广东省惠州市惠阳高级中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2024九上·惠阳开学考）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．，，2 B．6，8，10 C．4，5，6 D．5，10，12
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵，∴
∴，
∴不能构成直角三角形，故A不符合题意；
B、∵62+82=100，102=100，
∴62+82=102，
∴能构成直角三角形，故B符合题意；
C、∵42+52=41，62=36，
∴42+52≠62，
∴不能构成直角三角形，故C符合题意；
D、∵52+102=125，122=144，
∴102+52≠122，
∴不能构成直角三角形，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】分别求出每一个选项中较小两个数的平方和及较大数的平方，若较小两个数的平方和=较大数的平方，则能构成直角三角形，即可求解.
2．（2024九上·惠阳开学考）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、被开方数含分母，故A错误；
B、被开方数含分母，故B错误；
C、被开方数含能开得尽方的因数，故C错误；
D、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故D正确；
故选：D．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
3．（2024九上·惠阳开学考）在 ABCD中，如果∠A+∠C=140°，那么∠C等于（ ）
A．20° B．40° C．60° D．70°
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，
∵∠A+∠C=140°，
∴2∠C=140°，
∴∠C=70°，
故选D．
【分析】根据“平行四边形的对角相等”的性质推知∠A=∠C，则易求∠C=70°．
4．（2024九上·惠阳开学考）下列各图象中，（ ）表示y是x的一次函数．
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的概念
【解析】【解答】解：A、∵此图象是一条直线，
∴y是x的一次函数，故A符合题意；
B、由图象可知，x取一个值，y有两个值与之对应，
∴y不是x的函数；
C、由图象可知，出现了x取一个值，y有两个或三个值与之对应，
∴y不是x的函数，故C不符合题意；
D、由图象可知，出现了x取一个值，y有两个值与之对应，
∴y不是x的函数；
故答案为：A.
【分析】利用函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有惟一确定的值与其对应，可排除B、C、D，再利用一次函数的图象是一条直线，可对A作出判断.
5．（2024九上·惠阳开学考）用配方法解方程 ，下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】移项，得：x2-4x=-2，
配方：x2-4x+4=-2+4，
即（x-2）2=2．
故答案为：A．
【分析】将常数项移到方程的右边，然后在方程得的左右两边都加上一次项系数一半的平方4，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项即可。
6．（2024九上·惠阳开学考）为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得苗高（单位：cm）的平均数与方差为： = =13， = =15：s甲2=s丁2=3.6，s乙2=s丙2=6.3．则麦苗又高又整齐的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【知识点】常用统计量的选择；分析数据的波动程度
【解析】【解答】∵ = ＞ = ，
∴乙、丁的麦苗比甲、丙要高，
∵s甲2=s丁2＜s乙2=s丙2，
∴甲、丁麦苗的长势比乙、丙的长势整齐，
综上，麦苗又高又整齐的是丁，
故答案为：D．
【分析】从平均数来看，乙、丁的麦苗比甲、丙要高，从方差来看，甲、丁麦苗的长势比乙、丙的长势整齐（方差越小，长势越整齐），综上所述可得出答案。
7．（2024九上·惠阳开学考）如图，在中，点在上，，于点，是的中点，连接，若，，则的长为（ ）
A．6 B．3 C．1.5 D．1
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵DC=BC-BD=BC-AB，
∴DC=8-5=3，
∵BD=AB，BM⊥AD，
∴BM是中线，
∴点M是AD的中点，
∵点N是AC的中点，
∴MN是△ADC的中位线，
∴MN=DC=×3=1.5.
故答案为：C.
【分析】利用已知可求出DC的长，再利用等腰三角形三线合一的性质可证得点M是AD的中点，由此可推出MN是△ADC的中位线，然后利用三角形的中位线定理可求出MN的长.
8．（2024九上·惠阳开学考）如图， 为等腰三角形，如果把它沿底边 翻折后，得到 ，那么四边形ABDC为（ ）
A．一般平行四边形 B．正方形
C．矩形 D．菱形
【答案】D
【知识点】菱形的判定；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵△ABC为等腰三角形，
∴AB=AC，
根据折叠可得BD=AB，AC=DC，
∴AB=BD=DC=AC，
∴四边形ABDC是菱形，
故答案为：D．
【分析】根据△ABC是等腰三角形可得AB=AC，再根据折叠的性质，可证BD=AB，AC=DC，就可证得AB=BD=CD=AC，即可判断出四边形ABCD的形状。
9．（2024九上·惠阳开学考）如图，直线 与 相交于点 ，点 的横坐标为 ，则关于 的不等式 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】由图像可知当x<-1时， ，
∴可在数轴上表示为：
故答案为：C.
【分析】利用一次函数与不等式的关系求解即可。
10．（2024九上·惠阳开学考）如图，在四边形中，，，于点，如果四边形的面积为8，那么的长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】C
【知识点】矩形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点C作CF⊥BE于点F，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB=∠BFC=∠CFE=90°，∠A+∠ABE=90°，
∵∠ADC=∠CFE=∠FED=90°，
∴四边形CFED是矩形，
∴DE=CF，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠FBC=90°，
∴∠A=∠FBC，
在△ABE和△BCF中
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴AE=BF，BE=CF=DE，S△ABE=S△BCF，
∵S四边形ABCD=2S△ABE+S矩形DEFC=8，
∴
解之：.
故答案为：C.
【分析】过点C作CF⊥BE于点F，利用垂直的定义可证得∠AEB=∠BFC=∠CFE=90°，∠A+∠ABE=90°，结合已知条件可证得四边形CFED是矩形，利用矩形的性质可推出DE=CF，利用余角的性质可证得∠A=∠FBC；再利用AAS证明△ABE≌△BCF，利用全等三角形的性质可得到AE=BF，BE=CF=DE，S△ABE=S△BCF，根据S四边形ABCD=2S△ABE+S矩形DEFC，可求出BE的长.
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．（2024九上·惠阳开学考）要使式子 有意义，则a的取值范围为 ．
【答案】a≥﹣2且a≠0
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得：a+2≥0且a≠0，
解得：a≥﹣2且a≠0．
故答案为：a≥﹣2且a≠0．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
12．（2024九上·惠阳开学考）已知a，b是两个连续的整数，若，则 .
【答案】
【知识点】无理数的估值；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵ a，b是两个连续的整数，
即，
∴a=2，b=3，
.
故答案为：.
【分析】利用估算无理数大小的方法，可得到，可求出a，b的值，再将a、b的值代入代数进行计算.
13．（2024九上·惠阳开学考）菱形的两条对角线长分别是方程 的两实根，则菱形的面积为 ．
【答案】24
【知识点】一元二次方程的根；菱形的性质
【解析】【解答】解：x2﹣14x+48=0，则有（x-6）(x-8)=0解得：x=6或x=8．所以菱形的面积为：（6×8）÷2=24．菱形的面积为：24．故答案为：24．
【分析】解出方程的根，菱形的面积公式为对角线乘积的一半。
14．（2024九上·惠阳开学考）如图，在矩形中，是上一点，，，则的度数是 ．
【答案】15°
【知识点】矩形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵AE=AB，
∴∠AEB=∠ABE，
∵矩形ABCD，
∴AB∥DC，∠D=∠C=90°，
∴∠ABE=∠BEC=∠AEB，
∵AB=2AD，
∴AE=2AD，
∴∠AED=30°，
∵∠AED+∠AEB+∠BEC=180°即30°+2∠BEC=180°，
解之：∠BEC=75°，
∴∠EBC=90°-∠BEC=90°-75°=15°.
故答案为：15°.
【分析】利用等边对等角可证得∠AEB=∠ABE，利用矩形的性质和平行线的性质可推出∠D=∠C=90°，∠ABE=∠BEC=∠AEB，由此可证得AE=2AD，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出∠AED=30°，据此可求出∠BEC的度数；然后利用直角三角形的两锐角互余可求出∠EBC的度数.
15．（2024九上·惠阳开学考）在平面直角坐标系中，正方形、、，…，按在图所示的方式放置．点、、，…和、、，…分别在直线和轴上．已知，，则点的坐标是 ；点的坐标是 ．
【答案】；
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；探索规律-函数上点的规律
【解析】【解答】解：连接A1C1，A2C2，A3C3，分别交x轴于点D，E，F，
∵正方形、、，…，按在图所示的方式放置，
∴点A1和点C1，点A2和点C2关于x轴对称，
∵，，
∴A1（1，1）即，即，
设B2F=m，则，
∴点A3（5+m，m），
∵ 点、、，……分别在直线，
∴
解之：
∴；
将点代入函数解析式得
解之：，
∴
∴点即；
∴点An
故答案为：；.
【分析】连接A1C1，A2C2，A3C3，分别交x轴于点D，E，F，利用已知可得到点A1和点C1，点A2和点C2关于x轴对称，可求出点A1，A2的坐标，观察两个点的坐标特点，可得到A1，A2，设B2F=m，可表示出OF的长，可得到点A3的坐标；根据点、、，……分别在直线，将两点坐标代入函数解析式可得到关于k，b的方程组，解方程组求出k，b的值，可得到一次函数解析式，再将点A3的坐标代入函数解析式，可求出m的值，可得到点A3的坐标，根据其规律可得到点An的坐标.
三、解答题（共3小题，每小题8分，共24分）
16．（2024九上·惠阳开学考）解答
（1）计算；
（2）解方程．
【答案】（1）解：原式=
（2）解：将方程转化为（x+3）（x-2）=0
∴x+3=0或x-2=0
解之：x1=-3，x2=2
【知识点】因式分解法解一元二次方程；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）此题的运算顺序为：先算乘方和开方运算，同时化简绝对值，再去括号，然后合并即可.
（2）观察方程特点：右边为0，左边可以分解因式，因此利用因式分解法求出方程的解.
17．（2024九上·惠阳开学考）已知的周长为，其中，．
（1）求的长度；
（2）判断是否为直角三角形，并说明理由．
【答案】（1）解：∵的周长为，，，
∴
（2）解：∵，AB2=16，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形
【知识点】二次根式的应用；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）根据AC=ABC的周长-AB-BC，代入计算可求出AC的长.
（2）先求出AC2+BC2和AB2的值，再证明AC2+BC2=AB2，利用勾股定理的逆定理可证得结论.
18．（2024九上·惠阳开学考）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAC，CF平分∠ACD．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AB=AC，请判断四边形AECF的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
平分平分，
，
在和中，
．
（2）解：四边形AECF是矩形，理由如下：
四边形ABCD是平行四边形，
由（1）可知：，
四边形AECF是平行四边形，
平分，
平行四边形AECF是矩形．
【知识点】三角形全等的判定；全等三角形的应用；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】本题主要考查平行四边形的性质与判定，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定等基础知识，属于中档题型.
（1）根据四边形ABCD是平行四边形，可得：进而得到：再根据已知条件AE平分∠BAC，CF平分∠ACD． 得到再根据三角形全等的判定定理可得到：；
（2）根据（1）的结论可得：可得到：四边形AECF是平行四边形，又平分，可证得：，进而即可证明结论.
四、解答题（共3小题，每小题9分，共27分）
19．（2024九上·惠阳开学考）某学校七八两个年级各有学生500人．为了普及冬奥如识．学校在七八年级举行了一次冬奥知识竞赛，为了解这两个年级学生的冬奥知识竞赛成绩（百分制），分别从两个年级各随机抽取了20名学生的成绩进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a、七八年级的样本成绩分布如下：
七 0 0 0 0 4 3 7 4 2 0
八 1 1 0 0 0 4 6 5 2 1
（说明：成绩在50分以下为不合格．在分为合格，70分及以上为优秀）
b、七年级成绩在一组的是：61，62，63，65，66，68，69
c、七八年级成绩的平均数、中位数、优秀率、合格率如下：
年级 平均数 中位数 优秀率 合格率
七 64.7
八 63.3 67
根据以上信息，回答下列问题：
（1）上述表中 ， ；
（2）小军的成绩在此次抽样之中，与他所在的年级的抽样相比，小军的成绩高于平均数，却排在了后十名，则小军是 年级的学生；（选填“七”或“八”）
（3）根据样本数据，请估计参加这次竞赛活动优秀学生人数；
（4）根据样本数据，你认为哪个年级的竞赛成绩更好，请说明理由．
【答案】（1）64；30％
（2）八
（3）解：根据题意得
答：参加这次竞赛活动优秀学生有350人
（4）解：从平均数上七年级的竞赛成绩更好
理由：
∵64.7＞63.3，
，∴七年级的较高，
从数据的离散程度上看七年级较整齐，
七年级的竞赛成绩更好
从中位数上看
∵64＜67，
八年级成绩的中位数高与七年级成绩的中位数；
从表中数据可知八年级的优秀率和合格率都高于七年级，
∴八年级大部分学生的成绩较好，
∴八年级的竞赛成绩更好
【知识点】中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）七年级一共抽取20人，将其成绩从小到大排列第11个和第12个数是63，65，
∴中位数为；
∵70分及以上为优秀，
∴.
故答案为：64；30％.
（2）∵八年级的成绩的平均数为63.3，八年级成绩的中位数是67，
∴平均数小于中位数，
∵小军的成绩高于平均数，却排在了后十名，
∴小军是八年级的学生.
故答案为：八.
【分析】（1）利用中位数的计算方法求出m的值，然后求出n的值.
（2）从两个年级的平均数和中位数上进行分析，可得答案.
（3）利用参加这次竞赛活动优秀学生人数=两个年级的总人数×两个年级的优秀率之和，列式计算即可.
（4）从表中数据：平均数，中位数，优秀率、合格率上进行分析即可作出判断.
20．（2024九上·惠阳开学考）配方
（1）若，则 ， ；
（2）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边以的速度移动．如果、两点分别从、两点同时出发，同时停止运动．设动点运动时间为，当为何值时，的面积最大？求该最大值．
【答案】（1）-3；-2
（2）解：∵ 动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边以的速度移动．
∴AP=2t，BQ=4t，则BP=12-2t，
∴，
∵-4＜0，
∴抛物线的开口向下，
∴当t=3时△BPQ的面积最大，最大值是36
【知识点】配方法的应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）x2-6x+7=x2-6x+9-9+7=（x-3）2-2，
∵ 若，
∴m=-3，n=-2.
故答案为：-3，；-2.
【分析（1）将等式的左边配方可得到，据此可求出m、n的值.
（2）利用点P和点Q的运动方向和速度，可表示出AP，BQ，BP的长，利用三角形的面积公式可得到△PBQ的面积与t的函数解析式，将其函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可求解.
21．（2024九上·惠阳开学考）某大学生创业，购进A、B共300件，进货时发现：8件A商品和4件B商品进货需要72元；4件A商品和3件B商品进货需要38元，设B的件数80≤x≤200，A，B的总售价分别为函数z1，z2.
z1与销售件数之间是一次函数的关系，如下表：
销售件数x 0 1 2 3 4
总售价 0 10 20 30 40
z2与x的函数关系如图所示：
（1）直接写出z1，z2与x的函数关系；
（2）设销售A，B两种商品所获利总利润为y元，求y与x之间的函数解析式；
（3）大学生引进的300件A，B商品全部售完，共获利350元，他计划每件A，B商品捐给学校基金分别捐2m元，m元，捐款数恰好为总成本的10%，求m的值．
【答案】（1）z1=10x，
（2）解：设A商品的进货价为每一件a元，B商品的进货价为每一件e元，根据题意得
解之：
∴A商品的进货价为每一件8元，B商品的进货价为每一件2元，
∴y=z1+z2-8（300-x）-2x=z1+z2+6x-2400，
∴
（3）解：当80≤x≤100时，500≤y≤520，
350不在这个范围内；
当100＜x≤200时。350≤y＜500
350在这个范围内
∴-1.5x+650=350
解之：x=200
∴100×4m+200m=10％×（100×8-200×2）
解之：m=0.2.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）设z1与x的函数解析式为z1=k（300-x）+b，
∵当x=0时z1=0，；当x=1时z1=10
∴
解之：
∴z1=-10x+3000，
当80＜x≤100时
设z2与x的函数解析式为z2=cx+d
解之：
∴z2=3x
当100＜x≤200时，设z2与x的函数解析式为z2=mx+n，
解之：
∴z2=2.5x+50，
∴z1=10x，
【分析】（1）利用表中数据，根据z1与销售件数之间是一次函数的关系，利用待定系数法可求出z1与x的函数解析式；利用函数图象即待定系数法分别求出当80＜x≤100时和当100＜x≤200时z2与x的函数解析式即可.
（2）设A商品的进货价为每一件a元，B商品的进货价为每一件e元，根据已知条件： 8件A商品和4件B商品进货需要72元；4件A商品和3件B商品进货需要38元，可得到方程组，解方程组可求出其解，然后根据y=z1+z2-8（300-x）-2x，可得到y与x的函数解析式.
（3）当80≤x≤100时，500≤y≤520，当100＜x≤200时。350≤y＜500，分别根据共获利350元，可求出x的值；再根据题意可得到关于m的方程，解方程求出m的值.
五、解答题（共2小题，每小题12分，共24分）
22．（2024九上·惠阳开学考）如图，在平面直角坐标系中，函数图象分别交轴，轴于A，两点，过点A的直线交轴正半轴于点，且点为线段的中点．
（1）求直线的函数解析式；
（2）试在直线上找一点，使得，请求出点的坐标；
（3）若点为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵ 函数的图象分别交轴，轴于A，两点，
∴当x=0时y=6，
当y=0时2x+6=0
解之：x=-3，
∴点A（-3，0），点B（0，6），
∴OB=6，
∵点M为OB的中点，
∴OM=OB=3，
∴点M（0，3）
设直线AM的函数解析式为y=kx+b
∴
解之：
∴直线AM的函数解析式为y=x+3
（2）解：∵点P在直线AM上，
∴设点P（m，m+3）
∵点M（0，3），点B（0，6），点A（-3，0），
∴OM=3，OB=6，OA=3，
∴，
∵
∴
解之：m1=3，m2=-9，
∴m+3=6或-6
∴点P的坐标为（3，6）或（-9，-6）
（3）（-3，3）或（3，9）或（-3，-3）
【知识点】平行四边形的判定；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】解：（3）设点N的坐标为（a，c）
∵点M（0，3），点B（0，6），点A（-3，0）
以，，，为顶点的四边形是平行四边形，
当AM为对角线时
∴
解之：
∴点N（-3，-3）
当AB为对角线时
∴
解之：
∴点N（-3，3）
当BM为对角线时
∴
解之：
∴点N（3，9）
综上所述点N的坐标为（-3，3）或（3，9）或（-3，-3）
【分析】（1）利用一次函数解析式，由x=0求出对应的y的值，由y=0求出对应的x的值，可得到点A、B的坐标；由此可求出点M的值，设直线AM的函数解析式为y=kx+b，由点A、M的坐标可求出此函数解析式.
（2）由点P在直线AM上，设点P（m，m+3），利用点M、B、A的坐标可得到OM、OB、OA的长，利用三角形的面积公式求出△AOB的面积，再用含m的代数式表示出△ABP的面积，根据，可得到关于m的方程，解方程求出m的值，可得到点P的坐标.
（3）若点A（a，b），点B的坐标为（m，n），则线段AB的中点坐标为，根据点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，分情况讨论：当AM为对角线时；当BM为对角线时；当AB为对角线时；设点N的坐标为（a，c），利用线段中点坐标公式，可得到关于a、c的方程组，解方程组求出a、c的值，可得到点N的坐标.
23．（2024九上·惠阳开学考）综合探究：
“在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积”．
小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法．
（1）直接写出图1中的面积是______；
（2）若的边长分别为、、（，，且），试运用构图法在图2中画出相应的，并求出的面积．
（3）拓展应用：求代数式：的最小值．
【答案】（1）
（2）解：∵的边长分别为、、（，，且），
∴的三边分别是直角边长为m，的直角三角形的斜边；直角边长为的直角三角形的斜边；直角边长为的直角三角形的斜边，构造三角形如图：
由图可知：S△MNP=；
（3）解：，可以看成平面直角坐标系中轴上一点到点的距离与到点的距离和的最小值，如图：
设，，，
则：，
过点作轴的对称点，
则：，，
当且仅当，，三点共线时，的值最小，即为的长，
∵，，
∴．
∴的最小值为5．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；轴对称的性质；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】
（1）解：由图可得：S△ABC=；
故答案为：；
【分析】
（1）根据三角形的面积等于这个三角形所在的矩形的面积减去三个直角三角形的面积即可求解；
（2）根据题意可知：△MNP的三边分别是直角边长为m，的直角三角形的斜边；直角边长为的直角三角形的斜边；直角边长为的直角三角形的斜边．同（1）的方法即可求解；
（3）根据代数式的特征，可将代数式转化为平面直角坐标系中轴上一点到点的距离与到点的距离和的最小值，结合成轴对称的性质即可求解．
（1）解：由图可知：的面积是；
故答案为：；
（2）的边长分别为、、（，，且），
∴的三边分别是直角边长为m，的直角三角形的斜边；直角边长为的直角三角形的斜边；直角边长为的直角三角形的斜边，构造三角形如图：
由图可知：的面积是；
（3），可以看成平面直角坐标系中轴上一点到点的距离与到点的距离和的最小值，如图：
设，，，则：，
过点作轴的对称点，则：，，当且仅当，，三点共线时，的值最小，即为的长，
∵，，
∴．
∴的最小值为5．
1 / 1广东省惠州市惠阳高级中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2024九上·惠阳开学考）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．，，2 B．6，8，10 C．4，5，6 D．5，10，12
2．（2024九上·惠阳开学考）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·惠阳开学考）在 ABCD中，如果∠A+∠C=140°，那么∠C等于（ ）
A．20° B．40° C．60° D．70°
4．（2024九上·惠阳开学考）下列各图象中，（ ）表示y是x的一次函数．
A． B．
C． D．
5．（2024九上·惠阳开学考）用配方法解方程 ，下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九上·惠阳开学考）为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得苗高（单位：cm）的平均数与方差为： = =13， = =15：s甲2=s丁2=3.6，s乙2=s丙2=6.3．则麦苗又高又整齐的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．（2024九上·惠阳开学考）如图，在中，点在上，，于点，是的中点，连接，若，，则的长为（ ）
A．6 B．3 C．1.5 D．1
8．（2024九上·惠阳开学考）如图， 为等腰三角形，如果把它沿底边 翻折后，得到 ，那么四边形ABDC为（ ）
A．一般平行四边形 B．正方形
C．矩形 D．菱形
9．（2024九上·惠阳开学考）如图，直线 与 相交于点 ，点 的横坐标为 ，则关于 的不等式 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024九上·惠阳开学考）如图，在四边形中，，，于点，如果四边形的面积为8，那么的长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．（2024九上·惠阳开学考）要使式子 有意义，则a的取值范围为 ．
12．（2024九上·惠阳开学考）已知a，b是两个连续的整数，若，则 .
13．（2024九上·惠阳开学考）菱形的两条对角线长分别是方程 的两实根，则菱形的面积为 ．
14．（2024九上·惠阳开学考）如图，在矩形中，是上一点，，，则的度数是 ．
15．（2024九上·惠阳开学考）在平面直角坐标系中，正方形、、，…，按在图所示的方式放置．点、、，…和、、，…分别在直线和轴上．已知，，则点的坐标是 ；点的坐标是 ．
三、解答题（共3小题，每小题8分，共24分）
16．（2024九上·惠阳开学考）解答
（1）计算；
（2）解方程．
17．（2024九上·惠阳开学考）已知的周长为，其中，．
（1）求的长度；
（2）判断是否为直角三角形，并说明理由．
18．（2024九上·惠阳开学考）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAC，CF平分∠ACD．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AB=AC，请判断四边形AECF的形状，并说明理由．
四、解答题（共3小题，每小题9分，共27分）
19．（2024九上·惠阳开学考）某学校七八两个年级各有学生500人．为了普及冬奥如识．学校在七八年级举行了一次冬奥知识竞赛，为了解这两个年级学生的冬奥知识竞赛成绩（百分制），分别从两个年级各随机抽取了20名学生的成绩进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a、七八年级的样本成绩分布如下：
七 0 0 0 0 4 3 7 4 2 0
八 1 1 0 0 0 4 6 5 2 1
（说明：成绩在50分以下为不合格．在分为合格，70分及以上为优秀）
b、七年级成绩在一组的是：61，62，63，65，66，68，69
c、七八年级成绩的平均数、中位数、优秀率、合格率如下：
年级 平均数 中位数 优秀率 合格率
七 64.7
八 63.3 67
根据以上信息，回答下列问题：
（1）上述表中 ， ；
（2）小军的成绩在此次抽样之中，与他所在的年级的抽样相比，小军的成绩高于平均数，却排在了后十名，则小军是 年级的学生；（选填“七”或“八”）
（3）根据样本数据，请估计参加这次竞赛活动优秀学生人数；
（4）根据样本数据，你认为哪个年级的竞赛成绩更好，请说明理由．
20．（2024九上·惠阳开学考）配方
（1）若，则 ， ；
（2）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边以的速度移动．如果、两点分别从、两点同时出发，同时停止运动．设动点运动时间为，当为何值时，的面积最大？求该最大值．
21．（2024九上·惠阳开学考）某大学生创业，购进A、B共300件，进货时发现：8件A商品和4件B商品进货需要72元；4件A商品和3件B商品进货需要38元，设B的件数80≤x≤200，A，B的总售价分别为函数z1，z2.
z1与销售件数之间是一次函数的关系，如下表：
销售件数x 0 1 2 3 4
总售价 0 10 20 30 40
z2与x的函数关系如图所示：
（1）直接写出z1，z2与x的函数关系；
（2）设销售A，B两种商品所获利总利润为y元，求y与x之间的函数解析式；
（3）大学生引进的300件A，B商品全部售完，共获利350元，他计划每件A，B商品捐给学校基金分别捐2m元，m元，捐款数恰好为总成本的10%，求m的值．
五、解答题（共2小题，每小题12分，共24分）
22．（2024九上·惠阳开学考）如图，在平面直角坐标系中，函数图象分别交轴，轴于A，两点，过点A的直线交轴正半轴于点，且点为线段的中点．
（1）求直线的函数解析式；
（2）试在直线上找一点，使得，请求出点的坐标；
（3）若点为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（2024九上·惠阳开学考）综合探究：
“在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积”．
小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法．
（1）直接写出图1中的面积是______；
（2）若的边长分别为、、（，，且），试运用构图法在图2中画出相应的，并求出的面积．
（3）拓展应用：求代数式：的最小值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵，∴
∴，
∴不能构成直角三角形，故A不符合题意；
B、∵62+82=100，102=100，
∴62+82=102，
∴能构成直角三角形，故B符合题意；
C、∵42+52=41，62=36，
∴42+52≠62，
∴不能构成直角三角形，故C符合题意；
D、∵52+102=125，122=144，
∴102+52≠122，
∴不能构成直角三角形，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】分别求出每一个选项中较小两个数的平方和及较大数的平方，若较小两个数的平方和=较大数的平方，则能构成直角三角形，即可求解.
2．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、被开方数含分母，故A错误；
B、被开方数含分母，故B错误；
C、被开方数含能开得尽方的因数，故C错误；
D、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故D正确；
故选：D．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
3．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，
∵∠A+∠C=140°，
∴2∠C=140°，
∴∠C=70°，
故选D．
【分析】根据“平行四边形的对角相等”的性质推知∠A=∠C，则易求∠C=70°．
4．【答案】A
【知识点】函数的概念
【解析】【解答】解：A、∵此图象是一条直线，
∴y是x的一次函数，故A符合题意；
B、由图象可知，x取一个值，y有两个值与之对应，
∴y不是x的函数；
C、由图象可知，出现了x取一个值，y有两个或三个值与之对应，
∴y不是x的函数，故C不符合题意；
D、由图象可知，出现了x取一个值，y有两个值与之对应，
∴y不是x的函数；
故答案为：A.
【分析】利用函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有惟一确定的值与其对应，可排除B、C、D，再利用一次函数的图象是一条直线，可对A作出判断.
5．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】移项，得：x2-4x=-2，
配方：x2-4x+4=-2+4，
即（x-2）2=2．
故答案为：A．
【分析】将常数项移到方程的右边，然后在方程得的左右两边都加上一次项系数一半的平方4，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项即可。
6．【答案】D
【知识点】常用统计量的选择；分析数据的波动程度
【解析】【解答】∵ = ＞ = ，
∴乙、丁的麦苗比甲、丙要高，
∵s甲2=s丁2＜s乙2=s丙2，
∴甲、丁麦苗的长势比乙、丙的长势整齐，
综上，麦苗又高又整齐的是丁，
故答案为：D．
【分析】从平均数来看，乙、丁的麦苗比甲、丙要高，从方差来看，甲、丁麦苗的长势比乙、丙的长势整齐（方差越小，长势越整齐），综上所述可得出答案。
7．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵DC=BC-BD=BC-AB，
∴DC=8-5=3，
∵BD=AB，BM⊥AD，
∴BM是中线，
∴点M是AD的中点，
∵点N是AC的中点，
∴MN是△ADC的中位线，
∴MN=DC=×3=1.5.
故答案为：C.
【分析】利用已知可求出DC的长，再利用等腰三角形三线合一的性质可证得点M是AD的中点，由此可推出MN是△ADC的中位线，然后利用三角形的中位线定理可求出MN的长.
8．【答案】D
【知识点】菱形的判定；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵△ABC为等腰三角形，
∴AB=AC，
根据折叠可得BD=AB，AC=DC，
∴AB=BD=DC=AC，
∴四边形ABDC是菱形，
故答案为：D．
【分析】根据△ABC是等腰三角形可得AB=AC，再根据折叠的性质，可证BD=AB，AC=DC，就可证得AB=BD=CD=AC，即可判断出四边形ABCD的形状。
9．【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】由图像可知当x<-1时， ，
∴可在数轴上表示为：
故答案为：C.
【分析】利用一次函数与不等式的关系求解即可。
10．【答案】C
【知识点】矩形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点C作CF⊥BE于点F，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB=∠BFC=∠CFE=90°，∠A+∠ABE=90°，
∵∠ADC=∠CFE=∠FED=90°，
∴四边形CFED是矩形，
∴DE=CF，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠FBC=90°，
∴∠A=∠FBC，
在△ABE和△BCF中
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴AE=BF，BE=CF=DE，S△ABE=S△BCF，
∵S四边形ABCD=2S△ABE+S矩形DEFC=8，
∴
解之：.
故答案为：C.
【分析】过点C作CF⊥BE于点F，利用垂直的定义可证得∠AEB=∠BFC=∠CFE=90°，∠A+∠ABE=90°，结合已知条件可证得四边形CFED是矩形，利用矩形的性质可推出DE=CF，利用余角的性质可证得∠A=∠FBC；再利用AAS证明△ABE≌△BCF，利用全等三角形的性质可得到AE=BF，BE=CF=DE，S△ABE=S△BCF，根据S四边形ABCD=2S△ABE+S矩形DEFC，可求出BE的长.
11．【答案】a≥﹣2且a≠0
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得：a+2≥0且a≠0，
解得：a≥﹣2且a≠0．
故答案为：a≥﹣2且a≠0．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
12．【答案】
【知识点】无理数的估值；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵ a，b是两个连续的整数，
即，
∴a=2，b=3，
.
故答案为：.
【分析】利用估算无理数大小的方法，可得到，可求出a，b的值，再将a、b的值代入代数进行计算.
13．【答案】24
【知识点】一元二次方程的根；菱形的性质
【解析】【解答】解：x2﹣14x+48=0，则有（x-6）(x-8)=0解得：x=6或x=8．所以菱形的面积为：（6×8）÷2=24．菱形的面积为：24．故答案为：24．
【分析】解出方程的根，菱形的面积公式为对角线乘积的一半。
14．【答案】15°
【知识点】矩形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵AE=AB，
∴∠AEB=∠ABE，
∵矩形ABCD，
∴AB∥DC，∠D=∠C=90°，
∴∠ABE=∠BEC=∠AEB，
∵AB=2AD，
∴AE=2AD，
∴∠AED=30°，
∵∠AED+∠AEB+∠BEC=180°即30°+2∠BEC=180°，
解之：∠BEC=75°，
∴∠EBC=90°-∠BEC=90°-75°=15°.
故答案为：15°.
【分析】利用等边对等角可证得∠AEB=∠ABE，利用矩形的性质和平行线的性质可推出∠D=∠C=90°，∠ABE=∠BEC=∠AEB，由此可证得AE=2AD，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出∠AED=30°，据此可求出∠BEC的度数；然后利用直角三角形的两锐角互余可求出∠EBC的度数.
15．【答案】；
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；探索规律-函数上点的规律
【解析】【解答】解：连接A1C1，A2C2，A3C3，分别交x轴于点D，E，F，
∵正方形、、，…，按在图所示的方式放置，
∴点A1和点C1，点A2和点C2关于x轴对称，
∵，，
∴A1（1，1）即，即，
设B2F=m，则，
∴点A3（5+m，m），
∵ 点、、，……分别在直线，
∴
解之：
∴；
将点代入函数解析式得
解之：，
∴
∴点即；
∴点An
故答案为：；.
【分析】连接A1C1，A2C2，A3C3，分别交x轴于点D，E，F，利用已知可得到点A1和点C1，点A2和点C2关于x轴对称，可求出点A1，A2的坐标，观察两个点的坐标特点，可得到A1，A2，设B2F=m，可表示出OF的长，可得到点A3的坐标；根据点、、，……分别在直线，将两点坐标代入函数解析式可得到关于k，b的方程组，解方程组求出k，b的值，可得到一次函数解析式，再将点A3的坐标代入函数解析式，可求出m的值，可得到点A3的坐标，根据其规律可得到点An的坐标.
16．【答案】（1）解：原式=
（2）解：将方程转化为（x+3）（x-2）=0
∴x+3=0或x-2=0
解之：x1=-3，x2=2
【知识点】因式分解法解一元二次方程；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）此题的运算顺序为：先算乘方和开方运算，同时化简绝对值，再去括号，然后合并即可.
（2）观察方程特点：右边为0，左边可以分解因式，因此利用因式分解法求出方程的解.
17．【答案】（1）解：∵的周长为，，，
∴
（2）解：∵，AB2=16，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形
【知识点】二次根式的应用；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）根据AC=ABC的周长-AB-BC，代入计算可求出AC的长.
（2）先求出AC2+BC2和AB2的值，再证明AC2+BC2=AB2，利用勾股定理的逆定理可证得结论.
18．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
平分平分，
，
在和中，
．
（2）解：四边形AECF是矩形，理由如下：
四边形ABCD是平行四边形，
由（1）可知：，
四边形AECF是平行四边形，
平分，
平行四边形AECF是矩形．
【知识点】三角形全等的判定；全等三角形的应用；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】本题主要考查平行四边形的性质与判定，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定等基础知识，属于中档题型.
（1）根据四边形ABCD是平行四边形，可得：进而得到：再根据已知条件AE平分∠BAC，CF平分∠ACD． 得到再根据三角形全等的判定定理可得到：；
（2）根据（1）的结论可得：可得到：四边形AECF是平行四边形，又平分，可证得：，进而即可证明结论.
19．【答案】（1）64；30％
（2）八
（3）解：根据题意得
答：参加这次竞赛活动优秀学生有350人
（4）解：从平均数上七年级的竞赛成绩更好
理由：
∵64.7＞63.3，
，∴七年级的较高，
从数据的离散程度上看七年级较整齐，
七年级的竞赛成绩更好
从中位数上看
∵64＜67，
八年级成绩的中位数高与七年级成绩的中位数；
从表中数据可知八年级的优秀率和合格率都高于七年级，
∴八年级大部分学生的成绩较好，
∴八年级的竞赛成绩更好
【知识点】中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）七年级一共抽取20人，将其成绩从小到大排列第11个和第12个数是63，65，
∴中位数为；
∵70分及以上为优秀，
∴.
故答案为：64；30％.
（2）∵八年级的成绩的平均数为63.3，八年级成绩的中位数是67，
∴平均数小于中位数，
∵小军的成绩高于平均数，却排在了后十名，
∴小军是八年级的学生.
故答案为：八.
【分析】（1）利用中位数的计算方法求出m的值，然后求出n的值.
（2）从两个年级的平均数和中位数上进行分析，可得答案.
（3）利用参加这次竞赛活动优秀学生人数=两个年级的总人数×两个年级的优秀率之和，列式计算即可.
（4）从表中数据：平均数，中位数，优秀率、合格率上进行分析即可作出判断.
20．【答案】（1）-3；-2
（2）解：∵ 动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边以的速度移动．
∴AP=2t，BQ=4t，则BP=12-2t，
∴，
∵-4＜0，
∴抛物线的开口向下，
∴当t=3时△BPQ的面积最大，最大值是36
【知识点】配方法的应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）x2-6x+7=x2-6x+9-9+7=（x-3）2-2，
∵ 若，
∴m=-3，n=-2.
故答案为：-3，；-2.
【分析（1）将等式的左边配方可得到，据此可求出m、n的值.
（2）利用点P和点Q的运动方向和速度，可表示出AP，BQ，BP的长，利用三角形的面积公式可得到△PBQ的面积与t的函数解析式，将其函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可求解.
21．【答案】（1）z1=10x，
（2）解：设A商品的进货价为每一件a元，B商品的进货价为每一件e元，根据题意得
解之：
∴A商品的进货价为每一件8元，B商品的进货价为每一件2元，
∴y=z1+z2-8（300-x）-2x=z1+z2+6x-2400，
∴
（3）解：当80≤x≤100时，500≤y≤520，
350不在这个范围内；
当100＜x≤200时。350≤y＜500
350在这个范围内
∴-1.5x+650=350
解之：x=200
∴100×4m+200m=10％×（100×8-200×2）
解之：m=0.2.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）设z1与x的函数解析式为z1=k（300-x）+b，
∵当x=0时z1=0，；当x=1时z1=10
∴
解之：
∴z1=-10x+3000，
当80＜x≤100时
设z2与x的函数解析式为z2=cx+d
解之：
∴z2=3x
当100＜x≤200时，设z2与x的函数解析式为z2=mx+n，
解之：
∴z2=2.5x+50，
∴z1=10x，
【分析】（1）利用表中数据，根据z1与销售件数之间是一次函数的关系，利用待定系数法可求出z1与x的函数解析式；利用函数图象即待定系数法分别求出当80＜x≤100时和当100＜x≤200时z2与x的函数解析式即可.
（2）设A商品的进货价为每一件a元，B商品的进货价为每一件e元，根据已知条件： 8件A商品和4件B商品进货需要72元；4件A商品和3件B商品进货需要38元，可得到方程组，解方程组可求出其解，然后根据y=z1+z2-8（300-x）-2x，可得到y与x的函数解析式.
（3）当80≤x≤100时，500≤y≤520，当100＜x≤200时。350≤y＜500，分别根据共获利350元，可求出x的值；再根据题意可得到关于m的方程，解方程求出m的值.
22．【答案】（1）解：∵ 函数的图象分别交轴，轴于A，两点，
∴当x=0时y=6，
当y=0时2x+6=0
解之：x=-3，
∴点A（-3，0），点B（0，6），
∴OB=6，
∵点M为OB的中点，
∴OM=OB=3，
∴点M（0，3）
设直线AM的函数解析式为y=kx+b
∴
解之：
∴直线AM的函数解析式为y=x+3
（2）解：∵点P在直线AM上，
∴设点P（m，m+3）
∵点M（0，3），点B（0，6），点A（-3，0），
∴OM=3，OB=6，OA=3，
∴，
∵
∴
解之：m1=3，m2=-9，
∴m+3=6或-6
∴点P的坐标为（3，6）或（-9，-6）
（3）（-3，3）或（3，9）或（-3，-3）
【知识点】平行四边形的判定；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】解：（3）设点N的坐标为（a，c）
∵点M（0，3），点B（0，6），点A（-3，0）
以，，，为顶点的四边形是平行四边形，
当AM为对角线时
∴
解之：
∴点N（-3，-3）
当AB为对角线时
∴
解之：
∴点N（-3，3）
当BM为对角线时
∴
解之：
∴点N（3，9）
综上所述点N的坐标为（-3，3）或（3，9）或（-3，-3）
【分析】（1）利用一次函数解析式，由x=0求出对应的y的值，由y=0求出对应的x的值，可得到点A、B的坐标；由此可求出点M的值，设直线AM的函数解析式为y=kx+b，由点A、M的坐标可求出此函数解析式.
（2）由点P在直线AM上，设点P（m，m+3），利用点M、B、A的坐标可得到OM、OB、OA的长，利用三角形的面积公式求出△AOB的面积，再用含m的代数式表示出△ABP的面积，根据，可得到关于m的方程，解方程求出m的值，可得到点P的坐标.
（3）若点A（a，b），点B的坐标为（m，n），则线段AB的中点坐标为，根据点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，分情况讨论：当AM为对角线时；当BM为对角线时；当AB为对角线时；设点N的坐标为（a，c），利用线段中点坐标公式，可得到关于a、c的方程组，解方程组求出a、c的值，可得到点N的坐标.
23．【答案】（1）
（2）解：∵的边长分别为、、（，，且），
∴的三边分别是直角边长为m，的直角三角形的斜边；直角边长为的直角三角形的斜边；直角边长为的直角三角形的斜边，构造三角形如图：
由图可知：S△MNP=；
（3）解：，可以看成平面直角坐标系中轴上一点到点的距离与到点的距离和的最小值，如图：
设，，，
则：，
过点作轴的对称点，
则：，，
当且仅当，，三点共线时，的值最小，即为的长，
∵，，
∴．
∴的最小值为5．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；轴对称的性质；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】
（1）解：由图可得：S△ABC=；
故答案为：；
【分析】
（1）根据三角形的面积等于这个三角形所在的矩形的面积减去三个直角三角形的面积即可求解；
（2）根据题意可知：△MNP的三边分别是直角边长为m，的直角三角形的斜边；直角边长为的直角三角形的斜边；直角边长为的直角三角形的斜边．同（1）的方法即可求解；
（3）根据代数式的特征，可将代数式转化为平面直角坐标系中轴上一点到点的距离与到点的距离和的最小值，结合成轴对称的性质即可求解．
（1）解：由图可知：的面积是；
故答案为：；
（2）的边长分别为、、（，，且），
∴的三边分别是直角边长为m，的直角三角形的斜边；直角边长为的直角三角形的斜边；直角边长为的直角三角形的斜边，构造三角形如图：
由图可知：的面积是；
（3），可以看成平面直角坐标系中轴上一点到点的距离与到点的距离和的最小值，如图：
设，，，则：，
过点作轴的对称点，则：，，当且仅当，，三点共线时，的值最小，即为的长，
∵，，
∴．
∴的最小值为5．
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