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24.2.1点与圆的位置关系 导学案
学习目标
1.梳理本章的知识要点，回顾与复习本章知识;
2.进一步巩固圆的概念及有关性质，掌握点和圆、直线和圆的位置关系，知道正多边形和圆的关系，会计算弧长和扇形面积;
3.能综合运用圆的知识解决问题.
教学过程
一、知识梳理
1．圆是如何定义的？
2．同圆或等圆中的弧、弦、圆心角有什么关系？垂直于弦的直径有什么性质？一条弧所对的圆周角和它所对的圆心角有什么关系？
3．点和圆有怎样的位置关系？直线和圆呢？圆和圆呢？怎样判断这些位置关系？
4．圆的切线有什么性质？如何判断一条直线是圆的切线？
5．正多边形和圆有什么关系？
6．如何计算弧长、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积？
二、圆的基本性质和定理
1. 圆的对称性
圆是轴对称图形，它的任意一条_______所在的直线都是它的对称轴.
2. 有关圆心角、弧、弦的性质.
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧和两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
3.垂径定理
(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的______________.
(2)垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
4.圆周角定理
(1)圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的_______.
(2)推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
(3)推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
5.圆内接四边形的性质
圆的内接四边形的对角互补.
6.与切线相关的定理
三、与圆有关的辅助线的作法
四、圆中的计算问题
1. 圆内接正多边形的计算
(1)正n边形的中心角为
(2)正n边形的边长a，半径R，边心距r之间的关系
(3)边长a，边心距r的正n边形的面积为
课堂练习
例1.如图，AB是☉O的直径，点C、D在☉O上，且点C、D在AB的异侧，连接AD、OD、OC.若∠AOC=70°，且AD∥OC,求∠AOD的度数.
例2.☉O的半径为13cm，AB、CD是☉O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离．
例3.如图，已知⊙O的直径BA与弦DC的延长线交于点P，且PC=CO,∠D与∠DOB的度数．
例4.如图，在⊙O中，直径AB＝2，△ABC中，∠BAC＝90°，BC交⊙O于点D，若∠C＝45°，求：
(1)BD的长为多少？
(2)求阴影部分的面积．
课堂小结
谈谈本节课的收获和感想
作业布置
见精准作业单中小学教育资源及组卷应用平台
第二十四章章末复习小结（1）基本知识 教学设计
教学目标
1.梳理本章的知识要点，回顾与复习本章知识;
2.进一步巩固圆的概念及有关性质，掌握点和圆、直线和圆的位置关系，知道正多边形和圆的关系，会计算弧长和扇形面积;
3.能综合运用圆的知识解决问题.
教学重点、难点
重点：进一步巩固圆的概念及有关性质，掌握点和圆、直线和圆的位置关系，知道正多边形和圆的关系，会计算弧长和扇形面积;
难点：能综合运用圆的知识解决问题.
教学过程
一、知识梳理
1．圆是如何定义的？
2．同圆或等圆中的弧、弦、圆心角有什么关系？垂直于弦的直径有什么性质？一条弧所对的圆周角和它所对的圆心角有什么关系？
3．点和圆有怎样的位置关系？直线和圆呢？圆和圆呢？怎样判断这些位置关系？
4．圆的切线有什么性质？如何判断一条直线是圆的切线？
5．正多边形和圆有什么关系？
6．如何计算弧长、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积？
二、圆的基本性质和定理
1. 圆的对称性
圆是轴对称图形，它的任意一条___直径____所在的直线都是它的对称轴.
2. 有关圆心角、弧、弦的性质.
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧和两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
3.垂径定理
(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的___直径两条弧____.
(2)垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
4.圆周角定理
(1)圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半.
(2)推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
(3)推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
5.圆内接四边形的性质
圆的内接四边形的对角互补.
6.与切线相关的定理
(1)判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
(2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.
(3)切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
三、与圆有关的辅助线的作法
辅助线， 莫乱添， 规律方法记心间；
圆半径，不起眼， 计算问题常要连；
弦与弦心距， 亲密紧相连；
切点和圆心， 连结要领先，得到垂直解疑难；
遇到直径想直角， 灵活应用才方便。
四、圆中的计算问题
1. 圆内接正多边形的计算
(1)正n边形的中心角为
(2)正n边形的边长a，半径R，边心距r之间的关系
(3)边长a，边心距r的正n边形的面积为
课堂练习
例1.如图，AB是☉O的直径，点C、D在☉O上，且点C、D在AB的异侧，连接AD、OD、OC.若∠AOC=70°，且AD∥OC,求∠AOD的度数.
解:∵AD//OC
∴∠AOC=∠DAO=70°
又∵OD=OA
∴∠ADO=∠DAO=70°
∴∠AOD=180-70°-70°=40°
例2.☉O的半径为13cm，AB、CD是☉O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离．
解：当弦AB和CD在圆心同侧时，
过点0作OE⊥CD于点E,交AB于点F,连结OA,OC.
∵AB＝24cm，CD＝10cm，
∴CE＝5cm，AF＝12cm，
∵OA＝OC＝13cm，
∴EO＝12cm，OF＝5cm，
∴EF＝OE-OF=12 5＝7cm.
当弦AB和CD在圆心异侧时，
过点0作OE⊥CD于点E,作OF⊥AB于点F,连结OA,OC.
∵AB＝24cm，CD＝10cm，
∴AF＝12cm，CE＝5cm，
∵OA＝OC＝13cm，
∴EO＝12cm，OF＝5cm，
∴EF＝OF＋OE＝17cm．
∴AB与CD之间的距离为7cm或17cm．
例3.如图，已知⊙O的直径BA与弦DC的延长线交于点P，且PC=CO,∠D与∠DOB的度数．
解：∵∠COD+∠AOC+∠BOD =180^
∴∠COD=∠AOC+∠BOD=1/2×180^ =90^
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=45^
∵PC=CO，∴∠P=∠COP，
又∵∠P+∠COP=∠OCD=45^ ，
∴∠P=∠COP=22.5^ ，∴∠DOB=∠P+∠PDO=67.5^ ．
例4.如图，在⊙O中，直径AB＝2，△ABC中，∠BAC＝90°，BC交⊙O于点D，若∠C＝45°，求：
(1)BD的长为多少？
(2)求阴影部分的面积．
（1）解：如图，连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC．
又∵∠BAC＝90°，∠C＝45°，
∴∠B＝∠C＝45°，∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴BD＝CD，BC=√2AB=2√2，
∴AD＝BD＝CD＝√2；
（2）解：∵AD=BD，
∴弓形BD的面积＝弓形AD的面积，
∴阴影部分的面积＝Rt△ADC的面积=1．
课堂小结
谈谈本节课的收获和感想
作业布置
见精准作业单
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课前诊测
1．如图，以的一边为直径作交于点，与边的交点恰好为的中点，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
精准作业
必做题
1．如图，点B，C，D在上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，A，B，C，D是上的四个点，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，中，，以为直径的半圆O交斜边于点D，以点C为圆心，的长为半径画弧，交于点E，则阴影部分面积为 （结果保留）．
4．如图，在中，，点O在上，以长为半径的半圆O交于点D，交于点E，过点D作半圆O的切线，交于点F．
(1)求证：；
(2)若，求半圆O的半径长．
选做题
5．如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在圆O上且∠1＝∠C．
（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC＝3，BE＝2，求CD的长．
参考答案
课前诊测
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵，D为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的长为．
精准作业
A
A
3./
4.（1）解：连接，
∵和半圆相切，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如答图②，连接．
设半圆O的半径为r，则．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
故半圆O的半径长为．
5.（1）证明：如图，∵∠1＝∠C，∠P＝∠C，
∴∠1＝∠P，
∴CB∥PD．
（2）解：∵CE⊥BE，
∴CE2＝CB2﹣BE2，
∵CB＝3，BE＝2，
∴CE＝，
∵AB⊥CD，AB为直径，
∴DE＝CE，CD＝2CE＝2．(共21张PPT)
人教版.九年级上册
第二十四章 圆
章末复习小结（1）基本知识
学习目标
1.梳理本章的知识要点，回顾与复习本章知识;
2.进一步巩固圆的概念及有关性质，掌握点和圆、直线和圆的位置关系，知道正多边形和圆的关系，会计算弧长和扇形面积;(重点)
3.能综合运用圆的知识解决问题.(难点)
知识梳理
1．圆是如何定义的？
2．同圆或等圆中的弧、弦、圆心角有什么关系？垂直于弦的直径有什么性质？一条弧所对的圆周角和它所对的圆心角有什么关系？
3．点和圆有怎样的位置关系？直线和圆呢？圆和圆呢？怎样判断这些位置关系？
4．圆的切线有什么性质？如何判断一条直线是圆的切线？
5．正多边形和圆有什么关系？
6．如何计算弧长、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积？
圆的基本性质和定理
1. 圆的对称性
圆是轴对称图形，它的任意一条_______所在的直线都是它的对称轴.
直径
2. 有关圆心角、弧、弦的性质.
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧和两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
圆的基本性质和定理
(2)垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
3.垂径定理
(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的 .
[注意] ①条件中的“弦”可以是直径；②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧．
两条弧
圆的基本性质和定理
4.圆周角定理
(1)圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半.
(3)推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
5.圆内接四边形的性质
圆的内接四边形的对角互补.
(2)推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
圆的基本性质和定理
6.与切线相关的定理
(1)判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
(2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.
(3)切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
与圆有关的辅助线的作法
辅助线， 莫乱添， 规律方法记心间；
圆半径，不起眼， 计算问题常要连；
弦与弦心距， 亲密紧相连；
切点和圆心， 连结要领先，得到垂直解疑难；
遇到直径想直角， 灵活应用才方便。
圆中的计算问题
1. 圆内接正多边形的计算
(1)正n边形的中心角为
(2)正n边形的边长a，半径R，边心距r之间的关系
(3)边长a，边心距r的正n边形的面积为
其中l为正n边形的周长.
圆中的计算问题
2.弧长公式
半径为R的圆中，n°圆心角所对的弧长l=________.
3.扇形面积公式
半径为R，圆心角为n°的扇形面积S= ____________.
或
4.弓形面积公式
O
O
弓形的面积 = 扇形的面积±三角形的面积
圆中的计算问题
圆锥的侧面展开图:
底面
侧面
l
h
r
5. 圆锥的侧面积
l
2πr
圆中的计算问题
(3)圆锥的侧面积为 .
(4)圆锥的全面积为 .
(1)圆锥的侧面展开图是一个 .
(2)如果圆锥母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为 ，扇形的弧长为 .
扇形
l
课堂检测
例1.如图，AB是☉O的直径，点C、D在☉O上，且点C、D在AB的异侧，连接AD、OD、OC.若∠AOC=70°，且AD∥OC,求∠AOD的度数.
解:∵AD//OC
∴∠AOC=∠DAO=70°
又∵OD=OA
∴∠ADO=∠DAO=70°
∴∠AOD=180-70°-70°=40°
课堂检测
例2.☉O的半径为13cm，AB、CD是☉O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离．
【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．
课堂检测
例2.☉O的半径为13cm，AB、CD是☉O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离．
解：当弦AB和CD在圆心同侧时，
过点0作OE⊥CD于点E,交AB于点F,连结OA,OC.
∵AB＝24cm，CD＝10cm，
∴CE＝5cm，AF＝12cm，
∵OA＝OC＝13cm，
∴EO＝12cm，OF＝5cm，
∴EF＝OE-OF=12 5＝7cm.
课堂检测
例2.☉O的半径为13cm，AB、CD是☉O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离．
解：当弦AB和CD在圆心异侧时，
过点0作OE⊥CD于点E,作OF⊥AB于点F,连结OA,OC.
∵AB＝24cm，CD＝10cm，
∴AF＝12cm，CE＝5cm，
∵OA＝OC＝13cm，
∴EO＝12cm，OF＝5cm，
∴EF＝OF＋OE＝17cm．
∴AB与CD之间的距离为7cm或17cm．
课堂检测
例3.如图，已知的直径BA与弦DC的延长线交于点P，且，
,与的度数．
解：∵，
∴=
∵
∴==
∵，
∴，
∵，∴，
又∵，
∴，∴．
课堂检测
例4.如图，在⊙O中，直径AB＝2，ABC中，∠BAC＝90°，BC交⊙O于点D，若∠C＝45°，求：
(1)BD的长为多少？
(2)求阴影部分的面积．
（1）解：如图，连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC．
又∵∠BAC＝90°，∠C＝45°，
∴∠B＝∠C＝45°，∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴BD＝CD，，
∴AD＝BD＝CD＝；
课堂检测
例4.如图，在⊙O中，直径AB＝2，ABC中，∠BAC＝90°，BC交⊙O于点D，若∠C＝45°，求：
(1)BD的长为多少？
(2)求阴影部分的面积．
（2）解：∵AD=BD，
∴ ，
∴弓形BD的面积＝弓形AD的面积，
∴阴影部分的面积＝Rt△ADC的面积
＝．
知识体系
圆
圆的性质
与圆有关的位置关系
弧长与扇形面积的计算
圆的对称性
圆是中心对称图形
垂径定理
四边形的内接圆、三角形的外接圆
直线与圆的位置的关系
切线长定理
圆的概念
圆心角、圆周角、弧与弦之间的关系
圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是它的对称轴
切线
三角形的内切圆
正多边形与圆
作图
谢谢！
