2024-2025学年山东省济南市平阴县九年级（上）期中数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年山东省济南市平阴县九年级（上）期中数学试卷（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 706.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 冀教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-22 10:59:22 | ||
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文档简介
2024-2025学年山东省济南市平阴县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，若∠A＝45°，∠CED＝70°，则∠C的度数为（ ）
A．45° B．50° C．60° D．65°
3．（4分）将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（ ）
A．﹣4，21 B．﹣4，11 C．4，21 D．﹣4，﹣21
4．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O．若点A（﹣3，1）的对应点为A′（﹣6，2），则点B（﹣2，4）的对应点B′的坐标为（ ）
A．（﹣4，8） B．（8，﹣4） C．（﹣8，4） D．（4，﹣8）
5．（4分）某校课外活动期间开展跳绳、踢毽子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（4分）学校要组织足球比赛．赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛．根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．x2＝21 B．x（x﹣1）＝21
C．x2＝21 D．x（x﹣1）＝21
7．（4分）如图，点A为反比例函数y＝﹣（x＜0）图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（4分）若点A（x1，﹣1），B（x2，1），C（x3，5）都在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（ ）
A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x3＜x2＜x1 D．x2＜x1＜x3
9．（4分）关于x的方程x2+mx﹣2＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
10．（4分）如图，在正方形纸片ABCD中，E是AB边的中点，将正方形纸片沿EC折叠，点B落在点P处，延长CP交AD于点Q，连结AP并延长交CD于点F．给出以下结论：
①△AEP为等腰三角形；②F为CD的中点；③AP；PF＝4：5；④．其中正确结论是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是 ．
12．（4分）杠杆平衡时，“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为1600N和0.5m，动力为F（N），动力臂为l（m）．则动力F关于动力臂l的函数表达式为 ．
13．（4分）如图，AB与CD交于点O，且AC∥BD．若＝，则＝ ．
14．（4分）反比例函数y＝的图象在第一、三象限，则点（k，﹣3）在第 象限．
15．（4分）已知m是方程x2+4x﹣1＝0的一个根，则（m+5）（m﹣1）的值为 ．
16．（4分）如图，正五边形ABCDE的边长为6，则这个正五边形的对角线AC的长是 ．
三、解答题（共10个小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（6分）解下列方程：
（1）4（x﹣1）2﹣8＝0；
（2）x2﹣10x+16＝0．
18．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，EC与BD相交于点F．
（1）求证：△BFE∽△DFC；
（2）若DB＝6，求BF的长．
19．（6分）古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．在欧几里得的《几何原本》中，形如x2+ax＝b2（a＞0，b＞0）的方程的图解法是：如图，以和b为两直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取BD＝，则AD的长就是所求方程的解．
（1）请用含字母a、b的代数式表示AD的长．
（2）请利用你已学的知识说明该图解法的正确性，并说说这种解法的遗憾之处．
20．（8分）某种玻璃原材料需在0℃环境保存，取出后匀速加热至600℃高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温30℃加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于480℃玻璃温度y（℃）与时间x（min）的函数图象如下，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，回答下列问题：
（1）玻璃加热速度为 ℃/min；
（2）求能够对玻璃进行加工的时长；
（3）玻璃从600℃降至室温30℃需要的时间为 min．
21．（8分）一个不透明的袋子中共装有五个小球，其中3个红球，1个白球，1个黄球．这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，记作随机摸球1次．
（1）随机摸球10次，其中摸出黄球3次，则这10次摸球中，摸出黄球的频率是 ；
（2）随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率．
22．（8分）某村生态果园2022年樱桃产量为60吨，2024年樱桃产量为86.4吨，若该生态果园樱桃产量的年平均增长率相同．
（1）求该生态果园樱桃产量的年平均增长率；
（2）若樱桃产量的年增长率不变，请预估2025年该生态果园樱桃产量．
23．（10分）在△ABC中，BC边的长为x，BC边上的高为y，△ABC的面积为2．
（1）y关于x的函数关系式是 ，x的取值范围是 ；
（2）在平面直角坐标系中画出该函数图象；
（3）将直线y＝﹣x+3向上平移a（a＞0）个单位长度后与上述函数图象有且只有一个交点，请求出此时a的值．
24．（10分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接DE，设运动时间为t（s）（0＜t＜10），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△BDE的面积为7.5cm2；
（2）在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得△BDE与△ABC相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由．
25．（12分）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠0）的图象相交于A（1，3），B（n，﹣1）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象，直接写出y1＞y2时，x的取值范围；
（3）过点B作直线OB，交反比例函数图象于点C，连结AC，求△ABC的面积．
26．（12分）如图，矩形ABCD中，E，F在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在CD上，B的对称点为G，PG交BC于H．
（1）求证：△EDP∽△PCH．
（2）若P为CD中点，且AB＝2，BC＝3，求GH长．
（3）连接BG，若P为CD中点，H为BC中点，探究BG与AB大小关系并说明理由．
2024-2025学年山东省济南市平阴县九年级（上）期中数学试卷
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（ ）
A． B． C． D．
选：C．
2．（4分）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，若∠A＝45°，∠CED＝70°，则∠C的度数为（ ）
A．45° B．50° C．60° D．65°
选：D．
3．（4分）将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（ ）
A．﹣4，21 B．﹣4，11 C．4，21 D．﹣4，﹣21
选：A．
4．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O．若点A（﹣3，1）的对应点为A′（﹣6，2），则点B（﹣2，4）的对应点B′的坐标为（ ）
A．（﹣4，8） B．（8，﹣4） C．（﹣8，4） D．（4，﹣8）
选：A．
5．（4分）某校课外活动期间开展跳绳、踢毽子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是（ ）
A． B． C． D．
选：C．
6．（4分）学校要组织足球比赛．赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛．根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．x2＝21 B．x（x﹣1）＝21
C．x2＝21 D．x（x﹣1）＝21
选：B．
7．（4分）如图，点A为反比例函数y＝﹣（x＜0）图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B，则的值为（ ）
A． B． C． D．
选：A．
8．（4分）若点A（x1，﹣1），B（x2，1），C（x3，5）都在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（ ）
A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x3＜x2＜x1 D．x2＜x1＜x3
选：B．
9．（4分）关于x的方程x2+mx﹣2＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
选：A．
10．（4分）如图，在正方形纸片ABCD中，E是AB边的中点，将正方形纸片沿EC折叠，点B落在点P处，延长CP交AD于点Q，连结AP并延长交CD于点F．给出以下结论：
①△AEP为等腰三角形；②F为CD的中点；③AP；PF＝4：5；④．其中正确结论是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
选：C．
二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是 ．
12．（4分）杠杆平衡时，“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为1600N和0.5m，动力为F（N），动力臂为l（m）．则动力F关于动力臂l的函数表达式为 ．
13．（4分）如图，AB与CD交于点O，且AC∥BD．若＝，则＝ ．
14．（4分）反比例函数y＝的图象在第一、三象限，则点（k，﹣3）在第 四 象限．
15．（4分）已知m是方程x2+4x﹣1＝0的一个根，则（m+5）（m﹣1）的值为 ﹣4 ．
16．（4分）如图，正五边形ABCDE的边长为6，则这个正五边形的对角线AC的长是 3+3 ．
三、解答题（共10个小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（6分）解下列方程：
（1）4（x﹣1）2﹣8＝0；
（2）x2﹣10x+16＝0．
【解答】解：（1）4（x﹣1）2﹣8＝0，
（x﹣1）2＝2，
x﹣1＝±，
∴x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）x2﹣10x+16＝0，
（x﹣2）（x﹣8）＝0，
x﹣2＝0或x﹣8＝0，
∴x1＝2，x2＝8．
18．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，EC与BD相交于点F．
（1）求证：△BFE∽△DFC；
（2）若DB＝6，求BF的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠EBF＝∠CDF，∠BEF＝∠DCF，
∴△BFE∽△DFC；
（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，
∵点E是AB的中点，
∴BE＝AB，
∴BE＝CD，
∵△BFE∽△DFC，
∴，
∴，
∵DB＝6，
∴BF＝BD＝2．
19．（6分）古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．在欧几里得的《几何原本》中，形如x2+ax＝b2（a＞0，b＞0）的方程的图解法是：如图，以和b为两直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取BD＝，则AD的长就是所求方程的解．
（1）请用含字母a、b的代数式表示AD的长．
（2）请利用你已学的知识说明该图解法的正确性，并说说这种解法的遗憾之处．
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，BC＝，AC＝b，
∴AB＝，
∴AD＝﹣＝；
（2）用求根公式求得：；（2分）
正确性：AD的长就是方程的正根．
遗憾之处：图解法不能表示方程的负根．（2分）
20．（8分）某种玻璃原材料需在0℃环境保存，取出后匀速加热至600℃高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温30℃加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于480℃玻璃温度y（℃）与时间x（min）的函数图象如下，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，回答下列问题：
（1）玻璃加热速度为 150 ℃/min；
（2）求能够对玻璃进行加工的时长；
（3）玻璃从600℃降至室温30℃需要的时间为 76 min．
【解答】解：（1）∵600÷4＝150，
∴玻璃加热速度为150（℃/min），
故答案为：150；
（2）由题可得，（4，600）在反比例函数图象上，
设反比例函数解析式为y＝，
代入点（4，600）可得，k＝2400，
∴玻璃温度下降时，y与x的函数关系式是y＝；
∴设玻璃温度上升时的函数表达式为y＝k1x，
由题可得，（4，600）在正比例函数图象上，
代入点（4，600）可得，k1＝150，
∴玻璃温度上升时，y与x的函数关系式是y＝150x，
∴将y＝480代入y＝150x，得x＝3.2，
∴将y＝480代入y＝，得x＝5，
∴5﹣3.2＝1.8（min），
∴能够对玻璃进行加工时长为1.8min；
（3）将y＝30代入y＝得，x＝80，
∴80﹣4＝76（min），
∴玻璃从600降至室温30需要的时间为76min．
故答案为：76．
21．（8分）一个不透明的袋子中共装有五个小球，其中3个红球，1个白球，1个黄球．这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，记作随机摸球1次．
（1）随机摸球10次，其中摸出黄球3次，则这10次摸球中，摸出黄球的频率是 0.3 ；
（2）随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率．
【解答】解：（1）由题意得，摸出黄球的频率是3÷10＝0.3．
故答案为：0.3．
（2）列表如下：
红 红 红 白 黄
红 （红，红） （红，红） （红，红） （红，白） （红，黄）
红 （红，红） （红，红） （红，红） （红，白） （红，黄）
红 （红，红） （红，红） （红，红） （红，白） （红，黄）
白 （白，红） （白，红） （白，红） （白，白） （白，黄）
黄 （黄，红） （黄，红） （黄，红） （黄，白） （黄，黄）
共有25种等可能的结果，其中这两次摸出的小球都是红球的结果有9种，
∴这两次摸出的小球都是红球的概率为．
22．（8分）某村生态果园2022年樱桃产量为60吨，2024年樱桃产量为86.4吨，若该生态果园樱桃产量的年平均增长率相同．
（1）求该生态果园樱桃产量的年平均增长率；
（2）若樱桃产量的年增长率不变，请预估2025年该生态果园樱桃产量．
【解答】解：（1）设该果园樱桃产量的年平均增长率为x，
∵2022年樱桃产量为60吨，2024年樱桃产量为86.4吨，
∴根据题意得：60（1+x）2＝86.4，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2＜0（不符合题意，舍去），
答：该果园樱桃产量的年平均增长率为20%；
（2）根据题意得，86.4×（1+20%）＝103.68（吨），
答：预估该果园2025年樱桃产量大约为103.68吨．
23．（10分）在△ABC中，BC边的长为x，BC边上的高为y，△ABC的面积为2．
（1）y关于x的函数关系式是 y＝ ，x的取值范围是 x＞0 ；
（2）在平面直角坐标系中画出该函数图象；
（3）将直线y＝﹣x+3向上平移a（a＞0）个单位长度后与上述函数图象有且只有一个交点，请求出此时a的值．
【解答】解：（1）∵在△ABC中，BC边的长为x，BC边上的高为y，△ABC的面积为2，
∴xy＝2，
∴xy＝4，
∴y关于x的函数关系式是y＝，
x的取值范围为x＞0，
故答案为：y＝，x＞0；
（2）在平面直角坐标系中画出该函数图象如图所示；
（3）将直线y＝﹣x+3向上平移a（a＞0）个单位长度后解析式为y＝﹣x+3+a，
解，整理得，x2﹣（3+a）x+4＝0，
∵平移后的直线与反比例函数图象有且只有一个交点，
∴△＝（3+a）2﹣16＝0，
解得a＝1，a＝﹣7（不合题意舍去），
故此时a的值为1．
24．（10分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接DE，设运动时间为t（s）（0＜t＜10），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△BDE的面积为7.5cm2；
（2）在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得△BDE与△ABC相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）分别过点D、A作DF⊥BC、AG⊥BC，垂足为F、G
如图
∴DF∥AG，＝
∵AB＝AC＝10，BC＝16∴BG＝8，∴AG＝6．
∵AD＝BE＝t，∴BD＝10﹣t，
∴＝
解得DF＝（10﹣t）
∵S△BDE＝BE DF＝7.5
∴（10﹣t） t＝15
解得t＝5．
答：t为5秒时，△BDE的面积为7.5cm2．
（2）存在．理由如下：
①当BE＝DE时，△BDE∽△BCA，
∴＝即＝，
解得t＝，
②当BD＝DE时，△BDE∽△BAC，
＝即＝，
解得t＝．
答：存在时间t为或秒时，使得△BDE与△ABC相似．
25．（12分）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠0）的图象相交于A（1，3），B（n，﹣1）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象，直接写出y1＞y2时，x的取值范围；
（3）过点B作直线OB，交反比例函数图象于点C，连结AC，求△ABC的面积．
【解答】解：（1）将点A坐标代入反比例函数解析式得，
m＝1×3＝3，
所以反比例函数解析式为y＝．
将点B坐标代入反比例函数解析式得，
n＝﹣3，
所以点B的坐标为（﹣3，﹣1）．
将A，B两点坐标代入一次函数解析式得，
，
解得，
所以一次函数解析式为y＝x+2．
（2）由函数图象可知，
当﹣3＜x＜0或x＞1时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即y1＞y2，
所以当y1＞y2，x的取值范围是：﹣3＜x＜0或x＞1．
（3）连接AO，令直线AB与x轴的交点为M，
将y＝0代入y＝x+2得，
x＝﹣2，
所以点M的坐标为（﹣2，0），
所以S△AOB＝S△AOM+S△BOM＝．
因为正比例函数图象与反比例函数图象都是中心对称图形，且坐标原点是对称中心，
所以点B和点C关于点O成中心对称，
所以BO＝CO，
所以S△ABC＝2S△AOB＝8．
26．（12分）如图，矩形ABCD中，E，F在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在CD上，B的对称点为G，PG交BC于H．
（1）求证：△EDP∽△PCH．
（2）若P为CD中点，且AB＝2，BC＝3，求GH长．
（3）连接BG，若P为CD中点，H为BC中点，探究BG与AB大小关系并说明理由．
【解答】（1）证明：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝∠C＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∵E，F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在DC上，
∴∠EPH＝∠A＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠3＝∠2，
∴△EDP∽△PCH；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2，AD＝BC＝3，∠A＝∠D＝∠C＝90°，
∵P为CD中点，
∴，
设EP＝AP＝x，
∴ED＝AD﹣x＝3﹣x，
在Rt△EDP中，EP2＝ED2+DP2，
即x2＝（3﹣x）2+1，
解得，
∴，
∴，
∵△EDP∽△PCH，
∴，
∴，
解得，
∵PG＝AB＝2，
∴；
（3）解：如图，延长AB，PG交于一点M，连接AP，
∵E，F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在CD上，
∴AP⊥EF，BG⊥直线EF，
∴BG∥AP，
∵AE＝EP，
∴∠EAP＝∠EPA，
∴∠BAP＝∠GPA，
∴△MAP是等腰三角形，
∴MA＝MP，
∵P为CD中点，
∴设DP＝CP＝y，
∴AB＝PG＝CD＝2y，
∵H为BC中点，
∴BH＝CH，
∵∠BHM＝∠CHP，∠CBM＝∠PCH，
∴△MBH≌△PCH（ASA），
∴BM＝CP＝y，HM＝HP，
∴MP＝MA＝MB+AB＝3y，
∴，
在Rt△PCH中，，
∴，
∴，
在Rt△APD中，，
∵BG∥AP，
∴△BMG∽△MAP，
∴，
∴，
∴，
∴．
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，若∠A＝45°，∠CED＝70°，则∠C的度数为（ ）
A．45° B．50° C．60° D．65°
3．（4分）将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（ ）
A．﹣4，21 B．﹣4，11 C．4，21 D．﹣4，﹣21
4．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O．若点A（﹣3，1）的对应点为A′（﹣6，2），则点B（﹣2，4）的对应点B′的坐标为（ ）
A．（﹣4，8） B．（8，﹣4） C．（﹣8，4） D．（4，﹣8）
5．（4分）某校课外活动期间开展跳绳、踢毽子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（4分）学校要组织足球比赛．赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛．根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．x2＝21 B．x（x﹣1）＝21
C．x2＝21 D．x（x﹣1）＝21
7．（4分）如图，点A为反比例函数y＝﹣（x＜0）图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（4分）若点A（x1，﹣1），B（x2，1），C（x3，5）都在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（ ）
A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x3＜x2＜x1 D．x2＜x1＜x3
9．（4分）关于x的方程x2+mx﹣2＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
10．（4分）如图，在正方形纸片ABCD中，E是AB边的中点，将正方形纸片沿EC折叠，点B落在点P处，延长CP交AD于点Q，连结AP并延长交CD于点F．给出以下结论：
①△AEP为等腰三角形；②F为CD的中点；③AP；PF＝4：5；④．其中正确结论是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是 ．
12．（4分）杠杆平衡时，“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为1600N和0.5m，动力为F（N），动力臂为l（m）．则动力F关于动力臂l的函数表达式为 ．
13．（4分）如图，AB与CD交于点O，且AC∥BD．若＝，则＝ ．
14．（4分）反比例函数y＝的图象在第一、三象限，则点（k，﹣3）在第 象限．
15．（4分）已知m是方程x2+4x﹣1＝0的一个根，则（m+5）（m﹣1）的值为 ．
16．（4分）如图，正五边形ABCDE的边长为6，则这个正五边形的对角线AC的长是 ．
三、解答题（共10个小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（6分）解下列方程：
（1）4（x﹣1）2﹣8＝0；
（2）x2﹣10x+16＝0．
18．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，EC与BD相交于点F．
（1）求证：△BFE∽△DFC；
（2）若DB＝6，求BF的长．
19．（6分）古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．在欧几里得的《几何原本》中，形如x2+ax＝b2（a＞0，b＞0）的方程的图解法是：如图，以和b为两直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取BD＝，则AD的长就是所求方程的解．
（1）请用含字母a、b的代数式表示AD的长．
（2）请利用你已学的知识说明该图解法的正确性，并说说这种解法的遗憾之处．
20．（8分）某种玻璃原材料需在0℃环境保存，取出后匀速加热至600℃高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温30℃加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于480℃玻璃温度y（℃）与时间x（min）的函数图象如下，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，回答下列问题：
（1）玻璃加热速度为 ℃/min；
（2）求能够对玻璃进行加工的时长；
（3）玻璃从600℃降至室温30℃需要的时间为 min．
21．（8分）一个不透明的袋子中共装有五个小球，其中3个红球，1个白球，1个黄球．这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，记作随机摸球1次．
（1）随机摸球10次，其中摸出黄球3次，则这10次摸球中，摸出黄球的频率是 ；
（2）随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率．
22．（8分）某村生态果园2022年樱桃产量为60吨，2024年樱桃产量为86.4吨，若该生态果园樱桃产量的年平均增长率相同．
（1）求该生态果园樱桃产量的年平均增长率；
（2）若樱桃产量的年增长率不变，请预估2025年该生态果园樱桃产量．
23．（10分）在△ABC中，BC边的长为x，BC边上的高为y，△ABC的面积为2．
（1）y关于x的函数关系式是 ，x的取值范围是 ；
（2）在平面直角坐标系中画出该函数图象；
（3）将直线y＝﹣x+3向上平移a（a＞0）个单位长度后与上述函数图象有且只有一个交点，请求出此时a的值．
24．（10分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接DE，设运动时间为t（s）（0＜t＜10），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△BDE的面积为7.5cm2；
（2）在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得△BDE与△ABC相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由．
25．（12分）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠0）的图象相交于A（1，3），B（n，﹣1）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象，直接写出y1＞y2时，x的取值范围；
（3）过点B作直线OB，交反比例函数图象于点C，连结AC，求△ABC的面积．
26．（12分）如图，矩形ABCD中，E，F在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在CD上，B的对称点为G，PG交BC于H．
（1）求证：△EDP∽△PCH．
（2）若P为CD中点，且AB＝2，BC＝3，求GH长．
（3）连接BG，若P为CD中点，H为BC中点，探究BG与AB大小关系并说明理由．
2024-2025学年山东省济南市平阴县九年级（上）期中数学试卷
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（ ）
A． B． C． D．
选：C．
2．（4分）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，若∠A＝45°，∠CED＝70°，则∠C的度数为（ ）
A．45° B．50° C．60° D．65°
选：D．
3．（4分）将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（ ）
A．﹣4，21 B．﹣4，11 C．4，21 D．﹣4，﹣21
选：A．
4．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O．若点A（﹣3，1）的对应点为A′（﹣6，2），则点B（﹣2，4）的对应点B′的坐标为（ ）
A．（﹣4，8） B．（8，﹣4） C．（﹣8，4） D．（4，﹣8）
选：A．
5．（4分）某校课外活动期间开展跳绳、踢毽子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是（ ）
A． B． C． D．
选：C．
6．（4分）学校要组织足球比赛．赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛．根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．x2＝21 B．x（x﹣1）＝21
C．x2＝21 D．x（x﹣1）＝21
选：B．
7．（4分）如图，点A为反比例函数y＝﹣（x＜0）图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B，则的值为（ ）
A． B． C． D．
选：A．
8．（4分）若点A（x1，﹣1），B（x2，1），C（x3，5）都在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（ ）
A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x3＜x2＜x1 D．x2＜x1＜x3
选：B．
9．（4分）关于x的方程x2+mx﹣2＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
选：A．
10．（4分）如图，在正方形纸片ABCD中，E是AB边的中点，将正方形纸片沿EC折叠，点B落在点P处，延长CP交AD于点Q，连结AP并延长交CD于点F．给出以下结论：
①△AEP为等腰三角形；②F为CD的中点；③AP；PF＝4：5；④．其中正确结论是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
选：C．
二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是 ．
12．（4分）杠杆平衡时，“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为1600N和0.5m，动力为F（N），动力臂为l（m）．则动力F关于动力臂l的函数表达式为 ．
13．（4分）如图，AB与CD交于点O，且AC∥BD．若＝，则＝ ．
14．（4分）反比例函数y＝的图象在第一、三象限，则点（k，﹣3）在第 四 象限．
15．（4分）已知m是方程x2+4x﹣1＝0的一个根，则（m+5）（m﹣1）的值为 ﹣4 ．
16．（4分）如图，正五边形ABCDE的边长为6，则这个正五边形的对角线AC的长是 3+3 ．
三、解答题（共10个小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（6分）解下列方程：
（1）4（x﹣1）2﹣8＝0；
（2）x2﹣10x+16＝0．
【解答】解：（1）4（x﹣1）2﹣8＝0，
（x﹣1）2＝2，
x﹣1＝±，
∴x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）x2﹣10x+16＝0，
（x﹣2）（x﹣8）＝0，
x﹣2＝0或x﹣8＝0，
∴x1＝2，x2＝8．
18．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，EC与BD相交于点F．
（1）求证：△BFE∽△DFC；
（2）若DB＝6，求BF的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠EBF＝∠CDF，∠BEF＝∠DCF，
∴△BFE∽△DFC；
（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，
∵点E是AB的中点，
∴BE＝AB，
∴BE＝CD，
∵△BFE∽△DFC，
∴，
∴，
∵DB＝6，
∴BF＝BD＝2．
19．（6分）古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．在欧几里得的《几何原本》中，形如x2+ax＝b2（a＞0，b＞0）的方程的图解法是：如图，以和b为两直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取BD＝，则AD的长就是所求方程的解．
（1）请用含字母a、b的代数式表示AD的长．
（2）请利用你已学的知识说明该图解法的正确性，并说说这种解法的遗憾之处．
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，BC＝，AC＝b，
∴AB＝，
∴AD＝﹣＝；
（2）用求根公式求得：；（2分）
正确性：AD的长就是方程的正根．
遗憾之处：图解法不能表示方程的负根．（2分）
20．（8分）某种玻璃原材料需在0℃环境保存，取出后匀速加热至600℃高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温30℃加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于480℃玻璃温度y（℃）与时间x（min）的函数图象如下，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，回答下列问题：
（1）玻璃加热速度为 150 ℃/min；
（2）求能够对玻璃进行加工的时长；
（3）玻璃从600℃降至室温30℃需要的时间为 76 min．
【解答】解：（1）∵600÷4＝150，
∴玻璃加热速度为150（℃/min），
故答案为：150；
（2）由题可得，（4，600）在反比例函数图象上，
设反比例函数解析式为y＝，
代入点（4，600）可得，k＝2400，
∴玻璃温度下降时，y与x的函数关系式是y＝；
∴设玻璃温度上升时的函数表达式为y＝k1x，
由题可得，（4，600）在正比例函数图象上，
代入点（4，600）可得，k1＝150，
∴玻璃温度上升时，y与x的函数关系式是y＝150x，
∴将y＝480代入y＝150x，得x＝3.2，
∴将y＝480代入y＝，得x＝5，
∴5﹣3.2＝1.8（min），
∴能够对玻璃进行加工时长为1.8min；
（3）将y＝30代入y＝得，x＝80，
∴80﹣4＝76（min），
∴玻璃从600降至室温30需要的时间为76min．
故答案为：76．
21．（8分）一个不透明的袋子中共装有五个小球，其中3个红球，1个白球，1个黄球．这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，记作随机摸球1次．
（1）随机摸球10次，其中摸出黄球3次，则这10次摸球中，摸出黄球的频率是 0.3 ；
（2）随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率．
【解答】解：（1）由题意得，摸出黄球的频率是3÷10＝0.3．
故答案为：0.3．
（2）列表如下：
红 红 红 白 黄
红 （红，红） （红，红） （红，红） （红，白） （红，黄）
红 （红，红） （红，红） （红，红） （红，白） （红，黄）
红 （红，红） （红，红） （红，红） （红，白） （红，黄）
白 （白，红） （白，红） （白，红） （白，白） （白，黄）
黄 （黄，红） （黄，红） （黄，红） （黄，白） （黄，黄）
共有25种等可能的结果，其中这两次摸出的小球都是红球的结果有9种，
∴这两次摸出的小球都是红球的概率为．
22．（8分）某村生态果园2022年樱桃产量为60吨，2024年樱桃产量为86.4吨，若该生态果园樱桃产量的年平均增长率相同．
（1）求该生态果园樱桃产量的年平均增长率；
（2）若樱桃产量的年增长率不变，请预估2025年该生态果园樱桃产量．
【解答】解：（1）设该果园樱桃产量的年平均增长率为x，
∵2022年樱桃产量为60吨，2024年樱桃产量为86.4吨，
∴根据题意得：60（1+x）2＝86.4，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2＜0（不符合题意，舍去），
答：该果园樱桃产量的年平均增长率为20%；
（2）根据题意得，86.4×（1+20%）＝103.68（吨），
答：预估该果园2025年樱桃产量大约为103.68吨．
23．（10分）在△ABC中，BC边的长为x，BC边上的高为y，△ABC的面积为2．
（1）y关于x的函数关系式是 y＝ ，x的取值范围是 x＞0 ；
（2）在平面直角坐标系中画出该函数图象；
（3）将直线y＝﹣x+3向上平移a（a＞0）个单位长度后与上述函数图象有且只有一个交点，请求出此时a的值．
【解答】解：（1）∵在△ABC中，BC边的长为x，BC边上的高为y，△ABC的面积为2，
∴xy＝2，
∴xy＝4，
∴y关于x的函数关系式是y＝，
x的取值范围为x＞0，
故答案为：y＝，x＞0；
（2）在平面直角坐标系中画出该函数图象如图所示；
（3）将直线y＝﹣x+3向上平移a（a＞0）个单位长度后解析式为y＝﹣x+3+a，
解，整理得，x2﹣（3+a）x+4＝0，
∵平移后的直线与反比例函数图象有且只有一个交点，
∴△＝（3+a）2﹣16＝0，
解得a＝1，a＝﹣7（不合题意舍去），
故此时a的值为1．
24．（10分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接DE，设运动时间为t（s）（0＜t＜10），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△BDE的面积为7.5cm2；
（2）在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得△BDE与△ABC相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）分别过点D、A作DF⊥BC、AG⊥BC，垂足为F、G
如图
∴DF∥AG，＝
∵AB＝AC＝10，BC＝16∴BG＝8，∴AG＝6．
∵AD＝BE＝t，∴BD＝10﹣t，
∴＝
解得DF＝（10﹣t）
∵S△BDE＝BE DF＝7.5
∴（10﹣t） t＝15
解得t＝5．
答：t为5秒时，△BDE的面积为7.5cm2．
（2）存在．理由如下：
①当BE＝DE时，△BDE∽△BCA，
∴＝即＝，
解得t＝，
②当BD＝DE时，△BDE∽△BAC，
＝即＝，
解得t＝．
答：存在时间t为或秒时，使得△BDE与△ABC相似．
25．（12分）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠0）的图象相交于A（1，3），B（n，﹣1）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象，直接写出y1＞y2时，x的取值范围；
（3）过点B作直线OB，交反比例函数图象于点C，连结AC，求△ABC的面积．
【解答】解：（1）将点A坐标代入反比例函数解析式得，
m＝1×3＝3，
所以反比例函数解析式为y＝．
将点B坐标代入反比例函数解析式得，
n＝﹣3，
所以点B的坐标为（﹣3，﹣1）．
将A，B两点坐标代入一次函数解析式得，
，
解得，
所以一次函数解析式为y＝x+2．
（2）由函数图象可知，
当﹣3＜x＜0或x＞1时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即y1＞y2，
所以当y1＞y2，x的取值范围是：﹣3＜x＜0或x＞1．
（3）连接AO，令直线AB与x轴的交点为M，
将y＝0代入y＝x+2得，
x＝﹣2，
所以点M的坐标为（﹣2，0），
所以S△AOB＝S△AOM+S△BOM＝．
因为正比例函数图象与反比例函数图象都是中心对称图形，且坐标原点是对称中心，
所以点B和点C关于点O成中心对称，
所以BO＝CO，
所以S△ABC＝2S△AOB＝8．
26．（12分）如图，矩形ABCD中，E，F在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在CD上，B的对称点为G，PG交BC于H．
（1）求证：△EDP∽△PCH．
（2）若P为CD中点，且AB＝2，BC＝3，求GH长．
（3）连接BG，若P为CD中点，H为BC中点，探究BG与AB大小关系并说明理由．
【解答】（1）证明：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝∠C＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∵E，F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在DC上，
∴∠EPH＝∠A＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠3＝∠2，
∴△EDP∽△PCH；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2，AD＝BC＝3，∠A＝∠D＝∠C＝90°，
∵P为CD中点，
∴，
设EP＝AP＝x，
∴ED＝AD﹣x＝3﹣x，
在Rt△EDP中，EP2＝ED2+DP2，
即x2＝（3﹣x）2+1，
解得，
∴，
∴，
∵△EDP∽△PCH，
∴，
∴，
解得，
∵PG＝AB＝2，
∴；
（3）解：如图，延长AB，PG交于一点M，连接AP，
∵E，F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在CD上，
∴AP⊥EF，BG⊥直线EF，
∴BG∥AP，
∵AE＝EP，
∴∠EAP＝∠EPA，
∴∠BAP＝∠GPA，
∴△MAP是等腰三角形，
∴MA＝MP，
∵P为CD中点，
∴设DP＝CP＝y，
∴AB＝PG＝CD＝2y，
∵H为BC中点，
∴BH＝CH，
∵∠BHM＝∠CHP，∠CBM＝∠PCH，
∴△MBH≌△PCH（ASA），
∴BM＝CP＝y，HM＝HP，
∴MP＝MA＝MB+AB＝3y，
∴，
在Rt△PCH中，，
∴，
∴，
在Rt△APD中，，
∵BG∥AP，
∴△BMG∽△MAP，
∴，
∴，
∴，
∴．
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