北师大版数学八年级上册第五章第3--5节专题训练
一、选择题
1．（2024·湖北）《九章算术》中记载这样一个题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，问牛和羊各值多少金？设每头牛值x金，每只羊值y金，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·泰安）我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若，试向买甜果苦果各几个
若设买甜果个，买苦果个，可列出符合题意的二元一次方程组：根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为 （ ）
A．甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱
B．甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱
C．甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱
D．甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱
3．（2023·巴中）某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师要求用张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面已知每张卡纸可以裁出个侧面，或者裁出个底面，如果个侧面和个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·益阳）某学校为进一步开展好劳动教育实践活动，用1580元购进A，B两种劳动工具共145件，A，B两种劳动工具每件分别为10元，12元．设购买A，B两种劳动工具的件数分别为x，y，那么下面列出的方程组中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·甘孜）有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛(斛，音hú，是古代的一种容量单位)，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛.1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设大桶可以盛酒斛，小桶可以盛酒斛，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·衡阳）《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设有x只鸡，y只兔．依题意，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·绵阳）我国古代数学著作《孙子算经）中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有16头，下有44足，问鸡兔各几何．”设鸡x只，兔y只，可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·泰安）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两．根据题意得（ ）
A． B．
C． D．
9．（2019七下·江汉期末）《九章算术》是我国古代数学的经典书，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等；交易其一，金轻十三两.问金、银一枚各重几何？”意思是甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等.两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）.问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024·南充）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房、设有客房x间，客人y人，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（2022·枣庄）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，其书中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：“5头牛、2只羊共值金10两.2头牛、5只羊共值金8两，每头牛、每只羊各值金多少两？”根据题意，可求得1头牛和1只羊共值金 两．
12．（2022·威海）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则mn＝ ．
13．（2023·威海）《九章算术》中有一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四、问人数、物价各几何？”题目大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．问有多少人？该物品价值多少元？设有x人，该物品价值y元，根据题意列方程组： ．
14．（2022·仙桃）有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨，5辆大货车与2辆小货车一次可以运货25吨，则4辆大货车与3辆小货车一次可以运货 吨.
15．（2020·重庆A）火锅是重庆的一张名片，深受广大市民的喜爱.重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆摊）三种方式经营，6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为3：5：2.随着促进消费政策的出台，该火锅店老板预计7月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的 ，则摆摊的营业额将达到7月份总营业额的 ，为使堂食、外卖7月份的营业额之比为8：5，则7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是 .
16．（2019·宿迁）下面3个天平左盘中“△”“□”分别表示两种质量不同的物体，则第三个天平右盘中砝码的质量为 .
三、解答题
17．（2024·长春）《九章算术》是我国第一部自成体系的数学专著，其中“盈不足术”记载：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？译文：今有人合伙买金，每人出400钱，剩余3400钱；每人出300钱，剩余100钱．问合伙人数和金价各是多少？请解答这个问题．
18．（2024·南通）某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．相关信息如下：
信息一
A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元）
1 3 260
3 2 360
信息二
A型机器人每台每天可分拣快递22万件； B型机器人每台每天可分拣快递18万件．
（1）求A、B两种型号智能机器人的单价；
（2）现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？
19．（2024·济南）近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光伏车棚．已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元．
（1）求修建每个A种，B种光伏车棚分别需投资多少万元？
（2）若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，问修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？
20．（2024·无锡）某校积极开展劳动教育，两次购买A，B两种型号的劳动用品，购买记录如下表：
A型劳动用品（件） B型劳动用品（件） 合计金额（元）
第一次 20 25 1150
第二次 10 20 800
（1）求A，B两种型号劳动用品的单价；
（2）若该校计划再次购买A，B两种型号的劳动用品共40件，其中A型劳动用品购买数量不少于10件且不多于25件．该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：A，B两种型号劳动用品的单价保持不变）
21．（2024·广安）某小区物管中心计划采购A，B两种花卉用于美化环境．已知购买2株种花卉和3株种花卉共需要21元；购买4株A种花卉和5株B种花卉共需要37元．
（1）求两种花卉的单 ．
（2）该物管中心计划采购两种花卉共计10000株，其中采购种花卉的株数不超过B种花卉株数的4倍，当A，B两种花卉分别采购多少株时，总费用最少 并求出最少总费用．
22．（2024·云南）、两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜欢．
某超市销售、两种型号的吉祥物，有关信息见下表：
成本（单位：元/个） 销售价格（单位：元/个）
型号 35 a
型号 42
若顾客在该超市购买8个种型号吉祥物和7个种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个种型号吉祥物和5个种型号吉祥物，则一共需要410元．
（1）求、的值；
（2）若某公司计划从该超市购买、两种型号的吉祥物共90个，且购买种型号吉祥物的数量（单位：个）不少于种型号吉祥物数量的，又不超过种型号吉祥物数量的2倍．设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为元，求的最大值．
注：该超市销售每个吉祥物获得的利润等于每个吉祥物的销售价格与每个吉祥物的成本的差．
23．（2024·兴安盟、呼伦贝尔）某超市从某水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种水果的进价和售价如表所示：
水果种类 进价（元/千克） 售价（元/千克）
甲 a 22
乙 b 25
该超市购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705元.
（1）求a，b的值；
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种水果共150千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于50千克，且不大于120千克.实际销售时，若甲种水果超过80千克，则超过部分按每千克降价5元销售.求超市当天销售完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系式（写出自变量x的取值范围），并求出在获得最大利润时，超市的进货方案以及最大利润.
24．（2023·襄阳）在襄阳市创建“经济品牌特色品牌”政策的影响下．每到傍晚，市内某网红烧烤店就食客如云，这家烧烤店的海鲜串和肉串非常畅销，店主从食品加工厂批发以上两种产品进行加工销售，其中海鲜串的成本为元支，肉串的成本为元支；两次购进并加工海鲜串和肉串的数量与成本如下表所示（成本包括进价和其他费用）
次数 数量（支） 总成本（元）
海鲜串 肉串
第一次 3000 4000 17000
第二次 4000 3000 18000
针对团以消费，店主决定每次消费海鲜串不超过200支时，每支售价5元；超过200支时、不超过200支的部分按原价，超过200支的部分打八折．每支肉串的售价为3.5元．
（1）求、的值；
（2）五一当天，一个旅游团去此店吃烧烤，一次性消费海鲜串和肉串共1000支，且海鲜串不超过400支．在本次消费中，设该旅游团消费海鲜串支，店主获得海鲜串的总利润为元，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在（2）的条件下，该旅游团消费的海鲜串超过了200支，店主决定给该旅游团更多优惠，对每支肉串降价元，但要确保本次消费获得肉串的总利润始终不低于海鲜串的总利润，求的最大值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设每头牛值x金，每只羊值y金，由题意得
故答案为：A
【分析】设每头牛值x金，每只羊值y金，根据“牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金”即可列出二元一次方程组，从而即可求解。
2．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解： 设买甜果个，买苦果个 ，由知，x+y=1000是购买总数的数量关系，则另一方程为购买总价的数量关系，可知为甜果的单价，为苦果的单价，
故答案为：D.
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理清题目的数量关系，购买总数，购买总价，可得答案.
3．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【解答】解：设用x张卡纸做侧面，y张卡纸做底面，根据题意得：，解这个方程组，得：，因为每个包装盒有一个侧面，所以包装盒的个数为：2x=2×6=12，
故答案为：C.
【分析】设用x张卡纸做侧面，y张卡纸做底面，根据卡纸总数为14，可得方程：x+y=14①，根据每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，可得侧面个数为：2x个，底面个数为：3y个，根据 1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，可得方程：2x×2=3y②，联合①，②，组成方程组，解方程组求得方程租的解，根据题意包装盒的个数就等于侧面的个数。
4．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【解答】解：设购买A，B两种劳动工具的件数分别为x，y，由题意得，
故答案为：A
【分析】设购买A，B两种劳动工具的件数分别为x，y，根据“用1580元购进A，B两种劳动工具共145件，A，B两种劳动工具每件分别为10元，12元”即可列出二元一次方程组，进而即可求解。
5．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设大桶可以盛酒x斛，小桶可以盛酒y斛，根据题意得，
，
故答案为：A
【分析】设大桶可以盛酒x斛，小桶可以盛酒y斛，根据题意即可列出二元一次方程组，进而即可求解。
6．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解： 设有x只鸡，y只兔，
∵今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，
∴由题意可列方程组 ，
故答案为：C.
【分析】根据题意找出等量关系列方程组即可。
7．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得可列方程组，
故答案为：A
【分析】设鸡x只，兔y只，进而结合“今有鸡兔同笼，上有16头，下有44足”即可列出方程组。
8．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设每枚黄金重x两，每枚白银重y两．根据题意得 ：。
故答案为：C。
【分析】根据甲袋中装有黄金9枚，乙袋中装有白银11枚，称重两袋相等 ，可列方程为：9x=11y①，根据 两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两，可列方程为：（10y+x）-（8x+y）=13②，把①②联合成方程组。
9．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得，
.
故答案为：C.
【分析】根据题意第一个等量关系为9枚黄金和11枚白银的重量相等列二元一次方程；再根据第二个等量关系为1枚黄金和10枚白银重量和比8枚黄金和1枚白银重量和大13列二元一次方程，即可得二元一次方程组.
10．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解： 设有客房x间，客人y人，则可列方程组：
.
故答案为：D.
【分析】设有客房x间，客人y人，根据题中的相等关系“一房七客多七客，一房九客一房空”可列方程组.
11．【答案】
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设每头牛x两，每只羊y两，
根据题意，可得
，
，
1头牛和1只羊共值金两，
故答案为：．
【分析】先求出再求出，最后求解即可。
12．【答案】1
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】如图，根据题意，可得
第二行的数字之和为：m+2+（-2）=m
可知第三行左边的数字为：m-（-4）-m=4
第一行中间的数字为：m-n-（-4）=m-n+4
第三行中间数字为m-2-（m-n+4）=n-6
第三行右边数字为：m-n-（-2）=m-n+2
再根据对角线上的三个数字之和相等且都等于m可得方程组为：
解得
∴
故答案为：1
【分析】根据对角线上的三个数字之和相等且都等于m可得方程组为：，求出m、n的值，再将m、n的值代入计算即可。
13．【答案】
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设有x人，该物品价值y元，由题意得，
故答案为：
【分析】设有x人，该物品价值y元，根据“每人出8元，多3元；每人出7元，少4元”即可列出二元一次方程组，进而即可求解。
14．【答案】23.5
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设每辆大货车一次可以运货x吨，每辆小货车一次可以运货y吨，
依题意，得：，
两式相加得8x+6y=47，
∴4x+3y=23.5（吨） .
故答案为：23.5.
【分析】设每辆大货车一次可以运货x吨，每辆小货车一次可以运货y吨，根据3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨可得3x+4y=22；根据5辆大货车与2辆小货车一次可以运货25吨可得5x+2y=25，联立可得方程组，然后将两式相加并化简可得4x+3y的值，据此解答.
15．【答案】1：8
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设6月份堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额为3a，5a，2a，设7月份总的增加营业额为5x，摆摊增加的营业额为2x，7月份总营业额20b，摆摊7月份的营业额为7b，堂食7月份的营业额为8b，外卖7月份的营业额为5b，
由题意可得： ，
解得： ，
∴7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比＝（5b﹣5a）：20b＝1：8，
故答案为：1：8.
【分析】根据题意设未知数（含比值的，设未知数一般为比值乘x或k），在根据“ 其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的 ，则摆摊的营业额将达到7月份总营业额的 ”列出方程组，求解即可.
16．【答案】10
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设“△”的质量为 ，“□”的质量为 ，
由题意得： ，
解得： ，
∴第三个天平右盘中砝码的质量 ；
故答案为：10.
【分析】设“△”的质量为 ，“□”的质量为 ，根据前两个天平处于平衡状态，得出等量关系，列出方程组，求解算出x，y的值，进而即可算出第三个天平左边托盘物体的质量，从而得出答案。
17．【答案】解：设共x人合伙买金，金价为y钱，
依题意得：，
解得：．
答：共33人合伙买金，金价为9800钱．
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【分析】设共x人合伙买金，金价为y钱，根据“每人出400钱，会剩余3400钱；每人出300钱，会剩余100钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可．
18．【答案】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，
根据题意，得，
解得：，
答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元.
（2）解：设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人（10﹣a）台，
根据题意，得80a+60（10﹣a）≤700，
解得：a≤5，
设每天分拣快递的件数为w万件，
∴w=22a+18（10﹣a）＝4a+180，
∵一次项系数k=4>0，w随着a的增大而增大，
∴当a＝5时，每天分拣快递的件数最多为w=4×5+180=200（万件），
∴10-a=10-5=5，
∴选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台， 能使每天分拣快递的件数最多 ．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据”信息一“列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组求出x、y的值；
（2）设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人（10﹣a）台，根据”用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台“列出关于a的一元一次不等式，解不等式求出a的取值范围，设每天分拣快递的件数为w，则根据”信息二“得w＝4a+180，接下来利用一次函数的性质得a=5时，w最大，即可求解.
19．【答案】（1）解：设修建一个A种光伏车棚需投资x万元，修建一个B种光伏车棚需投资y万元，
根据题意得：，
解得：．
答：修建一个A种光伏车棚需投资3万元，修建一个B种光伏车棚需投资2万元；
（2）解：设修建A种光伏车棚m个，则修建B种光伏车棚（20﹣m）个，
根据题意得：m≥2（20﹣m），
解得：．
设修建A，B两种光伏车棚共投资w万元，则w＝3m+2（20﹣m），
即w＝m+40，
∵一次项系数k=1＞0，
∴w随m的增大而增大，
又∵m，且m为正整数，
∴当m＝14时，w取得最小值，最小值为14+40＝54．
答：修建A种光伏车棚14个时，投资总额最少，最少投资总额为54万元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设修建一个A种光伏车棚需投资x万元，修建一个B种光伏车棚需投资y万元，根据“修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元”列出方程组，求解即可；
（2）设修建A种光伏车棚m个，则修建B种光伏车棚（20﹣m）个，修建A，B两种光伏车棚共投资w万元，由“ 修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍 ”列出不等式求解可得字母m的取值范围，根据总投资=修建m个A种光伏车棚的费用+修建（20-m）个B种光伏车棚的费用建立出w关于m的函数解析式，进而根据函数性质求解即可.
20．【答案】（1）解：设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元，
根据题意，得，
解得：，
答：A种型号劳动用品单价为20元，B种型号劳动用品单价为30元；
（2）解：设购买A种型号劳动用品a件，则购买B种型号劳动用品（40﹣a）件，
根据题意可得：10≤a≤25，
设购买这40件劳动用品需要W元，
W＝20a+30（40-a）＝-10a+1200，
∵一次项系数k=-10＜0，
∴W随a的增大而减小，
∴当a＝25时，W取最小值，W＝-10×25+1200＝950，
∴该校购买这40件劳动用品至少需要950元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元，根据表格中的数据，列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组求出x、y的值即可；
（2）设购买A种型号劳动用品a件，则购买B种型号劳动用品（40﹣a）件，根据“A型劳动用品购买数量不少于10件且不多于25”得a的取值范围，设购买这40件劳动用品需要W元，根据题意得W关于a的一次函数表达式，接下来利用一次函数的性质进行求解即可.
21．【答案】（1）解：设种花卉的单价为元/株，种花卉的单价为元/株．
由题意得：
解得：
答：种花卉的单价为3元/株，种花卉的单价为5元/株．
（2）解：设采购种花卉株，则种花卉（10000-m）株，总费用为元．
由题意得：
解得：．
在中
随的增大而减小
当时的值最小
此时
答：当购进A种花卉8000株，B种花卉2000株时，总费用最少，最少费用为34000元
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】 【分析】（1）根据题意找出等量关系，列关于x和y的二元一次方程组即可求出A和B两种花卉的单价.
（2）设采购种花卉株，则种花卉（10000-m）株，利用采购种花卉的株数不超过B种花卉株数的4倍 ，求出m的取值范围，根据采购费用=A的采购费用+B的采购费用，列关于m的一次函数，根据m的系数结合一次函数的性质即可判断m值越大，采购费用越少，从而推出采购方案及该方案的最少费用.
22．【答案】（1）解：由题意得，
解得
（2）解：购买种型号吉祥物的数量个，
则购买种型号吉祥物的数量个，
且购买种型号吉祥物的数量（单位：个）不少于种型号吉祥物数量的，
，
解得，
种型号吉祥物的数量又不超过种型号吉祥物数量的2倍．
，
解得，
即，
由题知，，
整理得，
k=-3<0，随的增大而减小，
当时，的最大值为．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据表格结合“若顾客在该超市购买8个种型号吉祥物和7个种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个种型号吉祥物和5个种型号吉祥物，则一共需要410元”即可列出二元一次方程组；
（2）根据题意得到购买种型号吉祥物的数量个，则购买种型号吉祥物的数量个，进而即可列出不等式，从而解不等式即可得到x的取值范围为，再结合题意写出y与x的一次函数关系式，从而根据一次函数的性质即可求解。
23．【答案】（1）根据题意，得，
解得；
（2）当时，
根据题意，得，
，
y随x的增大而增大，
当时，y有最大值，最大值为，
即购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元；
当时，
根据题意，得，
，
y随x的增大而减小，
时，y有最大值，最大值为，
即购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元；
综上，，购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元.
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用表中数据及已知条件：购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705元，可得到关于a、b的方程组，解方程组求出a、b的值.
（2）根据题意分情况讨论：当50≤x≤80时，可得到y与x的函数解析式，利用一次函数的性质可求出此时y的最大值；当80＜x≤120时，可得到y与x的函数解析式，利用一次函数的性质可求出此时y的最大值；综上所述，可得到y与x的函数解析式及最大利润、超市的进货方案.
24．【答案】（1）解：根据表格可得：
，
解得，
的值为3，的值为2；
（2）解：当时，店主获得海鲜串的总利润；
当时，店主获得海鲜串的总利润；
；
（3）解：设降价后获得肉串的总利润为元，令．
，
，
，
，
，
随的增大而减小，
当时，的值最小，
由题意可得：，
，
即，
解得：，
的最大值是0.5．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据表格得等量关系，列二元一次方程组求解即可；
（2）分和两段分别表示出函数表达式，最后综述.
（3）表示出降价后获得的肉串的总利润z，以及本次消费肉串利润和海鲜串利润的差值W，根据一次函数的性质以及x的取值范围得到W的最小值，且W≥0，即可确定a的最大值.
1 / 1北师大版数学八年级上册第五章第3--5节专题训练
一、选择题
1．（2024·湖北）《九章算术》中记载这样一个题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，问牛和羊各值多少金？设每头牛值x金，每只羊值y金，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设每头牛值x金，每只羊值y金，由题意得
故答案为：A
【分析】设每头牛值x金，每只羊值y金，根据“牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金”即可列出二元一次方程组，从而即可求解。
2．（2024·泰安）我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若，试向买甜果苦果各几个
若设买甜果个，买苦果个，可列出符合题意的二元一次方程组：根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为 （ ）
A．甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱
B．甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱
C．甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱
D．甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解： 设买甜果个，买苦果个 ，由知，x+y=1000是购买总数的数量关系，则另一方程为购买总价的数量关系，可知为甜果的单价，为苦果的单价，
故答案为：D.
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理清题目的数量关系，购买总数，购买总价，可得答案.
3．（2023·巴中）某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师要求用张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面已知每张卡纸可以裁出个侧面，或者裁出个底面，如果个侧面和个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【解答】解：设用x张卡纸做侧面，y张卡纸做底面，根据题意得：，解这个方程组，得：，因为每个包装盒有一个侧面，所以包装盒的个数为：2x=2×6=12，
故答案为：C.
【分析】设用x张卡纸做侧面，y张卡纸做底面，根据卡纸总数为14，可得方程：x+y=14①，根据每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，可得侧面个数为：2x个，底面个数为：3y个，根据 1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，可得方程：2x×2=3y②，联合①，②，组成方程组，解方程组求得方程租的解，根据题意包装盒的个数就等于侧面的个数。
4．（2023·益阳）某学校为进一步开展好劳动教育实践活动，用1580元购进A，B两种劳动工具共145件，A，B两种劳动工具每件分别为10元，12元．设购买A，B两种劳动工具的件数分别为x，y，那么下面列出的方程组中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【解答】解：设购买A，B两种劳动工具的件数分别为x，y，由题意得，
故答案为：A
【分析】设购买A，B两种劳动工具的件数分别为x，y，根据“用1580元购进A，B两种劳动工具共145件，A，B两种劳动工具每件分别为10元，12元”即可列出二元一次方程组，进而即可求解。
5．（2023·甘孜）有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛(斛，音hú，是古代的一种容量单位)，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛.1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设大桶可以盛酒斛，小桶可以盛酒斛，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设大桶可以盛酒x斛，小桶可以盛酒y斛，根据题意得，
，
故答案为：A
【分析】设大桶可以盛酒x斛，小桶可以盛酒y斛，根据题意即可列出二元一次方程组，进而即可求解。
6．（2023·衡阳）《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设有x只鸡，y只兔．依题意，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解： 设有x只鸡，y只兔，
∵今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，
∴由题意可列方程组 ，
故答案为：C.
【分析】根据题意找出等量关系列方程组即可。
7．（2023·绵阳）我国古代数学著作《孙子算经）中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有16头，下有44足，问鸡兔各几何．”设鸡x只，兔y只，可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得可列方程组，
故答案为：A
【分析】设鸡x只，兔y只，进而结合“今有鸡兔同笼，上有16头，下有44足”即可列出方程组。
8．（2023·泰安）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两．根据题意得（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设每枚黄金重x两，每枚白银重y两．根据题意得 ：。
故答案为：C。
【分析】根据甲袋中装有黄金9枚，乙袋中装有白银11枚，称重两袋相等 ，可列方程为：9x=11y①，根据 两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两，可列方程为：（10y+x）-（8x+y）=13②，把①②联合成方程组。
9．（2019七下·江汉期末）《九章算术》是我国古代数学的经典书，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等；交易其一，金轻十三两.问金、银一枚各重几何？”意思是甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等.两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）.问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得，
.
故答案为：C.
【分析】根据题意第一个等量关系为9枚黄金和11枚白银的重量相等列二元一次方程；再根据第二个等量关系为1枚黄金和10枚白银重量和比8枚黄金和1枚白银重量和大13列二元一次方程，即可得二元一次方程组.
10．（2024·南充）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房、设有客房x间，客人y人，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解： 设有客房x间，客人y人，则可列方程组：
.
故答案为：D.
【分析】设有客房x间，客人y人，根据题中的相等关系“一房七客多七客，一房九客一房空”可列方程组.
二、填空题
11．（2022·枣庄）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，其书中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：“5头牛、2只羊共值金10两.2头牛、5只羊共值金8两，每头牛、每只羊各值金多少两？”根据题意，可求得1头牛和1只羊共值金 两．
【答案】
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设每头牛x两，每只羊y两，
根据题意，可得
，
，
1头牛和1只羊共值金两，
故答案为：．
【分析】先求出再求出，最后求解即可。
12．（2022·威海）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则mn＝ ．
【答案】1
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】如图，根据题意，可得
第二行的数字之和为：m+2+（-2）=m
可知第三行左边的数字为：m-（-4）-m=4
第一行中间的数字为：m-n-（-4）=m-n+4
第三行中间数字为m-2-（m-n+4）=n-6
第三行右边数字为：m-n-（-2）=m-n+2
再根据对角线上的三个数字之和相等且都等于m可得方程组为：
解得
∴
故答案为：1
【分析】根据对角线上的三个数字之和相等且都等于m可得方程组为：，求出m、n的值，再将m、n的值代入计算即可。
13．（2023·威海）《九章算术》中有一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四、问人数、物价各几何？”题目大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．问有多少人？该物品价值多少元？设有x人，该物品价值y元，根据题意列方程组： ．
【答案】
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设有x人，该物品价值y元，由题意得，
故答案为：
【分析】设有x人，该物品价值y元，根据“每人出8元，多3元；每人出7元，少4元”即可列出二元一次方程组，进而即可求解。
14．（2022·仙桃）有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨，5辆大货车与2辆小货车一次可以运货25吨，则4辆大货车与3辆小货车一次可以运货 吨.
【答案】23.5
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设每辆大货车一次可以运货x吨，每辆小货车一次可以运货y吨，
依题意，得：，
两式相加得8x+6y=47，
∴4x+3y=23.5（吨） .
故答案为：23.5.
【分析】设每辆大货车一次可以运货x吨，每辆小货车一次可以运货y吨，根据3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨可得3x+4y=22；根据5辆大货车与2辆小货车一次可以运货25吨可得5x+2y=25，联立可得方程组，然后将两式相加并化简可得4x+3y的值，据此解答.
15．（2020·重庆A）火锅是重庆的一张名片，深受广大市民的喜爱.重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆摊）三种方式经营，6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为3：5：2.随着促进消费政策的出台，该火锅店老板预计7月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的 ，则摆摊的营业额将达到7月份总营业额的 ，为使堂食、外卖7月份的营业额之比为8：5，则7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是 .
【答案】1：8
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设6月份堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额为3a，5a，2a，设7月份总的增加营业额为5x，摆摊增加的营业额为2x，7月份总营业额20b，摆摊7月份的营业额为7b，堂食7月份的营业额为8b，外卖7月份的营业额为5b，
由题意可得： ，
解得： ，
∴7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比＝（5b﹣5a）：20b＝1：8，
故答案为：1：8.
【分析】根据题意设未知数（含比值的，设未知数一般为比值乘x或k），在根据“ 其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的 ，则摆摊的营业额将达到7月份总营业额的 ”列出方程组，求解即可.
16．（2019·宿迁）下面3个天平左盘中“△”“□”分别表示两种质量不同的物体，则第三个天平右盘中砝码的质量为 .
【答案】10
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设“△”的质量为 ，“□”的质量为 ，
由题意得： ，
解得： ，
∴第三个天平右盘中砝码的质量 ；
故答案为：10.
【分析】设“△”的质量为 ，“□”的质量为 ，根据前两个天平处于平衡状态，得出等量关系，列出方程组，求解算出x，y的值，进而即可算出第三个天平左边托盘物体的质量，从而得出答案。
三、解答题
17．（2024·长春）《九章算术》是我国第一部自成体系的数学专著，其中“盈不足术”记载：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？译文：今有人合伙买金，每人出400钱，剩余3400钱；每人出300钱，剩余100钱．问合伙人数和金价各是多少？请解答这个问题．
【答案】解：设共x人合伙买金，金价为y钱，
依题意得：，
解得：．
答：共33人合伙买金，金价为9800钱．
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【分析】设共x人合伙买金，金价为y钱，根据“每人出400钱，会剩余3400钱；每人出300钱，会剩余100钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可．
18．（2024·南通）某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．相关信息如下：
信息一
A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元）
1 3 260
3 2 360
信息二
A型机器人每台每天可分拣快递22万件； B型机器人每台每天可分拣快递18万件．
（1）求A、B两种型号智能机器人的单价；
（2）现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？
【答案】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，
根据题意，得，
解得：，
答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元.
（2）解：设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人（10﹣a）台，
根据题意，得80a+60（10﹣a）≤700，
解得：a≤5，
设每天分拣快递的件数为w万件，
∴w=22a+18（10﹣a）＝4a+180，
∵一次项系数k=4>0，w随着a的增大而增大，
∴当a＝5时，每天分拣快递的件数最多为w=4×5+180=200（万件），
∴10-a=10-5=5，
∴选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台， 能使每天分拣快递的件数最多 ．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据”信息一“列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组求出x、y的值；
（2）设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人（10﹣a）台，根据”用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台“列出关于a的一元一次不等式，解不等式求出a的取值范围，设每天分拣快递的件数为w，则根据”信息二“得w＝4a+180，接下来利用一次函数的性质得a=5时，w最大，即可求解.
19．（2024·济南）近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光伏车棚．已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元．
（1）求修建每个A种，B种光伏车棚分别需投资多少万元？
（2）若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，问修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？
【答案】（1）解：设修建一个A种光伏车棚需投资x万元，修建一个B种光伏车棚需投资y万元，
根据题意得：，
解得：．
答：修建一个A种光伏车棚需投资3万元，修建一个B种光伏车棚需投资2万元；
（2）解：设修建A种光伏车棚m个，则修建B种光伏车棚（20﹣m）个，
根据题意得：m≥2（20﹣m），
解得：．
设修建A，B两种光伏车棚共投资w万元，则w＝3m+2（20﹣m），
即w＝m+40，
∵一次项系数k=1＞0，
∴w随m的增大而增大，
又∵m，且m为正整数，
∴当m＝14时，w取得最小值，最小值为14+40＝54．
答：修建A种光伏车棚14个时，投资总额最少，最少投资总额为54万元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设修建一个A种光伏车棚需投资x万元，修建一个B种光伏车棚需投资y万元，根据“修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元”列出方程组，求解即可；
（2）设修建A种光伏车棚m个，则修建B种光伏车棚（20﹣m）个，修建A，B两种光伏车棚共投资w万元，由“ 修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍 ”列出不等式求解可得字母m的取值范围，根据总投资=修建m个A种光伏车棚的费用+修建（20-m）个B种光伏车棚的费用建立出w关于m的函数解析式，进而根据函数性质求解即可.
20．（2024·无锡）某校积极开展劳动教育，两次购买A，B两种型号的劳动用品，购买记录如下表：
A型劳动用品（件） B型劳动用品（件） 合计金额（元）
第一次 20 25 1150
第二次 10 20 800
（1）求A，B两种型号劳动用品的单价；
（2）若该校计划再次购买A，B两种型号的劳动用品共40件，其中A型劳动用品购买数量不少于10件且不多于25件．该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：A，B两种型号劳动用品的单价保持不变）
【答案】（1）解：设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元，
根据题意，得，
解得：，
答：A种型号劳动用品单价为20元，B种型号劳动用品单价为30元；
（2）解：设购买A种型号劳动用品a件，则购买B种型号劳动用品（40﹣a）件，
根据题意可得：10≤a≤25，
设购买这40件劳动用品需要W元，
W＝20a+30（40-a）＝-10a+1200，
∵一次项系数k=-10＜0，
∴W随a的增大而减小，
∴当a＝25时，W取最小值，W＝-10×25+1200＝950，
∴该校购买这40件劳动用品至少需要950元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元，根据表格中的数据，列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组求出x、y的值即可；
（2）设购买A种型号劳动用品a件，则购买B种型号劳动用品（40﹣a）件，根据“A型劳动用品购买数量不少于10件且不多于25”得a的取值范围，设购买这40件劳动用品需要W元，根据题意得W关于a的一次函数表达式，接下来利用一次函数的性质进行求解即可.
21．（2024·广安）某小区物管中心计划采购A，B两种花卉用于美化环境．已知购买2株种花卉和3株种花卉共需要21元；购买4株A种花卉和5株B种花卉共需要37元．
（1）求两种花卉的单 ．
（2）该物管中心计划采购两种花卉共计10000株，其中采购种花卉的株数不超过B种花卉株数的4倍，当A，B两种花卉分别采购多少株时，总费用最少 并求出最少总费用．
【答案】（1）解：设种花卉的单价为元/株，种花卉的单价为元/株．
由题意得：
解得：
答：种花卉的单价为3元/株，种花卉的单价为5元/株．
（2）解：设采购种花卉株，则种花卉（10000-m）株，总费用为元．
由题意得：
解得：．
在中
随的增大而减小
当时的值最小
此时
答：当购进A种花卉8000株，B种花卉2000株时，总费用最少，最少费用为34000元
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】 【分析】（1）根据题意找出等量关系，列关于x和y的二元一次方程组即可求出A和B两种花卉的单价.
（2）设采购种花卉株，则种花卉（10000-m）株，利用采购种花卉的株数不超过B种花卉株数的4倍 ，求出m的取值范围，根据采购费用=A的采购费用+B的采购费用，列关于m的一次函数，根据m的系数结合一次函数的性质即可判断m值越大，采购费用越少，从而推出采购方案及该方案的最少费用.
22．（2024·云南）、两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜欢．
某超市销售、两种型号的吉祥物，有关信息见下表：
成本（单位：元/个） 销售价格（单位：元/个）
型号 35 a
型号 42
若顾客在该超市购买8个种型号吉祥物和7个种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个种型号吉祥物和5个种型号吉祥物，则一共需要410元．
（1）求、的值；
（2）若某公司计划从该超市购买、两种型号的吉祥物共90个，且购买种型号吉祥物的数量（单位：个）不少于种型号吉祥物数量的，又不超过种型号吉祥物数量的2倍．设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为元，求的最大值．
注：该超市销售每个吉祥物获得的利润等于每个吉祥物的销售价格与每个吉祥物的成本的差．
【答案】（1）解：由题意得，
解得
（2）解：购买种型号吉祥物的数量个，
则购买种型号吉祥物的数量个，
且购买种型号吉祥物的数量（单位：个）不少于种型号吉祥物数量的，
，
解得，
种型号吉祥物的数量又不超过种型号吉祥物数量的2倍．
，
解得，
即，
由题知，，
整理得，
k=-3<0，随的增大而减小，
当时，的最大值为．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据表格结合“若顾客在该超市购买8个种型号吉祥物和7个种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个种型号吉祥物和5个种型号吉祥物，则一共需要410元”即可列出二元一次方程组；
（2）根据题意得到购买种型号吉祥物的数量个，则购买种型号吉祥物的数量个，进而即可列出不等式，从而解不等式即可得到x的取值范围为，再结合题意写出y与x的一次函数关系式，从而根据一次函数的性质即可求解。
23．（2024·兴安盟、呼伦贝尔）某超市从某水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种水果的进价和售价如表所示：
水果种类 进价（元/千克） 售价（元/千克）
甲 a 22
乙 b 25
该超市购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705元.
（1）求a，b的值；
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种水果共150千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于50千克，且不大于120千克.实际销售时，若甲种水果超过80千克，则超过部分按每千克降价5元销售.求超市当天销售完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系式（写出自变量x的取值范围），并求出在获得最大利润时，超市的进货方案以及最大利润.
【答案】（1）根据题意，得，
解得；
（2）当时，
根据题意，得，
，
y随x的增大而增大，
当时，y有最大值，最大值为，
即购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元；
当时，
根据题意，得，
，
y随x的增大而减小，
时，y有最大值，最大值为，
即购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元；
综上，，购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元.
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用表中数据及已知条件：购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705元，可得到关于a、b的方程组，解方程组求出a、b的值.
（2）根据题意分情况讨论：当50≤x≤80时，可得到y与x的函数解析式，利用一次函数的性质可求出此时y的最大值；当80＜x≤120时，可得到y与x的函数解析式，利用一次函数的性质可求出此时y的最大值；综上所述，可得到y与x的函数解析式及最大利润、超市的进货方案.
24．（2023·襄阳）在襄阳市创建“经济品牌特色品牌”政策的影响下．每到傍晚，市内某网红烧烤店就食客如云，这家烧烤店的海鲜串和肉串非常畅销，店主从食品加工厂批发以上两种产品进行加工销售，其中海鲜串的成本为元支，肉串的成本为元支；两次购进并加工海鲜串和肉串的数量与成本如下表所示（成本包括进价和其他费用）
次数 数量（支） 总成本（元）
海鲜串 肉串
第一次 3000 4000 17000
第二次 4000 3000 18000
针对团以消费，店主决定每次消费海鲜串不超过200支时，每支售价5元；超过200支时、不超过200支的部分按原价，超过200支的部分打八折．每支肉串的售价为3.5元．
（1）求、的值；
（2）五一当天，一个旅游团去此店吃烧烤，一次性消费海鲜串和肉串共1000支，且海鲜串不超过400支．在本次消费中，设该旅游团消费海鲜串支，店主获得海鲜串的总利润为元，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在（2）的条件下，该旅游团消费的海鲜串超过了200支，店主决定给该旅游团更多优惠，对每支肉串降价元，但要确保本次消费获得肉串的总利润始终不低于海鲜串的总利润，求的最大值．
【答案】（1）解：根据表格可得：
，
解得，
的值为3，的值为2；
（2）解：当时，店主获得海鲜串的总利润；
当时，店主获得海鲜串的总利润；
；
（3）解：设降价后获得肉串的总利润为元，令．
，
，
，
，
，
随的增大而减小，
当时，的值最小，
由题意可得：，
，
即，
解得：，
的最大值是0.5．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据表格得等量关系，列二元一次方程组求解即可；
（2）分和两段分别表示出函数表达式，最后综述.
（3）表示出降价后获得的肉串的总利润z，以及本次消费肉串利润和海鲜串利润的差值W，根据一次函数的性质以及x的取值范围得到W的最小值，且W≥0，即可确定a的最大值.
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