四川省自贡市自流井区解放路中学2024-2025学年九年级上学期数学开学考试试卷
一、选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）
1．（2024九上·自贡开学考） 能够使二次根式 有意义的实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：2x-3≥0，
解得： .
故答案为：B.
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，据此解答即可.
2．（2024九上·自贡开学考） 以下列各组数为边长构造三角形，不是直角三角形的是（ ）
A．2，2，3 B． C．5，12，13 D．3，4，5
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵22+22=8≠32，∴不是直角三角形，故符合题意；
B、∵12+（）2=22，∴是直角三角形，故不符合题意；
C、∵52+122=132，∴是直角三角形，故不符合题意；
D、∵32+42=52，∴是直角三角形，故不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可.
3．（2024九上·自贡开学考） 下列各式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，故不符合题意；
B、， 故不符合题意；
C、 是最简二次根式， 故符合题意；
D、，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】最简二次根式满足两个条件：①被开方数中不含分母，②被开方数中不能含有开方开的尽的因数或因式；据此判断即可.
4．（2024九上·自贡开学考） 一组数据：10、5、15、5、20，则这组数据的平均数和中位数分别是（ ）
A．10，10 B．11，10 C．11，12.5 D．10，12.5
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：这组数据从小到大排列为：5，5，10，15，20，
∴平均数为=11，
中位数为：10.
故答案为：B.
【分析】将这组数据从小到大排列，再利用平均数的定义及中位数的定义分别求解即可.
5．（2024九上·自贡开学考） 下面给出的条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB＝AD，CB＝CD B．AD∥BC，∠A＝∠C
C．AD∥BC，∠A＝∠B D．AB＝AD，∠B＝∠D
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、由AB＝AD，CB＝CD， 不能判定四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；
B、∵ AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A＝∠C ，
∴∠C+∠B=180°，
∴AB∥CD，
∴ 四边形ABCD是平行四边形 ，故符合题意；
C、由AD∥BC，∠A＝∠B，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；
D、 由AB＝AD，∠B＝∠D，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；
故答案为：B.
【分析】两组对边分别平行、两组对边分别相等、两组对角相等、一组对边平行且相等、对角线互相平分的四边形是平行四边形，据此逐项判断即可.
6．（2024九上·自贡开学考） 一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象情况如图所示，则关于k、b的分析正确的是（ ）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0
【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过一三象限，可得k＞0，
由一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y轴的交于正半轴，则b＞0.
故答案为：A.
【分析】一次函数y=kx+b（k≠0），当k＞0，b＞0时， 一次函数图象经过第一、二、三象限；当k＞0，b＜0时， 一次函数图象经过第一、三、四象限；当k＜0，b＞0时， 一次函数图象经过第一、二、四象限；当k＜0，b＜0时， 一次函数图象经过第二、三、四象限；据此判断即可.
7．（2024九上·自贡开学考） 如图，甲乙两艘轮船从某港口O同时出发，各自沿一固定方向航行，其中甲航行方向为北偏西60°，乙航行方向为北偏东30°，甲每小时航行12海里，乙每小时航行16海里，他们离开港口两小时后分别位于点A、B处，则此时两船相距（ ）海里．
A．36 B．40 C．48 D．50
【答案】B
【知识点】勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题
【解析】【解答】解：由题意得：∠AOB=90°，
∵ 甲每小时航行12海里，乙每小时航行16海里，他们离开港口两小时后分别位于点A、B处，
∴OA=12×2=24海里，OB=16×2=32海里，
∴AB===40海里，
∴ 此时两船相距40海里 .
故答案为：B.
【分析】由题意可求∠AOB=90°，OA=12×2=24海里，OB=16×2=32海里，然后利用勾股定理求出AB即可.
8．（2024九上·自贡开学考） 如图，直线y＝﹣x+b和y＝kx﹣3交于点P，根据图象可知kx﹣3＜﹣x+b的解集为（ ）
A．x＞1 B．x＜1 C．0＜x＜1 D．﹣2＜x＜1
【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象可知：当x＜1时， 直线y＝﹣x+b在直线y＝kx﹣3 的上方，
∴ kx﹣3＜﹣x+b的解集为x＜1.
故答案为：B.
【分析】由图象可知：当x＜1时， 直线y＝﹣x+b在直线y＝kx﹣3 的上方，据此解答即可.
9．（2024九上·自贡开学考）如图，正方形ABCD的边长为18，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC＝2：1，则线段CH的长是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【知识点】正方形的性质；矩形翻折模型
10．（2024九上·自贡开学考） 如图，正方形ABCD的边长为，O是对角线BD上一动点（点O与端点B，D不重合），OM⊥AD于点M，ON⊥AB于点N，连接MN，则MN长的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AO，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=，BD=AB=4，∠A=90°，
∵OM⊥AD，ON⊥AB，∠A=90°，
∴四边形AMON是矩形，
∴MN=AO，
当AO⊥BD时，AO有最小值，则AO有最小值即为MN的最小值，
∵AB=AD，∠A=90°，AO⊥BD
∴AO=BD=2.
∴MN的最小值为2.
故答案为：B.
【分析】连接AO，可证四边形AMON是矩形，可得MN=AO，当AO⊥BD时，AO有最小值，则AO有最小值即为MN的最小值，利用等腰直角三角形的性质即可求解.
11．（2024九上·自贡开学考） 如图，函数y＝﹣x+2图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，C（1，0），点P为直线AB上动点，连接OP、PC，则△OPC的周长最小值为（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解： y＝﹣x+2 ，
当x=0时y=2，则B（0，2）；当y=0时x=2，则A（2，0），
∴OA=OB=2，
∴∠OBA=∠OAB=45°，
作点C关于直线AB的对称点M，连接OM交AB于点P'，则当点P位于点P'处时，OP+CP取得最小值，最小值为OM的长，
∵ C（1，0） ，
∴OC=1，则AC=2-1=1，
由轴对称的性质可得AM=CM=1，∠MAB=∠OAB=45°，
∴∠MAO=90°，
∴OM==，则OP+CP取得最小值为，
∴ △OPC的周长最小值为+1.
故答案为：C.
【分析】由轴对称的性质作点C关于直线AB的对称点M，连接OM交AB于点P'，则当点P位于点P'处时，OP+CP取得最小值，最小值为OM的长，继而解决问题.
12．（2024九上·自贡开学考） 如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：在等边△ABC中，AB=BC，
∴可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连接EP，作AF⊥BP于点F，如图，
∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，
∴△BPE为等边三角形，
∴PE=PB =4，∠BPE=60°，
在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，
∴AE2=PE2+AP2，
∴∠APE=90°，
∴∠APB=90°+60°=150°，
∴∠APF=30°，
∴在Rt△APF中，AF=AP=，PF=AP=，
∴AB2=BF2+AF2=25+，
∴△ABC的面积=AB2= .
故答案为：A.
【分析】将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连接EP，作AF⊥BP于点F，则△BPE为等边三角形，
可得PE=PB =4，∠BPE=60°，根据勾股定理的逆定理可求∠APE=90°，从而得出∠APB=90°+60°=150°，∠APF=30°，再利用解直角三角形求出AF、PF、BF的长，根据勾股定理求出AB2，继而求出等边三角形ABC的面积.
二、填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
13．（2024九上·自贡开学考） 在平面直角坐标系中，直线y＝2x﹣1向上平移2个单位，所得的直线的解析式是 ．
【答案】y＝2x+1
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解： 直线y＝2x﹣1向上平移2个单位，所得的直线的解析式是y＝2x﹣1+2，
即y＝2x+1.
故答案为：y＝2x+1.
【分析】一次函数上下平移：上加下减改变常数项，据此解答即可.
14．（2024九上·自贡开学考）在学校团体操比赛中，甲、乙两个班的同学身高的平均数相同，方差分别是S甲2＝1.8，S乙2＝1.3，那么身高整齐的是 班．
【答案】乙
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵ 甲、乙两个班的同学身高的平均数相同，方差分别是S甲2＝1.8，S乙2＝1.3，
∴S甲2＞S乙2，
∴乙班的波动小，则身高整齐的是乙班.
故答案为：乙.
【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分别比较集中，各数偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，据此判断即可.
15．（2024九上·自贡开学考） 有一棵9米高的大树距离地面4米处折断（未完全断开），则大树顶端触地点距大树的距离为 米．
【答案】3
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由勾股定理得： 大树顶端触地点距大树的距离为=3米；
故答案为：3.
【分析】根据勾股定理直接计算即可.
16．（2024九上·自贡开学考） 已知， 则 ＝ ．
【答案】
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵，
∴ab=(+1)(-1)=1，
∴==.
故答案为：.
【分析】先求出ab的值，再代入原式即可求解.
17．（2024九上·自贡开学考） 如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是 ．
【答案】AD＝BC（答案不唯一）
【知识点】菱形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点 ，
∴EH∥BC，EH=BC，GF∥BC，GF=BC，GH=AD，
∴EH∥GF，EH=GF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
当AD=BC时，
∴GF=GH，
∴四边形EFGH是菱形，
故答案为：AD＝BC（答案不唯一）
【分析】根据三角形中位线定理可得EH∥GF，EH=GF，可证四边形EFGH是平行四边形，若AD=BC，可推出GF=GH，根据邻边相等的平行四边形是菱形即证结论.
18．（2024九上·自贡开学考） 如图，直线y＝3x+6交坐标轴于A、B两点，C为AB中点，点D为AO上一动点，点E在x轴正半轴上，且满足OE＝OD+OB，则的最小值为 ．
【答案】2
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，以DE为斜边，在DE的下方构造等腰Rt△MDE，连接CM，则DM=DE，
∴
当C、D、M三点共线时CD+DM=CM最小，此时CD+DE有最小值，
作点B关于y轴的对称点Q，则OB=OQ，
∴OE=OB+OD=OQ+QE，
∴OD=QE，
∵∠DOE=∠DME=90°，∠DGO=∠EGM，
∴∠ODM=∠OEM，
∵DM=EM，
∴△ODM≌△QEM（SAS），
∴∠OMD=∠EMQ，OM=QM，
∴△OMQ为等腰直角三角形，
由直线y＝3x+6 ，可求A（0，6），B（-2，0），
∵C是AB的中点，
∴C（-1，3），
∵OB=2，∴OQ=2，
∴M（1，-1），
∴CM=，
此时=.
故答案为：
【分析】以DE为斜边，在DE的下方构造等腰Rt△MDE，连接CM，则DM=DE，则∴，当C、D、M三点共线时CD+DM=CM最小，此时CD+DE有最小值，作点B关于y轴的对称点Q，则OB=OQ，易得△OMQ为等腰直角三角形，再求出M的坐标，求出此时CM的长即可.
三、解答题（共8小题，满分78分）
19．（2024九上·自贡开学考）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先根据二次根式的性质将各个需要化简的二次根式分别化简，再利用二次根式的乘法法则计算二次根式的乘法，然后合并同类二次根式即可．
20．（2024九上·自贡开学考）如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，求证：AF=CE．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴AE∥CF，
又∵AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF=CE．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】由平行四边形的性质可得AB∥DC，即得AE∥CF，结合AE=CF可证四边形AECF是平行四边形，再利用平行四边形的性质即可得解.
21．（2024九上·自贡开学考）如图，在长方形ABCD中，将△ABC沿AC对折至△AEC位置，CE与AD交于点F．
（1）试说明：AF＝FC；
（2）如果AB＝3，BC＝4，求AF的长．
【答案】（1）证明：由矩形性质可知，AE=AB=DC，
根据对顶角相等得，∠EFA=∠DFC，
而∠E=∠D=90°，
∴由AAS可得，△AEF≌△CDF．
∴AF＝FC；
（2）解：设FA=x，则FC=x，FD=，
在Rt△CDF中，CF2=CD2+DF2，即，
解得x=．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1） 由矩形性质可知AE=AB=DC，由对顶角相等得∠EFA=∠DFC，根据AAS证明 △AEF≌△CDF，可得AF=CF；
（2）设FA=x，则FC=x，FD=， 在Rt△CDF中，根据勾股定理建立关于x方程并解之即可.
22．（2024九上·自贡开学考）如图，一次函数y1＝2x﹣2的图象与y轴交于点A，一次函数y2的图象与y轴交于点B（0，6），点C为两函数图象的交点，且点C的横坐标为2．
（1）求一次函数y2的函数解析式；
（2）求△ABC的面积；
【答案】（1）解： y1＝2x﹣2 ，当x=2时，y1=2，
∴C（2，2），
设y2=kx+b，
把 B（0，6）C（2，2）代入得，解得，
∴ 一次函数y2的函数解析式y2=-2x+6，
（2）解：y1＝2x﹣2 ，当x=0时，y1=-2，
∴A（0，-2），
∵B（0，6）
∴AB=8，
∴ △ABC的面积=×8×2=8.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积
【解析】【分析】（1）先求出C的坐标，再利用待定系数法求解析式即可；
（2）先求出A的坐标，可求出AB的长，然后利用三角形的面积公式即可求解.
23．（2024九上·自贡开学考）某地为了解“阳光体育”运动推进情况，就“中小学每天在校体育活动时间”的问题随机调查了330名中小学生：根据调查结果绘制成的统计图的一部分如图（其中分组情况见下表）：
组别
A
B
C
D
请根据上述信息解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）本次调查数据（指体育活动时间）的中位数落在______组内；
（3）若某地约有6600名中小学生，请你估计其中没有达到国家规定体育活动时间（不低于1小时）的人数约有多少？
【答案】（1）解：组人数为：；
补全条线图如图：
（2）
（3）解：由题意得：（名）；
答：估计其中没有达到国家规定体育活动时间（不低于1小时）的人数约有1800名
【知识点】条形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（2）解：由题意可知，样本容量有330个，中位数是第165和第166这两个数位上的数的平均数，而第165和第166个数据均落在组.
∴中位数落在组.
故答案为：．
【分析】（1）由条形图可知A、C、D组的人数，根据样本容量等于各小组频数之和可求得组的人数，然后补全条形图即可；
（2）根据中位数的定义“中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数”并结合题意即可求解；
（3）用样本估计总体即可求解．
（1）解：组人数为：；
补全条线图如图：
（2）由图可知，第165和第166个数据均落在组，
故中位数落在组，
故答案为：．
（3）（名）；
答：估计其中没有达到国家规定体育活动时间（不低于1小时）的人数约有1800名．
24．（2024九上·自贡开学考）在二次根式中，有些根式相乘，其结果是实数．
如，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解：如，，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
（1）解决问题：的有理化因式是_____，分母有理化，得______；
（2）计算：；
（3）化简：．
【答案】（1）；
（2）解：原式
（3）解：原式
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【解答】（1）解：，
的有理化因式是，
∴分母有理化，得；
故答案为：；.
【分析】（1）根据“a-与互为有理化因式、与互为有理化因式”计算即可求解；
（2）由（1）中的有理化因式可先将各分母有理化后，化简二次根式，再计算即可求解；
（3）由（1）中的有理化因式可先将各分母有理化后，合并同类二次根式即可求解．
（1）解：，，
的有理化因式是，分母有理化，得；
故答案为：，；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
25．（2024九上·自贡开学考）如图，四边形中，，，，为中点，且，连接．
（1）求的长度；
（2）若，求的长度．
【答案】（1）解：过点D作，垂足为，
∴，
=∠AHD，
，
∵AD=，
，
，
，为中点，
，
，
在Rt DEH中，由勾股定理得：
；
答：DE的长为
（2）解：在图（1）的基础上，过点作，分别交与点G，交延长线于点P，
，，，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
在 DHE和 CPD中
，
，
，
四边形是矩形，
，
，即点G为中点，
，
∴在Rt CGE中，由勾股定理可得：
．
答：BC的长为
【知识点】矩形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）过点D作，垂足为，根据，由等角对等边可得，在Rt ADH中，用勾股定理即可求出，由线段中点定义可得，由线段的构成可求得HE=AE-AH求出HE的值，在Rt DEH中，用勾股定理即可求得的值；
（2）在图（1）基础上，过点作，分别交与点G，交延长线于点P，由三角形外角的性质得到，结合，推出，由，由等角对等边可得DE=CD，用勾股定理求出，结合已知用角角边可证 DHE≌ CPD，由全等三角形的对应边相等可得，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形是矩形，由矩形的性质可得HG=PC，由线段的构成EG=HG-EH求出EG的值，即点G为中点，在Rt CGE中，由勾股定理即可求解．
26．（2024九上·自贡开学考）如图，一次函数y1＝﹣3x+b的图象分别交y轴，x轴于点A，B，一次函数y2＝mx﹣6的图象分别交y轴，x轴于点C，D，两个一次函数的图象相交于点E（2，﹣3）．
（1）求y1，y2的解析式；
（2）若直线y2＝mx﹣6上存在一点P，使S△ACP＝4S△BDE，求符合条件的点P的坐标；
（3）若点M为平面直角坐标系内任意一点，是否存在这样的点M，使以A，D，E，M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：把 E（2，﹣3）代入 y1＝﹣3x+b 中，得-3=-3×2+b，解得b=3，
把 E（2，﹣3）代入 y2＝mx﹣6 中，得-3=2m-6，解得m=，
∴ y1＝﹣3x+3， y2＝x﹣6 ；
（2）解： y1＝﹣3x+3，当x=0时y=3，当y=0时x=1，则A（0，3），B（1，0），
y2＝x﹣6 ，当x=0时y=-6，当y=0时x=4，则C（0，-6），D（4，0），
∴BD=3，AC=9，
∴ S△BDE=×3×3=，则 S△ACP＝4S△BDE=18，
设P（n，n-6），
∴ S△ACP＝×9×=18，
解得n=4或-4，
∴点P的坐标为（4，0）或（﹣4，﹣12）
（3）解：由（1）（2）知：A（0，3）D（4，0）E（2，﹣3）
设M（m，n），
当AD为对角线时，，，解得m=2，n=6，
∴M（2，6），
当AE为对角线时，，，解得m=-2，n=0，
∴M（-2，0），
当ED为对角线时，，，解得m=6，n=-6，
∴M（6，-6），
综上可知：M的坐标为（2，6）或（﹣2，0）或（6，﹣6）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；
（2）利用（1）结论先求出A（0，3），B（1，0），C（0，-6），D（4，0），可得BD=3，AC=9，利用三角形面积公式求出S△BDE=，即得S△ACP＝4S△BDE=18，设P（n，n-6），
则S△ACP＝×9×=18，解出n值即可；
（3）由（1）（2）知：A（0，3）D（4，0）E（2，﹣3）设M（m，n），分三种情况：当AD为对角线时，当AE为对角线时，当DE为对角线时，利用平行四边形的性质及中点坐标公式分别求解即可.
1 / 1四川省自贡市自流井区解放路中学2024-2025学年九年级上学期数学开学考试试卷
一、选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）
1．（2024九上·自贡开学考） 能够使二次根式 有意义的实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·自贡开学考） 以下列各组数为边长构造三角形，不是直角三角形的是（ ）
A．2，2，3 B． C．5，12，13 D．3，4，5
3．（2024九上·自贡开学考） 下列各式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九上·自贡开学考） 一组数据：10、5、15、5、20，则这组数据的平均数和中位数分别是（ ）
A．10，10 B．11，10 C．11，12.5 D．10，12.5
5．（2024九上·自贡开学考） 下面给出的条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB＝AD，CB＝CD B．AD∥BC，∠A＝∠C
C．AD∥BC，∠A＝∠B D．AB＝AD，∠B＝∠D
6．（2024九上·自贡开学考） 一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象情况如图所示，则关于k、b的分析正确的是（ ）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0
7．（2024九上·自贡开学考） 如图，甲乙两艘轮船从某港口O同时出发，各自沿一固定方向航行，其中甲航行方向为北偏西60°，乙航行方向为北偏东30°，甲每小时航行12海里，乙每小时航行16海里，他们离开港口两小时后分别位于点A、B处，则此时两船相距（ ）海里．
A．36 B．40 C．48 D．50
8．（2024九上·自贡开学考） 如图，直线y＝﹣x+b和y＝kx﹣3交于点P，根据图象可知kx﹣3＜﹣x+b的解集为（ ）
A．x＞1 B．x＜1 C．0＜x＜1 D．﹣2＜x＜1
9．（2024九上·自贡开学考）如图，正方形ABCD的边长为18，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC＝2：1，则线段CH的长是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
10．（2024九上·自贡开学考） 如图，正方形ABCD的边长为，O是对角线BD上一动点（点O与端点B，D不重合），OM⊥AD于点M，ON⊥AB于点N，连接MN，则MN长的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
11．（2024九上·自贡开学考） 如图，函数y＝﹣x+2图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，C（1，0），点P为直线AB上动点，连接OP、PC，则△OPC的周长最小值为（ ）
A．3 B．4 C． D．
12．（2024九上·自贡开学考） 如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
13．（2024九上·自贡开学考） 在平面直角坐标系中，直线y＝2x﹣1向上平移2个单位，所得的直线的解析式是 ．
14．（2024九上·自贡开学考）在学校团体操比赛中，甲、乙两个班的同学身高的平均数相同，方差分别是S甲2＝1.8，S乙2＝1.3，那么身高整齐的是 班．
15．（2024九上·自贡开学考） 有一棵9米高的大树距离地面4米处折断（未完全断开），则大树顶端触地点距大树的距离为 米．
16．（2024九上·自贡开学考） 已知， 则 ＝ ．
17．（2024九上·自贡开学考） 如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是 ．
18．（2024九上·自贡开学考） 如图，直线y＝3x+6交坐标轴于A、B两点，C为AB中点，点D为AO上一动点，点E在x轴正半轴上，且满足OE＝OD+OB，则的最小值为 ．
三、解答题（共8小题，满分78分）
19．（2024九上·自贡开学考）计算：．
20．（2024九上·自贡开学考）如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，求证：AF=CE．
21．（2024九上·自贡开学考）如图，在长方形ABCD中，将△ABC沿AC对折至△AEC位置，CE与AD交于点F．
（1）试说明：AF＝FC；
（2）如果AB＝3，BC＝4，求AF的长．
22．（2024九上·自贡开学考）如图，一次函数y1＝2x﹣2的图象与y轴交于点A，一次函数y2的图象与y轴交于点B（0，6），点C为两函数图象的交点，且点C的横坐标为2．
（1）求一次函数y2的函数解析式；
（2）求△ABC的面积；
23．（2024九上·自贡开学考）某地为了解“阳光体育”运动推进情况，就“中小学每天在校体育活动时间”的问题随机调查了330名中小学生：根据调查结果绘制成的统计图的一部分如图（其中分组情况见下表）：
组别
A
B
C
D
请根据上述信息解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）本次调查数据（指体育活动时间）的中位数落在______组内；
（3）若某地约有6600名中小学生，请你估计其中没有达到国家规定体育活动时间（不低于1小时）的人数约有多少？
24．（2024九上·自贡开学考）在二次根式中，有些根式相乘，其结果是实数．
如，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解：如，，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
（1）解决问题：的有理化因式是_____，分母有理化，得______；
（2）计算：；
（3）化简：．
25．（2024九上·自贡开学考）如图，四边形中，，，，为中点，且，连接．
（1）求的长度；
（2）若，求的长度．
26．（2024九上·自贡开学考）如图，一次函数y1＝﹣3x+b的图象分别交y轴，x轴于点A，B，一次函数y2＝mx﹣6的图象分别交y轴，x轴于点C，D，两个一次函数的图象相交于点E（2，﹣3）．
（1）求y1，y2的解析式；
（2）若直线y2＝mx﹣6上存在一点P，使S△ACP＝4S△BDE，求符合条件的点P的坐标；
（3）若点M为平面直角坐标系内任意一点，是否存在这样的点M，使以A，D，E，M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：2x-3≥0，
解得： .
故答案为：B.
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，据此解答即可.
2．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵22+22=8≠32，∴不是直角三角形，故符合题意；
B、∵12+（）2=22，∴是直角三角形，故不符合题意；
C、∵52+122=132，∴是直角三角形，故不符合题意；
D、∵32+42=52，∴是直角三角形，故不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可.
3．【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，故不符合题意；
B、， 故不符合题意；
C、 是最简二次根式， 故符合题意；
D、，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】最简二次根式满足两个条件：①被开方数中不含分母，②被开方数中不能含有开方开的尽的因数或因式；据此判断即可.
4．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：这组数据从小到大排列为：5，5，10，15，20，
∴平均数为=11，
中位数为：10.
故答案为：B.
【分析】将这组数据从小到大排列，再利用平均数的定义及中位数的定义分别求解即可.
5．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、由AB＝AD，CB＝CD， 不能判定四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；
B、∵ AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A＝∠C ，
∴∠C+∠B=180°，
∴AB∥CD，
∴ 四边形ABCD是平行四边形 ，故符合题意；
C、由AD∥BC，∠A＝∠B，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；
D、 由AB＝AD，∠B＝∠D，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；
故答案为：B.
【分析】两组对边分别平行、两组对边分别相等、两组对角相等、一组对边平行且相等、对角线互相平分的四边形是平行四边形，据此逐项判断即可.
6．【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过一三象限，可得k＞0，
由一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y轴的交于正半轴，则b＞0.
故答案为：A.
【分析】一次函数y=kx+b（k≠0），当k＞0，b＞0时， 一次函数图象经过第一、二、三象限；当k＞0，b＜0时， 一次函数图象经过第一、三、四象限；当k＜0，b＞0时， 一次函数图象经过第一、二、四象限；当k＜0，b＜0时， 一次函数图象经过第二、三、四象限；据此判断即可.
7．【答案】B
【知识点】勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题
【解析】【解答】解：由题意得：∠AOB=90°，
∵ 甲每小时航行12海里，乙每小时航行16海里，他们离开港口两小时后分别位于点A、B处，
∴OA=12×2=24海里，OB=16×2=32海里，
∴AB===40海里，
∴ 此时两船相距40海里 .
故答案为：B.
【分析】由题意可求∠AOB=90°，OA=12×2=24海里，OB=16×2=32海里，然后利用勾股定理求出AB即可.
8．【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象可知：当x＜1时， 直线y＝﹣x+b在直线y＝kx﹣3 的上方，
∴ kx﹣3＜﹣x+b的解集为x＜1.
故答案为：B.
【分析】由图象可知：当x＜1时， 直线y＝﹣x+b在直线y＝kx﹣3 的上方，据此解答即可.
9．【答案】B
【知识点】正方形的性质；矩形翻折模型
10．【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AO，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=，BD=AB=4，∠A=90°，
∵OM⊥AD，ON⊥AB，∠A=90°，
∴四边形AMON是矩形，
∴MN=AO，
当AO⊥BD时，AO有最小值，则AO有最小值即为MN的最小值，
∵AB=AD，∠A=90°，AO⊥BD
∴AO=BD=2.
∴MN的最小值为2.
故答案为：B.
【分析】连接AO，可证四边形AMON是矩形，可得MN=AO，当AO⊥BD时，AO有最小值，则AO有最小值即为MN的最小值，利用等腰直角三角形的性质即可求解.
11．【答案】C
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解： y＝﹣x+2 ，
当x=0时y=2，则B（0，2）；当y=0时x=2，则A（2，0），
∴OA=OB=2，
∴∠OBA=∠OAB=45°，
作点C关于直线AB的对称点M，连接OM交AB于点P'，则当点P位于点P'处时，OP+CP取得最小值，最小值为OM的长，
∵ C（1，0） ，
∴OC=1，则AC=2-1=1，
由轴对称的性质可得AM=CM=1，∠MAB=∠OAB=45°，
∴∠MAO=90°，
∴OM==，则OP+CP取得最小值为，
∴ △OPC的周长最小值为+1.
故答案为：C.
【分析】由轴对称的性质作点C关于直线AB的对称点M，连接OM交AB于点P'，则当点P位于点P'处时，OP+CP取得最小值，最小值为OM的长，继而解决问题.
12．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：在等边△ABC中，AB=BC，
∴可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连接EP，作AF⊥BP于点F，如图，
∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，
∴△BPE为等边三角形，
∴PE=PB =4，∠BPE=60°，
在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，
∴AE2=PE2+AP2，
∴∠APE=90°，
∴∠APB=90°+60°=150°，
∴∠APF=30°，
∴在Rt△APF中，AF=AP=，PF=AP=，
∴AB2=BF2+AF2=25+，
∴△ABC的面积=AB2= .
故答案为：A.
【分析】将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连接EP，作AF⊥BP于点F，则△BPE为等边三角形，
可得PE=PB =4，∠BPE=60°，根据勾股定理的逆定理可求∠APE=90°，从而得出∠APB=90°+60°=150°，∠APF=30°，再利用解直角三角形求出AF、PF、BF的长，根据勾股定理求出AB2，继而求出等边三角形ABC的面积.
13．【答案】y＝2x+1
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解： 直线y＝2x﹣1向上平移2个单位，所得的直线的解析式是y＝2x﹣1+2，
即y＝2x+1.
故答案为：y＝2x+1.
【分析】一次函数上下平移：上加下减改变常数项，据此解答即可.
14．【答案】乙
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵ 甲、乙两个班的同学身高的平均数相同，方差分别是S甲2＝1.8，S乙2＝1.3，
∴S甲2＞S乙2，
∴乙班的波动小，则身高整齐的是乙班.
故答案为：乙.
【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分别比较集中，各数偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，据此判断即可.
15．【答案】3
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由勾股定理得： 大树顶端触地点距大树的距离为=3米；
故答案为：3.
【分析】根据勾股定理直接计算即可.
16．【答案】
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵，
∴ab=(+1)(-1)=1，
∴==.
故答案为：.
【分析】先求出ab的值，再代入原式即可求解.
17．【答案】AD＝BC（答案不唯一）
【知识点】菱形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点 ，
∴EH∥BC，EH=BC，GF∥BC，GF=BC，GH=AD，
∴EH∥GF，EH=GF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
当AD=BC时，
∴GF=GH，
∴四边形EFGH是菱形，
故答案为：AD＝BC（答案不唯一）
【分析】根据三角形中位线定理可得EH∥GF，EH=GF，可证四边形EFGH是平行四边形，若AD=BC，可推出GF=GH，根据邻边相等的平行四边形是菱形即证结论.
18．【答案】2
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，以DE为斜边，在DE的下方构造等腰Rt△MDE，连接CM，则DM=DE，
∴
当C、D、M三点共线时CD+DM=CM最小，此时CD+DE有最小值，
作点B关于y轴的对称点Q，则OB=OQ，
∴OE=OB+OD=OQ+QE，
∴OD=QE，
∵∠DOE=∠DME=90°，∠DGO=∠EGM，
∴∠ODM=∠OEM，
∵DM=EM，
∴△ODM≌△QEM（SAS），
∴∠OMD=∠EMQ，OM=QM，
∴△OMQ为等腰直角三角形，
由直线y＝3x+6 ，可求A（0，6），B（-2，0），
∵C是AB的中点，
∴C（-1，3），
∵OB=2，∴OQ=2，
∴M（1，-1），
∴CM=，
此时=.
故答案为：
【分析】以DE为斜边，在DE的下方构造等腰Rt△MDE，连接CM，则DM=DE，则∴，当C、D、M三点共线时CD+DM=CM最小，此时CD+DE有最小值，作点B关于y轴的对称点Q，则OB=OQ，易得△OMQ为等腰直角三角形，再求出M的坐标，求出此时CM的长即可.
19．【答案】解：
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先根据二次根式的性质将各个需要化简的二次根式分别化简，再利用二次根式的乘法法则计算二次根式的乘法，然后合并同类二次根式即可．
20．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴AE∥CF，
又∵AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF=CE．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】由平行四边形的性质可得AB∥DC，即得AE∥CF，结合AE=CF可证四边形AECF是平行四边形，再利用平行四边形的性质即可得解.
21．【答案】（1）证明：由矩形性质可知，AE=AB=DC，
根据对顶角相等得，∠EFA=∠DFC，
而∠E=∠D=90°，
∴由AAS可得，△AEF≌△CDF．
∴AF＝FC；
（2）解：设FA=x，则FC=x，FD=，
在Rt△CDF中，CF2=CD2+DF2，即，
解得x=．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1） 由矩形性质可知AE=AB=DC，由对顶角相等得∠EFA=∠DFC，根据AAS证明 △AEF≌△CDF，可得AF=CF；
（2）设FA=x，则FC=x，FD=， 在Rt△CDF中，根据勾股定理建立关于x方程并解之即可.
22．【答案】（1）解： y1＝2x﹣2 ，当x=2时，y1=2，
∴C（2，2），
设y2=kx+b，
把 B（0，6）C（2，2）代入得，解得，
∴ 一次函数y2的函数解析式y2=-2x+6，
（2）解：y1＝2x﹣2 ，当x=0时，y1=-2，
∴A（0，-2），
∵B（0，6）
∴AB=8，
∴ △ABC的面积=×8×2=8.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积
【解析】【分析】（1）先求出C的坐标，再利用待定系数法求解析式即可；
（2）先求出A的坐标，可求出AB的长，然后利用三角形的面积公式即可求解.
23．【答案】（1）解：组人数为：；
补全条线图如图：
（2）
（3）解：由题意得：（名）；
答：估计其中没有达到国家规定体育活动时间（不低于1小时）的人数约有1800名
【知识点】条形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（2）解：由题意可知，样本容量有330个，中位数是第165和第166这两个数位上的数的平均数，而第165和第166个数据均落在组.
∴中位数落在组.
故答案为：．
【分析】（1）由条形图可知A、C、D组的人数，根据样本容量等于各小组频数之和可求得组的人数，然后补全条形图即可；
（2）根据中位数的定义“中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数”并结合题意即可求解；
（3）用样本估计总体即可求解．
（1）解：组人数为：；
补全条线图如图：
（2）由图可知，第165和第166个数据均落在组，
故中位数落在组，
故答案为：．
（3）（名）；
答：估计其中没有达到国家规定体育活动时间（不低于1小时）的人数约有1800名．
24．【答案】（1）；
（2）解：原式
（3）解：原式
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【解答】（1）解：，
的有理化因式是，
∴分母有理化，得；
故答案为：；.
【分析】（1）根据“a-与互为有理化因式、与互为有理化因式”计算即可求解；
（2）由（1）中的有理化因式可先将各分母有理化后，化简二次根式，再计算即可求解；
（3）由（1）中的有理化因式可先将各分母有理化后，合并同类二次根式即可求解．
（1）解：，，
的有理化因式是，分母有理化，得；
故答案为：，；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
25．【答案】（1）解：过点D作，垂足为，
∴，
=∠AHD，
，
∵AD=，
，
，
，为中点，
，
，
在Rt DEH中，由勾股定理得：
；
答：DE的长为
（2）解：在图（1）的基础上，过点作，分别交与点G，交延长线于点P，
，，，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
在 DHE和 CPD中
，
，
，
四边形是矩形，
，
，即点G为中点，
，
∴在Rt CGE中，由勾股定理可得：
．
答：BC的长为
【知识点】矩形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）过点D作，垂足为，根据，由等角对等边可得，在Rt ADH中，用勾股定理即可求出，由线段中点定义可得，由线段的构成可求得HE=AE-AH求出HE的值，在Rt DEH中，用勾股定理即可求得的值；
（2）在图（1）基础上，过点作，分别交与点G，交延长线于点P，由三角形外角的性质得到，结合，推出，由，由等角对等边可得DE=CD，用勾股定理求出，结合已知用角角边可证 DHE≌ CPD，由全等三角形的对应边相等可得，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形是矩形，由矩形的性质可得HG=PC，由线段的构成EG=HG-EH求出EG的值，即点G为中点，在Rt CGE中，由勾股定理即可求解．
26．【答案】（1）解：把 E（2，﹣3）代入 y1＝﹣3x+b 中，得-3=-3×2+b，解得b=3，
把 E（2，﹣3）代入 y2＝mx﹣6 中，得-3=2m-6，解得m=，
∴ y1＝﹣3x+3， y2＝x﹣6 ；
（2）解： y1＝﹣3x+3，当x=0时y=3，当y=0时x=1，则A（0，3），B（1，0），
y2＝x﹣6 ，当x=0时y=-6，当y=0时x=4，则C（0，-6），D（4，0），
∴BD=3，AC=9，
∴ S△BDE=×3×3=，则 S△ACP＝4S△BDE=18，
设P（n，n-6），
∴ S△ACP＝×9×=18，
解得n=4或-4，
∴点P的坐标为（4，0）或（﹣4，﹣12）
（3）解：由（1）（2）知：A（0，3）D（4，0）E（2，﹣3）
设M（m，n），
当AD为对角线时，，，解得m=2，n=6，
∴M（2，6），
当AE为对角线时，，，解得m=-2，n=0，
∴M（-2，0），
当ED为对角线时，，，解得m=6，n=-6，
∴M（6，-6），
综上可知：M的坐标为（2，6）或（﹣2，0）或（6，﹣6）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；
（2）利用（1）结论先求出A（0，3），B（1，0），C（0，-6），D（4，0），可得BD=3，AC=9，利用三角形面积公式求出S△BDE=，即得S△ACP＝4S△BDE=18，设P（n，n-6），
则S△ACP＝×9×=18，解出n值即可；
（3）由（1）（2）知：A（0，3）D（4，0）E（2，﹣3）设M（m，n），分三种情况：当AD为对角线时，当AE为对角线时，当DE为对角线时，利用平行四边形的性质及中点坐标公式分别求解即可.
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