重庆市长寿中学校2024-2025学年上学期高一半期测试
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】B
2.
【答案】C
3.
【答案】C
4.
【答案】A
5.
【答案】A
6.
【答案】D
7.
【答案】B
8.
【答案】B
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9.
【答案】BCD
10.
【答案】AD
11.
【答案】ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.【答案】
13.
【答案】或
14.
【答案】 ①. 1 ②.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.
【解析】
【分析】（1）根据条件，利用集合交集运算，即可求出结果；
（2）先求出全集，利用集合并集的运算，得到，再利用集合补集的运算，即可求解；
（3）用集合补集的运算得到，再利用集合交集的运算，即可求解.
【小问1详解】
因为，，
所以.
【小问2详解】
因为，又，
所以.
【小问3详解】
因为，，
所以，又，得到.
16.
【解析】
【分析】（1）设草坪的宽为米，长为米，得到，列出不等式，求得的范围，进而求得宽的最大值；
（2）根据题意，得到，结合基本不等式，即可求解.
【小问1详解】
解：设草坪的宽为米，长为米，由面积均为400平方米，可得，
因为矩形草坪的长比宽至少大9米，所以，
可得，解得，
又因为，所以，所以宽的最大值为米.
【小问2详解】
解：记整个的绿化面积为平方米，
由题意可得
（平方米）
当且仅当时，即米时，等号成立，
所以整个绿化面积的最小值为平方米.
17.
【解析】
【分析】（1）用单调性的定义证明即可.
（2）由在区间上的单调性易得值域.
【小问1详解】
令，则
，
又，，，即，
所以函数在区间上是增函数.
【小问2详解】
由（1）知函数在区间上是增函数，又，
所以函数在区间上的值域为.
18
【解析】
【分析】（1）把代入，利用不等式恒成立分离参数，再利用单调性求出函数最值即可.
（2）把代入，借助一元二次不等式分段求解即得.
（3）由建立方程，作差变形，结合基本不等式及一元二次不等式求解证得.
【小问1详解】
当时，，，
对任意，关于的不等式恒成立，
即在上恒成立，即在上恒成立，
即当时，的最大值为0，则，所以实数的取值范围
【小问2详解】
当时，不等式，即，
当时，成立，则，
当时，得，即解，解得；
当且时，得，解得，
所以不等式的解集为.
【小问3详解】
由，得，
即，
由点，均为函数与函数图象的公共点，
得，
，
两式相减得，
由，得，
则，
令，则，
整理得，解得，
所以.
19.
【解析】
【分析】（1）根据题意得到，解该一元二次方程即可得解；
（2）根据题意，转化为有两个不相等的正实数根，结合根与系数的关系，得到，且，化简，结合基本不等式，即可求解.
【小问1详解】
令，可得，
可得，解得，
所以二次函数不动点为和.
【小问2详解】
二次函数有两个不相等的不动点，且，
则方程有两个不相等的正实数根，
即方程有两个不相等的正实数根，
所以，且，
因为，即，解得，可得，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.重庆市长寿中学校2024-2025学年上学期高一半期测试
数学试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 给出下列关系，其中正确的个数为（）
①；②；③；④，
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 已知集合，，则下列结论中正确的是
A. B. C. D.
3. 已知全集，集合，，则（）
A或 B. 或
C或 D. 或
4. “”是“”的（）
A充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 设命题：，使得，则为（）
A. ，都有 B. ，都有
C. ，使得 D. ，使得
6. 已知，则以下错误的是（）
A. B.
C D.
7. 如图，在一个圆心为，半径为的半圆形钢板上截取一块矩形材料，使矩形的一边落在半圆的直径上，则这个矩形的面积最大时，的大小是（）
A. B. C. D.
8. 若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 我们知道，如果集合，那么的子集的补集为且，类似地，对于集合我们把集合且，叫作集合和的差集，记作，例如：，则有，下列解答正确的是（）
A. 已知，则
B. 已知或，则或
C. 如果，那么
D. 已知全集、集合、集合关系如上图中所示，则
10. 下列函数中，最小值是4的有（）.
A. B.
C D.
11. 定义在内的函数满足，且当时，，，对，，使得，则实数的取值可能为（）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数则__________．
13. 设集合，，其中、、、、是五个不同的正整数，且，已知，，中所有元素之和是246，请写出所有满足条件的集合A：__________________.
14. 已知，，则的最小值是______.当取最小值时，恒成立，则的取值范围是_______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知全集，集合，，求：
（1）；
（2）；
（3）.
16. 为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米.
（1）若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值；
（2）若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值.
17. 已知，．
（1）求证：函数在区间上是增函数；
（2）求函数在区间上的值域.
18. 已知函数，.
（1）当时，对任意，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；
（2）当，时，解关于的不等式；
（3）当，时，若点，均为函数与函数图象的公共点，且，求证：.
19. 对于二次函数，若，使得成立，则称为二次函数的不动点.
（1）求二次函数的不动点；
（2）若二次函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值.
