的圆心在三角形外时，如图所示：
在优弧上取点D，连接，，
∵，
∴，
∴；
故答案为：或．
11．解：∵点O是的外心，，
∴，
故答案为：．
12．解：连接，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：15．
13．解：∵点O为的外心，
∴．
∵，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：．
14．解：如图，过点作的延长线于点，

，
又，
∴为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的面积，
在中，，，
根据勾股定理得：，
等边三角形的面积，
四边形的面积的面积等边三角形的面积．
四边形的面积为．
故答案为：．
15．解：设的外心为M，
，
∴M必在直线上，由图知：的垂直平分线过，故，
故答案为：．
16．解：如图，连接、，
∵过三点的圆的圆心为，且过，三点的圆的圆心为，

故答案为：．

17．解：（1）如图，
∵的垂直平分线与的垂直平分线，两线交点O，
∴点O到三角形三顶点的距离相等，
∴以为半径作的和点O即为所求；
（2）如图，
∵矩形对角线的交点平分每一条对角线，
∴过圆心和这点的射线必平分弦所对的，
∴，
∴，
∴平分，
∴弦即为所求．
18．（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：∵
∴，
∵，，即，
解得：或（负值舍去）．
19．（1）证明：，
为直径，
．
是的角平分线，
．
在和中，
，
，
；
（2）解：在中，，，，
．
，，
．
，
．
，，
，
．
，，，，
，
．
在中，，，，
，
的外接圆的半径为．
20．解：（1）
分别作边的垂直平分线，相交于点
（2）∵，
∴
由图可得：
∴
∴
∴点在圆外；
（3）取中点P，连接，
最小覆盖圆的半径为的长，
∴
21．（1）证明：连接并延长交于T．

∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴；
（2）延长并交于F，连接．

∵交于D，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中
∴
22．（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：连接，，
为直径，半径为1，
，，，
由（1）知：，
，
，
和是等边三角形，
，
，
，
，，
∴，
，