浙江省杭州高级中学贡院校区2024-2025学年九年级上学期分班考数学试卷
1．（2024九上·杭州开学考）如图直线y＝mx与双曲线y= 交于点A、B，过A作AM⊥x轴于M点，连接BM，若S△AMB＝2，则k的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】根据双曲线的对称性可得：OA=OB，则S△ABM＝2S△AOM＝2，S△AOM＝ |k|＝1，
则k＝±2．又由于反比例函数图象位于一三象限，k＞0，所以k＝2．
故答案为：B．
【分析】此题可根据反比例函数图象的对称性得到A、B两点关于原点对称，再由S△ABM=2S△AOM并结合反比例函数系数k的几何意义得到k的值．
2．（2024九上·杭州开学考）在中，已知和分别是两边上的中线，并且，，，那么的面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形的中线
【解析】【解答】解：连接ED，如图所示：
∵D、E分别为AC、AB中点，
∴S四边形BCDE=，
∵S△ACE=S△BCE，S△ADE=S△EDC，
∴S△ABC=S四边形BCD=16.
故答案为：C.
【分析】连接ED，先根据三角形中线的性质结合三角形的面积得到S四边形BCDE=，再根据“S△ACE=S△BCE，S△ADE=S△EDC”即可求解。
3．（2024九上·杭州开学考）若，，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式的化简求值；三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：由4x-3y-6z=0与x-2y-7z=0得x=3z，y=2z，
把x=3z，y=2z代入原式得
故答案为：D
【分析】先根据题意解三元一次方程得到x=3z，y=2z，进而代入分式化简即可求解。
4．（2024九上·杭州开学考）已知实数，且满足，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，且满足，
∴是方程即的两个根，
∴，
∴，，
∴，，
∴；
故答案为：B
【分析】先根据题意得到是方程即的两个根，进而根据一元二次方程根与系数的关系得到，进而即可得到，，再根据完全平方公式结合题意即可得到，从而根据即可求解。
5．（2024九上·杭州开学考）如图所示，（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：连接ED，如图所示：
∵，，
∴，
即，
∵，
∴，
故答案为：C
【分析】先根据四边形的内角和结合对顶角得到，，进而即可得到，即，再根据代入即可求解。
6．（2024九上·杭州开学考）将一枚六个面编号分别为，，，，，的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为，第二次掷出的点数为，则使关于，的方程组只有正数解的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：当2a-b=0时，方程组无解；
当2a-b≠0时，由a、b的实际意义为1，2，3，4，5，6易知a，b都为大于0的整数，
则两式联合求解可得，
∵使x、y都大于0则有，
解得a＜1.5，b＞3或者a＞1.5，b＜3，
∵a，b都为1到6的整数，
∴当a为1时b只能是4，5，6；或者a为2，3，4，5，6时b为1或2，
∴这两种情况出现可能有3+10=13种；
综上所述，掷两次骰子出现的基本事件共6×6=36种情况，关于，的方程组只有正数解的概率为，
故答案为：D
【分析】根据题意分当2a-b=0时，当2a-b≠0时，进行讨论，进而根据二元一次方程组的解结合题意即可得到当a为1时b只能是4，5，6；或者a为2，3，4，5，6时b为1或2，从而根据等可能事件的概率即可求解。
7．（2024九上·杭州开学考）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q．若QP=QO，则的值为（ ）
A．2-1 B．2 C．+ D．+2
【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】解：如图，设⊙O的半径为r，QO=m，则QP=m，QC=r+m，
QA=r﹣m．
在⊙O中，根据相交弦定理，得QA QC=QP QD．
即（r﹣m）（r+m）=m QD，所以QD=．
连接DO，由勾股定理，得QD2=DO2+QO2，
即，
解得
所以，
故选D．
【分析】设⊙O的半径为r，QO=m，则QP=m，QC=r+m，QA=r﹣m．利用相交弦定理，求出m与r的关系，即用r表示出m，即可表示出所求比值．
8．（2024九上·杭州开学考）某校初三两个毕业班的学生和教师共人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵排数，且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡处，那么，满足上述要求的排法的方案有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：设最后一排有k个人，共有n排，那么从后往前各排的人数分别为，由题意得，
∴．
∵k，n都是正整数，且，
∴，
∵n与的奇偶性不同，
将200分解质因数，可知或．
当时，；当时，．
∴共有两种不同方案．
故答案为：B
【分析】最后一排有k个人，共有n排，那么从后往前各排的人数分别为，进而即可得到．再结合题意即可得到，再分解因式根据整式的奇偶性即可求解。
9．（2024九上·杭州开学考）在中，，若斜边是直角边的倍，则的值是 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；求正切值
【解析】【解答】解：在中，，设BC=x，则AB=3x，
由勾股定理得
则
故答案为：
【分析】设BC=x，则AB=3x，再根据勾股定理表示出AC，进而根据正切函数即可求解。
10．（2024九上·杭州开学考）如图，在中，，，，则 ．
【答案】
【知识点】角的运算；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：设，，
则，，
∴2，
∴.
故答案为：30°
【分析】先根据三角形的外角结合题意设，，则，，进而即可得到2，从而即可求解。
11．（2024九上·杭州开学考）已知非零实数，满足 ，则等于 ．
【答案】1
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：由题意得a≥3，
∴，
∴原等式可化为
即，
∴b+2=0且，
∴a=3，b=-2，
∴a+b=1．
故答案为：1
【分析】先根据题意得到a≥3，进而即可得到，再化简原等式，根据非负性求出a和b，从而即可求解。
12．（2024九上·杭州开学考）如图，等腰，，，为上一点，以为斜边作等腰，连接，若，则的长为 ．
【答案】
【知识点】等腰直角三角形；解直角三角形—含30°角直角三角形；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，BC，
∴∠B=∠ACB=45°，BCABAC，
∴AB=AC=1．
∵∠ACE=30°，
∴ACAE=1，CE=2AE，
∴AE，CE，
∴BE=AB﹣AE=1．
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴∠DCE=45°，CECD，
∴∠BCE=∠ACD，，
∴△BCE∽△ACD，
∴，
∴AD．
故答案为：
【分析】根据等腰直角三角形的性质得到∠B=∠ACB=45°，BCABAC，进而得到AB=AC=1，再解直角三角形（含30°角）得到ACAE=1，CE=2AE，AE，CE，从而得到BE，再根据等腰直角三角形得到∠DCE=45°，CECD，从而得到∠BCE=∠ACD，，根据相似三角形的判定与性质证明△BCE∽△ACD得到，代入化简即可求解。
13．（2024九上·杭州开学考）时，函数的最小值为，则实数的值为 ．
【答案】或
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：，
，
函数在对称轴处取得最小值为，
时，函数的最小值为，
①当时，函数在处取得最小值，
有，
②当时，函数在处取得最小值，
有，
整理得，
解得或（均不符合题意舍去），
③当时，函数在处取得最小值，
有，
解得．
综上所述，或．
故答案为：或
【分析】先根据二次函数的最值得到函数在对称轴处取得最小值为，进而根据题意分类讨论：①当时，②当时，③当时，从而解一元一次方程即可求解。
14．（2024九上·杭州开学考）如图，正方形ABCD的边长为（ +1），点M、N分别是边BC、AC上的动点，沿MN所在直线折叠正方形，使点C的对应点C'始终落在边AB上，若△NAC'为直角三角形，则CN的长为 .
【答案】 或
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的边长为（ +1），
∴AC= ×（ +1）=2+ ，AB= +1，∠CAB=45°，
若∠C'NA=90°，
∴∠AC'N=∠CAB=45°
∴AN=NC'，
∵折叠
∴CN=C'N
∴CN=AN=
若∠NC'A=90°
∴∠ANC'=∠CAB=45°
∴NC'=AC'
∴AN= AC'= C'N
∵折叠
∴CN=C'N
∵AC=CN+AN= CN+CN=2+
∴CN=
故答案为： 或
【分析】利用正方形的性质及解直角三角形求出AC，AB的长，分情况讨论：若∠C'NA=90°，利用等腰直角三角形的定义，可证得AN=NC'，再利用折叠的性质，可知CN=C'N，即可推出CN=AN，就可求出CN的长；若∠NC'A=90°，根据AC=CN+AN，即可求出CN的长。
15．（2024九上·杭州开学考）已知实数、、、满足，，则 ．
【答案】-5
【知识点】整式的混合运算；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：实数、、、满足，
，
，
，
∴．
故答案为：
【分析】先根据题意代入得到，进而即可得到，再根据整式的混合运算、因式分解即可得到，从而代入即可求解。
16．（2024九上·杭州开学考）实数、、满足，，则的最大值是 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵x＋y＝5 z，xy＝3 z(x＋y)＝3 z(5 z)＝z2 5z＋3，
∴x、y是关于t的一元二次方程t2 (5 z)t＋z2 5z＋3＝0的两实根．
∵△＝(5 z)2 4(z2 5z＋3)≥0，
即3z2 10z 13≤0，
(3z 13)(z＋1)≤0．
∴ 1≤z≤，
当 x＝y＝时，z＝．
∴z的最大值为
故答案为：
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系结合一元二次方程根的判别式结合即可得到△＝(5 z)2 4(z2 5z＋3)≥0，即3z2 10z 13≤0，进而解不等式即可求解。
17．（2024九上·杭州开学考）已知对于任意正整数，都有，则 ．
【答案】
【知识点】分式的混合运算；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：，则
，
∴原式．
故答案为：
【分析】先根据“”得到，则，进而化简原式，代入数值即可求解。
18．（2024九上·杭州开学考）已知，，，，是满足条件的五个不同的整数，若是关于的方程的整数根，则的值为 ．
【答案】10
【知识点】一元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵是关于的方程的整数根，
∴，
∵，且，，，，是五个不同的整数，
∴，，，，也是五个不同的整数，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】根据方程的根代入得到，再结合题意即可得到，，，，也是五个不同的整数，进而根据得到，即，从而结合解一元一次方程即可求解。
19．（2024九上·杭州开学考）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）过点作轴，垂足为，连接，求的面积．
【答案】（1）点在的图象上，
，
反比例函数的解析式为，
，
点，在的图象上，
一次函数的解析式为．
（2）以为底，则边上的高为，
，
答：的面积是．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）先运用待定系数法求出反比例函数的解析式，进而即可得到点A和点B的坐标，再根据待定系数法求出一次函数的解析式即可求解；
（2）根据三角形的面积以BC为底，进而求出高即可求解。
20．（2024九上·杭州开学考）解关于的不等式．
【答案】解：不等式可变形为，
当时，解集为；
当时，不等式为，
解集为或；
当时，不等式为，解集为无解；
当时，不等式为，
解集为：；
当时，不等式为，
解集为：．
【知识点】解特殊的不等式组
【解析】【分析】根据题意变形不等式得到，进而分类讨论a的情况，从而即可求解。
21．（2024九上·杭州开学考）已知关于的方程有实根．
（1）求取值范围；
（2）若原方程的两个实数根为，，且，求的值．
【答案】（1）设，则原方程化为：，
当方程为一次方程时，即，．
若，方程的解为，原方程的解为满足条件；
若，方程的解为，原方程的解为满足条件；
．
当方程为二次方程时，，则，
要使方程有解，则，
解得：，此时原方程没有增根，
取值范围是．
综上，的取值范围是．
（2）设，，则
则、是方程的两个实数根，
由韦达定理得：，
，
，
解得：或，
又，
．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；解分式方程
【解析】【分析】（1）设，则原方程化为：，进而分类讨论：当方程为一次方程时，当方程为二次方程时，再根据一元二次方程根的判别式即可求解；
（2）设，，再根据一元二次方程根与系数的关系得到，从而解分式方程即可求解。
22．（2024九上·杭州开学考）如图，的内接四边形中，，是它的对角线，的中点是的内心．
求证：
（1）是的外接圆的切线；
（2）．
【答案】（1），
，
．
同理，．
故点是的外心．
连接，，
是的中点，且，
，即．
是外接圆的切线．
（2）由可得：
的中点是的内心，
，
又，
∽，
，
同理可得：
．
【知识点】等腰三角形的判定；三角形的外接圆与外心；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先根据角的运算结合题意等量代换得到，再根据等腰三角形的判定（等角对等边）得到，同理，，进而得到点是的外心，连接，，根据中点结合切线的判定即可求解；
（2）先根据三角形的外心得到，进而得到，再根据相似三角形的判定与性质证明∽得到，从而结合题意等量代换得到，同理可得，再进行线段的运算即可求解。
23．（2024九上·杭州开学考）个正整数，，，满足如下条件：；且，，，中任意个不同的数的算术平均数都是正整数求的最大值．
【答案】解：设，，中去掉后剩下的个数的算术平均数为正整数，，，即．
于是，对于任意的，都有，
从而，
由于是正整数，
故，
由于，
所以，，于是，
结合，所以，；
另一方面，令，，，，，
则这个数满足题设要求．
综上所述，的最大值为．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；整式的混合运算；平均数及其计算；解特殊的不等式组
【解析】【分析】设中去掉后剩下的个数的算术平均数为正整数，从而可以得到能整除，再根据得到n的范围，从而结合题意可得出n的值．
1 / 1浙江省杭州高级中学贡院校区2024-2025学年九年级上学期分班考数学试卷
1．（2024九上·杭州开学考）如图直线y＝mx与双曲线y= 交于点A、B，过A作AM⊥x轴于M点，连接BM，若S△AMB＝2，则k的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2024九上·杭州开学考）在中，已知和分别是两边上的中线，并且，，，那么的面积等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·杭州开学考）若，，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九上·杭州开学考）已知实数，且满足，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九上·杭州开学考）如图所示，（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九上·杭州开学考）将一枚六个面编号分别为，，，，，的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为，第二次掷出的点数为，则使关于，的方程组只有正数解的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024九上·杭州开学考）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q．若QP=QO，则的值为（ ）
A．2-1 B．2 C．+ D．+2
8．（2024九上·杭州开学考）某校初三两个毕业班的学生和教师共人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵排数，且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡处，那么，满足上述要求的排法的方案有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
9．（2024九上·杭州开学考）在中，，若斜边是直角边的倍，则的值是 ．
10．（2024九上·杭州开学考）如图，在中，，，，则 ．
11．（2024九上·杭州开学考）已知非零实数，满足 ，则等于 ．
12．（2024九上·杭州开学考）如图，等腰，，，为上一点，以为斜边作等腰，连接，若，则的长为 ．
13．（2024九上·杭州开学考）时，函数的最小值为，则实数的值为 ．
14．（2024九上·杭州开学考）如图，正方形ABCD的边长为（ +1），点M、N分别是边BC、AC上的动点，沿MN所在直线折叠正方形，使点C的对应点C'始终落在边AB上，若△NAC'为直角三角形，则CN的长为 .
15．（2024九上·杭州开学考）已知实数、、、满足，，则 ．
16．（2024九上·杭州开学考）实数、、满足，，则的最大值是 ．
17．（2024九上·杭州开学考）已知对于任意正整数，都有，则 ．
18．（2024九上·杭州开学考）已知，，，，是满足条件的五个不同的整数，若是关于的方程的整数根，则的值为 ．
19．（2024九上·杭州开学考）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）过点作轴，垂足为，连接，求的面积．
20．（2024九上·杭州开学考）解关于的不等式．
21．（2024九上·杭州开学考）已知关于的方程有实根．
（1）求取值范围；
（2）若原方程的两个实数根为，，且，求的值．
22．（2024九上·杭州开学考）如图，的内接四边形中，，是它的对角线，的中点是的内心．
求证：
（1）是的外接圆的切线；
（2）．
23．（2024九上·杭州开学考）个正整数，，，满足如下条件：；且，，，中任意个不同的数的算术平均数都是正整数求的最大值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】根据双曲线的对称性可得：OA=OB，则S△ABM＝2S△AOM＝2，S△AOM＝ |k|＝1，
则k＝±2．又由于反比例函数图象位于一三象限，k＞0，所以k＝2．
故答案为：B．
【分析】此题可根据反比例函数图象的对称性得到A、B两点关于原点对称，再由S△ABM=2S△AOM并结合反比例函数系数k的几何意义得到k的值．
2．【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形的中线
【解析】【解答】解：连接ED，如图所示：
∵D、E分别为AC、AB中点，
∴S四边形BCDE=，
∵S△ACE=S△BCE，S△ADE=S△EDC，
∴S△ABC=S四边形BCD=16.
故答案为：C.
【分析】连接ED，先根据三角形中线的性质结合三角形的面积得到S四边形BCDE=，再根据“S△ACE=S△BCE，S△ADE=S△EDC”即可求解。
3．【答案】D
【知识点】分式的化简求值；三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：由4x-3y-6z=0与x-2y-7z=0得x=3z，y=2z，
把x=3z，y=2z代入原式得
故答案为：D
【分析】先根据题意解三元一次方程得到x=3z，y=2z，进而代入分式化简即可求解。
4．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，且满足，
∴是方程即的两个根，
∴，
∴，，
∴，，
∴；
故答案为：B
【分析】先根据题意得到是方程即的两个根，进而根据一元二次方程根与系数的关系得到，进而即可得到，，再根据完全平方公式结合题意即可得到，从而根据即可求解。
5．【答案】C
【知识点】角的运算；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：连接ED，如图所示：
∵，，
∴，
即，
∵，
∴，
故答案为：C
【分析】先根据四边形的内角和结合对顶角得到，，进而即可得到，即，再根据代入即可求解。
6．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：当2a-b=0时，方程组无解；
当2a-b≠0时，由a、b的实际意义为1，2，3，4，5，6易知a，b都为大于0的整数，
则两式联合求解可得，
∵使x、y都大于0则有，
解得a＜1.5，b＞3或者a＞1.5，b＜3，
∵a，b都为1到6的整数，
∴当a为1时b只能是4，5，6；或者a为2，3，4，5，6时b为1或2，
∴这两种情况出现可能有3+10=13种；
综上所述，掷两次骰子出现的基本事件共6×6=36种情况，关于，的方程组只有正数解的概率为，
故答案为：D
【分析】根据题意分当2a-b=0时，当2a-b≠0时，进行讨论，进而根据二元一次方程组的解结合题意即可得到当a为1时b只能是4，5，6；或者a为2，3，4，5，6时b为1或2，从而根据等可能事件的概率即可求解。
7．【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】解：如图，设⊙O的半径为r，QO=m，则QP=m，QC=r+m，
QA=r﹣m．
在⊙O中，根据相交弦定理，得QA QC=QP QD．
即（r﹣m）（r+m）=m QD，所以QD=．
连接DO，由勾股定理，得QD2=DO2+QO2，
即，
解得
所以，
故选D．
【分析】设⊙O的半径为r，QO=m，则QP=m，QC=r+m，QA=r﹣m．利用相交弦定理，求出m与r的关系，即用r表示出m，即可表示出所求比值．
8．【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：设最后一排有k个人，共有n排，那么从后往前各排的人数分别为，由题意得，
∴．
∵k，n都是正整数，且，
∴，
∵n与的奇偶性不同，
将200分解质因数，可知或．
当时，；当时，．
∴共有两种不同方案．
故答案为：B
【分析】最后一排有k个人，共有n排，那么从后往前各排的人数分别为，进而即可得到．再结合题意即可得到，再分解因式根据整式的奇偶性即可求解。
9．【答案】
【知识点】勾股定理；求正切值
【解析】【解答】解：在中，，设BC=x，则AB=3x，
由勾股定理得
则
故答案为：
【分析】设BC=x，则AB=3x，再根据勾股定理表示出AC，进而根据正切函数即可求解。
10．【答案】
【知识点】角的运算；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：设，，
则，，
∴2，
∴.
故答案为：30°
【分析】先根据三角形的外角结合题意设，，则，，进而即可得到2，从而即可求解。
11．【答案】1
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：由题意得a≥3，
∴，
∴原等式可化为
即，
∴b+2=0且，
∴a=3，b=-2，
∴a+b=1．
故答案为：1
【分析】先根据题意得到a≥3，进而即可得到，再化简原等式，根据非负性求出a和b，从而即可求解。
12．【答案】
【知识点】等腰直角三角形；解直角三角形—含30°角直角三角形；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，BC，
∴∠B=∠ACB=45°，BCABAC，
∴AB=AC=1．
∵∠ACE=30°，
∴ACAE=1，CE=2AE，
∴AE，CE，
∴BE=AB﹣AE=1．
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴∠DCE=45°，CECD，
∴∠BCE=∠ACD，，
∴△BCE∽△ACD，
∴，
∴AD．
故答案为：
【分析】根据等腰直角三角形的性质得到∠B=∠ACB=45°，BCABAC，进而得到AB=AC=1，再解直角三角形（含30°角）得到ACAE=1，CE=2AE，AE，CE，从而得到BE，再根据等腰直角三角形得到∠DCE=45°，CECD，从而得到∠BCE=∠ACD，，根据相似三角形的判定与性质证明△BCE∽△ACD得到，代入化简即可求解。
13．【答案】或
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：，
，
函数在对称轴处取得最小值为，
时，函数的最小值为，
①当时，函数在处取得最小值，
有，
②当时，函数在处取得最小值，
有，
整理得，
解得或（均不符合题意舍去），
③当时，函数在处取得最小值，
有，
解得．
综上所述，或．
故答案为：或
【分析】先根据二次函数的最值得到函数在对称轴处取得最小值为，进而根据题意分类讨论：①当时，②当时，③当时，从而解一元一次方程即可求解。
14．【答案】 或
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的边长为（ +1），
∴AC= ×（ +1）=2+ ，AB= +1，∠CAB=45°，
若∠C'NA=90°，
∴∠AC'N=∠CAB=45°
∴AN=NC'，
∵折叠
∴CN=C'N
∴CN=AN=
若∠NC'A=90°
∴∠ANC'=∠CAB=45°
∴NC'=AC'
∴AN= AC'= C'N
∵折叠
∴CN=C'N
∵AC=CN+AN= CN+CN=2+
∴CN=
故答案为： 或
【分析】利用正方形的性质及解直角三角形求出AC，AB的长，分情况讨论：若∠C'NA=90°，利用等腰直角三角形的定义，可证得AN=NC'，再利用折叠的性质，可知CN=C'N，即可推出CN=AN，就可求出CN的长；若∠NC'A=90°，根据AC=CN+AN，即可求出CN的长。
15．【答案】-5
【知识点】整式的混合运算；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：实数、、、满足，
，
，
，
∴．
故答案为：
【分析】先根据题意代入得到，进而即可得到，再根据整式的混合运算、因式分解即可得到，从而代入即可求解。
16．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵x＋y＝5 z，xy＝3 z(x＋y)＝3 z(5 z)＝z2 5z＋3，
∴x、y是关于t的一元二次方程t2 (5 z)t＋z2 5z＋3＝0的两实根．
∵△＝(5 z)2 4(z2 5z＋3)≥0，
即3z2 10z 13≤0，
(3z 13)(z＋1)≤0．
∴ 1≤z≤，
当 x＝y＝时，z＝．
∴z的最大值为
故答案为：
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系结合一元二次方程根的判别式结合即可得到△＝(5 z)2 4(z2 5z＋3)≥0，即3z2 10z 13≤0，进而解不等式即可求解。
17．【答案】
【知识点】分式的混合运算；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：，则
，
∴原式．
故答案为：
【分析】先根据“”得到，则，进而化简原式，代入数值即可求解。
18．【答案】10
【知识点】一元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵是关于的方程的整数根，
∴，
∵，且，，，，是五个不同的整数，
∴，，，，也是五个不同的整数，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】根据方程的根代入得到，再结合题意即可得到，，，，也是五个不同的整数，进而根据得到，即，从而结合解一元一次方程即可求解。
19．【答案】（1）点在的图象上，
，
反比例函数的解析式为，
，
点，在的图象上，
一次函数的解析式为．
（2）以为底，则边上的高为，
，
答：的面积是．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）先运用待定系数法求出反比例函数的解析式，进而即可得到点A和点B的坐标，再根据待定系数法求出一次函数的解析式即可求解；
（2）根据三角形的面积以BC为底，进而求出高即可求解。
20．【答案】解：不等式可变形为，
当时，解集为；
当时，不等式为，
解集为或；
当时，不等式为，解集为无解；
当时，不等式为，
解集为：；
当时，不等式为，
解集为：．
【知识点】解特殊的不等式组
【解析】【分析】根据题意变形不等式得到，进而分类讨论a的情况，从而即可求解。
21．【答案】（1）设，则原方程化为：，
当方程为一次方程时，即，．
若，方程的解为，原方程的解为满足条件；
若，方程的解为，原方程的解为满足条件；
．
当方程为二次方程时，，则，
要使方程有解，则，
解得：，此时原方程没有增根，
取值范围是．
综上，的取值范围是．
（2）设，，则
则、是方程的两个实数根，
由韦达定理得：，
，
，
解得：或，
又，
．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；解分式方程
【解析】【分析】（1）设，则原方程化为：，进而分类讨论：当方程为一次方程时，当方程为二次方程时，再根据一元二次方程根的判别式即可求解；
（2）设，，再根据一元二次方程根与系数的关系得到，从而解分式方程即可求解。
22．【答案】（1），
，
．
同理，．
故点是的外心．
连接，，
是的中点，且，
，即．
是外接圆的切线．
（2）由可得：
的中点是的内心，
，
又，
∽，
，
同理可得：
．
【知识点】等腰三角形的判定；三角形的外接圆与外心；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先根据角的运算结合题意等量代换得到，再根据等腰三角形的判定（等角对等边）得到，同理，，进而得到点是的外心，连接，，根据中点结合切线的判定即可求解；
（2）先根据三角形的外心得到，进而得到，再根据相似三角形的判定与性质证明∽得到，从而结合题意等量代换得到，同理可得，再进行线段的运算即可求解。
23．【答案】解：设，，中去掉后剩下的个数的算术平均数为正整数，，，即．
于是，对于任意的，都有，
从而，
由于是正整数，
故，
由于，
所以，，于是，
结合，所以，；
另一方面，令，，，，，
则这个数满足题设要求．
综上所述，的最大值为．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；整式的混合运算；平均数及其计算；解特殊的不等式组
【解析】【分析】设中去掉后剩下的个数的算术平均数为正整数，从而可以得到能整除，再根据得到n的范围，从而结合题意可得出n的值．
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