中小学教育资源及组卷应用平台
【中考真题 高分必刷题】3年中考数学真题分类汇编（基础版）
专题04 二次根式及其运算
本专题汇编2022~2024年三年中考真题，把3年中考中常考题型汇编成每个小专题进行分类突破，对于考生来说，最具有针对性的题型就是中考真题，让考生熟悉中考的考点以及重难点。
1．（2023·湖北黄石·中考真题）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
【答案】C
【分析】本题考查了自变量的取值范围，根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，列式解答即可．
【详解】解：由题意可得且，
解得：且，
故选：C．
2．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件即可求得答案．
【详解】解：由题意可得，
解得：，
故选：B．
【点睛】本题考查二次根式及分式有意义的条件，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
3．（2023·四川绵阳·中考真题）使代数式有意义的整数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】根据组合代数式有意义的条件，分别根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，列不等式求解即可．
【详解】解：根据题意可得：
，
解得，
∴使代数式有意义的整数有，，0，1．
共有4个．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了代数式有意义的条件，关键是利用分式的分母不为零和二次根式的被开方数为非负数，列不等式（组）求解，是常考题型，比较简单．
4．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题考查了求自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式组解答即可求解，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，，
解得且，
故答案为：且．
5．（2024·山东烟台·中考真题）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．
【答案】/
【分析】本题考查代数式有意义，根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
解得：；
故答案为：．
6．（2023·辽宁丹东·中考真题）若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题考查分式和二次根式有意义时的取值范围．根据题意可得，即可得到本题答案．
【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义，
∴，解得：，
故答案为：且．
7．（2023·湖南湘西·中考真题）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件可直接进行求解．
【详解】解：由二次根式在实数范围内有意义可得：
，
解得： ；
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
8．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）在函数中，自变量x的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查函数自变量取值范围，分别根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式求解即可．
【详解】解：根据题意得，，且，
解得，，
故答案为：．
9．（2024·山东济宁·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题考查二次根式的运算法则，根据二次根式的加法法则对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断．
【详解】A. 不能合并，所以A选项错误；
B. ，所以B选项正确；
C. ，所以C选项错误；
D. ，所以D选项错误．
故选：B．
10．（2024·内蒙古包头·中考真题）计算所得结果是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查化简二次根式，根据二次根式的性质，化简即可．
【详解】解：；
故选C．
11．（2024·四川乐山·中考真题）已知，化简的结果为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的性质，去绝对值，熟练掌握知识点是解题的关键．
先根据化简二次根式，然后再根据去绝对值即可．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
12．（2023·广东广州·中考真题）已知关于x的方程有两个实数根，则的化简结果是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】首先根据关于x的方程有两个实数根，得判别式，由此可得，据此可对进行化简．
【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根，
∴判别式，
整理得：，
∴，
∴，，
∴
．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质，理解一元二次方程根的判别式是解答此题的关键．
13．（2023·内蒙古·中考真题）实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简： ．
【答案】/
【分析】利用二次根式的性质和绝对值的性质，即可求解．
【详解】由数轴位置可知，
．
【点睛】本题考查二次根式化简运算，掌握二次根式的性质是关键．
14．（2022·四川遂宁·中考真题）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简 ．
【答案】2
【分析】利用数轴可得出，进而化简求出答案．
【详解】解：由数轴可得：，
则
∴
=
=
=
=2．
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a，b的取值范围是解题关键．
15．（2018·广东广州·中考真题）如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a ．
【答案】2
【分析】直接利用二次根式的性质以及结合数轴得出a的取值范围进而化简即可．
【详解】解：由数轴可得：0＜a＜2，
则a+
=a+
=a+（2﹣a）
=2．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是正确得出a的取值范围．
16．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）实数在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（ ）
A．2 B． C． D．-2
【答案】A
【分析】本题考查了实数与数轴的关系，二次根式的性质和绝对值的化简法则，根据数轴可得，，，再利用二次根式的性质和绝对值的化简法则，化简计算即可．
【详解】解∶由数轴知∶，，
∴，
∴
，
故选：A．
17．（2023·山东枣庄·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（ ）
A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b
【答案】A
【详解】试题分析：如图所示：a＜0，a﹣b＜0，则=﹣a﹣（a﹣b）=﹣2a+b．故选A．
考点：二次根式的性质与化简；实数与数轴．
18．（2023·江苏南京·中考真题）计算 的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算．先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答．
【详解】解：
，
故答案为：．
19．（2024·天津·中考真题）计算的结果为 ．
【答案】
【分析】利用平方差公式计算后再加减即可．
【详解】解：原式．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则及平方差公式是解题的关键．
20．（2022·天津·中考真题）计算的结果等于 ．
【答案】18
【分析】根据平方差公式即可求解．
【详解】解：，
故答案为：18．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式的展开式是解题的关键．
21．（2023·广东·中考真题）计算 ．
【答案】6
【分析】利用二次根式的乘法法则进行求解即可．
【详解】解：．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法法则和二次根式的性质是解题的关键．
22．（2022·山西·中考真题）计算的结果是 ．
【答案】3
【分析】直接利用二次根式的乘法法则计算得出答案．
【详解】解：原式＝
＝
＝3．
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查了二次根式的乘法法则，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题关键．
23．（2023·湖南益阳·中考真题）计算： ．
【答案】
【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可．
【详解】．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法．二次根式的乘法法则．
24．（2023·青海西宁·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的运算法则运算判断．
【详解】解：A、 ，不能合并，原计算错误，本选项不合题意；
B、 ，原计算错误，本选项不合题意；
C、 ，计算正确，本选项符合题意；
D、，注意运算顺序，原计算错误，本选项不合题意；
故选：C
【点睛】本题考查二次根式的运算，乘法公式；注意掌握运算法则是解题的关键．
25．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的加法，二次根式的性质，幂的乘方法则，同底数幂的乘法法则逐项计算即可判断．
【详解】解：3和不是同类二次根式，不能合并，故A计算错误，不符合题意；
，故B计算错误，不符合题意；
，故C计算错误，不符合题意；
，故D计算正确，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查二次根式的加法，二次根式的性质，幂的乘方，同底数幂的乘法．熟练掌握各运算法则是解题关键．
26．（2023·湖南湘西·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次根式的性质、积的乘方、合并同类项法则、完全平方公式进行化简计算即可．
【详解】解∶A．，原计算正确，符合题意；
B．，原计算错误，不符合题意；
C．3与不是同类二次根式，不可以合并，原计算错误，不符合题意；
D．，原计算错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的性质、积的乘方、合并同类项法则、完全平方公式，掌握相关性质与法则是解题的关键．
27．（2024·山东淄博·中考真题）计算： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的减法计算，先化简二次根式，再计算二次根式减法即可．
【详解】解：，
故答案为：．
28．（2024·山东青岛·中考真题）计算： ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，负整数指数幂和求特殊角三角函数值，先计算特殊角三角函数值，负整数指数幂和化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
29．（2024·四川凉山·中考真题）计算：．
【答案】2
【分析】本题考查了实数的混合运算．分别进行零指数幂、负整数指数幂、二次根式及绝对值的运算，然后代入特殊角的三角函数值代入运算即可．
【详解】解：
．
30．（2024·甘肃·中考真题）计算：．
【答案】0
【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】．
31．（2023·四川内江·中考真题）计算：
【答案】4
【分析】根据有理数乘方、特殊角三角函数值、负整数指数幂、零指数幂结合二次根式的混合运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了有理数乘方、特殊角三角函数值、负整数指数幂、零指数幂以及二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．
32．（2023·甘肃武威·中考真题）计算：．
【答案】
【分析】利用二次根式的混合运算法则计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解答本题的关键．
33．（2022·广西河池·中考真题）计算：．
【答案】
【分析】根据化简绝对值，负整数指数幂，二次根式的乘法，零次幂进行计算即可求解．
【详解】解：原式＝
【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握化简绝对值，负整数指数幂，二次根式的乘法，零次幂是解题的关键．
34．（2023·北京·中考真题）计算：．
【答案】
【分析】根据特殊三角函数值、零次幂及二次根式的运算可直接进行求解．
【详解】解：原式=．
【点睛】本题主要考查特殊三角函数值、零次幂及二次根式的运算，熟练掌握特殊三角函数值、零次幂及二次根式的运算是解题的关键．
35．（2024·上海·中考真题）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了绝对值，二次根式，零指数幂等，掌握化简法则是解题的关键．先化简绝对值，二次根式，零指数幂，再根据实数的运算法则进行计算．
【详解】解：
．
36．（2023·上海·中考真题）计算：
【答案】
【分析】根据立方根、负整数指数幂及二次根式的运算可进行求解．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查立方根、负整数指数幂及二次根式的运算，熟练掌握立方根、负整数指数幂及二次根式的运算是解题的关键．
37．（2022·福建·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，因式分解 运用公式法，以及二次根式的性质与化简，原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
【详解】
，
当时，原式．
38．（2023·湖南湘西·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，最后把的值代入计算即可．
【详解】解：
当时，原式
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
39．（2022·湖北襄阳·中考真题）先化简，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a-2b）+2a（b-a），其中a＝-，b＝+．
【答案】
【分析】直接利用完全平方公式、平方差公式化简，进而合并同类项，再把已知数据代入得出答案．
【详解】解：原式＝
；
a＝-，b＝+，
∴原式
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算与整式的混合运算——化简求值，正确掌握整式的混合运算法则是解题关键．
40．（2023·江苏宿迁·中考真题）先化简，再求值：，其中
【答案】，
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握知识点是解题的关键．
先化简括号内分式，再进行乘法运算，最后再代入求值即可．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
41．（2023·江苏·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】先将括号内式子通分，变分式除法为乘法，约分化简，再将代入求值．
【详解】解：
，
将代入，得：
原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，分母有理化，解题的关键是掌握分式的运算法则．
42．（2023·山东淄博·中考真题）先化简，再求值：，其中，．
【答案】 ；
【分析】直接利用整式的混合运算法则化简进而合并得出答案．
【详解】原式
,
当 时,
原式 ．
【点睛】此题主要考查了整式的混合运算二次根式的运算，正确合并同类项是解题关键．
43．（2023·内蒙古·中考真题）观察下列各式：
，，，…
请利用你所发现的规律，计算： ．
【答案】/
【分析】直接根据已知数据变化规律进而将原式变形求出答案．
【详解】
，
故答案为：．
【点睛】本题考查数字变化规律，正确将原式变形是解题的关键．
44．（2021·青海·中考真题）观察下列各等式：①；②；③…根据以上规律，请写出第5个等式： ．
【答案】
【分析】根据左边根号外的因数与根号内的分子相同，根号内的分母为分子平方与1的差，右边根号内为左边根号外与根号内两数之和，即可找到其中规律，从而写出第n个等式，再将n=6代入即可求出答案．
【详解】解：猜想第n个为：
（n为大于等于2的自然数）；
理由如下：
∵n≥2，
∴
添项得：
，
提取公因式得：
分解分子得：
；
即：
；
第5个式子，即n=6，代入得：
，
故填：．
【点睛】本题考查二次根式的计算，需要通过观察分析和寻求规律、归纳和论证的抽象思维能力，得出一般性的结论；解答此题的关键是仔细观察、细致分析，局部找规律，整体找关系．
45．（2023·四川眉山·中考真题）观察下列等式：；
；
；
……
根据以上规律，计算 ．
【答案】
【分析】根据题意，找到第n个等式的左边为，等式右边为1与的和；利用这个结论得到原式＝1+1+1+…+1﹣2021，然后把化为1﹣，化为﹣，化为﹣，再进行分数的加减运算即可．
【详解】解：由题意可知，，
＝1+1+1+…+1﹣2021
＝2020+1﹣+﹣+…+﹣﹣2021
＝2020+1﹣﹣2021
＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的化简和找规律，解题关键是根据算式找的规律，根据数字的特征进行简便运算．
46．（2024·江苏盐城·中考真题）发现问题
小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽．
提出问题
销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？
分析问题
某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的籽．该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n个籽，每列有k个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d（n，k均为正整数，，），如图1所示．
小明设计了如下三种铲籽方案．
方案1：图2是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为________，共铲________行，则铲除全部籽的路径总长为________；
方案2：图3是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为________；
方案3：图4是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长．
解决问题
在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价．
【答案】分析问题：方案1：；；；方案2：；方案3：；解决问题：方案3路径最短，理由见解析
【分析】分析问题：方案1：根据题意列出代数式即可求解；方案2：根据题意列出代数式即可求解；方案3：根据图得出斜着铲每两个点之间的距离为，根据题意得一共有列，行，斜着铲相当于有n条线段长，同时有个，即可得出总路径长；
解决问题：利用作差法比较三种方案即可．
题目主要考查列代数式，整式的加减运算，二次根式的应用，理解题意是解题关键．
【详解】解：方案1：根据题意每行有n个籽，行上相邻两籽的间距为d，
∴每行铲的路径长为，
∵每列有k个籽，呈交错规律排列，
∴相当于有行，
∴铲除全部籽的路径总长为，
故答案为：；；；
方案2：根据题意每列有k个籽，列上相邻两籽的间距为d，
∴每列铲的路径长为，
∵每行有n个籽，呈交错规律排列，，
∴相当于有列，
∴铲除全部籽的路径总长为，
故答案为：；
方案3：由图得斜着铲每两个点之间的距离为，
根据题意得一共有列，行，
斜着铲相当于有n条线段长，同时有个，
∴铲除全部籽的路径总长为：；
解决问题
由上得：，
∴方案1的路径总长大于方案2的路径总长；
，
∵，
当时，
，
，
∴方案3铲籽路径总长最短，销售员的操作方法是选择最短的路径，减少对菠萝的损耗．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
【中考真题 高分必刷题】3年中考数学真题分类汇编（基础版）
专题04 二次根式及其运算
本专题汇编2022~2024年三年中考真题，把3年中考中常考题型汇编成每个小专题进行分类突破，对于考生来说，最具有针对性的题型就是中考真题，让考生熟悉中考的考点以及重难点。
1．（2023·湖北黄石·中考真题）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
2．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·四川绵阳·中考真题）使代数式有意义的整数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
4．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是 ．
5．（2024·山东烟台·中考真题）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．
6．（2023·辽宁丹东·中考真题）若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
7．（2023·湖南湘西·中考真题）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
8．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）在函数中，自变量x的取值范围是 ．
9．（2024·山东济宁·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024·内蒙古包头·中考真题）计算所得结果是（ ）
A．3 B． C． D．
11．（2024·四川乐山·中考真题）已知，化简的结果为（ ）
A． B．1 C． D．
12．（2023·广东广州·中考真题）已知关于x的方程有两个实数根，则的化简结果是（ ）
A． B．1 C． D．
13．（2023·内蒙古·中考真题）实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简： ．
14．（2022·四川遂宁·中考真题）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简 ．
15．（2018·广东广州·中考真题）如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a ．
16．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）实数在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（ ）
A．2 B． C． D．-2
17．（2023·山东枣庄·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（ ）
A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b
18．（2023·江苏南京·中考真题）计算 的结果是 ．
19．（2024·天津·中考真题）计算的结果为 ．
20．（2022·天津·中考真题）计算的结果等于 ．
21．（2023·广东·中考真题）计算 ．
22．（2022·山西·中考真题）计算的结果是 ．
23．（2023·湖南益阳·中考真题）计算： ．
24．（2023·青海西宁·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
25．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
26．（2023·湖南湘西·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
27．（2024·山东淄博·中考真题）计算： ．
28．（2024·山东青岛·中考真题）计算： ．
29．（2024·四川凉山·中考真题）计算：．
30．（2024·甘肃·中考真题）计算：．
31．（2023·四川内江·中考真题）计算：
32．（2023·甘肃武威·中考真题）计算：．
33．（2022·广西河池·中考真题）计算：．
34．（2023·北京·中考真题）计算：．
35．（2024·上海·中考真题）计算：．
36．（2023·上海·中考真题）计算：
37．（2022·福建·中考真题）先化简，再求值：，其中．
38．（2023·湖南湘西·中考真题）先化简，再求值：，其中．
39．（2022·湖北襄阳·中考真题）先化简，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a-2b）+2a（b-a），其中a＝-，b＝+．
40．（2023·江苏宿迁·中考真题）先化简，再求值：，其中
41．（2023·江苏·中考真题）先化简，再求值：，其中．
42．（2023·山东淄博·中考真题）先化简，再求值：，其中，．
43．（2023·内蒙古·中考真题）观察下列各式：
，，，…
请利用你所发现的规律，计算： ．
44．（2021·青海·中考真题）观察下列各等式：①；②；③…根据以上规律，请写出第5个等式： ．
45．（2023·四川眉山·中考真题）观察下列等式：；
；
；
……
根据以上规律，计算 ．
46．（2024·江苏盐城·中考真题）发现问题
小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽．
提出问题
销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？
分析问题
某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的籽．该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n个籽，每列有k个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d（n，k均为正整数，，），如图1所示．
小明设计了如下三种铲籽方案．
方案1：图2是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为________，共铲________行，则铲除全部籽的路径总长为________；
方案2：图3是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为________；
方案3：图4是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长．
解决问题
在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
