宜昌市部分省级示范高中2024秋季学期高二年级
期中考试数学试卷
考试时间：120分钟满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.
【答案】C
2.
【答案】C
3.
【答案】C
4.
【答案】D
5.
【答案】B
6.
【答案】B
7.
【答案】A
8.
【答案】A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有错选的得0分.
9.
【答案】ACD
10.
【答案】ABD
11.
【答案】ABC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.【答案】
13.【答案】
14.
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.
【解析】
【分析】（1）先求得直线的斜率，再根据两直线垂直斜率关系结合点斜式求解即可；
（2）分析当截距均为时的情况，再设直线方程为，根据直线经过点求解即可.
【小问1详解】
由可得直线的斜率为，
因，故直线的斜率为，
则直线的方程为，即
【小问2详解】
当截距均为时，直线方程为，符合题意，
当截距不为时，不妨设直线方程为，
又直线经过点，故，即，所以直线方程为，
综上，所求直线方程为或.
16.
【解析】
【分析】（1）利用相互独立事件的乘法公式求解；
（2）先求出两人中至少有一人赢得比赛的对立事件甲、乙两人都未赢得比赛的概率，再去求甲、乙两人至少有一人赢得比赛的概率.
【小问1详解】
设“甲在第一轮比赛中胜出”，“甲在第二轮比赛中胜出”，
“乙在第一轮比赛中胜出”，“乙在第二轮比赛中胜出”，
则，，，相互独立，且，，，，
所以，，
设“甲在比赛中恰好赢一轮”
则.
【小问2详解】
因为在两轮比赛中均胜出赢得比赛，则“甲赢得比赛”，“乙赢得比赛”,
所以，,
设“甲赢得比赛”，“乙赢得比赛”.
于是=“两人中至少有一人赢得比赛”，
由，,
所以，，
所以.
17.
【解析】
【分析】（1）设出，由题意列出方程，化简得到点P的轨迹方程；
（2）利用相关点法求解点M的轨迹方程；
（3）表示的几何意义为圆心为，半径为2的圆上的点与连线的斜率，画出图形，数形结合求出最值，从而求出取值范围.
【小问1详解】
设，则，
化简得：，故点P的轨迹方程为；
【小问2详解】
设，因为点M为AP的中点，
所以点P的坐标为，
将代入中，得到，
所以点M的轨迹方程为；
【小问3详解】
因为点在（1）的轨迹上运动，
所以，变形为，
即点为圆心为，半径为2的圆上的点，
则表示的几何意义为圆上一点与连线的斜率，如图：
当过的直线与圆相切时，取得最值，
设，
则由点到直线距离公式可得：，
解得：或·，
故的取值范围是.
18.
【解析】
【分析】（1）由题意和勾股定理可得，利用线面垂直的判定定理即可证明；
（2）由面面垂直的性质和线面垂直的性质可得，进而建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法即可求出该面面角；
（3）假设存在这样的点Q，则存在使得.利用线面平行和空间向量的坐标表示建立关于的方程，解得，即可下结论.
【小问1详解】
在中，
所以，即.
又因为，在平面中，，
所以平面.
【小问2详解】
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，由平面，得
由（2）知，且已知，
故以A为原点，建立如图空间直角坐标系，
则，.
所以
因为为中点，所以.
由知，.
设平面的法向量为，
则即
令，则.于是.
由（1）知平面，所以平面的法向量为.
所以，
由题知，二面角为锐角，所以其余弦值为；
【小问3详解】
设是线段上一点，则存在使得.
因为，
所以.
因为平面，所以平面，当且仅当，
即.
即.解得.
因为，
所以线段上不存在使得平面.
19.
【解析】
【分析】（1）分析可得必在椭圆C上，不在椭圆上，代入即得解；
（2）方法一，设直线MN：， M()，N()，P()，利用P、M、A和P、B、N三点共线得，联立消元结合韦达定理的得，代入上式求解即可；
方法二，讨论直线PA，PB斜率与零的关系，然后分别设直线PA，PB方程，分别与椭圆方程联立，求出M、N的坐标，进而求出直线MN的方程式，求出定点即可，
【小问1详解】
因为关于y轴对称，必定均在椭圆上，代入得：.
若点在椭圆上，则，与上式矛盾.
所以不在椭圆上.
由，解得，
故椭圆的方程为.
【小问2详解】
方法一：
设直线MN：， M()，N()，P().
由题意得：①，②，
由①②得：，
又，代入上式得：③
把联立消元得：，
即=0，
所以，，
由③得：，
即，
将，，
代入上式得：，
即，
则，故直线MN恒过定点，
方法二：
当直线PA，PB斜率不为0时，
设直线PA：，直线PB：
令得：，即.
将PA：代入得：，
即，
则，所以，
即，
又，则有
将PB：代入得：，
即，
则，所以，
即
于是，，
而直线MN：，
令得:.
又当直线PA，PB斜率为0时，MN也过点.
故直线MN过定点.宜昌市部分省级示范高中2024秋季学期高二年级
期中考试数学试卷
考试时间：120分钟满分：150分
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填涂到答题卡指定位置．
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡与本题对应范围内．写在本试卷上无效．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知复数，则的共轭复数是（）
A B. C. D.
2. 已知表示两条不同直线，表示平面，则下列命题正确的是（）
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
3. “”是“直线与直线平行”的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，用计算机产生之间的随机数，当出现、、时表示一局比赛甲获胜，当出现4、5时表示一局比赛乙获胜.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，现产生20组随机数，结果如下：
423 123 423 344 114 453 525 332 152 342
534 443 512 541 125 432 334 151 314 354
则估计在本次比赛中甲获得冠军的概率是（）
A. 0.35 B. 0.55 C. 0.6 D. 0.65
5. 已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，正数满足，则的最小值为（）
A. B. C. D.
6. 已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则球的表面积为（）
A. B. C. D.
7. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的面积为（）
A. B. C. D.
8. 已知椭圆的焦距为，若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，则椭圆的离心率范围为（）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有错选的得0分.
9. 下面四个结论不正确的是（）
A. 已知，，若，则的夹角为钝角
B. 已知，，则在上的投影向量是
C. 若直线经过第三象限，则，
D. 设是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底
10. 已知互不相同30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的28个样本数据的方差为，平均数为;去掉的两个数据的方差为，平均数为﹔原样本数据的方差为，平均数为，若=，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 剩下28个数据的中位数大于原样本数据的中位数
D. 剩下28个数据的22%分位数不等于原样本数据的22%分位数
11. 已知正方体棱长为为正方体内切球的直径，点为正方体表面上一动点，则下列说法正确的是（）
A. 当为中点时，与所成角余弦值为
B. 当面时，点的轨迹长度为
C. 的取值范围为
D. 与所成角的范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量满足与的夹角为，则_______.
13. 在一个建筑工地上，有一个用来储存材料的圆台形容器．已知该圆台形容器的上底面圆的直径是6米，下底面圆的直径是12米，母线长为5米，不考虑该圆台形容器壁的厚度，则该圆台形容器的容积是________立方米．
14. 已知，，若圆上存在点P满足，则的取值范围是______________
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在平面直角坐标系中，已知三点.
（1）若直线过点且与直线BC垂直，求直线的方程；
（2）若直线经过点，且在轴上的截距是轴上截距的倍，求直线的方程.
16. 为普及消防安全知识，某学校组织相关知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，，甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.
（1）甲在比赛中恰好赢一轮的概率；
（2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.
17. 公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果:平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆，后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆.已知平面直角坐标系中且.
（1）求点P的轨迹方程；
（2）若点P在（1）的轨迹上运动，点M为AP的中点，求点M的轨迹方程;
（3）若点在（1）轨迹上运动，求的取值范围.
18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，为中点，点在上，且.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）线段上否存在点，使得平面？说明理由.
19. 已知四个点中恰有三个点在椭圆：上.
（1）判断哪个点不在椭圆上，并求出椭圆的方程；
（2）设椭圆的左右顶点分别是、，点是直线上一点，直线、与椭圆的另一个交点分别为、，求证：直线过定点.
