三角函数 全章知识梳理
1.任意角的概念
（1）我们把角的概念推广到任意角，任意角包括正角、负角、零角.规定如下：
正角：按逆时针方向旋转形成的角.
负角：按顺时针方向旋转形成的角.
零角：如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角.
（2）终边相同的角：与终边相同的角可以表示为.
2.弧度与角度的互化
（1）1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角.
（2）角的弧度数公式：. （3）角度与弧度的换算
（4）扇形的弧长及面积公式：弧长公式：. 面积公式：.
3.象限角
第一象限角的集合
第二象限角的集合
第三象限角的集合
第四象限角的集合
4.轴线角
终边落在轴非负半轴
终边落在轴非负半轴
终边落在轴非正半轴 或
终边落在轴非正半轴 或
终边落在轴
终边落在轴 或
终边落在坐标轴
5.终边相同的角
所有与角终边相同的角为
1.三角函数
（1）任意角的三角函数的定义
设角终边上任意一点P（原点除外）的坐标为，它与原点的距离为r，则.
2.单位圆及单位圆定义法
（1）单位圆定义
半径为单位1，圆心在原点的圆，叫做单位圆；单位圆在三角函数中经常需要使用到，一定要熟记单位圆性质。
（2）单位圆定义法：
如图,设是一个任意角,,
它的终边与单位圆相交于点
①正弦函数：把点的纵坐标叫做的正弦函数,记作,即
②余弦函数：把点的横坐标叫做的余弦函数,记作,即
③正切函数：把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切,记作,
即()
我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数
3.三角函数值在各象限内的符号
上述符号规律可简记为：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
4. 终边相同的角的三角函数
即终边相同的角的同一三角函数值相等.
5.同角三角函数关系
（1）平方关系：.
（2）商数关系：.
6.三角函数线
设角（假设为第一象限角）的终边与单位圆相交点，由点向轴做垂线，垂足为点，由点作单位圆的切线与终边相交于点。如下图所示：
在中：
为正弦线，长度为正弦值。
为余弦线，长度为余弦值。
在中：。
为正切线，长度为正切值。
各象限内角的三角函数线如下表：
角的终边所在的象限 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
图形
当角的终边与x轴重合时，正弦线、正切线分别变成一个点，此时角的正弦值和正切值都为0，当角的正弦值都为0，
当角的终边与y轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角的余弦值为0，正切值不存在.
1.诱导公式
函数 角 正弦 余弦 正切
2.诱导口诀理解
角“”的三角函数的记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限.”
为了方便叙述，把“”叫做整体角，“”叫做确定角（必须是“”的整数倍），“ɑ”叫做未知角（当成锐角）
奇变偶不变：“奇、偶”指的是确定角是“”的奇数倍还是偶数倍；“变、不变”指的是函数名是否要改变，需要改变时，按如下：
sin ɑ cos ɑ，cos ɑ sin ɑ ，tan ɑ cot ɑ
（2）符号看象限：先看整体角在哪个象限，化简结果的正负性与整体角所在象限的原名函数正负性相同；
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
（1）正弦函数的图像中，五个关键点：.
正弦函数,的图象叫做正弦曲线.
（2）余弦函数的图像中，五个关键点：
，.
余弦函数,的图象叫做余弦曲线.
2.用“五点法”画在一个周期内的简图
用五点画图法画在一个周期内的简图时，一般先列表，后描点，连线，其中所列表如下：
0
0 0 - 0
3.用几何法作正弦函数和余弦函数的简图
（1）在单位圆上，将点绕着点旋转弧度至点，根据正弦函数的定义，点的纵坐标 由此，以为横坐标，为纵坐标画点,即得到函数图象上的点。
（2）将函数，的图象不断向左、向右平行移动(每次移动个单位长度)。
（3）要得到，的图象，只需把，的图象向左平移个单位长度即可,这是因为。
4正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质
函数 性质
定义域 R R
图像
值域 R
对称性 对称轴： 对称中心： 对称轴： 对称中心： 对称中心：
最小正周期
单调性 单调增区间： 单调减区间： 单调增区间： 单调减区间： 单调增区间：
奇偶性 奇 偶 奇
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）；
（2）；
（3）.
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）；
（2）
（3）.
3.降幂公式
（1）；
（2）
4.半角公式
（1）
（2）
（3）
5.万能公式
（1）（2）（3）
6.辅助角公式
其中
7.其他常用变形
；
；
8.角的拆分与组合
（1）用已知角表示未知角
例如，
（2）互余与互补关系
例如， .
（3）非特殊角转化为特殊角
例如，.
1.用“五点法”画在一个周期内的简图
用五点画图法画在一个周期内的简图时，一般先列表，后描点，连线，其中所列表如下：
0
0 0 - 0
对于复合函数， 第一步：将看做一个整体，用五点法作图列表时，分别令等于，，，，，对应的则取，，，，。，（如上表中，先列出后两行） 第二步：逆向解出（如上表中） 第三步：得到五个关键点为，，，，
2.的物理意义
振幅 周期 频率 相位 初相
3.由函数的图像变换得到图像的步骤
上述两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是个单位.原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言的.
特别提醒
（1）平移前后两个三角函数的名称如果不一致，应先利用诱导公式化为同名函数。
（2）为负值时应先变成正值。
4.根据图象求解析式
形如的解析式求法：
（1）的求法：
①观察法：代表偏离平衡位置的最大距离；平衡位置.
②代数法：记的最大值为,最小值为；则：，联立求解.
（2）的求法：通过观察图象，计算周期，利用公式，求出.
（3）的求法：
①第一关键点法：通过观察图象找出第一关键点，将第一关键点代入求解.
（第一关键点判断方法：图象呈上升状态与平衡位置的交点,且该点离轴最近）
②最值代入法：通过观察图象的最高点（或者最低点）代入解析式求解.
③特殊点法：当图象给出的信息缺乏①②中的条件，可以寻找图象的其它特殊点代入解析式求解，但用此法求解，若有多个答案注意根据条件取舍答案.
1.的物理意义
当用来描述一个振动时，即简谐运动，各常数含义如表。 振幅 周期 频率 相位 初相
它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离 它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间 它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数 对应时的相位 时的相位称为初相
2.应用三角函数模型解决问题的一般程序
应用三角函数模型解决问题时，要先把实际问题抽象为数学问题，通过分析变化对象及其规律，找出对应周期及起始相位，建立适当的三角函数模型，解决问题的一般程序如下：
（1）审题，先审清楚题目条件、要求、理解数学关系。
（2）建模，分析题目特性，选择适当的三角函数模型。
（3）求解，对所建立的三角函数模型进行分析研究得到数学结论。
（4）还原，把数学结论还原为实际问题的解答。三角函数 考点题型归纳训练
（一）全章思维导图、体系构建
（二）考点题型归纳讲练
【考点题型1】任意角与弧度转换、单位圆相关
1.在半径为10的圆中，的圆心角所对弧长为( )
A. B. C. D.
【答案】A.
【分析】利用弧长公式即可得出结论．
【解答】解：，，根据弧长公式可得：.
故选：A.
2.（2022·西藏林芝市第二高级中学高一期末）的角化为弧度制的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C.
【分析】利用角度制与弧度制的互换关系，即可得出结果．
【解答】．
故选：C.
3．（2022 甲卷）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，CD⊥AB．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：s＝AB+．当OA＝2，∠AOB＝60°时，s＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B.
【分析】由已知求得AB与CD的值，代入s＝AB+得答案．
【解答】解：∵OA＝OB＝2，∠AOB＝60°，∴AB＝2，
∵C是AB的中点，D在上，CD⊥AB，
∴延长DC可得O在DC上，CD＝OD﹣OC＝2﹣，
∴s＝AB+＝2+＝2+＝．
故选：B．
4．(2023·九江模拟)如图1是杭州第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，钱塘江和钱江潮头是会徽的形象核心，绿水青山展示了浙江杭州山水城市的自然特质，江潮奔涌表达了浙江儿女勇立潮头的精神气质，整个会徽形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展，如图2是会徽的几何图形，设弧AD的长度是l1，弧BC的长度是l2，几何图形ABCD的面积为S1，扇形BOC的面积为S2，若＝2，则等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C.
【解答】设∠AOD＝θ，则l1＝θ·OA，l2＝θ·OB，所以＝＝2，即OA＝2OB，
所以＝＝＝3.
故选：C.
【考点题型2】任意角的三角函数定义、同角三角函数关系
5．已知角α的终边经过点，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】由任意角三角函数的定义可得结果.
【解答】依题意得.
故选：D.
6．若角α的终边经过点P(1，)，则cos α＋tan α的值为( )
A. B．
C. D．
【答案】A
【解答】因为角α的终边经过点P(1，)，所以x＝1，y＝，r＝|OP|＝2，所以cos α＝＝，tan α＝＝，所以cos α＋tan α＝.
故选A.
7．若＝3，则cos α－2sin α＝( )
A．－1 B．1
C．－ D．－1或－
【答案】C.
【解答】由已知得sin α≠0，且3sin α＝1＋cos α＞0，即cos α＝3sin α－1，则cos2α＝1－sin2α＝(3sin α－1)2，解得sin α＝，∴cos α－2sin α＝3sin α－1－2sin α＝sin α－1＝－，
故选C.
8．(2024·南京调研)已知角α终边上有一点P，则π－α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】C.
【解答】因为是第二象限角，所以sin >0，cos <0，
所以点P在第四象限，即角α为第四象限角，所以－α为第一象限角，所以π－α为第三象限角．
9．（2022·福建南平·高二期末）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】，
故选：A．
10．（2022·福建·高二学业考试）已知，且为第一象限角，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】因为为第一象限角，，所以．
故选：A．
（2023 重庆模拟）若点在角α的终边上，则
cos2α＝ ．
【答案】
【分析】由题意，利用任意角的三角函数的定义，求得cosα的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos2α的值．
【解答】解：因为点，即在角α的终边上，且|OM|＝1，
所以，则．
故答案为：．
12．（2022·河北省三河市第二中学高一期末）已知，且，则______.
【答案】
【解答】由题意，，
因为，所以，则，所以.
故答案为：.
13．（2022·全国·高三专题练习）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】，则，
故
又，故
故选：A
【考点题型3】诱导公式、诱导口诀相关问题
14.已知，则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解答】.
故选：D.
15. （多选）已知，则下列等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【分析】利用诱导公式可判断各选项的正误.
【解答】，，
，，
故选：AB.
16. 若，则______．
【答案】
【分析】根据给定条件利用诱导公式求解即得.
【解答】因，则，即，
所以.
故答案为：
17．（2022·广西梧州·高二期末（理））已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】，
故选：A.
18．（2023 韶关二模）已知锐角α满足，则sin（π﹣α）＝ ．
【答案】
【分析】利用二倍角的正切公式化简已知等式可得2tan2α﹣3tanα﹣2＝0，解方程可求tanα的值，利用同角三角函数基本关系式以及诱导公式即可求解．
【解答】解：因为锐角α满足tan2α＝＝，整理可得2tan2α﹣3tanα﹣2＝0，
所以tanα＝＝2或﹣（舍去），
可得cosα＝sinα，
所以sin2α+cos2α＝sin2α+（sinα）2＝1，解得sinα＝，
则sin（π﹣α）＝sinα＝．
故答案为：．
19．（2022·江西赣州·二模（文））已知角终边上一点，则（ ）
A． B． C．3 D．5
【答案】C.
【解答】因为角终边上一点，
所以，又，
故选：C.
20．（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）已知角，，则______.
【答案】
【分析】化简，即可得到，再根据的范围，即可求出结果.
【解答】，，，，，，，，则.
故答案为：.
21．（2022·全国·高一课时练习）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过函数（且）的定点M.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1) (2)
【解答】（1）∵函数（且）的定点M的坐标为，
∴角的终边经过点，
∴（O为坐标原点），
根据三角函数的定义可知，，
∴.
（2).
【考点题型4】三角函数图象与性质及扩展
22. 已知函数.
（1）求函数周期及其单调递增区间；
（2）当时，求的最大值和最小值.
【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为；（2）最大值为，最小值为 .
【分析】（1）首先根据三角恒等变换可得，根据周期公式即可求出周期；然后再令，即可求出函数的单调递增区间；
（2）由题意可知，进而，由此即可求出函数的最值.
【解答】因为
所以； 所以的最小正周期为；
令，所以
所以的单调递增区间为；
（2），所以
所以，所以的最大值为，最小值为 ;
23. (1)利用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间的简图.
列表:
x
y
作图:
(2)并说明该函数图象可由的图象经过怎么变换得到的.
(3)求函数图象的对称轴方程.
【答案】(1)见解析(2) 见解析(3) .
【分析】(1)先列表如图确定五点的坐标，后描点并画图，利用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间的简图；
(2)依据的图象上所有的点向左平移个单位长度，的图象，再把所得图象的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，再把所得图象的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到的图象；
(3)令，求出即可.
【解答】解:（1）先列表,后描点并画图
0
x
y 0 1 0 -1 0
；
（2）把的图象上所有的点向左平移个单位, 再把所得图象的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,得到的图象，即的图象；
（3）由，
所以函数的对称轴方程是.
24.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若函数在区间上是单调增函数，则实数可能的取值为( )
A. B.3 C. D.2
【答案】C.
【解答】解：因为将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，所以当时，因为函数在区间上是单调增函数，所以，解得
故选：C
25.已知函数满足.
（1）求函数的解析式及最小正周期；
（2）函数的图象是由函数的图象向左平移个单位长度得到，若，求的最小值.
【答案】（1），； （2）
【解答】（1），，而，
，即，的最小正周期为：；
（2）由题意，，
，由，得，
，，又，的最小值为.
26．（2023 韶关二模）函数的部分图象如图所示，将函数f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位得到y＝g（x）的图象，则下列说法不正确的是（ ）
函数g（x）的最小正周期为π B．函数g（x）在上单调递增
C．函数g（x）的一个极值点为 D．函数g（x）的一个零点为
【答案】B.
【分析】根据图象确定f（x）的解析式，然后根据变换得到，对应y＝sinx的性质判断各个选项即可．
【解答】解：由图可知，，所以T＝4，；
一条对称轴为，所以 ，
因为 ，所以，故 ，
所以，
所以g（x）的图象的最小正周期为T＝π，A正确；
因为，所以，则g（x）在上单调不单调，B错误；
对于C：令，
k＝0时，函数g（x）的一个极值点为，所以C正确；
对于D：令 ，
令k＝0，则函数g（x）的一个零点为﹣，所以D正确．
故选：B．
27．（2023 乌鲁木齐模拟）如图所示的曲线为函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象，将y＝f（x）图象上的所有点的横坐标伸长到原来的倍，再将所得曲线向左平移个单位长度．得到函数y＝g（x）的图象，则（ ）
A．直线为g（x）图象的一条对称轴
B．点（，0）为g（x）图象的一个对称中心
C．函数g（x）的最小正周期为2π
D．函数g（x）在[，]上单调递减
【答案】A
【分析】由函数图象可得A＝2，可求f（x）的周期，利用周期公式可求ω的值，由f（）＝2，可解得φ＝2kπ+，k∈Z，结合|φ|＜，可求φ的值，可得函数解析式为f（x）＝2sin（3x+），进而利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换以及余弦函数的性质即可求解．
【解答】解：由函数图象可得A＝2，由＝，可得图中f（x）的最低点为（，﹣2），
由＝，可得图中f（x）的左边最高点为（，2），
所以f（x）的周期T＝2（﹣）＝＝，解得ω＝3，
所以f（x）＝2sin（3x+φ），
因为f（）＝2sin（3×+φ）＝2，可得sin（+φ）＝1，
可得+φ＝2kπ+，k∈Z，解得φ＝2kπ+，k∈Z，
又因为|φ|＜， 所以φ＝，可得f（x）＝2sin（3x+），
将y＝f（x）图象上的所有点的横坐标伸长到原来的倍，得到y＝2sin（2x+） 的图象；
再将所得曲线向左平移个单位长度，得到y＝2sin[2（x+）+]＝2sin（2x+）＝2cos2x＝g（x）的图象，
对于A，g（）＝2cosπ＝﹣1，故直线为g（x）图象的一条对称轴，故正确；
对于B，g（）＝﹣2cos＝﹣≠0，故错误；
对于C，函数g（x）的最小正周期T＝＝π，故错误；
对于D，令2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈Z，解得kπ≤x≤kπ+，k∈Z，当k＝0时，可得g（x）的一个单调递减区间为[0，]，
又＜＜，故错误．
故选：A．
【考点题型5】三角恒等变换相关问题
28．若α，β都是锐角，且sin α＝，sin(α－β)＝，则sin β＝( )
A. B．
C. D．
【答案】B.
【解答】因为sin α＝，α为锐角，所以cos α＝.
因为0＜α＜，0＜β＜，所以－＜α－β＜.
又因为sin(α－β)＝＞0， 所以0＜α－β＜，所以cos(α－β)＝，
所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝×－×＝.
29.已知，，，则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解答】由已知可得，解得
，，，
故选：D.
30.（多选）已知，且，，则( )
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解答】由，得，由，得，即，显然，而，则，对于A，，A错误；对于B，，B正确；对于C，，C正确；
对于D，，则
，D正确.
故选：BCD.
31．（2023·重庆·统考模拟预测）式子化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B.
【分析】利用二倍角公式以及辅助角公式可化简所求代数式.
【解答】原式
.
故选：B.
32.已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则________.
【答案】
【解答】依题意，所以.
故答案为：.
33．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知，，则=（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C.
【分析】根据已知及平方关系可得，再由求值即可.
【解答】由题设，则，
又.
故选：C
34.（多选）设函数，则下列结论正确的是( )
A.的最小正周期为 B.的图象关于直线对称
C.的一个零点为 D.的最大值为1
【答案】ABD
【解答】函数.
对于A，的最小正周期为，故A正确；
对于B，，所以的图象关于直线对称，故B正确；
对于C，，所以不是的一个零点，故C错误；
对于D，函数，则的最大值为1，故D正确.
故选：ABD.
【考点题型6】函数y=Asin（+）应用及图像变换
35．（2023 韶关二模）函数的部分图象如图所示，将函数f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位得到y＝g（x）的图象，则下列说法不正确的是（ ）
A．函数g（x）的最小正周期为π B．函数g（x）在上单调递增
C．函数g（x）的一个极值点为 D．函数g（x）的一个零点为
【答案】B
【分析】根据图象确定f（x）的解析式，然后根据变换得到，对应y＝sinx的性质判断各个选项即可．
【解答】解：由图可知，，所以T＝4，；
一条对称轴为，所以 ，
因为 ，所以，故 ，
所以，
所以g（x）的图象的最小正周期为T＝π，A正确；
因为，所以，则g（x）在上单调不单调，B错误；
对于C：令，
k＝0时，函数g（x）的一个极值点为，所以C正确；
对于D：令 ，
令k＝0，则函数g（x）的一个零点为﹣，所以D正确．
故选：B．
36. 已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为：____________
【答案】
【分析】先根据图象得到振幅和周期，即求得，再根据图象过，求得，得到解析式.
【解答】由图象可知，，故，即.
又由图象过，故，解得，
而，故，所以.
故答案为：.
37．将函数f(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则( )
A．函数f(x)＋g(x)的图象的一个对称中心为
B．函数f(x)·g(x)是奇函数
C．函数f(x)＋g(x)在(0，π)上的单调递减区间是
D．函数f(x)·g(x)的图象的一个对称轴方程为x＝－
【答案】BCD
【解答】将函数f(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到g(x)＝sin 2＝cos 2x.
对于A，f(x)＋g(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin，当x＝时，f(x)＋g(x)＝≠0，故A错误；
对于B，f(x)·g(x)＝sin 2x·cos 2x＝sin 4x，令h(x)＝sin 4x，因为h(－x)＝sin (－4x)＝－h(x)，所以h(x)为奇函数，故B正确；
对于C，f(x)＋g(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin，要求函数的单调递减区间，只需令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，当k＝0时，函数f(x)＋g(x)在(0，π)上的单调递减区间是，故C正确；
对于D，f(x)·g(x)＝sin 2x·cos 2x＝sin 4x，当x＝－时，f(x)·g(x)＝－为最小值，所以x＝－为其中的一个对称轴方程，故D正确．
38. 已知函数的最小正周期为，且.
（1）求和的值.
（2）将函数的图象向右平移个单位长度(纵坐标不变)，得到函数的图象，
①求函数的单调递增区间； ②求函数在上的最大值.
【答案】（1），；（2）①；②最大值为.
【分析】（1）根据正弦型函数的最小正周期公式，结合特殊角的三角函数值进行求解即可；
（2）根据正弦型函数图象的变换性质，得到的解析式.
①根据余弦型函数的单调性进行求解即可；
②根据余弦型函数的最值性质进行求解即可.
【解答】解：（1）的最小正周期为，
所以， 即.
又因为， 所以，因为，所以.
（2）由（1）可知，
函数的图象向右平移个单位长度(纵坐标不变)，
所以.
①由，
得函数的单调递增区间为.
②因为，所以.
当，即时，函数取得最大值，最大值为.
39．（2023 咸阳模拟）已知函数f（x）＝sinωxcosωx﹣ωx（ω＞0）的最小正周期为π，对于下列说法：
①ω＝1；
②f（x）的单调递增区间为，（k∈Z）；
③将f（x）的图象向左平移个单位长度后所得图象关于y轴对称；
④．
其中正确的序号是 ．
【答案】①③④
【分析】先化简为，再根据正弦型函数的性质对各项一一判断即可．
【解答】解：，
对于①：因为T＝π，
∴，解得ω＝1，故①正确；
对于②：，
令，k∈Z，解得，k∈Z，
所以单调递增区间为，k∈Z，故②错误；
对于③：将f（x）图象向左平移个单位得到，
关于y轴对称，故③正确；
对于④：
＝，所以④正确．
故选：①③④．
【考点题型7】三角函数模型应用
40．（2023 滨州二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．假设在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动．现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆O的半径为4米，盛水筒M从点P0处开始运动，OP0与水平面的所成角为30°，且每分钟恰好转动1圈，则盛水筒M距离水面的高度H（单位；m）与时间t（单位：s）之间的函数关系式的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意求得以OM为终边的角，得出M的纵坐标，再求得盛水筒M距离水面的高度H与时间t之间的函数关系式，由此得出函数的图象．
【解答】解：以O为原点，过点O的水平直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，
因为∠xOP0＝30°＝，所以OM在 t（s） 内转过的角为t＝t，
所以以x轴为始边，以OM为终边的角为t﹣，
则点M的纵坐标为4sin（t﹣），
所以点M距水面的高度H（m）表示为时间 t（s） 的函数是H＝4sin（t﹣）+2，
所以高度H与时间t之间的函数关系式图象可能是选项D中所画图象．
故选：D．
41．（2023 广东模拟）如图，均匀的圆面绕圆心O作逆时针方向的匀速旋转，圆面上一初始位置为A点，t秒后转到点B，旋转的角速度为，在旋转圆面的右侧有一固定相机C（C，O两点分别在AB的异侧），且OA＝5m，AC＝7m．
（1）记旋转角为θ，若θ∈（（2n+1）π，2（n+1）π）（n∈N），求t的取值范围及弦AB的长度；
（2）在（1）的条件下，若t＝110s，BC＝8m，求OC的长．
【答案】（1）AB＝10|sint|（2）OC＝m
【分析】（1）延长AO，交⊙O于点D，计算旋转一周所需时间，第一次到达D处时的时间和第二次到达D处的时间，由此求出t的取值范围，在△AOB中，利用余弦定理求出AB的值．
（2）求出t＝100时AB的值，再由余弦定理求得∠ABC，从而求出∠OBC，利用余弦定理即可求得OC的长．
【解答】解：（1）延长AO，交⊙O于点D，由题意知，B在下半圆上，旋转一周所需时间为T＝＝60（s），
第一次到达D处时t＝30s，30＜t＜60时，O、C在AB的异侧，
第二次到达D处时，t＝（30+60）s，所以t∈（30+60n，60+60n），n∈N；
又因为t+∠AOB＝2（n+1）π，所以∠AOB＝2（n+1）π﹣t，
在△AOB中，由余弦定理得，
AB2＝OA2+OB2﹣2OA OB cos∠AOB＝52+52﹣2×5×5×cos[（2n+2）π﹣t]＝50﹣50cost＝50[1﹣（1﹣2sin2t）]＝100sin2t，
所以AB＝10|sint|．
（2）t＝100s，BC＝8时，AB＝10|sin（×110）|＝5，
在△ABC中，由余弦定理得cos∠ABC＝＝＝，
因为0＜∠ABC＜π，所以∠ABC＝，
又因为∠OBC＝∠ABC+∠OBA＝，
在△OBC中，由余弦定理得OC2＝OB2+BC2﹣2OB BC cos∠OBC＝52+82﹣2×5×8×（﹣）＝129，
所以OC＝，即OC＝m．
42．(2023·沈阳模拟)某游乐场中的摩天轮作匀速圆周运动，其中心距地面20.5米，半径为20米．假设从小军同学在最低点处登上摩天轮开始计时，第6分钟时第一次到达最高点．则第10分钟时小军同学离地面的高度为________米．
【答案】10.5
【解答】以摩天轮的中心为坐标原点，平行地面的直径所在的直线为x轴，建立直角坐标系(图略)，设t分钟时的坐标为(x，y)，则转过的角度为t＝t，根据三角函数的定义有y＝20sin＝－20cos t，
当t＝10时，y＝－10，
则第10分钟时小军距离地面的高度大约为20.5－10＝10.5(米)．三角函数 考点题型归纳训练
（一）全章思维导图、体系构建
（二）考点题型归纳讲练
【考点题型1】任意角与弧度转换、单位圆相关
1.在半径为10的圆中，的圆心角所对弧长为( )
A. B. C. D.
2.（2022·西藏林芝市第二高级中学高一期末）的角化为弧度制的结果为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022 甲卷）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，CD⊥AB．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：s＝AB+．当OA＝2，∠AOB＝60°时，s＝（ ）
A． B． C． D．
4．(2023·九江模拟)如图1是杭州第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，钱塘江和钱江潮头是会徽的形象核心，绿水青山展示了浙江杭州山水城市的自然特质，江潮奔涌表达了浙江儿女勇立潮头的精神气质，整个会徽形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展，如图2是会徽的几何图形，设弧AD的长度是l1，弧BC的长度是l2，几何图形ABCD的面积为S1，扇形BOC的面积为S2，若＝2，则等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点题型2】任意角的三角函数定义、同角三角函数关系
5．已知角α的终边经过点，则等于（ ）
A. B. C. D.
6．若角α的终边经过点P(1，)，则cos α＋tan α的值为( )
A. B．
C. D．
7．若＝3，则cos α－2sin α＝( )
A．－1 B．1
C．－ D．－1或－
8．(2024·南京调研)已知角α终边上有一点P，则π－α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
10．（2022·福建·高二学业考试）已知，且为第一象限角，则（ ）
A． B． C． D．
（2023 重庆模拟）若点在角α的终边上，则
cos2α＝ ．
12．（2022·河北省三河市第二中学高一期末）已知，且，则______.
13．（2022·全国·高三专题练习）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【考点题型3】诱导公式、诱导口诀相关问题
14.已知，则( )
A. B. C. D.
15. （多选）已知，则下列等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
16. 若，则______．
17．（2022·广西梧州·高二期末（理））已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
18．（2023 韶关二模）已知锐角α满足，则sin（π﹣α）＝ ．
19．（2022·江西赣州·二模（文））已知角终边上一点，则（ ）
A． B． C．3 D．5
20．（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）已知角，，则______.
21．（2022·全国·高一课时练习）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过函数（且）的定点M.
(1)求的值；
(2)求的值.
【考点题型4】三角函数图象与性质及扩展
22. 已知函数.
（1）求函数周期及其单调递增区间；
（2）当时，求的最大值和最小值.
23. (1)利用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间的简图.
列表:
x
y
作图:
(2)并说明该函数图象可由的图象经过怎么变换得到的.
(3)求函数图象的对称轴方程.
24.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若函数在区间上是单调增函数，则实数可能的取值为( )
A. B.3 C. D.2
25.已知函数满足.
（1）求函数的解析式及最小正周期；
（2）函数的图象是由函数的图象向左平移个单位长度得到，若，求的最小值.
26．（2023 韶关二模）函数的部分图象如图所示，将函数f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位得到y＝g（x）的图象，则下列说法不正确的是（ ）
函数g（x）的最小正周期为π B．函数g（x）在上单调递增
C．函数g（x）的一个极值点为 D．函数g（x）的一个零点为
27．（2023 乌鲁木齐模拟）如图所示的曲线为函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象，将y＝f（x）图象上的所有点的横坐标伸长到原来的倍，再将所得曲线向左平移个单位长度．得到函数y＝g（x）的图象，则（ ）
A．直线为g（x）图象的一条对称轴
B．点（，0）为g（x）图象的一个对称中心
C．函数g（x）的最小正周期为2π
D．函数g（x）在[，]上单调递减
【考点题型5】三角恒等变换相关问题
28．若α，β都是锐角，且sin α＝，sin(α－β)＝，则sin β＝( )
A. B．
C. D．
29.已知，，，则( )
A. B. C. D.
30.（多选）已知，且，，则( )
A. B.
C. D.
31．（2023·重庆·统考模拟预测）式子化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
32.已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则________.
33．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知，，则=（ ）
A． B．2 C． D．
34.（多选）设函数，则下列结论正确的是( )
A.的最小正周期为 B.的图象关于直线对称
C.的一个零点为 D.的最大值为1
【考点题型6】函数y=Asin（+）应用及图像变换
35．（2023 韶关二模）函数的部分图象如图所示，将函数f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位得到y＝g（x）的图象，则下列说法不正确的是（ ）
A．函数g（x）的最小正周期为π B．函数g（x）在上单调递增
C．函数g（x）的一个极值点为 D．函数g（x）的一个零点为
36. 已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为：____________
37．将函数f(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则( )
A．函数f(x)＋g(x)的图象的一个对称中心为
B．函数f(x)·g(x)是奇函数
C．函数f(x)＋g(x)在(0，π)上的单调递减区间是
D．函数f(x)·g(x)的图象的一个对称轴方程为x＝－
38. 已知函数的最小正周期为，且.
（1）求和的值.
（2）将函数的图象向右平移个单位长度(纵坐标不变)，得到函数的图象，
①求函数的单调递增区间； ②求函数在上的最大值.
39．（2023 咸阳模拟）已知函数f（x）＝sinωxcosωx﹣ωx（ω＞0）的最小正周期为π，对于下列说法：
①ω＝1；
②f（x）的单调递增区间为，（k∈Z）；
③将f（x）的图象向左平移个单位长度后所得图象关于y轴对称；
④．
其中正确的序号是 ．
【考点题型7】三角函数模型应用
40．（2023 滨州二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．假设在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动．现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆O的半径为4米，盛水筒M从点P0处开始运动，OP0与水平面的所成角为30°，且每分钟恰好转动1圈，则盛水筒M距离水面的高度H（单位；m）与时间t（单位：s）之间的函数关系式的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
41．（2023 广东模拟）如图，均匀的圆面绕圆心O作逆时针方向的匀速旋转，圆面上一初始位置为A点，t秒后转到点B，旋转的角速度为，在旋转圆面的右侧有一固定相机C（C，O两点分别在AB的异侧），且OA＝5m，AC＝7m．
（1）记旋转角为θ，若θ∈（（2n+1）π，2（n+1）π）（n∈N），求t的取值范围及弦AB的长度；
（2）在（1）的条件下，若t＝110s，BC＝8m，求OC的长．
42．(2023·沈阳模拟)某游乐场中的摩天轮作匀速圆周运动，其中心距地面20.5米，半径为20米．假设从小军同学在最低点处登上摩天轮开始计时，第6分钟时第一次到达最高点．则第10分钟时小军同学离地面的高度为________米．
