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12第13章《轴对称》单元核心考点专题卷
核心考点一 轴对称与轴对称图形（共4小题）
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．点M（﹣3，﹣1）关于x轴的对称点N的坐标是（ ）
A．（3，1） B．（﹣3，1） C．（﹣3，﹣1） D．（3，﹣1）
3．已知点A（a+2b，1），B（﹣2，2a﹣b）．
（1）若点A、B关于x轴对称，则a＝ ，b＝ ；
（2）若点A、B关于y轴对称，则a+b＝ ．
4．如图，在4×3正方形网格中，阴影部分是由5个小正方形组成的一个图形，请你用两种方法分别在下图方格内添涂2个小正方形，使这7个小正方形组成的图形是轴对称图形．
核心考点二 画轴对称图形（共1小题）
5．如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，﹣1），B（﹣4，﹣2），C（﹣1，﹣4）．
（1）点A关于y轴对称的点的坐标是 ；
（2）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1分别写出点A1，B1，C1的坐标；
（3）求△A1B1C1的面积．
核心考点三 线段的垂直平分线（共2小题）
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝70°，点D、E分别在AB、AC上，将△ADE沿DE折叠，使点A落在点F处．则∠BDF﹣∠CEF＝（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
7．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于D，连接AD．若AC＝4cm，△ADC的周长为11cm，则BC的长等于（ ）
A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
核心考点四 等腰三角形的性质（共2小题）
8．如图，在△ABC中，BD是中线，延长BC到点E，使CE＝CD，若DB＝DE，∠E＝30°．求证：△ABC是等边三角形．
9．如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD＝DC，∠B＝60°，则∠C的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．45°
核心考点五 等腰三角形的判定（共3小题）
10．已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．11 B．16 C．17 D．16或17
11．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，D为AB上一点，过点D作DE∥AC，若CD平分∠ADE，则∠BCD的度数为 °．
12．如图，△ABC中，AB＝AC，AM是BC边上的中线，点N在AM上，求证：NB＝NC．
核心考点六 等边三角形的判定（共2小题）
13．如图，在四边形ABDC中，AB＝AC，∠ABD＝∠ACD，求证：DB＝DC．
14．如图，已知在△ABC中，D为BC上的一点，DA平分∠EDC，且∠E＝∠B，DE＝DC，求证：AB＝AC．
核心考点七 等边三角形的性质（共2小题）
15．如图，点E是等边三角形ABC的高AD上一点，∠EBF＝60°，∠BCF＝30°，求证：△BEF是等边三角形．
16．如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD＝AE，AD与CE交于点F．
（1）求证：AD＝CE；
（2）过点D作∠ADG＝60°交线段EC于点G，求证：DF＝DG．
核心考点八 30°角的直角三角形的性质（共2小题）
17．如图折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在斜边AB上的点E处，已知CD＝1，∠B＝30°，则BD的长是（ ）
A．1 B．2 C． D．2
18．如图，△ABC是等边三角形，△ADE是等腰三角形，AD＝AE，∠DAE＝80°，当DE⊥AC时，求∠BAD和∠EDC的度数．
核心考点九 最短路径问题（共1小题）
19．按要求作图：
（1）在直线l同侧有两点A、B，在直线L上找一点P，使|PA﹣PB|最大；
（2）在直线l两侧有两点A、B，在直线l上找一点P，使|PA﹣PB|最大；
（3）在直线l两侧有两点A、B，在直线l上找一点P，使|PA﹣PB|最小．
核心考点十 数学思想防范应用（共3小题）
类型一 方程思想
20．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，连接DE，DF，已知△ABC，△ADF，△BDE都是等边三角形，点M，N分别是AF，DE的中点，连接MN，当AD＝2，∠DNM＝45°时，BD的长度为（ ）
A． B．4 C． D．
类型二 整体思想
21．如图，△ABC中，∠C＝70°，将△ABC绕点A顺时针旋转后，得到△AB'C'，且C'在边BC上，则∠B'C'B的度数为 °．
类型二 分类讨论
22．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°，求底角∠B的大小．中小学教育资源及组卷应用平台
12第13章《轴对称》单元核心考点专题卷
核心考点一 轴对称与轴对称图形（共4小题）
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】根据轴对称图形的定义逐项判断即可．
【解答】解：A．该图形是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B．该图形是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C．该图形是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D．该图形不是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
2．点M（﹣3，﹣1）关于x轴的对称点N的坐标是（ ）
A．（3，1） B．（﹣3，1） C．（﹣3，﹣1） D．（3，﹣1）
【思路点拔】根据两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得出结果．
【解答】解：根据两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，
∴点M（﹣3，﹣1）关于x轴的对称点的坐标是（﹣3，1），
故选：B．
3．已知点A（a+2b，1），B（﹣2，2a﹣b）．
（1）若点A、B关于x轴对称，则a＝ ，b＝ ；
（2）若点A、B关于y轴对称，则a+b＝ ．
【思路点拔】根据平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点列出方程组求出a，b的值．
【解答】解：（1）关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数得：，解得．
（2）关于y轴对称，则纵坐标不变，横坐标互为相反数得：，解得．
得：a+b．
4．如图，在4×3正方形网格中，阴影部分是由5个小正方形组成的一个图形，请你用两种方法分别在下图方格内添涂2个小正方形，使这7个小正方形组成的图形是轴对称图形．
【思路点拔】根据轴对称图形的概念与轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不通的图案．
【解答】解：如图所示，答案不唯一，参见下图．
核心考点二 画轴对称图形（共1小题）
5．如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，﹣1），B（﹣4，﹣2），C（﹣1，﹣4）．
（1）点A关于y轴对称的点的坐标是 （1，﹣1） ；
（2）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1分别写出点A1，B1，C1的坐标；
（3）求△A1B1C1的面积．
【思路点拔】（1）直接利用关于y轴对称点的性质得出答案；
（2）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）利用三角形面积求法得出答案．
【解答】解：（1）点A关于y轴对称的点的坐标是：（1，﹣1），
故答案为：（1，﹣1）；
（2）点A1（﹣1，1），B1（﹣4，2），C1（﹣1，4）；
（3）△A1B1C1的面积为：3×3．
核心考点三 线段的垂直平分线（共2小题）
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝70°，点D、E分别在AB、AC上，将△ADE沿DE折叠，使点A落在点F处．则∠BDF﹣∠CEF＝（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【思路点拔】先利用平角用∠1表示出∠BDF，再利用三角形的内角和定理及推论用∠1表示出∠CEF，两式相减可得结论．
【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠C＝90°，∠B＝70°，
∴∠A＝20°．
∵△DEF是由△DEA折叠成的，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠DEF．
∵∠BDF+∠1+∠2＝180°，
∴∠BDF＝180°﹣2∠1．
∵∠CEF+∠CED＝∠DEF＝∠3，∠CED＝∠1+∠A，∠3+∠1+∠A＝180°，
∴∠3＝180°﹣∠1﹣∠A．
∴∠CEF＝∠3﹣∠CED．
＝180°﹣∠1﹣∠A﹣∠1﹣∠A
＝180°﹣2∠1﹣2∠A
＝140°﹣2∠1．
∴∠BDF﹣∠CEF＝180°﹣2∠1﹣（140°﹣2∠1）
＝180°﹣2∠1﹣140°+2∠1
＝40°．
故选：C．
7．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于D，连接AD．若AC＝4cm，△ADC的周长为11cm，则BC的长等于（ ）
A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
【思路点拔】由AB的垂直平分线交AB于E，交BC于D，根据线段垂直平分线的性质，可得AD＝BD，又由△ADC的周长为11cm，即可求得AC+BC＝11cm，然后由AC＝4cm，即可求得BC的长．
【解答】解：∵AB的垂直平分线交AB于E，交BC于D，
∴AD＝BD，
∵△ADC的周长为11cm，
∴AC+CD+AD＝AC+CD+BD＝AC+BC＝11（cm），
∵AC＝4cm，
∴BC＝7cm．
故选：C．
核心考点四 等腰三角形的性质（共2小题）
8．如图，在△ABC中，BD是中线，延长BC到点E，使CE＝CD，若DB＝DE，∠E＝30°．求证：△ABC是等边三角形．
【思路点拔】根据等腰三角形的性质，得到∠DBC＝∠E＝30°，∠CDE＝∠E＝30°，可得∠BCD＝60°，求出∠BDC＝90°，根据线段垂直平分线的性质得到AB＝BC，从而求出∠A＝∠ACB＝60°＝∠ABC，即可证明．
【解答】证明：∵DB＝DE，
∴∠DBC＝∠E＝30°，
∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠E＝30°，
∴∠BCD＝∠CDE+∠E＝60°，
∴∠BDC＝90°，
∵BD是中线，
∴AB＝BC，
∴∠A＝∠ACB＝60°，
∴∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
9．如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD＝DC，∠B＝60°，则∠C的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．45°
【思路点拔】先证明△ABD是等边三角形得∠ADB＝60°，再根据AD＝DC得∠C＝DAC，再根据∠ADB＝∠C+DAC＝2∠C即可得出∠C的度数．
【解答】解：∵AB＝AD，∠B＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB＝60°，
∵AD＝DC，
∴∠C＝DAC，
∵∠ADB＝∠C+DAC＝2∠C，
∴2∠C＝60°，
∴∠C＝30°．
故选：B．
核心考点五 等腰三角形的判定（共3小题）
10．已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．11 B．16 C．17 D．16或17
【思路点拔】分6是腰长和底边两种情况，利用三角形的三边关系判断，然后根据三角形的周长的定义列式计算即可得解．
【解答】解：①6是腰长时，三角形的三边分别为6、6、5，
能组成三角形，
周长＝6+6+5＝17；
②6是底边时，三角形的三边分别为6、5、5，
能组成三角形，
周长＝6+5+5＝16．
综上所述，三角形的周长为16或17．
故选：D．
11．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，D为AB上一点，过点D作DE∥AC，若CD平分∠ADE，则∠BCD的度数为 25 °．
【思路点拔】依据DE∥AC，CD平分∠ADE，可得∠ACD＝∠CDE＝∠CDA，即AD＝AC，再根据∠A＝50°，即可得出∠ACD＝65°，最后依据∠ACB＝90°，即可得到∠BCD＝90°﹣65°＝25°．
【解答】解：∵DE∥AC，CD平分∠ADE，
∴∠ACD＝∠CDE＝∠CDA，
∴AD＝AC，
又∵∠A＝50°，
∴∠ACD＝65°，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣65°＝25°，
故答案为：25°．
12．如图，△ABC中，AB＝AC，AM是BC边上的中线，点N在AM上，求证：NB＝NC．
【思路点拔】等腰三角形底边上的中线，角平分线，高三线合一，以及垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，
【解答】证明：∵AB＝AC，AM是BC边上的中线，
∴AM⊥BC．
∴AM垂直平分BC．
∵点N在AM上，
∴NB＝NC．
核心考点六 等边三角形的判定（共2小题）
13．如图，在四边形ABDC中，AB＝AC，∠ABD＝∠ACD，求证：DB＝DC．
【思路点拔】连接BC，根据等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠ACB，求出∠DBC＝∠DCB，再根据等腰三角形的判定得出即可．
【解答】解：连接BC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ABD＝∠ACD，
∴∠ABD﹣∠ABC＝∠ACD﹣∠ACB，
即∠DBC＝∠DCB，
∴DB＝DC．
14．如图，已知在△ABC中，D为BC上的一点，DA平分∠EDC，且∠E＝∠B，DE＝DC，求证：AB＝AC．
【思路点拔】根据在△ABC中，D为BC上的一点，AD平分∠EDC，且∠E＝∠B，DE＝DC，求证△AED≌△ACD，然后利用等量代换即可求的结论．
【解答】证明：∵DA平分∠EDC，
∴∠ADE＝∠ADC．
又∵DE＝DC，AD＝AD，
∴△AED≌△ACD（SAS），
∴∠E＝∠C．
又∵∠E＝∠B，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC．
核心考点七 等边三角形的性质（共2小题）
15．如图，点E是等边三角形ABC的高AD上一点，∠EBF＝60°，∠BCF＝30°，求证：△BEF是等边三角形．
【思路点拔】由∠EBF＝60°，∠ABC＝60°，得出∠ABE＝∠CBF，进而证明△ABE与△CBF全等，利用全等三角形的性质和等边三角形的判定证明即可．
【解答】证明：∵等边三角形ABC，∠EBF＝60°，
∴∠EBF＝60°，∠ABC＝60°，
∴∠EBF﹣∠EBD＝∠ABC﹣∠EBD，
即∠ABE＝∠CBF，
∵点E是等边三角形ABC的高AD上一点，
∴∠BAE＝30°，
∴∠BAE＝∠BCF＝30°，
在△ABE与△CBF中
，
∴△ABE≌△CBF（ASA）
∴BE＝BF，
∵∠EBF＝60°，
∴△BEF是等边三角形．
16．如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD＝AE，AD与CE交于点F．
（1）求证：AD＝CE；
（2）过点D作∠ADG＝60°交线段EC于点G，求证：DF＝DG．
【思路点拔】（1）求出∠B＝∠CAE，AC＝AB，根据SAS证出△ABD≌△CAE即可；
（2）根据全等三角形的性质和等边三角形的判定定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠CAE＝∠ACB＝60°，AC＝AB，
在△ABD和△CAE中，
∴△ABD≌△CAE（SAS），
∴AD＝CE；
（2）解：∵△ABD≌△CAE，
∴∠BAD＝∠ACE，
∴∠DFC＝∠FAC+∠ACE＝∠FAC+∠BAD＝∠CAE＝60°，
∵∠FDG＝60°，
∴△DFG是等边三角形，
∴DF＝DG．
核心考点八 30°角的直角三角形的性质（共2小题）
17．如图折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在斜边AB上的点E处，已知CD＝1，∠B＝30°，则BD的长是（ ）
A．1 B．2 C． D．2
【思路点拔】由轴对称的性质可以得出DE＝DC，∠AED＝∠C＝90°，就可以得出∠BED＝90°，根据直角三角形的性质就可以求出BD＝2DE，然后解答即可．
【解答】解：∵△ADE与△ADC关于AD对称，
∴△ADE≌△ADC，
∴DE＝DC，∠AED＝∠C＝90°，
∴∠BED＝90°．
∵∠B＝30°，
∴BD＝2DE．
∵DC＝1，
∴BD＝2．
故选：B．
18．如图，△ABC是等边三角形，△ADE是等腰三角形，AD＝AE，∠DAE＝80°，当DE⊥AC时，求∠BAD和∠EDC的度数．
【思路点拔】首先利用等腰三角形的性质得出∠ADE＝∠E＝50°，∠DAF＝∠EAF＝40°，进而利用等边三角形各内角度数求出∠BAD即可，再利用三角形外角性质得出答案．
【解答】解：当DE⊥AC时，
∵AD＝AE，∠DAE＝80°，
∴∠ADE＝∠E＝50°，∠DAF＝∠EAF＝40°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝60°﹣40°＝20°，
∵∠B+∠BAD＝∠ADE+∠EDC，
∴60°+20°＝50°+∠EDC，
∴∠EDC＝30°．
核心考点九 最短路径问题（共1小题）
19．按要求作图：
（1）在直线l同侧有两点A、B，在直线L上找一点P，使|PA﹣PB|最大；
（2）在直线l两侧有两点A、B，在直线l上找一点P，使|PA﹣PB|最大；
（3）在直线l两侧有两点A、B，在直线l上找一点P，使|PA﹣PB|最小．
【思路点拔】（1）作直线AB，交直线L于P，则P就是所求点．
（2）作A关于l的对称点A'，直线A'B与l交于P，则P就是所求点．
（3）连接AB，作AB的垂直平分线交直线L于P，则P就是所求点．
【解答】解（1）如图所示：
（2）如图所示：
（3）如图所示：
核心考点十 数学思想防范应用（共3小题）
类型一 方程思想
20．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，连接DE，DF，已知△ABC，△ADF，△BDE都是等边三角形，点M，N分别是AF，DE的中点，连接MN，当AD＝2，∠DNM＝45°时，BD的长度为（ ）
A． B．4 C． D．
【思路点拔】连接DM，证出∠ADM＝∠FDM∠ADF＝30°，DM⊥AF，由勾股定理求出DM，证出∠MDN＝90°，求出DN，则可得出答案．
【解答】解：连接DM，
∵△ADF为等边三角形，
∴∠ADF＝60°，AD＝AF，
∵M为AF的中点，
∴∠ADM＝∠FDM∠ADF＝30°，DM⊥AF，
∴AMAD＝1，
∴DM，
∵△BDE是等边三角形，
∴∠BDE＝60°，BD＝DE，
∴∠EDF＝180°﹣∠ADF﹣∠BDE＝60°，
∴∠MDN＝60°+30°＝90°，
∵∠NDM＝45°，
∴∠DNM＝∠DMN＝45°，
∴DN＝MN，
∵N为DE的中点，
∴DE＝2，
∴BD＝2．
故选：A．
类型二 整体思想
21．如图，△ABC中，∠C＝70°，将△ABC绕点A顺时针旋转后，得到△AB'C'，且C'在边BC上，则∠B'C'B的度数为 40 °．
【思路点拔】由旋转的性质可得AC＝AC'，∠C＝∠AC'B'＝70°，由等腰三角形的性质可得∠AC'C＝∠C＝70°，即可求解．
【解答】解：由旋转可知：AC＝AC'，∠C＝∠AC'B'＝70°，
∴∠AC'C＝∠C＝70°，
∴∠BC'B'＝180°﹣∠AC'C﹣∠B'C'B＝40°，
故答案为：40．
类型三 分类讨论
22．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°，求底角∠B的大小．
【思路点拔】此题根据△ABC中∠A为锐角与钝角分为两种情况解答．
【解答】解：（1）当AB的中垂线MN与AC相交时，
∵∠AMD＝90°，
∴∠A＝90°﹣40°＝50°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C65°；
（2）当AB的中垂线MN与CA的延长线相交时，
∴∠DAB＝90°﹣40°＝50°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C∠DAB＝25°．
综上所述：∠B的大小为25°或65°．
