第1章特殊平行四边形复习卷（典型例题与跟踪训练）（含解析）数学九年级上册北师大版

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第1章特殊平行四边形复习卷（典型例题与跟踪训练）数学九年级上册北师大版
一、单选题
1．如图，在菱形中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在菱形中，O为和的交点，．则的长是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．如图，在四边形中，E，F，G，H分别是，，，的中点，要使四边形是矩形，则四边形只需要满足一个条件是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点D在x轴上，若点A的坐标为，则C点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
5．一个矩形的两邻边之比为，面积为，则它的周长为（ ）
A． B． C． D．
6．下列条件可以利用定义说明平行四边形是正方形的是（ ）
A． B．
C． D．以上都对
7．如图，四边形的对角线于点，点，，，分别为边，，和的中点，顺次连接，，和得到四边形．若，则四边形的面积等于（ ）
A．30 B．35 C．40 D．60
8．如图，在矩形中，，，的平分线交于点，点在边上，且，点、分别是线段、上的动点，连结、．若，则的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
二、填空题
9．在矩形中，对角线、相交于点O，若，则的长度为 ．
10．在菱形中，若，，则的长为 ．
11．如图，在矩形中，E，F分别是边上的动点，P是线段的中点，，G，H为垂足，连接．若，则的最小值是 ．
12．如图，正方形的边长为4，E在上，，将线段绕点A旋转，使点E落在直线上的点F处，连接，则的长为 ．

13．如图，把一张长方形纸片沿折叠，使顶点B和点D重合，，，则的长为 ．
14．如图，在矩形中，，，P，O分别为对角线边上的两点，且，的最小值为 ．
15．如图，在矩形中，，，过对角线交点作交于点，交于点，则的长是 ．
16．如图，在矩形中，，，为中点，是线段上一点，设（），连接并将它绕点顺时针旋转得到线段，连接、，则在点从点向点的运动过程中，则：①当时， ；②的最小值为 ．
三、解答题
17．已知如图，在菱形中，点、、、分别在、、、上，，求证：四边形是矩形．
18．如图，正方形的对角线、相交于点，正方形的顶点与点重合，将正方形绕点旋转，在这个过程中，这两个正方形重合部分的面积会发生变化吗？证明你的结论．
19．如图，正方形中，是对角线上的一个动点（不与、重合），连结，将绕点顺时针旋转到，连结交于点，延长线与边交于点．
(1)连结，求证：；
(2)若正方形的边长为，且，求线段的长．
20．在的正方形网格中，点，，均在格点上．仅用无刻度的直尺，按要求作图（保留作图痕迹）．
(1)在图中，作的中线；
(2)在图中，以的一边为直角边，构造一个与面积相等的格点直角三角形．
21．点为正方形对角线上的一个动点，作射线，于，于，点为中点．
(1)如图，点在上时，求证：；
(2)如图，作射线，交所在直线于点，求证：，，，四点所围成的四边形是平行四边形；
(3)在（2）的条件下，若，，求平行四边形的面积．
22．如图，是的中位线，点为射线上的一个动点（不与点E重合），作交边于点，连结．
(1)如图1，当点M与点D重合时，求证：四边形是平行四边形；
(2)如图，当四边形是菱形时，，求菱形的面积；
(3)如图3，，在延长线上（可以与点D重合），使得四边形为矩形，求的度数范围．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D D C B B A C
1．C
【分析】本题考查了菱形的性质，先根据菱形的对边平行和直线平行的性质得到，然后根据菱形的每一条对角线平分一组对角求解．
【详解】解：四边形为菱形，
，
，
四边形为菱形，
平分，
故选：C．
2．D
【分析】此题考查了菱形的性质，根据菱形的对角线互相平分进行解答即可．
【详解】解：∵在菱形ABCD中，O为和的交点，，
∴．
故选：D．
3．D
【分析】本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的判定，矩形的判定，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键．根据E，F，G，H分别是，，，的中点，利用三角形中位线的性质，可以证明四边形是平行四边形，由此只需要再增加一个条件，使得四边形的一个内角为直角即可证明四边形为矩形．当时，延长，交于点，延长交于点，利用中位线的性质，结合平行线的性质，即可得到，由此即可判定四边形为矩形．
【详解】解： E，F，G，H分别是，，，的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，，，
，，
四边形是平行四边形，
延长，交于点，延长交于点，
当，则，
，
，
，
是的中位线，
，
，
四边形是矩形．
故选：D．
4．C
【分析】在中，利用勾股定理求出即可解决问题．
本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是：熟练掌握菱形的性质．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵四边形是菱形，
∴，
在中，，
∴，
故选：C．
5．B
【分析】本题考查了矩形的性质，根据矩形的面积等于长乘宽，因为一个矩形的两邻边之比为，所以设一个矩形的两邻边为，代入矩形的面积公式计算，即可作答．
【详解】解：∵一个矩形的两邻边之比为
∴设一个矩形的两邻边为
∴
∴（负值已舍去）
一个矩形的两邻边为
∴则它的周长为
故选：B
6．B
【分析】本题考查了正方形的判定定理，平行四边形的性质，熟练掌握正方形的定义是解题的关键．
根据正方形的判定定理得出答案．
【详解】正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形．由此可知选．
故选：．
7．A
【分析】本题考查了三角形中位线的性质、平行四边形的判定定理、矩形的判定定理，根据三角形中位线的性质，结合平行四边形的判定定理，得出四边形是平行四边形，再根据矩形的判定定理，得出平行四边形是矩形，再根据矩形的面积公式，即可得出答案．
【详解】解：点，分别为边，的中点，
是的中位线，
，，
，
，
同理，可得：，，
，，
点，分别为边，的中点，
是的中位线，
，，
同理，可得：，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
平行四边形是矩形，
矩形的面积为：，
即四边形的面积为30．
故选：A．
8．C
【分析】过点P分别作，延长交于H，先证明四边形是矩形，再根据角平分线定理得出，即可得到四边形是正方形，即可求解．
【详解】过点P分别作，延长交于H，
∵四边形是矩形
∴
∴
∴
∴四边形是矩形
∵平分，，
∴
∴四边形是正方形
∵
∴，即
∵，
∴四边形是矩形
∴，即
∵
∴与重合，与重合
∵四边形是正方形
∴
∴
故选：C．
【点睛】本题考查矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，角平分线定理，作出适当的辅助线是解题关键．
9．3
【分析】本题考查了矩形的性质：矩形的对角线相等，且互相平分；理解性质定理是关键．
根据矩形的对角线相等，且互相平分即可求解．
【详解】解：四边形是矩形，
，
．
故答案为：3．
10．5
【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记菱形的性质并推出等边三角形是解题的关键．由菱形中，，易证得是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得解．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴．
故答案为：5．
11．7
【分析】本题考查了矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；连接，由勾股定理求出，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后证四边形是矩形，得，当A、P、C三点共线时，最小，即可求解．
【详解】解：连接，如图所示：
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵P是线段的中点，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
当A、P、C三点共线时，最小，
∴的最小值是7，
故答案为：7．
12．或
【分析】本题考查了图形的旋转，正方形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握相关性质和判定是解题的关键．根据题意存在两种情况，点F落在边上和点F落在的延长线上的点，分两种情况进行讨论，利用旋转的性质和正方形的性质，分别证明和，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，
当点F落在边上时，
四边形为正方形，
，，
，
，
线段绕点A旋转，使点E落在直线上的点F处，
，
，
，
，
，
，
当点F落在的延长线上的点时，
同理可证，
，
，
．
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
13．3
【分析】本题主要考查了矩形的折叠问题，勾股定理，根据性质得出相应量的值是解题的关键．是求线段长的常用方法．根据矩形的性质得，，再根据折叠的性质得，，，然后设，表示和，最后根据勾股定理列出方程，再求出解即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，，，
，．
根据折叠的性质得，．，
设，则，
在中，，
即，
解得，
所以．
故答案为：3．
14．
【分析】本题主要考查了矩形的性质，直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半，全等三角形的判定与性质，构造是解题的关键．在上截取，延长至，使得，连接，过点作于，先证明，得到，结合勾股定理即可得到答案．
【详解】解：在上截取，延长至，使得，连接，过点作于，
在矩形中，
，
，
在与中，
，
，
，
，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
故的最小值为，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质、勾股定理，连接，由矩形的性质得，，，，可证明垂直平分，根据性质得，设，则，然后由勾股定理即可求解，熟练掌握矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形是矩形，
∴，，，，
∵，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
即，
解得：,
∴，
故答案为：．
16． 或
【分析】分和两种情况，过点作于点，证明，得到；连接，得到或；当时，有最小值，求解即可．
【详解】解：如图，当，点在线段上时，过点作于点．
∴
∵四边形是矩形，
∴，
为中点，
．
将绕顺时针旋转得到线段，
，，
，，
．
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
∴
如图，当，点在线段上时，过点作于点．
同理可得，
，
，
，
，
，
∴
∵，
∴点在与直线成夹角的直线上运动，
当时，有最小值，如图
∵
∴，
在中，
∴，
的最小值为，
故答案为：或，．
【点睛】此题考查了矩形的性质、旋转的性质、全等三角形的证明、求线段最值，解题的关键是添加辅助线证明三角形全等．
17．见解析
【分析】题目主要考查菱形的性质及全等三角形的判定和性质，矩形的判定，熟练掌握各个性质定理是解题关键
根据菱形的性质确定，，再由全等三角形的判定和性质得出，利用各角之间的关系确定，即可证明．
【详解】证明：∵菱形，
∴，
∵，
，
∴
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
18．两个正方形重合部分的面积不变化；证明见解析
【分析】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，由全等可以得出，就可以得出可得结论．解答时证明三角形全等得出是关键．
【详解】解：结论：两个正方形重合部分的面积不变化．
理由：正方形的对角线、交于点
，，，
正方形的交于点，交于点．
．
在和中，
，
．
，
即，
两个正方形重叠部分的面积不变．
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据正方形的性质和旋转的性质可得，，，从而证得，即可证得；
（2）根据正方形的性质和勾股定理可求得对角线的长，从而得到，的长，再根据全等三角形的性质结合正方形的性质可得，，最后根据勾股定理即可求得线段的长．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，
绕点顺时针旋转到，
，，
，
；
（2）解：四边形是正方形，边长为，
对角线，，
，，
，，
，
，，
，
．
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．
20．(1)图见解析
(2)图见解析
【分析】本题考查作图、勾股定理、矩形的性质、三角形的面积，能够学会利用数形结合思想解决问题是解答本题的关键
（1）取格点，，连接，与交于点，连接，则即为所求．
（2）取格点，连接，，则即为所求．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）如图，即为所求．
21．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据等角的余角相等得，利用即可得出结论；
（2）证明，根据全等三角形的性质得，由，即可得出结论；
（3）根据勾股定理求出，由（1）知，根据全等三角形的性质得，，利用线段的和差求出，即可得平行四边形的面积．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，，，
，，
，
，
在和中，
，
；
（2）证明：，，
，
，
点为中点，
，
在和中，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形；
（3）解：如图：
，，，
，
由（1）知，
，，
，
平行四边形的面积为．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，勾股定理，平行线的判定和性质等知识点，正确寻找全等三角形解决问题是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)2
(3)
【分析】本题考查菱形的性质，平行四边形的判定和性质，中位线的性质等综合题型，解题的关键对菱形性质和图形变化极值情况的熟练掌握．
（1）根据平行四边形判定及性质进行证明即可；
（2）如图，连接，由菱形知，可证，四边形是平行四边形，于是，由勾股定理中，，所以菱形的面积即可求得；
（3）如图，点在延长线上(可以与点重合)，得；随着的减小，点逐渐向点接近，当点与点重合时，最小，由矩形性质得，进一步证得，由三角形内角和定理，得，于是．
【详解】（1）证明：∵是的中位线，
∴是中点，
又，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，且，
∴四边形是平行四边形，即四边形是平行四边形；
（2）解：如图2，连接，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴菱形的面积为2；
（3）解：如图，点在延长线上（可以与点重合），
∴，
随着的减小，点逐渐向点接近，当点与点重合时，最小，如图，四边形是矩形，
，
而，
，
，
，
．
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