2024-2025学年上海市静安区久隆模范中学九年级（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年上海市静安区久隆模范中学九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分，下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上）
1．（4分）下列说法中，正确的是（　　）
A．有一个角相等的两个菱形必相似
B．有一条边相等的两个矩形必相似
C．有一个角相等的两个等腰三角形必相似
D．有一条边相等的两个等腰三角形必相似
2．（4分）已知二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x，下列关于函数图象的说法正确的是（　　）
A．对称轴是直线x＝﹣1 B．图象经过原点
C．开口向上 D．图象有最低点
3．（4分）若两个相似三角形的面积比是1：9，则它们对应边的中线之比为（　　）
A．1：9 B．3：1 C．1：3 D．9：1
4．（4分）已知，下列说法中不正确的是（　　）
A．与方向相反 B．
C． D．
5．（4分）在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（　　）
A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB
6．（4分）如图，在 ABCD中，M、N为对角线BD上的两点，且BM：MN：ND＝1：2：1，联结AM并延长交BC于点E，连接EN并延长交AD于点F，则AF：FD的值为（　　）
A．7：1 B．8：1 C．9：1 D．10：1
二、填空题（本大题共12小题，每题4分，共48分）
7．（4分）计算：＝ 　 　．
8．（4分）从地图上量得甲、乙两地的距离为6cm，而两地的实距离是300km，这幅地图的比例尺是 　 　．
9．（4分）已知点M是线段AB的黄金分割点（AM＜BM），若AB＝4，则BM＝　 　．
10．（4分）如果抛物线y＝（k﹣1）x2+kx﹣1（k是常数）的顶点在y轴上，那么该抛物线的顶点坐标为　 　．
11．（4分）在△ABC中，AB＝3，AC＝2，分别反向延长AB、AC到D、E，若AD＝2，则当AE＝　 　时，BC∥DE．
12．（4分）抛物线y＝5（x﹣4）2+3向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的顶点A关于直线x＝4对称的点A′坐标是 　 　．
13．（4分）如图，在矩形ABCD中，AD＝3，AB＝8，点P是边AB上一点，若△APD与△BPC相似，则满足条件的点P有 　 　个．
14．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连结AC、DE交于点F．若，则＝　 　．
15．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点G为△ABC的重心，若AC＝6，tan∠ABG＝，那么AG的长等于 　 　．
16．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，正方形EFGH的边FG在△ABC的边AB上，顶点E、H分别在边AC、BC上，如果其面积为24，那么AF BG的值为 　 　．
17．（4分）如图，点E是矩形ABCD纸片边CD上一点，如果沿着AE折叠矩形纸片，恰好使点D落在边BC上的点F处，已知BF＝6cm，tan∠BAF＝，那么折痕AE的长是 　 　．
18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点C旋转得到△A′B′C，点A的对应点A′恰好与△ABC的重心重合，A′B′与BC相交于点E，如么CE：BC的值为　 　．
三、解答题：（本大题共7题，第19-22每题10分，第23-24每题13分，第25题14分，共78分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（10分）计算：．
20．（10分）已知，如图，点E在平行四边形ABCD的边CD上，且，设，．
（1）用、表示；（直接写出答案）
（2）设，在答题卷中所给的图上画出的结果．
21．（10分）如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，对角线AC、BD相交于点O，AD＝2，AB＝3，BC＝4．
（1）求△BOC的面积；
（2）求∠ACD的正弦值．
22．（10分）已知：如图是400米跑道示意图，中间的足球场ABCD是矩形，两边是全等的半圆，设直道AB的长为x米，足球场ABCD的面积为S平方米．
（1）求出S关于x的函数关系式（结果保留π），并写出定义域；
（2）当直道AB的长为多少米时，足球场ABCO的面积最大？
23．（12分）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，∠ABC＝∠AED＝90°，CD与BE、AE分别交于点P、M．
求证：
（1）△BAE∽△CAD；
（2）2CB2＝CP CM．
24．（12分）如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）的两点，与y轴交于点C（0，3），D为顶点，点P是x轴上方的抛物线上的一个动点，PM⊥x轴于点M，与BC交于点E．
（1）求该抛物线所对应的函数关系式及顶点D的坐标；
（2）设点P的横坐标为t（0＜t＜3），
①当t为何值时，线段PE的长最大；
②连数CD，求∠CBD的正弦值；
（3）是否存在点P，使得以点P，M、B为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（14分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AD＝2，AB＝4，BC＝5，在边BC上任取一点E，联结AE，作∠FEC＝∠AEB，∠FEC的另一边EF交射线CD于点F．
（1）求cosC的值；
（2）如图1，当点F在线段CD上时，若，求BE的长；
（3）联结AF，当△AEF是直角三角形时，直接写出BE的长．
26．（附加题）
新定义1：将宽与长的比等于黄金分割比的矩形称为黄金矩形
新定义2：将顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形
①在一长矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平
②如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平
③折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图中所示的AD处
④展平纸片，按照所得到的点D折出DE
（1）报据以上折纸法，求证：矩形BCDE为黄金矩形；
（2）如图5，已知∠A＝36°，△ABC为黄金三角形，BC＝1，求AB的长；
（3）在（2）的条件下，截取BD＝BC交AC于D，截取CE＝CD交线段BD于E，过E作任意直线与边AB，BC交于P，Q两点，试判断：是否为定值，若是，请求出定值，请说明理由．
2024-2025学年上海市静安区久隆模范中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分，下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上）
1．（4分）下列说法中，正确的是（　　）
A．有一个角相等的两个菱形必相似
B．有一条边相等的两个矩形必相似
C．有一个角相等的两个等腰三角形必相似
D．有一条边相等的两个等腰三角形必相似
选：A．
2．（4分）已知二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x，下列关于函数图象的说法正确的是（　　）
A．对称轴是直线x＝﹣1 B．图象经过原点
C．开口向上 D．图象有最低点
选：B．
3．（4分）若两个相似三角形的面积比是1：9，则它们对应边的中线之比为（　　）
A．1：9 B．3：1 C．1：3 D．9：1
选：C．
4．（4分）已知，下列说法中不正确的是（　　）
A．与方向相反 B．
C． D．
选：B．
5．（4分）在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（　　）
A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB
选：B．
6．（4分）如图，在 ABCD中，M、N为对角线BD上的两点，且BM：MN：ND＝1：2：1，联结AM并延长交BC于点E，连接EN并延长交AD于点F，则AF：FD的值为（　　）
A．7：1 B．8：1 C．9：1 D．10：1
选：B．
二、填空题（本大题共12小题，每题4分，共48分）
7．（4分）计算：＝ 　　．
8．（4分）从地图上量得甲、乙两地的距离为6cm，而两地的实距离是300km，这幅地图的比例尺是 　1：5000000　．
9．（4分）已知点M是线段AB的黄金分割点（AM＜BM），若AB＝4，则BM＝　2﹣2　．
10．（4分）如果抛物线y＝（k﹣1）x2+kx﹣1（k是常数）的顶点在y轴上，那么该抛物线的顶点坐标为　（0，﹣1）　．
11．（4分）在△ABC中，AB＝3，AC＝2，分别反向延长AB、AC到D、E，若AD＝2，则当AE＝　　时，BC∥DE．
12．（4分）抛物线y＝5（x﹣4）2+3向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的顶点A关于直线x＝4对称的点A′坐标是 　（6，2）　．
13．（4分）如图，在矩形ABCD中，AD＝3，AB＝8，点P是边AB上一点，若△APD与△BPC相似，则满足条件的点P有 　3　个．
14．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连结AC、DE交于点F．若，则＝　　．
15．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点G为△ABC的重心，若AC＝6，tan∠ABG＝，那么AG的长等于 　　．
16．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，正方形EFGH的边FG在△ABC的边AB上，顶点E、H分别在边AC、BC上，如果其面积为24，那么AF BG的值为 　24　．
17．（4分）如图，点E是矩形ABCD纸片边CD上一点，如果沿着AE折叠矩形纸片，恰好使点D落在边BC上的点F处，已知BF＝6cm，tan∠BAF＝，那么折痕AE的长是 　5cm　．
18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点C旋转得到△A′B′C，点A的对应点A′恰好与△ABC的重心重合，A′B′与BC相交于点E，如么CE：BC的值为　　．
三、解答题：（本大题共7题，第19-22每题10分，第23-24每题13分，第25题14分，共78分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（10分）计算：．
【解答】解：原式＝+2×（1﹣）+4×
＝+2﹣+2
＝﹣2﹣+2﹣+2
＝2﹣．
20．（10分）已知，如图，点E在平行四边形ABCD的边CD上，且，设，．
（1）用、表示；（直接写出答案）
（2）设，在答题卷中所给的图上画出的结果．
【解答】解：（1）∵＝，即DE＝CE，DE＝DC，
＝+
（2）如图所示：延长AE、BC交于G，则即为的结果．
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC
∴＝＝
∴AG＝3AE
又∵
∴＝3
∴＝．
21．（10分）如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，对角线AC、BD相交于点O，AD＝2，AB＝3，BC＝4．
（1）求△BOC的面积；
（2）求∠ACD的正弦值．
【解答】解：（1）过点O作AB的平行线，分别与AD，BC交于点M，N，
∵AD∥BC，MN∥AB，
∴四边形ABNM是平行四边形，
又∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABNM是矩形，
∴OM⊥AD，ON⊥BC．
∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∴，
又∵MN＝AB＝3，
∴OM＝1，ON＝2，
∴．
（2）在Rt△ABC中，
AC＝．
过点D作BC的垂线，垂足为E，过点A作CD垂线，垂足为F，
在Rt△CDE中，
CD＝．
∵，
∴AF＝．
在Rt△CAF中，
sin∠ACD＝．
22．（10分）已知：如图是400米跑道示意图，中间的足球场ABCD是矩形，两边是全等的半圆，设直道AB的长为x米，足球场ABCD的面积为S平方米．
（1）求出S关于x的函数关系式（结果保留π），并写出定义域；
（2）当直道AB的长为多少米时，足球场ABCO的面积最大？
【解答】解：（1）根据题意，得2x+π ＝400，
解得S＝﹣x2+x，
∵S＞0，即﹣x2+x＞0，且x＞0，
∴0＜x＜200，
∴S关于x的函数关系式及定义域是S＝﹣x2+x（0＜x＜200）．
（2）S＝﹣x2+x＝﹣（x﹣100）2+，
∴当x＝100时，S的值最大，
∴当直道AB的长为100米时，足球场ABCO的面积最大．
23．（12分）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，∠ABC＝∠AED＝90°，CD与BE、AE分别交于点P、M．
求证：
（1）△BAE∽△CAD；
（2）2CB2＝CP CM．
【解答】（1）证明：∵等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，∠ABC＝∠AED＝90°，
∴AC＝AB，AD＝AE，∠BAC＝∠EAD＝45°
∴
∵∠BAC＝∠EAD
∴∠BAE＝∠CAD
∴△BAE∽△CAD
（2）∵△BAE∽△CAD，
∴∠BEA＝∠CDA，
∵∠PME＝∠AMD
∴△PME∽△AMD
∴，且∠PMA＝∠DME，
∴△PMA∽△EMD，
∴∠APD＝∠AED＝90°，
∵∠CAE＝180°﹣∠BAC﹣∠EAD＝90°，且∠ACP＝∠ACM，
∴△CAP∽△CMA，
∴，
∴AC2＝CP CM，
∵AC＝AB
∴2CB2＝CP CM
24．（12分）如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）的两点，与y轴交于点C（0，3），D为顶点，点P是x轴上方的抛物线上的一个动点，PM⊥x轴于点M，与BC交于点E．
（1）求该抛物线所对应的函数关系式及顶点D的坐标；
（2）设点P的横坐标为t（0＜t＜3），
①当t为何值时，线段PE的长最大；
②连数CD，求∠CBD的正弦值；
（3）是否存在点P，使得以点P，M、B为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），
∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），
∴，
解得，
∴抛物线所对应的函数关系式y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的顶点为D（1，4）；
（2）①抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交点坐标为A（﹣1，0），B（3，0）．
设直线BC的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
则，
解得，
直线BC的函数关系式为y＝﹣x+3．
设P（t，﹣t2+2t+3），则E（t，﹣t+3）．
∴，
∵a＝﹣1＜0，且0＜t＜3，
∴当时，线段PE的长最大值为；
②∵B（3，0），C（0，3），D（1，4），
则，，，
∵BC2+CD2＝BD2，
∴△BCD为直角三角形，如图1，
∴sin∠CBD＝＝＝；
（3）存在点P，使得以点P，M、B为顶点的三角形与△BCD相似；理由如下：
由（2）知△BCD是直角三角形，且∠BCD＝90°，CD＝，BC＝3．
（Ⅰ） 如图2，若△PMB∽△BCD，则，
即，
整理，得t2﹣5t+6＝0，
解得t1＝2，t2＝3（舍去）．
∴P（2，3）．
（Ⅱ） 如图3，若△BMP∽△BCD，
则，
即，
整理，得3t2﹣7t﹣6＝0，
解得，t2＝3（舍去）．
∴．
故符合条件的点P的坐标为P（2，3）或．
25．（14分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AD＝2，AB＝4，BC＝5，在边BC上任取一点E，联结AE，作∠FEC＝∠AEB，∠FEC的另一边EF交射线CD于点F．
（1）求cosC的值；
（2）如图1，当点F在线段CD上时，若，求BE的长；
（3）联结AF，当△AEF是直角三角形时，直接写出BE的长．
【解答】解：（1）如图1，过点D作DG⊥BC于G，则∠DGC＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝90°，
∴∠B＝90°，
∴∠B＝∠DGC，
∴AB∥DG，
∴四边形ABGD是矩形，
∴BG＝AD＝2，DG＝AB＝4，
∵BC＝5，
∴CG＝5﹣2＝3，
由勾股定理得：DC＝＝5，
∴cosC＝＝；
（2）如图2，过点F作FH⊥BC于H，
∵CD＝5，＝，
∴CF＝5×＝，
由（1）知：cosC＝＝，
∴＝，
∴CH＝2，
由勾股定理得：FH＝＝＝，
设BE＝a，则EH＝5﹣2﹣a＝3﹣a，
∵∠AEB＝∠FEC，
∴tan∠AEB＝tan∠FEC，
∴＝，即＝，
解得：a＝，
∴BE＝；
（3）分三种情况：
①当∠AEF＝90°时，如图3，
∴∠AEB+∠FEC＝180°﹣90°＝90°，
∵∠AEB＝∠FEC，
∴∠AEB＝45°，
∵∠B＝90°，
∴△AEB是等腰直角三角形，
∴BE＝AE＝4；
②当∠AFE＝90°时，如图4，延长EF和AD交于点Q，过点E作EM⊥AD于M，过点F作FP⊥AD于P，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EAD，∠FEC＝∠Q，
∵∠AEB＝∠FEC，
∴∠Q＝∠EAD，
∴AE＝EQ，
∴AM＝MQ，
同理得四边形ABEM是矩形，
设DM＝x，则AM＝MQ＝2+x，
∴BE＝AM＝2+x，CE＝5﹣（2+x）＝3﹣x，
∵DQ∥CE，
∴△DFQ∽△CFE，
∴＝，即＝，
∴DF＝，
∵AD∥BC，
∴∠C＝∠QDF，
∴cosC＝cos∠QDF，
∴＝，
∴PD：PF：DF＝3：4：5，
∴PF＝，PD＝，
∵∠AFE＝90°，
∴∠AFQ＝90°，
∴∠Q+∠FAQ＝90°，
∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∵∠AEB＝∠Q，
∴∠BAE＝∠FAQ，
∴tan∠BAE＝tan∠FAQ，
∴＝，即＝，
解得：x1＝x2＝0，
经检验：x＝0是原方程的解，且符合题意；
∴BE＝2；
③当∠EAF＝90°时，如图5，过点E作EM⊥AD于M，过点F作FP⊥AD于P，
设AM＝m，
同理得：AM＝MG＝BE＝m，DG＝2﹣2m，
∵AD∥BC，
∴△FGD∽△FEC，
∴＝，即＝，
∴DF＝，DP＝，FP＝，
同理可得：∠FAP＝∠BAE，
∴tan∠BAE＝tan∠FAP，
∴＝，即＝，
解得：m1＝﹣2+2，m2＝﹣2﹣2（舍）；
经检验，m＝﹣2+2是原方程的解，
∴BE＝2﹣2，
综上，BE的长为4或2或2﹣2．
26．（附加题）
新定义1：将宽与长的比等于黄金分割比的矩形称为黄金矩形
新定义2：将顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形
①在一长矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平
②如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平
③折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图中所示的AD处
④展平纸片，按照所得到的点D折出DE
（1）报据以上折纸法，求证：矩形BCDE为黄金矩形；
（2）如图5，已知∠A＝36°，△ABC为黄金三角形，BC＝1，求AB的长；
（3）在（2）的条件下，截取BD＝BC交AC于D，截取CE＝CD交线段BD于E，过E作任意直线与边AB，BC交于P，Q两点，试判断：是否为定值，若是，请求出定值，请说明理由．
【解答】（1）证明：由折叠可知：∠MBC＝∠MNC＝90°，
又∵∠NMB＝90°，
∴四边形MNCB是矩形，
由折叠的性质得：MB＝MN，
∴四边形MNCB是正方形，
∴BC＝MN＝CN，∠NCB＝90°，
由题意得，
∴；
由折叠的性质得，
∴，
∴，
∴矩形BCDE是黄金矩形；
（2）解：如图5所示，作∠ABC的角平分线交AC于D，
∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴，
∴，
∴AD＝BD，∠BDC＝180°﹣36°﹣72°＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴AD＝BD＝BC＝1，
又∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴，即，
∴，
∴AB2﹣AB﹣1＝0，
解得或（舍去），
经检验，是原方程的解；
（3）解：为定值；理由如下：
如图6，过点E分别作AB，BC的垂线，垂足分别为F，G，过点Q作QH⊥AB于H，
∵S△BPQ＝S△BPE+S△BQE，
∴；
由（2）可知，当BD平分∠ABC时有BD＝BC，
∴EG＝EF，
∴BP QH＝（BP+BQ） EG，
在Rt△BQH中，QH＝BQ sin∠QBH，
∴BP BQ sin∠QBH＝（BP+BQ） EG，
∴，
∴，
在Rt△EBG中，EG＝BE sin∠EBG，
∴；
∵CE＝CD，
∴∠CED＝∠CDE＝72°，
∴∠ECD＝36°，
∴∠ECB＝36°＝∠EBC，
∴，
∴，
∴，
∵，∠GBE＝∠EBF，
∴，
如图6所示，连接AF，
在Rt△ABF中，，
∵，
∴
＝
＝
＝
＝．