重庆市广益中学校2024-2025学年高二上学期10月月考
数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】A
2.
【答案】A
3.
【答案】C
4.
【答案】C
5.
【答案】D
6.
【答案】D
7.
【答案】A
8.
【答案】D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分，有选错的得0分.
9.
【答案】BC
10.
【答案】CD
11.
【答案】CD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分．
12.
【答案】
13.
【答案】##0.4
14.
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.
【解析】
【分析】（1）求出的中点坐标及，故求出AB的中垂线斜率，点斜式求出方程；
（2）关于的对称点在直线上，求出，利用两点式求出直线方程，得到答案.
【小问1详解】
的中点坐标为，
又，故AB的中垂线斜率为4，
故AB的中垂线方程为，即；
【小问2详解】
由对称性可知，关于的对称点在直线上，
故，解得，
故，
故直线的方程为，即.
16.
【解析】
【分析】（1）圆C经过两点，且与x轴的正半轴相切，可设圆心，即，可得半径．利用勾股定理、弦长公式计算进而得出答案．
（2）求出圆心到直线l的距离d，即可得出弦长．
【小问1详解】
圆C经过两点，且与x轴的正半轴相切，
设圆心，即，故半径，
则，
∴圆C的标准方程为：．
【小问2详解】
圆心到直线l：的距离，
∴弦长．
17.
【解析】
【分析】（1）建立坐标系求出点的坐标，利用向量的坐标运算求平面法向量即可求解，
（2）利用向量法求解点面距离即可．
【小问1详解】
建立以为坐标原点，，，分别为，，轴的空间直角坐标系如图：
则，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，，0，
，分别为，的中点，
，1，，，1，，
，0，，，2，，
设平面的法向量为，
则,即，令，则
因为，，所以
平面．
【小问2详解】
,,
设点到平面的距离为，所以
18.
【解析】
【分析】（1）以点P为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用两个平面法向量相同得证平行；
（2）设，向量法表示已知条件中两平面夹角余弦值，求解即可.
【小问1详解】
在等边三角形SAD中，P为AD的中点，于是，
又平面平面ABCD，平面平面，平面SAD，
平面ABCD，是四棱锥的高，
设，则，矩形的面积，
，，
如图，以点P为坐标原点，PA所在直线为x轴，过点P且与AB平行的直线为y轴，PS所在直线为z轴，
建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，
设是平面的一个法向量，
则即，
令，则，，.
同理可得平面SCD的一个法向量为.
，平面平面SCD.
【小问2详解】
存在.
设，
则，，
设平面PEB的一个法向量为，
则，
令，则，，
，
易知平面SAD的一个法向量为，
.
，，
存在点E，且E为AS上靠近A点三等分点.
19.
【解析】
【分析】(1) 设点为曲线上任意一点，利用两点间距离公式表示条件关系，化简等式可得轨迹方程；
(2) 设，联立直线的方程和曲线的方程求点的坐标，联立直线的方程和曲线的方程求点的坐标，求直线的方程，确定其与轴的交点坐标即可.
【小问1详解】
设点为曲线上任意一点，
因为，，，
则，
化简得．
【小问2详解】
由题意得，，
设，则直线的方程为，
直线的方程为，
联立得，
则，
即，，
所以
联立得，
则，即，，
所以
当时，直线的斜率，
则直线的方程为，
即，所以，
当时，直线垂直于轴，方程为，也过定点．
综上，直线恒过定点．重庆市广益中学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题
（时间：120分钟，分值：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角为（）
A. B. C. D.
2已知直线与直线，若，则（）
A. 6 B. C. 2 D.
3. 若点在圆的外部，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
4. 已知三棱锥，点M，N分别为AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（）
A. B. C. D.
5. 某直线l过点，且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍，则该直线的斜率是（）
A. B. C. 或 D. 或
6. 已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是（）
A. 相离 B. 相交 C. 内切 D. 外切
7. 如图，在平行六面体中，底面是菱形，侧面是正方形，且，，，若P是与的交点，则异面直线与的夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
8. 正四面体的棱长为4，空间中的动点P满足，则的取值范围为（）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分，有选错的得0分.
9. 已知向量，，，则下列结论正确的是（）
A. 与垂直 B. 与共线
C. 与所成角为锐角 D. ，，，可作为空间向量的一组基底
10. 已知圆，直线.则以下命题正确有（ ）
A. 直线l恒过定点 B. y轴被圆C截得的弦长为
C. 直线l与圆C恒相交 D. 直线l被圆C截得弦长最长时，直线的方程为
11. 如图，在边长为2的正方体中，E，F，G分别为，，的中点，则（）
A. ∥平面
B平面
C. 异面直线与所成角的余弦值为
D. 点B到平面的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分．
12. 过点与直线平行的直线方程______.
13. 在四棱锥中，底面，底面是边长为1的正方形，，则直线PB与平面PCD所成角的正弦值为______.
14. 已知曲线与直线有且仅有一个公共点，那么实数的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知的平分线所在的直线的方程为．
（1）求AB的中垂线方程；
（2）求AC的直线方程．
16. 已知圆C经过两点，且与x轴的正半轴相切.
（1）求圆C的标准方程；
（2）若直线l：与圆C交于M，N，求.
17. 如图，在边长为2的正方体中，分别为的中点.
（1）证明：；
（2）求点到平面的距离.
18. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD是矩形，是等边三角形，平面平面，，E为棱SA上一点，P为棱AD的中点，四棱锥的体积为.
（1）若E为棱SA的中点，F是SB的中点，求证：平面平面SCD；
（2）是否存在点E，使得平面PEB与平面SAD夹角的余弦值为？若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由.
19. 已知在平面直角坐标系xOy中，，，平面内动点P满足．
（1）求点P轨迹方程；
（2）点P轨迹记为曲线，若C，D是曲线与x轴的交点，E为直线l：x＝4上的动点，直线CE，DE与曲线的另一个交点分别为M，N，直线MN与x轴交点为Q，求点Q的坐标．
