铁路中学2024—2025学年半期测试
高二（上）数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.
【答案】B
2.
【答案】D
3.
【答案】B
4.
【答案】D
5.
【答案】A
6.
【答案】A
7.
【答案】C
8.
【答案】D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.
【答案】AC
10.
【答案】ABD
11.
【答案】BC
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.
【答案】##
13.
【答案】
14.
【答案】 ①. ②.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.
【解析】
【分析】分别利用平行与垂直求出直线斜率，再由点斜式直线方程可得.
【小问1详解】
直线与直线平行，可得的斜率.
又过点，
由点斜式可得：，即：.
【小问2详解】
由直线的斜率为，直线与直线垂直，
所以直线的斜率，
又过点，由点斜式可得：，即：.
16.
【解析】
【分析】（1）若为中点，连接，易证是平行四边形，有，再由线面平行判定证结论；
（2）构建空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值.
【小问1详解】
若为中点，连接，又为棱的中点，，
所以，且，即是平行四边形，
所以，面，面，则面.
【小问2详解】
由平面，，构建如图所示空间直角坐标系，
由，，，则，显然面的一个法向量为，
所以，若面的一个法向量为，
则，令，则，
所以平面和夹角的余弦值为.
17.
【解析】
【分析】（1）求出过点且与直线垂直的直线方程，与联立求出圆心，根据两点间的距离求出半径，即可得圆的方程；
（2）分类讨论，利用点到直线的距离公式，结合过原点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程.
【小问1详解】
过点且与直线垂直的直线方程为，
联立，解得，所以,
所以圆的半径为,
所以圆的方程为.
【小问2详解】
由（1）可知圆的方程为，
因为直线被圆截得的弦长为，
所以到直线的距离为，
若直线斜率不存在，则方程为，此时圆心到直线的距离为，不符合题意；
若直线的斜率存在，设方程为，
则,即,解得或,
所以直线的方程为或.
18.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，求出椭圆的长短半轴长即可.
（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理求出三角形面积即可求出答案.
【小问1详解】
依题意，设椭圆的短半轴长，令长半轴长为，
由离心率，得，解得，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
显然直线的斜率存在，设其方程为，设，
由消去得，显然，
，，
则的面积，则有，解得，
所以直线的方程是.
19.
【解析】
【分析】（1）根据面面垂直的性质定理和线面垂直的性质得到，然后根据线面垂直和面面垂直的判定定理证明即可；
（2）根据二面角的定义得到为二面角的平面角，根据二面角的正切值得到，，然后根据相似得到，，然后建系，设利用空间向量的方法列方程求即可.
【小问1详解】
∵平面平面，平面平面，，平面，
∴平面，
∵平面，
∴，
∵，，平面，
∴平面，
∵平面，
∴平面平面.
【小问2详解】
由（1）知平面，，而平面，故.
∴为二面角的平面角，
又平面，平面，
∴，，
∴，.
在①，∴，
令，则，
解得.即，.
在①中作，垂足.
则可得，.
∵平面平面，平面，平面平面，
∴平面，
过作，以为原点，，，分别为轴轴轴建立如图直角坐标系，则
，，，.
，，
设，.
设平面的法向量为，则
，∴，取，，即，
设平面的法向量为，则
，取，，.即.
.
解得（舍去），或.
∴.铁路中学2024—2025学年半期测试
高二（上）数学试题
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 设有四边形ABCD,O为空间任意一点,且,则四边形ABCD是( )
A. 空间四边形 B. 平行四边形
C. 等腰梯形 D. 矩形
2. 设向量，，若，则（）
A. B. C. D.
3. 直线的倾斜角为（）
A. 150° B. 120° C. 60° D. 30°
4. 已知椭圆C：的一个焦点为，则k的值为（）
A. 4 B. 8 C. 10 D. 12
5. 设为实数，已知直线，若，则（）
A. 6 B. C. 6或 D. 或3
6. 已知圆，圆，则两圆的公切线有（）
A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 3条
7. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点.则的最小值为（）
A. B. C. D. 1
8. 点是椭圆上点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，与轴相交于，两点，若是直角三角形，则该椭圆的离心率为（）
A B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列关于空间向量的命题中，是真命题的是（）
A. 若三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们一定不共面
B. 若，则，的夹角是锐角
C. 不相等的两个空间向量的模可能相等
D. 若，是两个不共线的向量，且且，则构成空间的一个基底
10. 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（）
A. CC1⊥BD
B.
C. 夹角是60°
D. 直线与直线的距离是
11. 已知直线与圆相交于，两点，下列说法正确的是（）
A. 若圆关于直线对称，则
B. 最小值为
C. 当时，对任意，曲线恒过直线与圆的交点
D. 若，，，（为坐标原点）四点共圆，则
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 两条平行直线与之间的距离是_______．
13. 已知空间向量两两夹角均为，其模均为1，则____.
14. 在如图所示的三棱锥中，平面，，，，为中点，为内的动点（含边界），且.当在上时，________；点的轨迹的长度为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 求满足下列条件的直线的方程：
（1）直线过点，且与直线平行；
（2）直线过点，且与直线垂直.
16. 如图，在四棱锥中，平面，，，，为棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，，求平面和夹角余弦值.
17. 在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在直线上，且圆与直线相切于点.
（1）求圆的方程；
（2）过坐标原点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程.
18. 已知椭圆的焦点在轴上，离心率为，是椭圆的一个顶点.
（1）求椭圆的方程;
（2）过直线交椭圆于两点，若的面积为，求直线的方程.
19. 如图①，在直角梯形中，，，.将沿折起，使平面平面，连，得如图②的几何体.
（1）求证：平面平面；
（2）若，二面角的平面角的正切值为，在棱上是否存在点使二面角的平面角的余弦值为，若存在，请求出的值，若不存在，说明理由.
