浙江省杭州市浙里特色联盟2024-2025学年高二上学期11月期中数学试题
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.）
1.
【答案】B
2.
【答案】B
3.
【答案】C
4.
【答案】C
5.
【答案】D
6.
【答案】A
7.
【答案】D
8.
【答案】B
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选、错选得0分.）
9.
【答案】BCD
10.
【答案】ABD
11.
【答案】BC
非选择题部分
三、填空题（本大题共3小题，每个空5分，共15分.）
12.
【答案】##
13.
【答案】2
14.
【答案】
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.
【解析】
【分析】（1）设，利用点C在AB边上的中线CM上和直线AC与高线BH垂直求解；
（2）设，利用点B在BH上和AB的中点M在直线CM上求解；
【小问1详解】
解：设，
∵AB边上的中线CM所在直线方程为，
AC边上的高BH所在直线方程为．
∴，解得．
∴．
【小问2详解】
设，则，
解得．
∴．
∴．
∴直线BC的方程为，即为．
16.
【解析】
【分析】（1）先确定圆心为的中垂线与的交点，根据直线垂直的关系及点斜式，结合两点距离公式计算即可；
（2）利用点到直线的距离公式及弦长公式计算即可.
【小问1详解】
易知和的中点，，
则的中垂线方程为，
联立方程，即圆心坐标为，
易知，所以圆的标准方程为；
【小问2详解】
易知圆心C到直线的距离为，
又直线被圆截得弦长为，
所以，解之得或.
17.
【解析】
【分析】（1）直接利用锥体的体积公式结合正四棱柱的特征计算即可；
（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算线面夹角即可.
【小问1详解】
根据题意可知，
所以，；
【小问2详解】
如图所示，建立空间直角坐标系，
易知，
所以，
设平面的一个法向量，则，
取，即，
设直线与平面PBD所成角为，
则.
18.
【解析】
【分析】（1）根据椭圆过点及离心率待定系数计算即可；
（2）设坐标，及直线方程，利用韦达定理，圆的面积公式，弦长公式及点到直线的距离，结合二次函数的性质计算即可.
【小问1详解】
由题意可知，解之得，即椭圆方程为；
【小问2详解】
设，直线方程，
与椭圆方程联立得，
所以，即有，
易知，同理，
则，
由上知，即，
而，
O到直线的距离，即，
显然时，取得最大值1，即的最大值为.
19.
【解析】
【分析】（1）利用相应概念计算即可；
（2）根据曼哈顿距离的定义先得出N的轨迹，再根据余弦函数的性质数形结合计算即可；
（3）根据（2）的结论及点到直线的距离公式建立等量关系计算即可.
【小问1详解】
根据题意可知，
，
则，
所以；
【小问2详解】
设，因为，则有，
即的轨迹，
作出的轨迹图形如图所示，
若要最大，只需最小，由图象可知当时，最大，
根据余弦函数的单调性可知此时最小，
则的最大值为；
【小问3详解】
易知，
设，则，
若，则，符合题意；
若，则，
根据分段函数的性质可知，
又恒成立，
当且仅当时取得等号.
综上：或.浙江省杭州市浙里特色联盟2024-2025学年高二上学期11月期中数学试题
考生须知：
1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号．
3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效．
4.考试结束后，只需上交答题卷．
选择题部分
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.）
1. 复数（为虚数单位）的虚部是（）
A. 1 B. C. 2024 D.
2. 已知圆的标准方程为，则圆心坐标为（）
A. B.
C. D.
3. 过点且垂直于直线的直线方程为（）
A. B.
C. D.
4. 已知，且，则的值为（）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 在四面体中，，点在上，且为的点，且，则等于（）
A. B.
C. D.
6. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的中心为原点，焦点均在轴上，的面积为，过点的直线交于点，且的周长为12.则的标准方程为（）
A. B.
C. D.
7. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（）
A. B. C. D.
8. 已知为椭圆的右焦点，为椭圆上一点，为圆上一点，则的最小值为（）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选、错选得0分.）
9. 已知分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上的一点，则下列说法正确的是（）
A.
B. 椭圆的离心率为
C. 直线被椭圆截得的弦长为
D. 若，则的面积为4
10. 在棱长为的正方体中，点、分别在线段和上（含端点），则下列命题正确的是（）
A. 长的最小值为
B. 四棱锥的体积为定值
C. 有且仅有一条直线与垂直
D. 当点、为线段中点时，则为等腰三角形
11. 已知直线，下列说法正确的是（）
A. 直线恒过定点
B直线与直线垂直，则
C. 当点到直线的距离取到最大时，此时
D. 直线与圆所截得的最短弦长为1
非选择题部分
三、填空题（本大题共3小题，每个空5分，共15分.）
12. 直线的倾斜角大小为______.
13. 已知空间向量且与互相平行，则实数的值______.
14. 已知右焦点为椭圆上的三点A，B，C满足直线AB过坐标原点，若于点，且，则的离心率是______.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知ABC的顶点，AB边上的中线CM所在直线方程为，AC的边上的高BH所在直线方程为．
（1）求顶点C的坐标；
（2）求直线BC的方程．
16. 在平面直角坐标系中，圆经过点和点，且圆心在直线上.
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线被圆截得弦长为，求实数值.
17. 如图，正四棱柱中，设，点在线段上，且.
（1）求三棱锥的体积；
（2）直线与平面PBD所成角正弦值.
18. 已知O为坐标原点，椭圆C：过点，且离心率为，斜率为的直线交椭圆于P，Q两点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）记以为直径的圆的面积分别为的面积为S，求的最大值.
19. 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术.主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有种.设，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）.
（1）若，求之间的曼哈顿距离和余弦距离；
（2）若点，求的最大值；
（3）已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由.
