四川省自贡市解放路初级中学校2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题
1．（2024九上·自贡开学考）能够使二次根式有意义的实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·自贡开学考）以下列各组数为边长构造三角形，不是直角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·自贡开学考）下列各式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九上·自贡开学考）一组数据：10、5、15、5、20，则这组数据的平均数和中位数分别是（ ）
A．10，10 B．10，12.5 C．11，12.5 D．11，10
5．（2024九上·自贡开学考）下面给出的条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．（2024九上·自贡开学考）一次函数的图象情况如图所示，则关于k，b的分析正确的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
7．（2024九上·自贡开学考）如图，甲乙两艘轮船从某港口同时出发，各自沿一固定方向航行，其中甲航行方向为北偏西，乙航行方向为北偏东，甲每小时航行12海里，乙每小时航行16海里，他们离开港口两小时后分别位于点处，则此时两船相距（ ）海里．
A．36 B．40 C．48 D．50
8．（2024九上·自贡开学考）如图，直线和交于点，根据图象可知的解集为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024九上·自贡开学考）如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH，若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．（2024九上·自贡开学考）如图，正方形的边长为 ，是对角线上一动点（点与端点不重合 ），于点，于点，连接，则长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．（2024九上·自贡开学考）如图，函数图象与轴、轴分别交于两点，，点为直线上动点，连接，则的周长最小值为（ ）
A．3 B．4 C． D．
12．（2024九上·自贡开学考）如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（ ）
A． B． C． D．
13．（2024九上·自贡开学考）把直线y=2x﹣1向上平移2个单位，所得直线的解析式是
14．（2024九上·自贡开学考）在学校团体操比赛中，甲、乙两个班的同学身高的平均数相同，方差分别是 ，，那么身高整齐的是 班．
15．（2024九上·自贡开学考）有一棵9米高的大树距离地面4米处折断．（未完全断开），则大树顶端触地点距大树的距离为 米．
16．（2024九上·自贡开学考）已知，，则 ．
17．（2024九上·自贡开学考）如图，在四边形中，分别是的中点，要使四边形是菱形，四边形还应满足的一个条件是 ．
18．（2024九上·自贡开学考）如图，直线交坐标轴于A、B两点，C为中点，点D为上一动点，点E在x轴正半轴上，且满足，则的最小值为 ．
19．（2024九上·自贡开学考）计算：.
20．（2024九上·自贡开学考）如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，求证：AF=CE．
21．（2024九上·自贡开学考）如图，在长方形ABCD中，将△ABC沿AC对折至△AEC位置，CE与AD交于点F．
(1)试说明：AF＝FC；
(2)如果AB＝3，BC＝4，求AF的长．
22．（2024九上·自贡开学考）如图，一次函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象与y轴交于点，点C为两函数图象的交点，且点C的横坐标为2．
（1）求一次函数的函数解析式；
（2）求的面积．
23．（2024九上·自贡开学考）某地为了解“阳光体育”运动推进情况，就“中小学每天在校体育活动时间”的问题随机调查了330名中小学生：根据调查结果绘制成的统计图的一部分如图（其中分组情况见下表）：
组别
A
B
C
D
请根据上述信息解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）本次调查数据（指体育活动时间）的中位数落在______组内；
（3）若某地约有6600名中小学生，请你估计其中没有达到国家规定体育活动时间（不低于1小时）的人数约有多少？
24．（2024九上·自贡开学考）在二次根式中，有些根式相乘，其结果是实数．
如，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解：如，，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
（1）解决问题：的有理化因式是_____，分母有理化，得______；
（2）计算：；
（3）化简：．
25．（2024九上·自贡开学考）如图，四边形中，，，，为中点，且，连接．
（1）求的长度；
（2）若，求的长度．
26．（2024九上·自贡开学考）如图，一次函数的图象分别交轴，轴于点，，一次函数的图象分别交轴，轴于点，，两个一次函数的图象相交于点．
（1）求，的解析式；
（2）若直线上存在一点，使，求符合条件的点的坐标；
（3）若点为平面直角坐标系内任意一点，是否存在这样的点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：要使二次根式有意义，只需使：，
∴解得：.
故答案为：B．
【分析】根据二次根式有意义的条件"被开方数非负"可得关于x的不等式，解不等式即可求解．
2．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵22+22=8≠32，∴线段2，2，3不能构成直角三角形，此选项符合题意；
B、∵，∴线段1，，2能构成直角三角形，此选项不符合题意；
C、∵，∴线段5，12，13能构成直角三角形，此选项不符合题意；
D、∵，∴线段3，4，5能构成直角三角形，此选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】分别计算每一个选项中两短边的平方和是否等于长边的平方，根据勾股定理的逆定理依次判断即可求解．
3．【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：
A：可化简为，故不是最简二次根式，不合题意；
B：含有能开方的式子，故其不是最简二次根式，不合题意；
C：不可化简，是最简二次根式，符合题意；
D：可化简为，故不是最简二次根式，不合题意；
故答案为：C.
【分析】本题考查最简二次根式。不含有能开得尽方的数或因式，且根号下没有分母的二次根式，是最简二次根式。
4．【答案】D
【知识点】平均数及其计算
【解析】【分析】平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数，故平均数为：，
中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）。由此将这组数据重新排序为5，5，10，15，20，∴中位数是按从小到大排列后第3个数为：10.
故选D.
5．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：如图，
A、若，，不能判断四边形是平行四边形，此选项不符合题意；
B、∵AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A=∠C，
∴，
∴AB∥CD，
∴四边形是平行四边形，即此选项符合题意；
C、∵AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∵，
∴，
这些条件不能判断四边形是平行四边形，此选项不符合题意；
D、若，，不能判断四边形是平行四边形，此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】A、两组邻边相等不能判断四边形是平行四边形；
B、由平行线的性质“两直线平行同旁内角互补”并结合已知条件可得，然后根据平行线的判定“同旁内角互补两直线平行”可得AB∥CD，再根据平行四边形的定义“有两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可判断四边形是平行四边形；
C、由平行线的性质“两直线平行同旁内角互补”并结合已知条件可得∠A=∠B=90°，这些条件不能判断四边形是平行四边形；
D、一组邻边相等且一组对角相等不能判断四边形是平行四边形．
6．【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由图象可知：直线经过一、二、三象限，
∴，；
故答案为：A．
【分析】根据一次函数的图象与系数之间的关系即可判断求解．
7．【答案】B
【知识点】勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题
【解析】 【解答】解：∵，
∴，
即为直角三角形，
∵甲每小时航行12海里，乙每小时航行16海里，
∴两小时后，（海里），（海里），
∴在中，（海里），
∴此时两轮船相距40海里．
故答案为：B．
【分析】由题意可得∠AOB=90°，则 AOB是直角三角形，根据路程=速度×时间可求得两直角边OA、OB的长，然后用勾股定理计算即可求解．
8．【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象知，当时，函数的图象位于函数的图象下方，即，
∴不等式的解集为：.
故答案为：B．
【分析】不等式的解集就是直线y=kx-3低于直线y=-x+b的图象，观察图象即可求解．
9．【答案】B
【知识点】正方形的性质；矩形翻折模型
10．【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：连接 ，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
又∵，，
∴四边形ANOM是矩形，
∴，
∴AO取最小值时，MN最小，
而当时，AO最短，
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB=45°，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴AO2+OD2=AD2，
∴；
故答案为：B．
【分析】连接 ，结合已知，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形是矩形，由矩形的性质“矩形的对角线相等”可得；根据“垂线段最短”可知：当动点运动到时，可知点到点的距离最小，则此时长度的值最小．因为四边形是正方形，可以证明此时的△是等腰直角三角形，然后用勾股定理即可求解 ．
11．【答案】C
【知识点】一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵函数图象与轴、轴分别交于两点，
∴当时，，当时，，
∴点，
∴，
∴是等腰直角三角形，
如图，取的中点E，连接，并延长至点D，使，连接，
则，，
∴，
∴的周长，
在 BEO和 AED中
∴ BEO≌ AED（SAS）
∴，
∴，
∴轴，
∵，
∴，
在Rt ACD中，由勾股定理得：
，
∴的周长的最小值为：CD+OC=．
故答案为：C.
【分析】根据题意可得是等腰直角三角形，取的中点E，连接，并延长至点D，使，连接，则，，可得，根据两点之间线段最短可得的周长，用边角边可证，由全等三角形的性质“对应边相等、对应角相等”可得，从而可判断轴，在Rt ACD中，由勾股定理可求得的长，于是的周长的最小值即可求解．
12．【答案】A
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴BA=BC，
可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连EP，且延长BP，作AF⊥BP于点F．如图，
∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，
∴△BPE为等边三角形，
∴PE=PB=4，∠BPE=60°，
在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，
∴AE2=PE2+PA2，
∴△APE为直角三角形，且∠APE=90°，
∴∠APB=90°+60°=150°．
∴∠APF=30°，
∴在直角△APF中，AF=AP=，PF=AP=．
∴在直角△ABF中，AB2=BF2+AF2=（4+）2+（）2=25+12．
则△ABC的面积是 AB2= （25+12）=9+．
故答案为：A
【分析】根据等边三角形性质可得 BA=BC， 将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，延长BP，作AF⊥BP于点F，根据旋转的性质得BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，根据等边三角形判定定理可得△BPE为等边三角形，则PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，根据勾股定理的逆定理可得到△APE为直角三角形，且∠APE=90°，即可得到∠APB的度数，在Rt△APF中利用三角函数求得AF和PF的长，则在直角△ABF中利用勾股定理求得AB的长，再根据三角形面积即可求出答案.
13．【答案】y=2x+1
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：由“上加下减”的原则可知，直线y=2x﹣1向上平移2个单位，所得直线解析式是：y=2x﹣1+2，即y=2x+1．
故答案为：y=2x+1．
【分析】直接根据“上加下减”的原则进行解答即可．
14．【答案】乙
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵1.8＞1.3，
∴身高整齐的是乙班，
故答案为：乙．
【分析】方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，据此判断即可.
15．【答案】3
【知识点】勾股定理；勾股定理的应用
【解析】【解答】解： 设大树顶端触地点距大树的距离为x米，
根据题意可知：
解得：x=3或x=-3（舍）
故答案为： 大树顶端触地点距大树的距离为3米.
【分析】本题考查勾股定理的应用问题。
16．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，，
∴
，
=2-1
=1，
把ab=1代入所求代数式得：
.
故答案为：．
【分析】根据平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2和二次根式的性质“可求得ab的值，然后整体代入计算即可求解．
17．【答案】
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定
【解析】【解答】解：条件是．理由如下：
∵分别是的中点，
∴，HG分别是、△ACD的中位线，
∴，，，，
∴，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴，
∴四边形是菱形．
故答案为：.
【分析】根据菱形的判定方法"①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分"并结合已知条件可求解(答案不唯一)．
18．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；轴对称的应用-最短距离问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，以为斜边，在下方构造等腰直角三角形，连接，
∴DM=EM，DM2+ME2=DE2，
∴DM=DE，即DE=DM，
∴CD+DE=CD+DM=（CD+DM），
当、、三点共线时最小，此时即有最小值，
作关于轴对称点，则，
，
，
，，
∴∠ODM=∠QEM，
，
在△ODM和△QEM中，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
由题可得，，
是中点，
，
，
，
，
，
此时．
故答案为：.
【分析】要求的最小值，可以根据“将军饮马”问题，先构造等腰直角三角形，用勾股定理将DE用含DM的代数式表示出来，于是CD+DE=（CD+DM），则当、、三点共线时最小，此时即有最小值，即只需求线段的长度即可，结合已知条件构造全等三角形△ODM≌△QEM，可得是等腰直角三角形，易求出的坐标，用勾股定理求出的长度即可求解．
19．【答案】解：原式=
=
=（1-2+1）-6
=0-6
=-6
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】首先根据绝对值的非负性去绝对值，然后根据二次根式混合运算法则计算即可求解．
20．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，即AE∥CF，
又∵AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF=CE
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质“平行四边形的对边分别平行”可得AB∥DC，结合已知条件并根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形AECF是平行四边形，最后根据平行四边形的性质“平行四边形的对边相等”即可求解．
21．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，且 将△ABC沿AC对折至△AEC位置，
∴AE=AB=DC，
由对顶角相等得：∠EFA=∠DFC，
而∠E=∠D=90°，
在 AEF和 CDDF中，
∴△AEF≌△CDF（AAS）；
∴AF＝FC；
（2）设FA=x，则FC=x，FD=，
在Rt△CDF中，由勾股定理得：CF2=CD2+DF2，
∴，
解得x=．
答：AF的长为
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；矩形翻折模型；全等三角形中对应边的关系
22．【答案】（1）解：∵点C为两函数图象的交点，且点C的横坐标为2，
∴，
∴，
∵一次函数的图象与y轴交于点，y1与y2相交于点C
设，把，
∴2=2k+6，
解得：，
∴
（2）解：∵，直线y1与y轴相交于点A，
∴令x=0，y1=2×0-2=-2，
∴，
∵，，
∴S△ABC=×AB×Cx=[6-(-2)]×2=8
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）由题意，把点C的横坐标代入y1的解析式可求得点C的纵坐标，然后待定系数法求出一次函数的函数解析式即可；
（2）用三角形的面积公式S△ABC=×AB×Cx计算即可求解．
（1）解：∵点C为两函数图象的交点，且点C的横坐标为2，
把代入，得：，
∴，
∵一次函数的图象与y轴交于点，
∴设，把，代入得：，
∴；
（2）解：∵，
∴当时，，
∴，
∵，，
∴．
23．【答案】（1）解：组人数为：；
补全条线图如图：
（2）
（3）解：由题意得：（名）；
答：估计其中没有达到国家规定体育活动时间（不低于1小时）的人数约有1800名
【知识点】条形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（2）解：由题意可知，样本容量有330个，中位数是第165和第166这两个数位上的数的平均数，而第165和第166个数据均落在组.
∴中位数落在组.
故答案为：．
【分析】（1）由条形图可知A、C、D组的人数，根据样本容量等于各小组频数之和可求得组的人数，然后补全条形图即可；
（2）根据中位数的定义“中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数”并结合题意即可求解；
（3）用样本估计总体即可求解．
（1）解：组人数为：；
补全条线图如图：
（2）由图可知，第165和第166个数据均落在组，
故中位数落在组，
故答案为：．
（3）（名）；
答：估计其中没有达到国家规定体育活动时间（不低于1小时）的人数约有1800名．
24．【答案】（1）；
（2）解：原式
（3）解：原式
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【解答】（1）解：，
的有理化因式是，
∴分母有理化，得；
故答案为：；.
【分析】（1）根据“a-与互为有理化因式、与互为有理化因式”计算即可求解；
（2）由（1）中的有理化因式可先将各分母有理化后，化简二次根式，再计算即可求解；
（3）由（1）中的有理化因式可先将各分母有理化后，合并同类二次根式即可求解．
（1）解：，，
的有理化因式是，分母有理化，得；
故答案为：，；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
25．【答案】（1）解：过点D作，垂足为，
∴，
=∠AHD，
，
∵AD=，
，
，
，为中点，
，
，
在Rt DEH中，由勾股定理得：
；
答：DE的长为
（2）解：在图（1）的基础上，过点作，分别交与点G，交延长线于点P，
，，，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
在 DHE和 CPD中
，
，
，
四边形是矩形，
，
，即点G为中点，
，
∴在Rt CGE中，由勾股定理可得：
．
答：BC的长为
【知识点】矩形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）过点D作，垂足为，根据，由等角对等边可得，在Rt ADH中，用勾股定理即可求出，由线段中点定义可得，由线段的构成可求得HE=AE-AH求出HE的值，在Rt DEH中，用勾股定理即可求得的值；
（2）在图（1）基础上，过点作，分别交与点G，交延长线于点P，由三角形外角的性质得到，结合，推出，由，由等角对等边可得DE=CD，用勾股定理求出，结合已知用角角边可证 DHE≌ CPD，由全等三角形的对应边相等可得，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形是矩形，由矩形的性质可得HG=PC，由线段的构成EG=HG-EH求出EG的值，即点G为中点，在Rt CGE中，由勾股定理即可求解．
26．【答案】（1）解：将代入，得，
解得：．
将代入，得，
解得：．
∴解析式分别为，；
（2）解：，
当时，；当时，．
点的坐标为，点的坐标为．
，
当时，；当时，．
点的坐标为，点的坐标为．
，．
．
设点的坐标为．
则．
，
，
解得或
符合条件的点的坐标为或；
（3）解：存在，点的坐标为或或．
如解图，由（1）（2）可知，，，
设点的坐标为．
①当为对角线时，
由中点坐标公式可得，，
解得，．
∴点的坐标为；
②当为对角线时，
由中点坐标公式可得，，
解得，．
∴点的坐标为；
③当为对角线时，
由中点坐标公式可得，，
解得，．
∴点的坐标为．
综上所述，当点的坐标为或或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）把点 分别代入、中求出b、m的值即可求出，的解析式 ；
（2）首先求出点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，得到，，然后根据列方程求解即可；
（3）由（1）（2）知，，，然后分3种情况讨论：①当为对角线时；②当为对角线时；③当为对角线时，分别利用平行四边形的性质及中点坐标公式分别求解即可．
1 / 1四川省自贡市解放路初级中学校2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题
1．（2024九上·自贡开学考）能够使二次根式有意义的实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：要使二次根式有意义，只需使：，
∴解得：.
故答案为：B．
【分析】根据二次根式有意义的条件"被开方数非负"可得关于x的不等式，解不等式即可求解．
2．（2024九上·自贡开学考）以下列各组数为边长构造三角形，不是直角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵22+22=8≠32，∴线段2，2，3不能构成直角三角形，此选项符合题意；
B、∵，∴线段1，，2能构成直角三角形，此选项不符合题意；
C、∵，∴线段5，12，13能构成直角三角形，此选项不符合题意；
D、∵，∴线段3，4，5能构成直角三角形，此选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】分别计算每一个选项中两短边的平方和是否等于长边的平方，根据勾股定理的逆定理依次判断即可求解．
3．（2024九上·自贡开学考）下列各式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：
A：可化简为，故不是最简二次根式，不合题意；
B：含有能开方的式子，故其不是最简二次根式，不合题意；
C：不可化简，是最简二次根式，符合题意；
D：可化简为，故不是最简二次根式，不合题意；
故答案为：C.
【分析】本题考查最简二次根式。不含有能开得尽方的数或因式，且根号下没有分母的二次根式，是最简二次根式。
4．（2024九上·自贡开学考）一组数据：10、5、15、5、20，则这组数据的平均数和中位数分别是（ ）
A．10，10 B．10，12.5 C．11，12.5 D．11，10
【答案】D
【知识点】平均数及其计算
【解析】【分析】平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数，故平均数为：，
中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）。由此将这组数据重新排序为5，5，10，15，20，∴中位数是按从小到大排列后第3个数为：10.
故选D.
5．（2024九上·自贡开学考）下面给出的条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：如图，
A、若，，不能判断四边形是平行四边形，此选项不符合题意；
B、∵AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A=∠C，
∴，
∴AB∥CD，
∴四边形是平行四边形，即此选项符合题意；
C、∵AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∵，
∴，
这些条件不能判断四边形是平行四边形，此选项不符合题意；
D、若，，不能判断四边形是平行四边形，此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】A、两组邻边相等不能判断四边形是平行四边形；
B、由平行线的性质“两直线平行同旁内角互补”并结合已知条件可得，然后根据平行线的判定“同旁内角互补两直线平行”可得AB∥CD，再根据平行四边形的定义“有两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可判断四边形是平行四边形；
C、由平行线的性质“两直线平行同旁内角互补”并结合已知条件可得∠A=∠B=90°，这些条件不能判断四边形是平行四边形；
D、一组邻边相等且一组对角相等不能判断四边形是平行四边形．
6．（2024九上·自贡开学考）一次函数的图象情况如图所示，则关于k，b的分析正确的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由图象可知：直线经过一、二、三象限，
∴，；
故答案为：A．
【分析】根据一次函数的图象与系数之间的关系即可判断求解．
7．（2024九上·自贡开学考）如图，甲乙两艘轮船从某港口同时出发，各自沿一固定方向航行，其中甲航行方向为北偏西，乙航行方向为北偏东，甲每小时航行12海里，乙每小时航行16海里，他们离开港口两小时后分别位于点处，则此时两船相距（ ）海里．
A．36 B．40 C．48 D．50
【答案】B
【知识点】勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题
【解析】 【解答】解：∵，
∴，
即为直角三角形，
∵甲每小时航行12海里，乙每小时航行16海里，
∴两小时后，（海里），（海里），
∴在中，（海里），
∴此时两轮船相距40海里．
故答案为：B．
【分析】由题意可得∠AOB=90°，则 AOB是直角三角形，根据路程=速度×时间可求得两直角边OA、OB的长，然后用勾股定理计算即可求解．
8．（2024九上·自贡开学考）如图，直线和交于点，根据图象可知的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象知，当时，函数的图象位于函数的图象下方，即，
∴不等式的解集为：.
故答案为：B．
【分析】不等式的解集就是直线y=kx-3低于直线y=-x+b的图象，观察图象即可求解．
9．（2024九上·自贡开学考）如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH，若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】正方形的性质；矩形翻折模型
10．（2024九上·自贡开学考）如图，正方形的边长为 ，是对角线上一动点（点与端点不重合 ），于点，于点，连接，则长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：连接 ，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
又∵，，
∴四边形ANOM是矩形，
∴，
∴AO取最小值时，MN最小，
而当时，AO最短，
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB=45°，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴AO2+OD2=AD2，
∴；
故答案为：B．
【分析】连接 ，结合已知，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形是矩形，由矩形的性质“矩形的对角线相等”可得；根据“垂线段最短”可知：当动点运动到时，可知点到点的距离最小，则此时长度的值最小．因为四边形是正方形，可以证明此时的△是等腰直角三角形，然后用勾股定理即可求解 ．
11．（2024九上·自贡开学考）如图，函数图象与轴、轴分别交于两点，，点为直线上动点，连接，则的周长最小值为（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵函数图象与轴、轴分别交于两点，
∴当时，，当时，，
∴点，
∴，
∴是等腰直角三角形，
如图，取的中点E，连接，并延长至点D，使，连接，
则，，
∴，
∴的周长，
在 BEO和 AED中
∴ BEO≌ AED（SAS）
∴，
∴，
∴轴，
∵，
∴，
在Rt ACD中，由勾股定理得：
，
∴的周长的最小值为：CD+OC=．
故答案为：C.
【分析】根据题意可得是等腰直角三角形，取的中点E，连接，并延长至点D，使，连接，则，，可得，根据两点之间线段最短可得的周长，用边角边可证，由全等三角形的性质“对应边相等、对应角相等”可得，从而可判断轴，在Rt ACD中，由勾股定理可求得的长，于是的周长的最小值即可求解．
12．（2024九上·自贡开学考）如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴BA=BC，
可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连EP，且延长BP，作AF⊥BP于点F．如图，
∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，
∴△BPE为等边三角形，
∴PE=PB=4，∠BPE=60°，
在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，
∴AE2=PE2+PA2，
∴△APE为直角三角形，且∠APE=90°，
∴∠APB=90°+60°=150°．
∴∠APF=30°，
∴在直角△APF中，AF=AP=，PF=AP=．
∴在直角△ABF中，AB2=BF2+AF2=（4+）2+（）2=25+12．
则△ABC的面积是 AB2= （25+12）=9+．
故答案为：A
【分析】根据等边三角形性质可得 BA=BC， 将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，延长BP，作AF⊥BP于点F，根据旋转的性质得BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，根据等边三角形判定定理可得△BPE为等边三角形，则PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，根据勾股定理的逆定理可得到△APE为直角三角形，且∠APE=90°，即可得到∠APB的度数，在Rt△APF中利用三角函数求得AF和PF的长，则在直角△ABF中利用勾股定理求得AB的长，再根据三角形面积即可求出答案.
13．（2024九上·自贡开学考）把直线y=2x﹣1向上平移2个单位，所得直线的解析式是
【答案】y=2x+1
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：由“上加下减”的原则可知，直线y=2x﹣1向上平移2个单位，所得直线解析式是：y=2x﹣1+2，即y=2x+1．
故答案为：y=2x+1．
【分析】直接根据“上加下减”的原则进行解答即可．
14．（2024九上·自贡开学考）在学校团体操比赛中，甲、乙两个班的同学身高的平均数相同，方差分别是 ，，那么身高整齐的是 班．
【答案】乙
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵1.8＞1.3，
∴身高整齐的是乙班，
故答案为：乙．
【分析】方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，据此判断即可.
15．（2024九上·自贡开学考）有一棵9米高的大树距离地面4米处折断．（未完全断开），则大树顶端触地点距大树的距离为 米．
【答案】3
【知识点】勾股定理；勾股定理的应用
【解析】【解答】解： 设大树顶端触地点距大树的距离为x米，
根据题意可知：
解得：x=3或x=-3（舍）
故答案为： 大树顶端触地点距大树的距离为3米.
【分析】本题考查勾股定理的应用问题。
16．（2024九上·自贡开学考）已知，，则 ．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，，
∴
，
=2-1
=1，
把ab=1代入所求代数式得：
.
故答案为：．
【分析】根据平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2和二次根式的性质“可求得ab的值，然后整体代入计算即可求解．
17．（2024九上·自贡开学考）如图，在四边形中，分别是的中点，要使四边形是菱形，四边形还应满足的一个条件是 ．
【答案】
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定
【解析】【解答】解：条件是．理由如下：
∵分别是的中点，
∴，HG分别是、△ACD的中位线，
∴，，，，
∴，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴，
∴四边形是菱形．
故答案为：.
【分析】根据菱形的判定方法"①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分"并结合已知条件可求解(答案不唯一)．
18．（2024九上·自贡开学考）如图，直线交坐标轴于A、B两点，C为中点，点D为上一动点，点E在x轴正半轴上，且满足，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；轴对称的应用-最短距离问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，以为斜边，在下方构造等腰直角三角形，连接，
∴DM=EM，DM2+ME2=DE2，
∴DM=DE，即DE=DM，
∴CD+DE=CD+DM=（CD+DM），
当、、三点共线时最小，此时即有最小值，
作关于轴对称点，则，
，
，
，，
∴∠ODM=∠QEM，
，
在△ODM和△QEM中，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
由题可得，，
是中点，
，
，
，
，
，
此时．
故答案为：.
【分析】要求的最小值，可以根据“将军饮马”问题，先构造等腰直角三角形，用勾股定理将DE用含DM的代数式表示出来，于是CD+DE=（CD+DM），则当、、三点共线时最小，此时即有最小值，即只需求线段的长度即可，结合已知条件构造全等三角形△ODM≌△QEM，可得是等腰直角三角形，易求出的坐标，用勾股定理求出的长度即可求解．
19．（2024九上·自贡开学考）计算：.
【答案】解：原式=
=
=（1-2+1）-6
=0-6
=-6
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】首先根据绝对值的非负性去绝对值，然后根据二次根式混合运算法则计算即可求解．
20．（2024九上·自贡开学考）如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，求证：AF=CE．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，即AE∥CF，
又∵AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF=CE
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质“平行四边形的对边分别平行”可得AB∥DC，结合已知条件并根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形AECF是平行四边形，最后根据平行四边形的性质“平行四边形的对边相等”即可求解．
21．（2024九上·自贡开学考）如图，在长方形ABCD中，将△ABC沿AC对折至△AEC位置，CE与AD交于点F．
(1)试说明：AF＝FC；
(2)如果AB＝3，BC＝4，求AF的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，且 将△ABC沿AC对折至△AEC位置，
∴AE=AB=DC，
由对顶角相等得：∠EFA=∠DFC，
而∠E=∠D=90°，
在 AEF和 CDDF中，
∴△AEF≌△CDF（AAS）；
∴AF＝FC；
（2）设FA=x，则FC=x，FD=，
在Rt△CDF中，由勾股定理得：CF2=CD2+DF2，
∴，
解得x=．
答：AF的长为
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；矩形翻折模型；全等三角形中对应边的关系
22．（2024九上·自贡开学考）如图，一次函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象与y轴交于点，点C为两函数图象的交点，且点C的横坐标为2．
（1）求一次函数的函数解析式；
（2）求的面积．
【答案】（1）解：∵点C为两函数图象的交点，且点C的横坐标为2，
∴，
∴，
∵一次函数的图象与y轴交于点，y1与y2相交于点C
设，把，
∴2=2k+6，
解得：，
∴
（2）解：∵，直线y1与y轴相交于点A，
∴令x=0，y1=2×0-2=-2，
∴，
∵，，
∴S△ABC=×AB×Cx=[6-(-2)]×2=8
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）由题意，把点C的横坐标代入y1的解析式可求得点C的纵坐标，然后待定系数法求出一次函数的函数解析式即可；
（2）用三角形的面积公式S△ABC=×AB×Cx计算即可求解．
（1）解：∵点C为两函数图象的交点，且点C的横坐标为2，
把代入，得：，
∴，
∵一次函数的图象与y轴交于点，
∴设，把，代入得：，
∴；
（2）解：∵，
∴当时，，
∴，
∵，，
∴．
23．（2024九上·自贡开学考）某地为了解“阳光体育”运动推进情况，就“中小学每天在校体育活动时间”的问题随机调查了330名中小学生：根据调查结果绘制成的统计图的一部分如图（其中分组情况见下表）：
组别
A
B
C
D
请根据上述信息解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）本次调查数据（指体育活动时间）的中位数落在______组内；
（3）若某地约有6600名中小学生，请你估计其中没有达到国家规定体育活动时间（不低于1小时）的人数约有多少？
【答案】（1）解：组人数为：；
补全条线图如图：
（2）
（3）解：由题意得：（名）；
答：估计其中没有达到国家规定体育活动时间（不低于1小时）的人数约有1800名
【知识点】条形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（2）解：由题意可知，样本容量有330个，中位数是第165和第166这两个数位上的数的平均数，而第165和第166个数据均落在组.
∴中位数落在组.
故答案为：．
【分析】（1）由条形图可知A、C、D组的人数，根据样本容量等于各小组频数之和可求得组的人数，然后补全条形图即可；
（2）根据中位数的定义“中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数”并结合题意即可求解；
（3）用样本估计总体即可求解．
（1）解：组人数为：；
补全条线图如图：
（2）由图可知，第165和第166个数据均落在组，
故中位数落在组，
故答案为：．
（3）（名）；
答：估计其中没有达到国家规定体育活动时间（不低于1小时）的人数约有1800名．
24．（2024九上·自贡开学考）在二次根式中，有些根式相乘，其结果是实数．
如，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解：如，，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
（1）解决问题：的有理化因式是_____，分母有理化，得______；
（2）计算：；
（3）化简：．
【答案】（1）；
（2）解：原式
（3）解：原式
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【解答】（1）解：，
的有理化因式是，
∴分母有理化，得；
故答案为：；.
【分析】（1）根据“a-与互为有理化因式、与互为有理化因式”计算即可求解；
（2）由（1）中的有理化因式可先将各分母有理化后，化简二次根式，再计算即可求解；
（3）由（1）中的有理化因式可先将各分母有理化后，合并同类二次根式即可求解．
（1）解：，，
的有理化因式是，分母有理化，得；
故答案为：，；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
25．（2024九上·自贡开学考）如图，四边形中，，，，为中点，且，连接．
（1）求的长度；
（2）若，求的长度．
【答案】（1）解：过点D作，垂足为，
∴，
=∠AHD，
，
∵AD=，
，
，
，为中点，
，
，
在Rt DEH中，由勾股定理得：
；
答：DE的长为
（2）解：在图（1）的基础上，过点作，分别交与点G，交延长线于点P，
，，，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
在 DHE和 CPD中
，
，
，
四边形是矩形，
，
，即点G为中点，
，
∴在Rt CGE中，由勾股定理可得：
．
答：BC的长为
【知识点】矩形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）过点D作，垂足为，根据，由等角对等边可得，在Rt ADH中，用勾股定理即可求出，由线段中点定义可得，由线段的构成可求得HE=AE-AH求出HE的值，在Rt DEH中，用勾股定理即可求得的值；
（2）在图（1）基础上，过点作，分别交与点G，交延长线于点P，由三角形外角的性质得到，结合，推出，由，由等角对等边可得DE=CD，用勾股定理求出，结合已知用角角边可证 DHE≌ CPD，由全等三角形的对应边相等可得，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形是矩形，由矩形的性质可得HG=PC，由线段的构成EG=HG-EH求出EG的值，即点G为中点，在Rt CGE中，由勾股定理即可求解．
26．（2024九上·自贡开学考）如图，一次函数的图象分别交轴，轴于点，，一次函数的图象分别交轴，轴于点，，两个一次函数的图象相交于点．
（1）求，的解析式；
（2）若直线上存在一点，使，求符合条件的点的坐标；
（3）若点为平面直角坐标系内任意一点，是否存在这样的点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将代入，得，
解得：．
将代入，得，
解得：．
∴解析式分别为，；
（2）解：，
当时，；当时，．
点的坐标为，点的坐标为．
，
当时，；当时，．
点的坐标为，点的坐标为．
，．
．
设点的坐标为．
则．
，
，
解得或
符合条件的点的坐标为或；
（3）解：存在，点的坐标为或或．
如解图，由（1）（2）可知，，，
设点的坐标为．
①当为对角线时，
由中点坐标公式可得，，
解得，．
∴点的坐标为；
②当为对角线时，
由中点坐标公式可得，，
解得，．
∴点的坐标为；
③当为对角线时，
由中点坐标公式可得，，
解得，．
∴点的坐标为．
综上所述，当点的坐标为或或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）把点 分别代入、中求出b、m的值即可求出，的解析式 ；
（2）首先求出点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，得到，，然后根据列方程求解即可；
（3）由（1）（2）知，，，然后分3种情况讨论：①当为对角线时；②当为对角线时；③当为对角线时，分别利用平行四边形的性质及中点坐标公式分别求解即可．
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