江西省吉安市遂川县2024年中考模拟数学试题
1．（2024·遂川模拟）下列各数中，最大的数是（ ）
A．0 B．0.1 C．－1 D．－2
【答案】B
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：0.1>0>-1>-2，
最大的数为0.1，
故答案为：B.
【分析】将各个数据进行比较大小，即可求解.
2．（2024·遂川模拟）2024年我省政府工作报告中，梳理了2023年关于民生福祉的工作业绩，其中在教育方面我省义务教育学位新增27.4万个，将27.4万用科学记数法表示应为（ ）
A．0.274×107 B．2.74×106 C．2.74×105 D．2.74×107
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 27.4万 = 2.74×105 ，
故答案为：C.
【分析】将一个大于10的数表示为的形式，，n是正整数，这样记数的方法称为科学记数法.
3．（2024·遂川模拟） 如图所示，由三个完全相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：由题意得
的俯视图是
故答案为：A
【分析】根据由小正方体组合成的几何体的三视图结合题意画出其俯视图，进而即可求解。
4．（2024·遂川模拟）下列运算正确的是（ ）
A．a＋2b＝3ab B．（－2a2）3＝－6a6
C．2a3b÷ab＝2a2b D．a·（a－2b）＝a2－2ab
【答案】D
【知识点】单项式乘多项式；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：
A：a＋2b＝3ab，计算错误，不符合题意；
B：（－2a2）3＝－6a6，计算错误，不符合题意；
C：2a3b÷ab＝2a2b，计算错误，不符合题意；
D：a（a－2b）＝a2－2ab，计算正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】分别利用合并同类项法则、积的乘方法则、单项式除以单项式法则、单项式乘以多项式法则进行逐一判断即可求解.
5．（2024·遂川模拟）如图，AD//BC，BD平分∠ABC，∠D＝50°，∠C＝34°，则∠CAB的度数为（ ）
A．46° B．50° C．56° D．68°
【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：AD//BC，
BD平分∠ABC，
在△ABC中，
∠C＝34°，
故答案为：A.
【分析】利用平行线的性质求得由角平分线的定义求得结合已知条件利用三角形的内角和定理即可求解.
6．（2024·遂川模拟） 如图，矩形中，，，点E在矩形的边上，则当的一个内角度数为时，符合条件的点E的个数共有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；垂径定理；圆周角定理；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，当时，如图所示：
，
∴，
设，则，
∴即，
解得：，
∴对应的存在点满足条件；
当点E在上时，如图所示：
当时，则，
∴，
设，则，
∴即，
解得：，符合题意；
同理对应的点也符合题意；
当时，点E在以O为圆心，长为半径的圆与的交点上，如图所示：
过点O作于点F，连接，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
过点O作，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴点E符合题意；
∴在线段上存在一个点和，满足条件，
综上所述，符合条件的点E的个数共有6个，
故答案为：C．
【分析】根据题意分类讨论：①当时，②当时，进而根据矩形的性质、勾股定理，圆周角定理、垂径定理结合题意解直角三角形即可求解。
7．（2024·遂川模拟）－2的绝对值是
【答案】2
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】-2的绝对值是坐标轴上，-2点到原点的距离，它的值等于2，
故答案为：2.
【分析】正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是其相反数。
8．（2024·遂川模拟）已知方程x2－4x－3＝0的两个根分别为，则的值为 ．
【答案】－3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解： 方程x2－4x－3＝0的两个根分别为，
故答案为：-3.
【分析】直接利用韦达定理即可求解.
9．（2024·遂川模拟） 如图所示，若入射光线与平面镜成夹角，且入射光线与反射光线与平面镜所成的角度相等，则入射光线与反射光线的夹角的度数为 ．
【答案】
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：如图所示：
∵，
∴，
∴入射光线与反射光线的夹角的度数为．
故答案为：
【分析】先根据物理学知识得到，进而根据平角即可求出∠AOB的度数。
10．（2024·遂川模拟） 古印度数学家所著的《算法本原》一本中记载了一个有趣的猴群问题：一群猴子在树林中玩耍，总数的八分之一的平方只猴子在欢乐地蹦跳；还有12只猴子在啼叫，设这群猴子共有x只，根据题意，可列方程为 ．
【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设这群猴子共有x只，由题意得
故答案为：.
【分析】设这群猴子共有x只，根据“总数的八分之一的平方只猴子在欢乐地蹦跳；还有12只猴子在啼叫”即可列出一元二次方程，进而即可求解。
11．（2024·遂川模拟）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC的中点，延长BC至E，使BE＝AC，若∠C＝42°，则∠E的度数为 ．
【答案】21°
【知识点】三角形的外角性质；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，连接BD，
∠ABC＝90°，D为AC的中点，
AD=CD=BD，
BE＝AC，
AD=CD=BD=BE，
故答案为：21°.
【分析】连接BD，由直角三角形斜边中线定理求得AD=CD=BD，结合已知利用等边对等角求得再由三角形的外角性质即可求解.
12．（2024·遂川模拟） 如图，矩形中，，，E为的中点，连接，点P在矩形的边上，且在的上方，则当是以为斜边的直角三角形时，的长为 ．
【答案】或
【知识点】解分式方程；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵四边形为矩形，
∴，，
∵E为的中点，
∴，
∵是以为斜边的直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得：，，
即或，
当时，由勾股定理得：，
当时，由勾股定理得：，
故答案为：或
【分析】先根据矩形的性质得到，，进而根据中点得到，进而根据直角三角形的性质得到，等量代换得到，根据相似三角形的判定与性质证明得到，设，则，解分式方程得到或，再分类讨论，运用勾股定理即可求解。
13．（2024·遂川模拟）
（1）计算：；
（2）如图，，平分，交于点，求证．
【答案】（1）解：由于负数的绝对值是它的相反数，故，负数的三次幂是负数，故．
故原式，
，
（2）证明：平分，
，
，，
，
．
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据有理数的绝对值、有理数的乘方进行运算，进而即可求解；
（2）先根据角平分线的定义得到，进而根据三角形全等的判定与性质证明即可得到．
14．（2024·遂川模拟）如图正六边形ABCDEF．请分别在图1，图2中使用无刻度的直尺按要求作图．
（1）在图1中，以AB为直角边，作一个直角三角形；
（2）在图2中，以AB为边作一个菱形．
【答案】（1）解：在图1中，△ABE即为所作；
（2）解：在图2中，四边形ABCM即为所作．
【知识点】菱形的判定；正多边形的性质；直角三角形的性质；尺规作图-直角三角形
【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质作图即可求解；
（2）根据菱形的判定作图即可求解.
15．（2024·遂川模拟）计算：，下面是某同学的解答过程：
解：原式＝……………第一步
＝．……………………第二步
（1）第一步的依据是 ，运用的方法是 ，第二步的依据是 ；
①分式的基本性质；②分式的加减法则；③分式的通分；④分式的约分法则．
（2）计算：．
【答案】（1）①；③；②
（2）解：
．
【知识点】分式的加减法
【解析】【分析】（1）由分式的加减运算法则即可求解；
（2）先进行通分和因式分解，再进行加减法运算即可求解.
16．（2024·遂川模拟）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点C在x轴上，AB⊥x轴，垂足为B， OC＝6，AC＝，∠ACB＝45°，AC交反比例函数的图象于点 D．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点D的坐标．
【答案】（1）解：∵在△ABC中，AC＝，∠ACB＝45°，
∴AB＝BC＝4
∵OC＝6，
∴OB＝OC－BC＝6－4＝2
∴点A的坐标为（2，4），即k＝8，反比例函数的解析式为y＝．
（2）解：过点D作DE⊥x轴，垂足为E，DF⊥y轴，垂足为F，交AB于点G．
设DG＝m，则AG＝m，
∴OE＝FD＝m＋2，
DE＝AB－GB＝4－m．
∵点D在反比例函数的图象上，
∴（m＋2）（4－m）＝8，
解得（舍去）．
∴点D的坐标为（4，2）．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；等腰直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质求得AB＝BC＝4，结合已知条件求得OB的值进而得到点A的坐标，从而求出k的值，即可求解；
（2）过点D作DE⊥x轴，垂足为E，DF⊥y轴，垂足为F，交AB于点G，设DG＝m，则AG＝m，再表示出OE，DE的值，由反比例函数图象的点的坐标特点得到关于m的方程，解方程取符合题意的m的值，即可求解.
17．（2024·遂川模拟）某地爱心驿站招募志愿者3人，共有20人报名，小李和小王两男同学报了名．由于报名者都符合条件，故采取抽签的方式决定，所招募的3个志愿者中要求两女一男，于是共做20个签，其中两个写有的“女”的签、一个写有“男”的签，17个未写任何字的空签，每个签从外观上无任务差别．
（1）若小李先抽，正好抽到的是“男”签概率为 ；
（2）若小李和小王两人分别在第17和18个抽，此时只有四个签，其中只有一个“女”签和一个“男”签，另两个为空签，求小李或小王抽到“男”签的概率．
【答案】（1）
（2）解：根据题意，小李和小王抽签时，剩下四个签，即一个“女”签（A），一个“男”签（B），两个空签（C，D），设依次分别记为A，B，C，D．
画树状图如下：
从树状图看出，所有等可能出现的结果共有12个，其中小李或小王抽到“男”签有6个，所以，P（小李或小王抽到“男”）＝．
答：小李或小王抽到“男”签的概率是
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率的简单应用
【解析】【解答】（1）总共有20个标签，其中写有“男”的标签只有一个，
正好抽到的是“男”签概率为，
【分析】（1）直接利用概率公式即可求解；
（2）先画树状图，得到所有等可能出现的结果共有12个，其中小李或小王抽到“男”签有6个，利用概率公式代入数据计算即可求解.
18．（2024·遂川模拟）为鼓励学生加强强身健体，某校计划购买一批篮球和排球，根据学校实际，决定共购买30个排球，20个篮球，共花费2560元，若篮球和排球的单价之和为104元．
（1）求篮球和排球的单价；
（2）据不完全统计，每个学年篮球的损耗率是排球的损耗率的两倍，若学期末这批篮球和排球最多剩下43个，求排球的最大损耗率．
【答案】（1）解：设篮球的单价为x元，排球的单价为y元，
根据题意，得
解得
（2）解：设排球的最大损耗率为m，则篮球的损耗率2m．
根据题意，得30m＋20×2m≤50－43
解得m≤0.1，即排球的最大损耗率10%．
答：篮球的单价为48元，排球的单价为56元，排球的最大损耗率为10%．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设篮球的单价为x元，排球的单价为y元，根据 购买30个排球，20个篮球，共花费2560元，若篮球和排球的单价之和为104元 即可列出关于x，y的二元一次方程组，解方程组，即可求解；
（2）设排球的最大损耗率为m，则篮球的损耗率2m．根据 篮球的损耗率是排球的损耗率的两倍， 且 篮球和排球最多剩下43个， 列出敢于m的一元一次不等式，解不等式即可求解.
19．（2024·遂川模拟）如图1是某地公园里的一座纪念碑，将其抽象为图2，已知∠A＝120°，∠B＝106°，∠C＝128°，∠D＝126°，AE＝600cm， DE＝400cm．（结果精确到小数点后一位）
图1 图2
（1）求证：AB∥DE；
（2）求纪纪念碑的高度．
（参考数据：sin6°≈0.105，cos6°≈0.995，tan6°≈0.105，sin54°≈0.809，cos54°≈0.588，tan54°≈1.376）
【答案】（1）证明：∵在五边形ABCDE中，∠A＝120°，∠B＝106°，∠C＝128°，∠D＝126°，
∴∠E＝540°－∠A－∠B－∠C－∠D
＝540°－120°－106°－128°－126°
＝540°－480°＝60°．
∴∠A＋∠E＝180°．
∴AB∥DE．
（2）解：如图，过点E作CD平行线EP，再分别过点A，D作EP的垂线AN，DM，垂足分别为N，M．
∵∠CDE＝126°，
∴∠DEM＝54°．
∵∠E＝60°，∴∠AEP＝∠AED－∠DEM＝6°．
∵AE＝600cm，DE＝400cm，
∴AN＝AE×sin∠AEG＝600×sin 6°
＝600×0.105＝63cm，
DM＝DE×sin∠DEM ＝400×sin 54°
＝400×0.809＝323.6cm．
∴浮雕的高度为AN＋DM＝63＋323.6＝386.6cm
【知识点】平行线的判定；解直角三角形；解直角三角形的其他实际应用；多边形的内角和公式
【解析】【分析】（1）利用多边形的内角和求得∠E=60°，从而得到∠A＋∠E＝180°，再根据平行线的判定即可求解；
（2）过点E作CD平行线EP，再分别过点A，D作EP的垂线AN，DM，垂足分别为N，M，先利用平行线的性质求得∠DEM＝54°．再求得∠AEP的度数，结合已知利用三角函数求得AN，DM的值，最后根据线段的和差关系即可求解.
20．（2024·遂川模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线交AB的延长线于点F．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）若AC＝13，BC＝10，求DE长．
【答案】（1）证明：连结OD．
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC．
∵AB＝AC，
∴AD是BC上的高，且AD平分∠BAC．
∴OD是△ABC的中位线，
即OD∥AC．
∵DE⊥AC，
∴OD⊥EF．
∴直线EF是⊙O的切线．
（2）解：∵AB＝AC＝13，BC＝10，AD⊥BC，
∴BD＝5
∴AD＝＝12
∵在直角△ADC中，AD＝12，CD＝BD＝5，AC＝13，
即DE＝
【知识点】三角形的面积；勾股定理；切线的判定；圆的综合题；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）连结OD，由圆周角定理求得∠ADB＝90°，再利用等腰三角形的“三线合一”性质求得OD是△ABC的中位线，得到OD∥AC，结合DE⊥AC，由平行线的性质得到OD⊥EF．即可求解；
（2）利用勾股定理求得AD的值，再由三角形的面积法得到，代入数据计算即可求解.
21．（2024·遂川模拟）某校为了有效提升学生综合素质，同时减轻学生课业负担，决定在全校开展丰富多彩的学生课外活动，经研究确定课外活动类型为体育、社会实践、文化艺术、科技创新和读书共五类项目，并在组织活动前进行了初步调查，调查要求在以上五类项目中只能选一项最感兴趣的一项，现随机抽查了m名学生，并将其结果绘制成如下不完整的统计图，请解答下列问题：
（1）求m的值；
（2）补全条形统计图；
（3）求“社会实践”所对扇形圆心角的度数；
（4）已知该校共有1200名学生，请你估计该校最喜欢读书活动的学生数，根据统计图中的数据，请你针对课外活动提出一条合理化建议．
【答案】（1）解：∵体育有21人，占14%，
∴m＝21÷14%＝150
（2）解：补全图形如下：
（3）解：30÷150×360°＝72°．
∴“社会实践”所对扇形圆心角的度数为72°．
（4）解：（45÷150）×1200＝360人．
估计该校最喜欢读书活动的学生数有360人．
根据以上数据，对于课外活动，我认为学校要加强科技创新宣传，并提供相应条件，促进科技创新活动的开展．（建议有积极意义即可）
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）利用体育的人数除以体育占总体的百分比即可求解总人数；
（2）先求出社会实践的人数，补全图形即可求解；
（3）用社会实践的人数百分比乘以360°即可求解；
（4）利用样本估计总体即可求解.
22．（2024·遂川模拟）课本再现
在学行四边形的概念后，进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．
（1）如图1，在ABCD中，对角线AC与BD交于点O，求证：OA＝OC，OB＝OD．
（2）知识应用
在△ABC中，点P为BC的中点．延长AB到D，使得BD＝AC，延长AC至E，使得CE＝AB，连接 DE．如图2，连接BE，若∠BAC＝60°，请你探究线段BE与线段AP之间的数量关系．写出你的结论，
并加以证明．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，AB＝CD．
∴∠BAO＝∠DCO，∠AOB＝∠COD．
∴△AOB≌△COD．
∴OA＝OC，OB＝OD
（2）解：如图4，过B作BH//AE交DE于H，连接CH，AH．
图4
易得∠1＝∠BAC＝60°．
∵DB＝AC，AB＝CE，
∴AD＝AE．
∴△AED是等边三角形．
∴∠D＝∠1＝∠2＝∠AED＝60°．
∴△BDH是等边三角形．
∴BD＝DH＝BH＝AC．
∴四边形ABHC是平行四边形．
∵点P是BC的中点，
∴点P是四边形ABHC对角线AH，BC的交点．
∴点A，P，H共线．
∴AH＝2AP．
在△ADH和△EDB中，AD＝ED，∠EDB＝∠ADH， DB＝DH，
∴△ADH≌△EDB．
∴BE＝AH＝2AP．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质得到AB//CD，AD//BC，AB＝CD，进而得到∠BAO＝∠DCO，∠AOB＝∠COD，证明△AOB≌△COD，根据三角形全等的性质即可求解；
（2）过B作BH//AE交DE于H，连接CH，AH，可得∠1＝∠BAC＝60°，先证明△AED是等边三角形，得到∠D＝∠1＝∠2＝∠AED＝60°，进而证明△BDH是等边三角形，得到BD＝DH＝BH＝AC．即可证明四边形ABHC是平行四边形，结合点P是BC的中点，得到AH＝2AP，从而证明△ADH≌△EDB，根据三角形全等的性质得到BE=AH，从而求解.
23．（2024·遂川模拟）综合与实践
问题提出
如图1，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4，点D在AB上，AD＝1，点P沿折线D－B－C运动（运动到点C停止），以DP为边作正方形DPEF．设点P运动的线路长为x，正方形DPEF 面积为y．
初步感悟
（1）当点P在DB上运动时，若BP＝AD，则
①y＝ ，y关于x的函数关系式为 ；
②连接CE，则CE长为 ．
（2）当点P在BC上运动时，求y关于x的函数解析式．
（3）延伸探究
如图2，将点P的运动过程中y与x的函数关系绘制成如图2所示的图象，请根据图象信息，解决如下问题：
①当点P的运动到使DP∥AC时，图象上对应点的坐标为 ▲ ；
②当AC将正方形DPEF分成面积相等的两部分时，AC与正方形交于点G、H两点，请直接写出此时AG的长，以及自变量和函数的值．
【答案】（1）4；y＝x2；
（2）解：∵当P在BC上时，3＜x≤7，
x＝BD＋BP＝3＋BP，BP＝x－3
∴DP＝，
即y＝x2－6x＋18
综上，当3＜x≤7时，y关于x的函数解析式为y＝x2－6x＋18
（3）解：①（6，18）；②，
此时自变量的值为4，函数的值为10
【知识点】函数解析式；勾股定理；正方形的性质；锐角三角函数的定义；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：（1） ① 当点P在DB上运动时， DP=x，正方形DPEF的面积为y=
y关于x的函数关系式为 y＝x2，
AB=BC=4，AD=1，
BP=AD=1，
DP=AB-AD-BP=2，
x=2，
当x=2时，y=x2=4，
故答案为：4，y＝x2.
② 延长FE交BC于点G，如图，
四边形DPEF为正方形，
四边形PBGE为矩形，
GE=BP=1，BG=PE=2，
CG=BC-BG=2，
故答案为：.
（3） ① 如下图，
BP=BD=AB-AD=4-1=3，
x=BD+BP=3+3=6，
y=18，
图象上对应点的坐标为（6，18），
故答案为：（6，18）.
②AC将正方形DPEF分成面积相等的两部分 ，
AC过正方形DPEF的中心，
如下图，连接DE，PF，其与AC交于点O，即点O为DE，PF的中点，构造正方形ABCN，
可得
DF=DP，
BP=AD=1，AF=BD=3，
自变量是4时，函数值为10，
过点G作GK⊥AF，
KF=3KG，
∠CAF=45°，
∠AK=KG，
设KG=x，可得AK=x，KF=3x，
由AF=AK+FK可得，3=x+3x，
解得
自变量为4，函数值为10，
故答案为：，自变量为4，函数值为10.
【分析】（1） ① 画出图形，由已知条件列出解析式，再求出DP的值即可求解； ② 延长FE交BC于点G，先证明四边形PBGE为矩形，求得GE=BP=1，BG=PE=2，再利用勾股定理即可求解；
（2）当P在BC上时，得到x的取值范围，进而求得x＝BD＋BP＝3＋BP，BP＝x－3，利用勾股定理即可求解；
（3）①先证明得到BP=BD=3，进而确定横坐标x的取值，再利用勾股定理求得从而求解；
②AC将正方形DPEF分成面积相等的两部分 ，AC过正方形DPEF的中心，连接DE，PF，其与AC交于点O，即点O为DE，PF的中点，构造正方形ABCN，得到再证明得到BP=AD=1，AF=BD=3，即可确定自变量和函数值；过点G作GK⊥AF，利用三角函数和等腰直角三角形的性质可得KF=3KG，∠AK=KG，设KG=x，可得AK=x，KF=3x，根据AF=AK+FK得到关于x的方程，解方程求得x的值，再运用勾股定理即可求解.
1 / 1江西省吉安市遂川县2024年中考模拟数学试题
1．（2024·遂川模拟）下列各数中，最大的数是（ ）
A．0 B．0.1 C．－1 D．－2
2．（2024·遂川模拟）2024年我省政府工作报告中，梳理了2023年关于民生福祉的工作业绩，其中在教育方面我省义务教育学位新增27.4万个，将27.4万用科学记数法表示应为（ ）
A．0.274×107 B．2.74×106 C．2.74×105 D．2.74×107
3．（2024·遂川模拟） 如图所示，由三个完全相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·遂川模拟）下列运算正确的是（ ）
A．a＋2b＝3ab B．（－2a2）3＝－6a6
C．2a3b÷ab＝2a2b D．a·（a－2b）＝a2－2ab
5．（2024·遂川模拟）如图，AD//BC，BD平分∠ABC，∠D＝50°，∠C＝34°，则∠CAB的度数为（ ）
A．46° B．50° C．56° D．68°
6．（2024·遂川模拟） 如图，矩形中，，，点E在矩形的边上，则当的一个内角度数为时，符合条件的点E的个数共有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
7．（2024·遂川模拟）－2的绝对值是
8．（2024·遂川模拟）已知方程x2－4x－3＝0的两个根分别为，则的值为 ．
9．（2024·遂川模拟） 如图所示，若入射光线与平面镜成夹角，且入射光线与反射光线与平面镜所成的角度相等，则入射光线与反射光线的夹角的度数为 ．
10．（2024·遂川模拟） 古印度数学家所著的《算法本原》一本中记载了一个有趣的猴群问题：一群猴子在树林中玩耍，总数的八分之一的平方只猴子在欢乐地蹦跳；还有12只猴子在啼叫，设这群猴子共有x只，根据题意，可列方程为 ．
11．（2024·遂川模拟）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC的中点，延长BC至E，使BE＝AC，若∠C＝42°，则∠E的度数为 ．
12．（2024·遂川模拟） 如图，矩形中，，，E为的中点，连接，点P在矩形的边上，且在的上方，则当是以为斜边的直角三角形时，的长为 ．
13．（2024·遂川模拟）
（1）计算：；
（2）如图，，平分，交于点，求证．
14．（2024·遂川模拟）如图正六边形ABCDEF．请分别在图1，图2中使用无刻度的直尺按要求作图．
（1）在图1中，以AB为直角边，作一个直角三角形；
（2）在图2中，以AB为边作一个菱形．
15．（2024·遂川模拟）计算：，下面是某同学的解答过程：
解：原式＝……………第一步
＝．……………………第二步
（1）第一步的依据是 ，运用的方法是 ，第二步的依据是 ；
①分式的基本性质；②分式的加减法则；③分式的通分；④分式的约分法则．
（2）计算：．
16．（2024·遂川模拟）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点C在x轴上，AB⊥x轴，垂足为B， OC＝6，AC＝，∠ACB＝45°，AC交反比例函数的图象于点 D．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点D的坐标．
17．（2024·遂川模拟）某地爱心驿站招募志愿者3人，共有20人报名，小李和小王两男同学报了名．由于报名者都符合条件，故采取抽签的方式决定，所招募的3个志愿者中要求两女一男，于是共做20个签，其中两个写有的“女”的签、一个写有“男”的签，17个未写任何字的空签，每个签从外观上无任务差别．
（1）若小李先抽，正好抽到的是“男”签概率为 ；
（2）若小李和小王两人分别在第17和18个抽，此时只有四个签，其中只有一个“女”签和一个“男”签，另两个为空签，求小李或小王抽到“男”签的概率．
18．（2024·遂川模拟）为鼓励学生加强强身健体，某校计划购买一批篮球和排球，根据学校实际，决定共购买30个排球，20个篮球，共花费2560元，若篮球和排球的单价之和为104元．
（1）求篮球和排球的单价；
（2）据不完全统计，每个学年篮球的损耗率是排球的损耗率的两倍，若学期末这批篮球和排球最多剩下43个，求排球的最大损耗率．
19．（2024·遂川模拟）如图1是某地公园里的一座纪念碑，将其抽象为图2，已知∠A＝120°，∠B＝106°，∠C＝128°，∠D＝126°，AE＝600cm， DE＝400cm．（结果精确到小数点后一位）
图1 图2
（1）求证：AB∥DE；
（2）求纪纪念碑的高度．
（参考数据：sin6°≈0.105，cos6°≈0.995，tan6°≈0.105，sin54°≈0.809，cos54°≈0.588，tan54°≈1.376）
20．（2024·遂川模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线交AB的延长线于点F．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）若AC＝13，BC＝10，求DE长．
21．（2024·遂川模拟）某校为了有效提升学生综合素质，同时减轻学生课业负担，决定在全校开展丰富多彩的学生课外活动，经研究确定课外活动类型为体育、社会实践、文化艺术、科技创新和读书共五类项目，并在组织活动前进行了初步调查，调查要求在以上五类项目中只能选一项最感兴趣的一项，现随机抽查了m名学生，并将其结果绘制成如下不完整的统计图，请解答下列问题：
（1）求m的值；
（2）补全条形统计图；
（3）求“社会实践”所对扇形圆心角的度数；
（4）已知该校共有1200名学生，请你估计该校最喜欢读书活动的学生数，根据统计图中的数据，请你针对课外活动提出一条合理化建议．
22．（2024·遂川模拟）课本再现
在学行四边形的概念后，进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．
（1）如图1，在ABCD中，对角线AC与BD交于点O，求证：OA＝OC，OB＝OD．
（2）知识应用
在△ABC中，点P为BC的中点．延长AB到D，使得BD＝AC，延长AC至E，使得CE＝AB，连接 DE．如图2，连接BE，若∠BAC＝60°，请你探究线段BE与线段AP之间的数量关系．写出你的结论，
并加以证明．
23．（2024·遂川模拟）综合与实践
问题提出
如图1，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4，点D在AB上，AD＝1，点P沿折线D－B－C运动（运动到点C停止），以DP为边作正方形DPEF．设点P运动的线路长为x，正方形DPEF 面积为y．
初步感悟
（1）当点P在DB上运动时，若BP＝AD，则
①y＝ ，y关于x的函数关系式为 ；
②连接CE，则CE长为 ．
（2）当点P在BC上运动时，求y关于x的函数解析式．
（3）延伸探究
如图2，将点P的运动过程中y与x的函数关系绘制成如图2所示的图象，请根据图象信息，解决如下问题：
①当点P的运动到使DP∥AC时，图象上对应点的坐标为 ▲ ；
②当AC将正方形DPEF分成面积相等的两部分时，AC与正方形交于点G、H两点，请直接写出此时AG的长，以及自变量和函数的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：0.1>0>-1>-2，
最大的数为0.1，
故答案为：B.
【分析】将各个数据进行比较大小，即可求解.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 27.4万 = 2.74×105 ，
故答案为：C.
【分析】将一个大于10的数表示为的形式，，n是正整数，这样记数的方法称为科学记数法.
3．【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：由题意得
的俯视图是
故答案为：A
【分析】根据由小正方体组合成的几何体的三视图结合题意画出其俯视图，进而即可求解。
4．【答案】D
【知识点】单项式乘多项式；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：
A：a＋2b＝3ab，计算错误，不符合题意；
B：（－2a2）3＝－6a6，计算错误，不符合题意；
C：2a3b÷ab＝2a2b，计算错误，不符合题意；
D：a（a－2b）＝a2－2ab，计算正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】分别利用合并同类项法则、积的乘方法则、单项式除以单项式法则、单项式乘以多项式法则进行逐一判断即可求解.
5．【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：AD//BC，
BD平分∠ABC，
在△ABC中，
∠C＝34°，
故答案为：A.
【分析】利用平行线的性质求得由角平分线的定义求得结合已知条件利用三角形的内角和定理即可求解.
6．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；垂径定理；圆周角定理；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，当时，如图所示：
，
∴，
设，则，
∴即，
解得：，
∴对应的存在点满足条件；
当点E在上时，如图所示：
当时，则，
∴，
设，则，
∴即，
解得：，符合题意；
同理对应的点也符合题意；
当时，点E在以O为圆心，长为半径的圆与的交点上，如图所示：
过点O作于点F，连接，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
过点O作，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴点E符合题意；
∴在线段上存在一个点和，满足条件，
综上所述，符合条件的点E的个数共有6个，
故答案为：C．
【分析】根据题意分类讨论：①当时，②当时，进而根据矩形的性质、勾股定理，圆周角定理、垂径定理结合题意解直角三角形即可求解。
7．【答案】2
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】-2的绝对值是坐标轴上，-2点到原点的距离，它的值等于2，
故答案为：2.
【分析】正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是其相反数。
8．【答案】－3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解： 方程x2－4x－3＝0的两个根分别为，
故答案为：-3.
【分析】直接利用韦达定理即可求解.
9．【答案】
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：如图所示：
∵，
∴，
∴入射光线与反射光线的夹角的度数为．
故答案为：
【分析】先根据物理学知识得到，进而根据平角即可求出∠AOB的度数。
10．【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设这群猴子共有x只，由题意得
故答案为：.
【分析】设这群猴子共有x只，根据“总数的八分之一的平方只猴子在欢乐地蹦跳；还有12只猴子在啼叫”即可列出一元二次方程，进而即可求解。
11．【答案】21°
【知识点】三角形的外角性质；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，连接BD，
∠ABC＝90°，D为AC的中点，
AD=CD=BD，
BE＝AC，
AD=CD=BD=BE，
故答案为：21°.
【分析】连接BD，由直角三角形斜边中线定理求得AD=CD=BD，结合已知利用等边对等角求得再由三角形的外角性质即可求解.
12．【答案】或
【知识点】解分式方程；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵四边形为矩形，
∴，，
∵E为的中点，
∴，
∵是以为斜边的直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得：，，
即或，
当时，由勾股定理得：，
当时，由勾股定理得：，
故答案为：或
【分析】先根据矩形的性质得到，，进而根据中点得到，进而根据直角三角形的性质得到，等量代换得到，根据相似三角形的判定与性质证明得到，设，则，解分式方程得到或，再分类讨论，运用勾股定理即可求解。
13．【答案】（1）解：由于负数的绝对值是它的相反数，故，负数的三次幂是负数，故．
故原式，
，
（2）证明：平分，
，
，，
，
．
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据有理数的绝对值、有理数的乘方进行运算，进而即可求解；
（2）先根据角平分线的定义得到，进而根据三角形全等的判定与性质证明即可得到．
14．【答案】（1）解：在图1中，△ABE即为所作；
（2）解：在图2中，四边形ABCM即为所作．
【知识点】菱形的判定；正多边形的性质；直角三角形的性质；尺规作图-直角三角形
【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质作图即可求解；
（2）根据菱形的判定作图即可求解.
15．【答案】（1）①；③；②
（2）解：
．
【知识点】分式的加减法
【解析】【分析】（1）由分式的加减运算法则即可求解；
（2）先进行通分和因式分解，再进行加减法运算即可求解.
16．【答案】（1）解：∵在△ABC中，AC＝，∠ACB＝45°，
∴AB＝BC＝4
∵OC＝6，
∴OB＝OC－BC＝6－4＝2
∴点A的坐标为（2，4），即k＝8，反比例函数的解析式为y＝．
（2）解：过点D作DE⊥x轴，垂足为E，DF⊥y轴，垂足为F，交AB于点G．
设DG＝m，则AG＝m，
∴OE＝FD＝m＋2，
DE＝AB－GB＝4－m．
∵点D在反比例函数的图象上，
∴（m＋2）（4－m）＝8，
解得（舍去）．
∴点D的坐标为（4，2）．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；等腰直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质求得AB＝BC＝4，结合已知条件求得OB的值进而得到点A的坐标，从而求出k的值，即可求解；
（2）过点D作DE⊥x轴，垂足为E，DF⊥y轴，垂足为F，交AB于点G，设DG＝m，则AG＝m，再表示出OE，DE的值，由反比例函数图象的点的坐标特点得到关于m的方程，解方程取符合题意的m的值，即可求解.
17．【答案】（1）
（2）解：根据题意，小李和小王抽签时，剩下四个签，即一个“女”签（A），一个“男”签（B），两个空签（C，D），设依次分别记为A，B，C，D．
画树状图如下：
从树状图看出，所有等可能出现的结果共有12个，其中小李或小王抽到“男”签有6个，所以，P（小李或小王抽到“男”）＝．
答：小李或小王抽到“男”签的概率是
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率的简单应用
【解析】【解答】（1）总共有20个标签，其中写有“男”的标签只有一个，
正好抽到的是“男”签概率为，
【分析】（1）直接利用概率公式即可求解；
（2）先画树状图，得到所有等可能出现的结果共有12个，其中小李或小王抽到“男”签有6个，利用概率公式代入数据计算即可求解.
18．【答案】（1）解：设篮球的单价为x元，排球的单价为y元，
根据题意，得
解得
（2）解：设排球的最大损耗率为m，则篮球的损耗率2m．
根据题意，得30m＋20×2m≤50－43
解得m≤0.1，即排球的最大损耗率10%．
答：篮球的单价为48元，排球的单价为56元，排球的最大损耗率为10%．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设篮球的单价为x元，排球的单价为y元，根据 购买30个排球，20个篮球，共花费2560元，若篮球和排球的单价之和为104元 即可列出关于x，y的二元一次方程组，解方程组，即可求解；
（2）设排球的最大损耗率为m，则篮球的损耗率2m．根据 篮球的损耗率是排球的损耗率的两倍， 且 篮球和排球最多剩下43个， 列出敢于m的一元一次不等式，解不等式即可求解.
19．【答案】（1）证明：∵在五边形ABCDE中，∠A＝120°，∠B＝106°，∠C＝128°，∠D＝126°，
∴∠E＝540°－∠A－∠B－∠C－∠D
＝540°－120°－106°－128°－126°
＝540°－480°＝60°．
∴∠A＋∠E＝180°．
∴AB∥DE．
（2）解：如图，过点E作CD平行线EP，再分别过点A，D作EP的垂线AN，DM，垂足分别为N，M．
∵∠CDE＝126°，
∴∠DEM＝54°．
∵∠E＝60°，∴∠AEP＝∠AED－∠DEM＝6°．
∵AE＝600cm，DE＝400cm，
∴AN＝AE×sin∠AEG＝600×sin 6°
＝600×0.105＝63cm，
DM＝DE×sin∠DEM ＝400×sin 54°
＝400×0.809＝323.6cm．
∴浮雕的高度为AN＋DM＝63＋323.6＝386.6cm
【知识点】平行线的判定；解直角三角形；解直角三角形的其他实际应用；多边形的内角和公式
【解析】【分析】（1）利用多边形的内角和求得∠E=60°，从而得到∠A＋∠E＝180°，再根据平行线的判定即可求解；
（2）过点E作CD平行线EP，再分别过点A，D作EP的垂线AN，DM，垂足分别为N，M，先利用平行线的性质求得∠DEM＝54°．再求得∠AEP的度数，结合已知利用三角函数求得AN，DM的值，最后根据线段的和差关系即可求解.
20．【答案】（1）证明：连结OD．
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC．
∵AB＝AC，
∴AD是BC上的高，且AD平分∠BAC．
∴OD是△ABC的中位线，
即OD∥AC．
∵DE⊥AC，
∴OD⊥EF．
∴直线EF是⊙O的切线．
（2）解：∵AB＝AC＝13，BC＝10，AD⊥BC，
∴BD＝5
∴AD＝＝12
∵在直角△ADC中，AD＝12，CD＝BD＝5，AC＝13，
即DE＝
【知识点】三角形的面积；勾股定理；切线的判定；圆的综合题；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）连结OD，由圆周角定理求得∠ADB＝90°，再利用等腰三角形的“三线合一”性质求得OD是△ABC的中位线，得到OD∥AC，结合DE⊥AC，由平行线的性质得到OD⊥EF．即可求解；
（2）利用勾股定理求得AD的值，再由三角形的面积法得到，代入数据计算即可求解.
21．【答案】（1）解：∵体育有21人，占14%，
∴m＝21÷14%＝150
（2）解：补全图形如下：
（3）解：30÷150×360°＝72°．
∴“社会实践”所对扇形圆心角的度数为72°．
（4）解：（45÷150）×1200＝360人．
估计该校最喜欢读书活动的学生数有360人．
根据以上数据，对于课外活动，我认为学校要加强科技创新宣传，并提供相应条件，促进科技创新活动的开展．（建议有积极意义即可）
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）利用体育的人数除以体育占总体的百分比即可求解总人数；
（2）先求出社会实践的人数，补全图形即可求解；
（3）用社会实践的人数百分比乘以360°即可求解；
（4）利用样本估计总体即可求解.
22．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，AB＝CD．
∴∠BAO＝∠DCO，∠AOB＝∠COD．
∴△AOB≌△COD．
∴OA＝OC，OB＝OD
（2）解：如图4，过B作BH//AE交DE于H，连接CH，AH．
图4
易得∠1＝∠BAC＝60°．
∵DB＝AC，AB＝CE，
∴AD＝AE．
∴△AED是等边三角形．
∴∠D＝∠1＝∠2＝∠AED＝60°．
∴△BDH是等边三角形．
∴BD＝DH＝BH＝AC．
∴四边形ABHC是平行四边形．
∵点P是BC的中点，
∴点P是四边形ABHC对角线AH，BC的交点．
∴点A，P，H共线．
∴AH＝2AP．
在△ADH和△EDB中，AD＝ED，∠EDB＝∠ADH， DB＝DH，
∴△ADH≌△EDB．
∴BE＝AH＝2AP．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质得到AB//CD，AD//BC，AB＝CD，进而得到∠BAO＝∠DCO，∠AOB＝∠COD，证明△AOB≌△COD，根据三角形全等的性质即可求解；
（2）过B作BH//AE交DE于H，连接CH，AH，可得∠1＝∠BAC＝60°，先证明△AED是等边三角形，得到∠D＝∠1＝∠2＝∠AED＝60°，进而证明△BDH是等边三角形，得到BD＝DH＝BH＝AC．即可证明四边形ABHC是平行四边形，结合点P是BC的中点，得到AH＝2AP，从而证明△ADH≌△EDB，根据三角形全等的性质得到BE=AH，从而求解.
23．【答案】（1）4；y＝x2；
（2）解：∵当P在BC上时，3＜x≤7，
x＝BD＋BP＝3＋BP，BP＝x－3
∴DP＝，
即y＝x2－6x＋18
综上，当3＜x≤7时，y关于x的函数解析式为y＝x2－6x＋18
（3）解：①（6，18）；②，
此时自变量的值为4，函数的值为10
【知识点】函数解析式；勾股定理；正方形的性质；锐角三角函数的定义；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：（1） ① 当点P在DB上运动时， DP=x，正方形DPEF的面积为y=
y关于x的函数关系式为 y＝x2，
AB=BC=4，AD=1，
BP=AD=1，
DP=AB-AD-BP=2，
x=2，
当x=2时，y=x2=4，
故答案为：4，y＝x2.
② 延长FE交BC于点G，如图，
四边形DPEF为正方形，
四边形PBGE为矩形，
GE=BP=1，BG=PE=2，
CG=BC-BG=2，
故答案为：.
（3） ① 如下图，
BP=BD=AB-AD=4-1=3，
x=BD+BP=3+3=6，
y=18，
图象上对应点的坐标为（6，18），
故答案为：（6，18）.
②AC将正方形DPEF分成面积相等的两部分 ，
AC过正方形DPEF的中心，
如下图，连接DE，PF，其与AC交于点O，即点O为DE，PF的中点，构造正方形ABCN，
可得
DF=DP，
BP=AD=1，AF=BD=3，
自变量是4时，函数值为10，
过点G作GK⊥AF，
KF=3KG，
∠CAF=45°，
∠AK=KG，
设KG=x，可得AK=x，KF=3x，
由AF=AK+FK可得，3=x+3x，
解得
自变量为4，函数值为10，
故答案为：，自变量为4，函数值为10.
【分析】（1） ① 画出图形，由已知条件列出解析式，再求出DP的值即可求解； ② 延长FE交BC于点G，先证明四边形PBGE为矩形，求得GE=BP=1，BG=PE=2，再利用勾股定理即可求解；
（2）当P在BC上时，得到x的取值范围，进而求得x＝BD＋BP＝3＋BP，BP＝x－3，利用勾股定理即可求解；
（3）①先证明得到BP=BD=3，进而确定横坐标x的取值，再利用勾股定理求得从而求解；
②AC将正方形DPEF分成面积相等的两部分 ，AC过正方形DPEF的中心，连接DE，PF，其与AC交于点O，即点O为DE，PF的中点，构造正方形ABCN，得到再证明得到BP=AD=1，AF=BD=3，即可确定自变量和函数值；过点G作GK⊥AF，利用三角函数和等腰直角三角形的性质可得KF=3KG，∠AK=KG，设KG=x，可得AK=x，KF=3x，根据AF=AK+FK得到关于x的方程，解方程求得x的值，再运用勾股定理即可求解.
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