黑龙江省大庆市实验中学实验二部2024-2025学年高三上学期期中考试 数学（PDF版，含答案）
文档属性
| 名称 | 黑龙江省大庆市实验中学实验二部2024-2025学年高三上学期期中考试 数学（PDF版，含答案） |  | |
| 格式 | |||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-19 16:31:26 | ||
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文档简介
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大庆实验中学实验二部 2022 级高三上学期期中考试
数学学科试题答案
选择题：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
A C C A B B B B AD AD BCD
8.答案：B
取 DE 中点 F，三角形 ABC 的重心 G，则 A
PA PB PC PD PE 3PG 3 2 2PF 5( PG PF )
5 5
3 2 2 F
设 PH PG PF ，则可得GH HF ，设 BC 中点为 M，可得 D E
5 5 3 H
P
| MH | 12 3,CH 2 MH 2 CM 2
G
1332
B M C
所以 | PH |的最小值为 60 6 37 ， | PA PB PC PD PE |的最小值为
300 30 37
11.答案：BCD
选项 A，连接 A1B,A1P,CD1 ，正方体中易知CD1 //A1B ，
P, N 分别是C1D1,C1C 中点，则 PN //CD1 ，所以 PN //A1B，即 A1,P,N ,B 四点共面，当Q与 A1重
合时满足 B，N，P，Q 四点共面，A 错误；
选项 B，如图，取 A1D1中点为Q，连接PQ,QM ,A1C1，
因为M ,N 分别是 AA1,CC1中点，则 A1M 与C1N 平行且相等， A1C1NM 是平行四边形，
所以MN //A1C1 ，又 P 是C1D1中点，所以PQ//A1C1，所以PQ//MN ，
MN 平面BMN ，PQ 平面BMN ，所以PQ// 平面BMN ，B 正确；
D1 C1
选项 C，如图，在平面 A1B1C1D1上做QH B1C1于 H，过 H 做 HT BN 交 BC 或者CC Q H1
A1 B1
于 T，则BN 平面 QHT，如图，平面 QHT 截正方体 ABCD A1B1C1D1截面为平行四边形， N
当 T 与点 C 重合时，面积最大，此时， HT 5,QH 2，面积为 2 5 ，当 Q L T与点 D1 无限
D C
接近时，面积接近于 0
A
A O B1 B1
选项 D，过点 P 做PO 平面 AA1B1B，交平面 AA1B1B于 O，则点 H 的轨迹为以 O 为圆
心，2 为半径的部分圆弧，设该圆弧与 AA1, B1B于 X，Y，如图，OX=OY=2,易得
X Y
A B
XOY 2 ，所以点 H 的轨迹长度为
3 3
填空题：
12．{k | k 1且k 16} 13. 2 3
3
14． a e
Q '(y , x ax 1答案：设 2 2 )因为函数 y e 与 y ln x log xea 互为反函数， a
y eax
1
与 y ln x 的图像关于直线 y x 对称，
a
所以Q '(y2 , x )
1
2 在 y ln x 上所以dPQ 的最小值为点 Р 到直线 y x 距离的最小值的两倍. a
x0 e
ax0
设 P（ x0 ， y0 ），则 PQ 2 2 eax0 x . min 2 0
设 f (x) 2 eax0 x 1 10 ， f (x) 2aeax0 2 .由 f (x) 0得 x ln . a a
x 1 1当 , ln
时， f (x) 0， f (x)a a 单调递减；
x 1 1当 ln ,
时， f (x) 0， f (x) 单调递增，
a a
f (x) 1 1 2 2 2 2 2所以 min f ln ln(ae)，则| |的最小值是 ln a 1 .所以
a a
ln a 1 ,
a a a e
ln a 1 2 2 2 a，构造函数 h(a) ln a 1 a ， h(e) ln e 1 e 0求导后解得 a e
e e e
解答题：
15.在VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c,m sinC sinB,b a ,n c b,sinA ，且m n 0 .
(1)求角C 的值；
(2)若VABC 为锐角三角形，且 c 1，求 ABC 周长的取值范围.
m 答案：（1） n 0 所以 sinA a b sinB sinC b c 0
利用正弦定理化简得： a a b b c b c 0即 a2 b2 c2 ab，
2 2 2
由余弦定理可得 cosC a b c 1 ，
2ab 2
又因为C 0, π π，所以C ；
3
2π
（2）由（1）得 A B ，即B
2π
A，
3 3
又因为三角形 ABC 为锐角三角形，
0 2π A
π
3 2 π π
所以 解之得： A ，
6 20 A π
2
a b c 1 2
因为 c 1，由正弦定理得： sinA sinB sinC sin π 3 ，
3
2
所以 a sinA,b
2
sinB，
3 3
a b 2 sinA 2 sinB 2 sinA 2 sin π A 2sin A π所以
3 3 3 3 3 6
π π π 2π
因为 A
π
，所以 A ，
6 2 3 6 3
所以 3 2sin A
π
2 a b 3,2 . 1 3,3
6
，则 的取值范围为 ， ABC 周长的取值范围
2a
16. 已知数列 an
1 n
的首项 a1 ，且满足 an 1 a 1． 2 n
1
(1)证明：数列 1 为等比数列；
an
1 1 1 1(2)若 2024a a a a ，求满足条件的最大整数 n． 1 2 3 n
a 2a1 n
1 an 1 1 1 1
答案：：（ ）由 n 1 得 a 1 a ， n n 1 2an 2 an 2
1 1
则 1
1 1
1 ， 1 1 0 an 1 2 an a1
1 1 1
所以数列 1 是首项为 1 1，公比为 的等比数列.
an a1 2
1 1 1
n 1 1 1 n 1
（2）由（1）得
a 2
, 1 ，
n an 2
n
1 1 1 1 1 1 n 1 1
1
n n 1
所以 n 1 2 1 1 ，
a1 a2 a3 a 2
2 n 1 n 2 1 n 2 n 1 2
2
2
1 n 1 n n 1 nb 1 1 1 设 n n 2 ，b2 n 1
bn n 1 2 n 2 1 0
2 2 2
数列 bn 是单调递增数列，
1 2023
当 n 2022时，b2024 2024
2
2024 ，
1 2024
当 n 2023时，b2025 2025
2024 ，
2
所以满足条件的最大整数为 2022.
17. 如图在斜三棱柱 ABC A1B1C1中， AB AC 3， B1BC 60 ，BB1 BC 2，平面 BCC1B1 平面 ABC ，E 是
棱 B1C1 上一点，D，F 分别是 AC，AB 的中点.
(1)当B1C1 2B1E ，证明： B1F / / 平面BED ；
| B C |
(2) 1 1 3 23判断当 | B E | 的值为多少时，锐二面角D BE C 的余弦值为 1 23
D, F CA, BA DF 1答案：（1）连接DF ， 分别是 中点，则DF / /BC 且 BC ，
2
B1C1 2B1E ，BCC1B
1
1是平行四边形，因此B1E // BC 且B1E BC ， 2
所以DF 与B1E 平行且相等，DFB1E 是平行四边形，所以B1F / /DE ，
B1F 平面BDE ，DE 平面BDE ，所以 B1F / / 平面BED ；
| B1C2 1
| 3 23
（ ）当 2| B E | 时锐二面角D BE C 的余弦值为 ，理由如下 1 23
取BC 中点O，连接OB1，OA，
因为 AB AC ，则OA BC ，
BB1 BC， B1BC 60
3
，则△ BB1C 是正三角形，所以OB1 BC ，OB1 BB 3 ， 2 1
平面 BCC1B1 平面 ABC ，平面BCC1B1 平面 ABC BC ，B1O 平面BCC1B1，
所以B1O 平面 ABC ，
OA AB2 OB2 2 2 ，
以OA,OC,OB1为 x, y, z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(0, 1,0)， E(0, t, 3)， A(2 2,0,0)，C(0,1,0) ，∴D( 2,
1 ,0)，
2
BD ( 2, 3 ,0)， BE (0, t 1, 3) ， 2
设平面EBD 的一个法向量是m (x, y, z)，
m
BD 2x
3
y 0
则 2
2t 2
，取 y 2 x 3 2
3 2 2t 2
，则 ， z ，即m ( , 2, )，
m
BE (t 1)y 3z 2 3 0 2 3
平面BEC 的一个法向量是 n (1,0,0)，设锐二面角D BE C 的大小为 ，
m n | B C |
则 cos
3 23
1．又 t>0 1 1解得， t ,即 4
m n 23 2 | B1E |
18.函数 f (x) ex (x m)，m 为实数。设 y fa (x)是函数 f (x) 在点 (a, f (a)) 处的切线。
g(x) 为函数 h(x) f (x) fa (x) 的导函数
（1）求 g(a)和 h(a) 的值
（2） g(x) 为函数 h(x) f (x) fa (x) 的导函数，求 g(x) 的单调性。
x a f (x) fa (x)（3）若对任意 时，总有 0 ，则称实数 a 为函数 f (x) 的 “A 类值”，求函数 f (x) 的所有“A
x a
类值”。
答案：（1） h(a) f (a) fa (a) 0, g(a) h '(a) e
a (a m 1) f '(a) ea (a m 1) ea (a m 1) 0，
（2） h(x) f (x) fa (x) e
x (x m) f '(a)(x a) f (a)
g(x) h '(x) ex (x m 1) f '(a) , g '(x) ex (x m 2)
当 x ( , m 2]时， g '(x) 0， g(x) 在 ( , m 2]上单调递减
当 x [ m 2, ) 时， g '(x) 0， g(x) 在[ m 2, )上单调递增
（3）当 a m 2时，因为 g(a) 0 ， g(x) 在[ m 2, )上单调递增，当 x [ m 2,a]时 g(x) g(a) 0 ，
所以 h(x) 在 [ m 2,a]上单调递减，则 h( m 2) h(a) 0 h( m 2)
f ( m 2) fa ( m 2)，所以 0 ，
m 2 a m 2 a
不成立
当 a m 2时，因为 g(a) 0 ， g(x) 在 ( , m 2]上单调递减，当 x [a, m 2]时则 g(x) g(a) 0 ，所
以 h(x) 在 x [a, m 2]上单调递减，则 h( m 2) h(a) 0 h( m 2)
f ( m 2) f ( m 2)
所以 a 0 ，
m 2 a m 2 a
不成立
当 a m 2时 ， g(x) 在 ( , m 2]上 单 调 递 减 ， 在 [ m 2, )上 单 调 递 增 ， 所 以
g(x) g(a) ea (a m 1) f '(a) 0 ，所以 h(x) 在 R 上单调递增，所以当 x a 时， h(x) h(a) 0,
h(x)
0
x a
h(x)
所以当 x a 时， h(x) h(a) 0, 0。所以函数 f (x) 的“A 类值”只有 m 2。
x a
19. 在平面直角坐标系 xoy中有两个定点 A( 3,0), B(3,0) ，已知动点 M 在平面 xoy中且 M 到 A，B 两点的斜率乘
2
积为 ，点 D 为定点 ( 1,0)
3
（1）求动点 M 的轨迹方程
（2）如图，在空间中有一点 C 在平面 xoy上方，满足CA 平面 xoy，且 | CD | 4，探究直线 CD 与 CM 的夹角
是否为定值？若是定值，求出夹角角度，若不是定值，说明理由。
（3）在平面 xoy上过点T (0, 2 6) 做直线 l ，交点 M 的轨迹于 P，Q 两点。设 Q 点关于 y 轴对称的点为 H，连接
HP，求当点 C 到直线 HP 距离最大时，直线 HP 与平面 ABC 夹角的正切值。
C
y y 2
答案：（1）设点M在平面直角坐标系 xoy中坐标为 (x, y)，则 ，
x 3 x 3 3
x2 y2 M
解得点 M 的轨迹方程为 1(y 0) A B
9 6 D O
（2）过点 O 做与向量 AC 方向做 z 轴，与原坐标系中 x 轴， y 轴组成空间直角坐标系，
点 C 在平面 xoy上方，且CA 平面 xoy，设点 C 坐标为 ( 3,0, t)，则点 D 坐标为 ( 1,0,0)
因为 | CD | 4，所以 ( 3 1)2 02 (t 0)2 4 ，解得 t 2 3 。设点 M 坐标为 (x, y,0)
向量CD (2,0, 2 3)，向量CM (x 3, y, 2 3)，则向量CD与向量CM 夹角 的余弦值为
cos CD CM 2x 18
2 2
| | | | x y，由 1，得 y2 6 2 x2 ，代入得
| CD || CM | 4 (x 3)2 y2 12 9 6 3
cos | 2x 18 | | 2x 18 | | 2x 18 3 4 | ，所以角
4 x
2
6x 27 4 x
2
6x 27 (x 9)
2 6
3 3 3
x2 y2
（3）在平面直角坐标系 xoy中，设直线 l 的方程为 y kx 2 6 ，与点 M 的轨迹方程 1(y 0) 联立，
9 6
得 (3k 2 2)x2 12 6kx 54 0，设点 P，Q 的坐标为 (x1, y1), (x2 , y2 ) 则 H 点坐标为 ( x2 , y2 )有
x 12 6k 54 y y1 x2 2 , x1x2 2 ，PH 直线方程为 y
1 2 (x x1) y ， 3k 2 3k 2 x1 x
1
2
x 0 y x1y2 x2 y1 2 6 2kx x 6 6令 ，得 1 2 ，所以直线 PH 过定点 K (0, )
x1 x2 x1 x2 2 2
点 C 到直线 HP 距离 d | CK |，当且仅当CK HP 时成立，此时因为CA 平面 xoy， HP 平面 xoy，所以
CA HP ， AC 平面 CAK，CK 平面 CAB， AC CK C ，所以 PH 平面 CAK，
0 6 6
又因为 AK 平面CAK ，所以 PH AK ，此时 kAK 2 ， k
1
PH 6 ，又直线HP与平面ABC 3 0 6 kAK
夹角为锐角，所以直线 HP 与平面 ABC 夹角的正切值为 6
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大庆实验中学实验二部 2022 级高三上学期期中考试
数学学科试题答案
选择题：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
A C C A B B B B AD AD BCD
8.答案：B
取 DE 中点 F，三角形 ABC 的重心 G，则 A
PA PB PC PD PE 3PG 3 2 2PF 5( PG PF )
5 5
3 2 2 F
设 PH PG PF ，则可得GH HF ，设 BC 中点为 M，可得 D E
5 5 3 H
P
| MH | 12 3,CH 2 MH 2 CM 2
G
1332
B M C
所以 | PH |的最小值为 60 6 37 ， | PA PB PC PD PE |的最小值为
300 30 37
11.答案：BCD
选项 A，连接 A1B,A1P,CD1 ，正方体中易知CD1 //A1B ，
P, N 分别是C1D1,C1C 中点，则 PN //CD1 ，所以 PN //A1B，即 A1,P,N ,B 四点共面，当Q与 A1重
合时满足 B，N，P，Q 四点共面，A 错误；
选项 B，如图，取 A1D1中点为Q，连接PQ,QM ,A1C1，
因为M ,N 分别是 AA1,CC1中点，则 A1M 与C1N 平行且相等， A1C1NM 是平行四边形，
所以MN //A1C1 ，又 P 是C1D1中点，所以PQ//A1C1，所以PQ//MN ，
MN 平面BMN ，PQ 平面BMN ，所以PQ// 平面BMN ，B 正确；
D1 C1
选项 C，如图，在平面 A1B1C1D1上做QH B1C1于 H，过 H 做 HT BN 交 BC 或者CC Q H1
A1 B1
于 T，则BN 平面 QHT，如图，平面 QHT 截正方体 ABCD A1B1C1D1截面为平行四边形， N
当 T 与点 C 重合时，面积最大，此时， HT 5,QH 2，面积为 2 5 ，当 Q L T与点 D1 无限
D C
接近时，面积接近于 0
A
A O B1 B1
选项 D，过点 P 做PO 平面 AA1B1B，交平面 AA1B1B于 O，则点 H 的轨迹为以 O 为圆
心，2 为半径的部分圆弧，设该圆弧与 AA1, B1B于 X，Y，如图，OX=OY=2,易得
X Y
A B
XOY 2 ，所以点 H 的轨迹长度为
3 3
填空题：
12．{k | k 1且k 16} 13. 2 3
3
14． a e
Q '(y , x ax 1答案：设 2 2 )因为函数 y e 与 y ln x log xea 互为反函数， a
y eax
1
与 y ln x 的图像关于直线 y x 对称，
a
所以Q '(y2 , x )
1
2 在 y ln x 上所以dPQ 的最小值为点 Р 到直线 y x 距离的最小值的两倍. a
x0 e
ax0
设 P（ x0 ， y0 ），则 PQ 2 2 eax0 x . min 2 0
设 f (x) 2 eax0 x 1 10 ， f (x) 2aeax0 2 .由 f (x) 0得 x ln . a a
x 1 1当 , ln
时， f (x) 0， f (x)a a 单调递减；
x 1 1当 ln ,
时， f (x) 0， f (x) 单调递增，
a a
f (x) 1 1 2 2 2 2 2所以 min f ln ln(ae)，则| |的最小值是 ln a 1 .所以
a a
ln a 1 ,
a a a e
ln a 1 2 2 2 a，构造函数 h(a) ln a 1 a ， h(e) ln e 1 e 0求导后解得 a e
e e e
解答题：
15.在VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c,m sinC sinB,b a ,n c b,sinA ，且m n 0 .
(1)求角C 的值；
(2)若VABC 为锐角三角形，且 c 1，求 ABC 周长的取值范围.
m 答案：（1） n 0 所以 sinA a b sinB sinC b c 0
利用正弦定理化简得： a a b b c b c 0即 a2 b2 c2 ab，
2 2 2
由余弦定理可得 cosC a b c 1 ，
2ab 2
又因为C 0, π π，所以C ；
3
2π
（2）由（1）得 A B ，即B
2π
A，
3 3
又因为三角形 ABC 为锐角三角形，
0 2π A
π
3 2 π π
所以 解之得： A ，
6 20 A π
2
a b c 1 2
因为 c 1，由正弦定理得： sinA sinB sinC sin π 3 ，
3
2
所以 a sinA,b
2
sinB，
3 3
a b 2 sinA 2 sinB 2 sinA 2 sin π A 2sin A π所以
3 3 3 3 3 6
π π π 2π
因为 A
π
，所以 A ，
6 2 3 6 3
所以 3 2sin A
π
2 a b 3,2 . 1 3,3
6
，则 的取值范围为 ， ABC 周长的取值范围
2a
16. 已知数列 an
1 n
的首项 a1 ，且满足 an 1 a 1． 2 n
1
(1)证明：数列 1 为等比数列；
an
1 1 1 1(2)若 2024a a a a ，求满足条件的最大整数 n． 1 2 3 n
a 2a1 n
1 an 1 1 1 1
答案：：（ ）由 n 1 得 a 1 a ， n n 1 2an 2 an 2
1 1
则 1
1 1
1 ， 1 1 0 an 1 2 an a1
1 1 1
所以数列 1 是首项为 1 1，公比为 的等比数列.
an a1 2
1 1 1
n 1 1 1 n 1
（2）由（1）得
a 2
, 1 ，
n an 2
n
1 1 1 1 1 1 n 1 1
1
n n 1
所以 n 1 2 1 1 ，
a1 a2 a3 a 2
2 n 1 n 2 1 n 2 n 1 2
2
2
1 n 1 n n 1 nb 1 1 1 设 n n 2 ，b2 n 1
bn n 1 2 n 2 1 0
2 2 2
数列 bn 是单调递增数列，
1 2023
当 n 2022时，b2024 2024
2
2024 ，
1 2024
当 n 2023时，b2025 2025
2024 ，
2
所以满足条件的最大整数为 2022.
17. 如图在斜三棱柱 ABC A1B1C1中， AB AC 3， B1BC 60 ，BB1 BC 2，平面 BCC1B1 平面 ABC ，E 是
棱 B1C1 上一点，D，F 分别是 AC，AB 的中点.
(1)当B1C1 2B1E ，证明： B1F / / 平面BED ；
| B C |
(2) 1 1 3 23判断当 | B E | 的值为多少时，锐二面角D BE C 的余弦值为 1 23
D, F CA, BA DF 1答案：（1）连接DF ， 分别是 中点，则DF / /BC 且 BC ，
2
B1C1 2B1E ，BCC1B
1
1是平行四边形，因此B1E // BC 且B1E BC ， 2
所以DF 与B1E 平行且相等，DFB1E 是平行四边形，所以B1F / /DE ，
B1F 平面BDE ，DE 平面BDE ，所以 B1F / / 平面BED ；
| B1C2 1
| 3 23
（ ）当 2| B E | 时锐二面角D BE C 的余弦值为 ，理由如下 1 23
取BC 中点O，连接OB1，OA，
因为 AB AC ，则OA BC ，
BB1 BC， B1BC 60
3
，则△ BB1C 是正三角形，所以OB1 BC ，OB1 BB 3 ， 2 1
平面 BCC1B1 平面 ABC ，平面BCC1B1 平面 ABC BC ，B1O 平面BCC1B1，
所以B1O 平面 ABC ，
OA AB2 OB2 2 2 ，
以OA,OC,OB1为 x, y, z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(0, 1,0)， E(0, t, 3)， A(2 2,0,0)，C(0,1,0) ，∴D( 2,
1 ,0)，
2
BD ( 2, 3 ,0)， BE (0, t 1, 3) ， 2
设平面EBD 的一个法向量是m (x, y, z)，
m
BD 2x
3
y 0
则 2
2t 2
，取 y 2 x 3 2
3 2 2t 2
，则 ， z ，即m ( , 2, )，
m
BE (t 1)y 3z 2 3 0 2 3
平面BEC 的一个法向量是 n (1,0,0)，设锐二面角D BE C 的大小为 ，
m n | B C |
则 cos
3 23
1．又 t>0 1 1解得， t ,即 4
m n 23 2 | B1E |
18.函数 f (x) ex (x m)，m 为实数。设 y fa (x)是函数 f (x) 在点 (a, f (a)) 处的切线。
g(x) 为函数 h(x) f (x) fa (x) 的导函数
（1）求 g(a)和 h(a) 的值
（2） g(x) 为函数 h(x) f (x) fa (x) 的导函数，求 g(x) 的单调性。
x a f (x) fa (x)（3）若对任意 时，总有 0 ，则称实数 a 为函数 f (x) 的 “A 类值”，求函数 f (x) 的所有“A
x a
类值”。
答案：（1） h(a) f (a) fa (a) 0, g(a) h '(a) e
a (a m 1) f '(a) ea (a m 1) ea (a m 1) 0，
（2） h(x) f (x) fa (x) e
x (x m) f '(a)(x a) f (a)
g(x) h '(x) ex (x m 1) f '(a) , g '(x) ex (x m 2)
当 x ( , m 2]时， g '(x) 0， g(x) 在 ( , m 2]上单调递减
当 x [ m 2, ) 时， g '(x) 0， g(x) 在[ m 2, )上单调递增
（3）当 a m 2时，因为 g(a) 0 ， g(x) 在[ m 2, )上单调递增，当 x [ m 2,a]时 g(x) g(a) 0 ，
所以 h(x) 在 [ m 2,a]上单调递减，则 h( m 2) h(a) 0 h( m 2)
f ( m 2) fa ( m 2)，所以 0 ，
m 2 a m 2 a
不成立
当 a m 2时，因为 g(a) 0 ， g(x) 在 ( , m 2]上单调递减，当 x [a, m 2]时则 g(x) g(a) 0 ，所
以 h(x) 在 x [a, m 2]上单调递减，则 h( m 2) h(a) 0 h( m 2)
f ( m 2) f ( m 2)
所以 a 0 ，
m 2 a m 2 a
不成立
当 a m 2时 ， g(x) 在 ( , m 2]上 单 调 递 减 ， 在 [ m 2, )上 单 调 递 增 ， 所 以
g(x) g(a) ea (a m 1) f '(a) 0 ，所以 h(x) 在 R 上单调递增，所以当 x a 时， h(x) h(a) 0,
h(x)
0
x a
h(x)
所以当 x a 时， h(x) h(a) 0, 0。所以函数 f (x) 的“A 类值”只有 m 2。
x a
19. 在平面直角坐标系 xoy中有两个定点 A( 3,0), B(3,0) ，已知动点 M 在平面 xoy中且 M 到 A，B 两点的斜率乘
2
积为 ，点 D 为定点 ( 1,0)
3
（1）求动点 M 的轨迹方程
（2）如图，在空间中有一点 C 在平面 xoy上方，满足CA 平面 xoy，且 | CD | 4，探究直线 CD 与 CM 的夹角
是否为定值？若是定值，求出夹角角度，若不是定值，说明理由。
（3）在平面 xoy上过点T (0, 2 6) 做直线 l ，交点 M 的轨迹于 P，Q 两点。设 Q 点关于 y 轴对称的点为 H，连接
HP，求当点 C 到直线 HP 距离最大时，直线 HP 与平面 ABC 夹角的正切值。
C
y y 2
答案：（1）设点M在平面直角坐标系 xoy中坐标为 (x, y)，则 ，
x 3 x 3 3
x2 y2 M
解得点 M 的轨迹方程为 1(y 0) A B
9 6 D O
（2）过点 O 做与向量 AC 方向做 z 轴，与原坐标系中 x 轴， y 轴组成空间直角坐标系，
点 C 在平面 xoy上方，且CA 平面 xoy，设点 C 坐标为 ( 3,0, t)，则点 D 坐标为 ( 1,0,0)
因为 | CD | 4，所以 ( 3 1)2 02 (t 0)2 4 ，解得 t 2 3 。设点 M 坐标为 (x, y,0)
向量CD (2,0, 2 3)，向量CM (x 3, y, 2 3)，则向量CD与向量CM 夹角 的余弦值为
cos CD CM 2x 18
2 2
| | | | x y，由 1，得 y2 6 2 x2 ，代入得
| CD || CM | 4 (x 3)2 y2 12 9 6 3
cos | 2x 18 | | 2x 18 | | 2x 18 3 4 | ，所以角
4 x
2
6x 27 4 x
2
6x 27 (x 9)
2 6
3 3 3
x2 y2
（3）在平面直角坐标系 xoy中，设直线 l 的方程为 y kx 2 6 ，与点 M 的轨迹方程 1(y 0) 联立，
9 6
得 (3k 2 2)x2 12 6kx 54 0，设点 P，Q 的坐标为 (x1, y1), (x2 , y2 ) 则 H 点坐标为 ( x2 , y2 )有
x 12 6k 54 y y1 x2 2 , x1x2 2 ，PH 直线方程为 y
1 2 (x x1) y ， 3k 2 3k 2 x1 x
1
2
x 0 y x1y2 x2 y1 2 6 2kx x 6 6令 ，得 1 2 ，所以直线 PH 过定点 K (0, )
x1 x2 x1 x2 2 2
点 C 到直线 HP 距离 d | CK |，当且仅当CK HP 时成立，此时因为CA 平面 xoy， HP 平面 xoy，所以
CA HP ， AC 平面 CAK，CK 平面 CAB， AC CK C ，所以 PH 平面 CAK，
0 6 6
又因为 AK 平面CAK ，所以 PH AK ，此时 kAK 2 ， k
1
PH 6 ，又直线HP与平面ABC 3 0 6 kAK
夹角为锐角，所以直线 HP 与平面 ABC 夹角的正切值为 6
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