阆中中学高2022级2024年秋11月月考
数学试题
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.
【答案】A
2.
【答案】C
3.
【答案】D
4.
【答案】D
5.
【答案】D
6.
【答案】A
7.
【答案】A
8.
【答案】A
二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.
【答案】ACD
10.
【答案】ABD
11. 已
【答案】ABD
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.
【答案】
13.
【答案】8
14.【答案】0.84
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.
【解析】
【分析】（1）利用等比数列的基本量运算，可得数列的通项公式；
（2）利用裂项相消法可得数列的前项和．
【小问1详解】
由及，得，
两式相减，得，即，
所以，由，得，
所以，解得，
所以数列的通项公式为.
【小问2详解】
由（1），得，
所以.
16.
【解析】
【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可得平面，可得，结合条件可得，然后利用线面垂直的判定定理及性质定理即得；
（2）利用坐标法，表示出平面的法向量，利用向量夹角公式结合基本不等式即得.
小问1详解】
因为三角形是等边三角形，且E是中点，
所以，
又因为平面，平面平面，平面平面，
所以平面，
又因为面，
所以，
因为，，
所以，，
所以，即，
因为平面平面，
所以平面，
又因为平面，
所以；
【小问2详解】
设F是中点，以E为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
由已知得，
设，则、
设平面的法向量为，
则，
令，有，
设直线与平面所成的角，
所以，
当且仅当时取等号，
当时，直线与平面所成角最大．
17.
【解析】
【分析】（1）由双曲线求其渐近线方程，求出点的坐标，由此可求抛物线方程；
（2）联立直线的方程与抛物线方程可得关于x的一元二次方程，设，，，根据韦达定理求出，求出直线的方程并令，求出x并逐步化简可得，则直线过定点.
【小问1详解】
设点的坐标为，因为点在第一象限，所以，
双曲线的渐近线方程为，因为点在双曲线的渐近线上，所以，
所以点的坐标为，又点在抛物线上，所以，所以，
故抛物线的标准方程为：；
【小问2详解】
设直线的方程为，联立，消得，，
方程的判别式，即，
设，，则，
因为点A、B在第一象限，所以，故，
设B关于x轴的对称点为，
则直线的方程为，
令得：
．
直线过定点．
18.
【解析】
【分析】（1）求出的定义域，求导，由得到或2，验证后舍去，满足要求，求出的单调区间，并得到极值情况；
（2），定义域为，求导，得到的单调性及，根据得到实数a的取值范围.
【小问1详解】
，定义域为，
则，
因为函数在处取得极大值，
所以，解得或2，
当时，，
令得或，令得，
故在上单调递增，在上单调递减，
此时为极小值点，不合要求，
当时，，
令得或，令得，
故在上单调递增，在上单调递减，
此时为极大值点，满足要求，
综上，，有极大值，极小值，
单调递增区间为，单调递减区间为；
【小问2详解】
，定义域为，
则，
因为，所以，
令得，令得，
故在上单调递减，在上单调递增，
则，
令得，，解得，
故实数a的取值范围是.
19.
【解析】
【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，利用中位数、平均数的意义列式求解.
（2）以频率作为概率，求出利润的期望，由“，恒成立”构造函数，利用导数求出的范围.
【小问1详解】
由中位数为87.5，得，则，
由平均值为87，得，
则，联立解得，
所以.
【小问2详解】
以频率作为概率，每件产品的质量指标值与利润（单位:万元）及对应概率关系为：
质量指标值
利润（万元）
0.05 0.1 5a 5b 0.3
依题意，，即，
每件产品的利润，，
由对任意的，生产该产品一定能盈利，得，恒成立，
此时，令，，
求导得，令，，
求导得，而，，
当，即时，，函数在上单调递增，
，函数在上单调递增，，符合题意；
当时，则存在，使得，
由在上单调递增，得当时，，函数在上单调递减，
，，函数在上单调递减，，不符合题意，
由，及，得，因此，
所以的取值范围是.阆中中学高2022级2024年秋11月月考
数学试题
(满分:150分时间：120分钟）
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
2. 若，则（）
A. B. C. D.
3. 已知函数则（）
A B. C. D.
4. 已知为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（）
A. B.
C. D.
5. 已知，则的值为（）
A B. C. D.
6. 函数的图像大致为（）
A. B.
C. D.
7. 设函数，当时，曲线与只有一个公共点，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
8. 已知函数，其中.当时，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9. 下列说法正确的是（）．
A. 命题“，”的否定是“，”
B. 的最小值是2
C. 若，则
D. 的最小正周期是
10. 中，，BC边上的中线，则下列说法正确的有（）
A. B. 定值
C. D. 最大值为
11. 已知直线是函数图象的一条对称轴，则下列结论正确的是（）
A. 的最小值为
B. 不可能是的零点
C. 若在区间上有且仅有2个对称中心，则
D. 若在区间上单调递减，则
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12. 在中，若，且，则的外接圆的面积为________________．
13. 已知函数，若，，且，则的最小值是______
14. 英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式:当在处的阶导数都存在时，.注:表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，即为的导数. 表示的阶乘，即.该公式也称为麦克劳林公式.根据该公式估算的值为_____.(精确到小数点后两位)
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 在等比数列中，公比，其前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列前项和为.
16. 如图，四棱锥的底面为矩形，平面平面，是边长为2等边三角形，，点为的中点，点为上一点（与点不重合）．
（1）证明：；
（2）当为何值时，直线与平面所成的角最大？
17. 已知抛物线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为Q，且Q点的横坐标为3．
（1）求抛物线E的方程；
（2）过点的直线l与抛物线E相交于两点，B关于x轴的对称点为，求证：直线必过定点．
18. 已知函数，．
（1）若函数在处取得极大值，求的极值及单调区间；
（2）若，不等式对一切恒成立，求实数a的取值范围．
19. 某企业生产的产品的质量指标值为，其质量指标等级划分如下表:
质量指标值
质量指标等级 废品 合格 废品
为了解该产品的经济效益，该企业先进行试生产.现从试生产的产品中随机抽取了1000件.将其质量指标值的数据作为样本，绘制如图的频率分布直方图:
（1）若样本数据中质量指标值的中位数和平均值分别为87.5和87，求的值;
（2）若每件产品的质量指标值与利润（单位:万元）的关系如下表:
质量指标值
利润（万元）
以频率作为概率，期望作为决策依据，若，对任意的，生产该产品一定能盈利，求的取值范围.
