重庆市第七中学校2024-2025学年九年级上学期数学入学测试题
1．（2024九上·重庆市开学考）在平面直角坐标系中，下列各点在第一象限的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·重庆市开学考）在中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·重庆市开学考）从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加沙坪坝区举办的垃圾分类知识竞赛，经过学校三轮初赛，他们的平均成绩都是98分，方差分别是，，，．你认为最合适的选手是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．（2024九上·重庆市开学考）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．对角线相互平分的四边形是平行四边形
C．有一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
D．一组邻边相等并且一个内角是直角的四边形是矩形
5．（2024九上·重庆市开学考）用配方法解方程，配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九上·重庆市开学考）如图，在矩形中，对角线，相交于点，若，的长为4，则矩形的面积为（ ）
A． B． C． D．16
7．（2024九上·重庆市开学考）小明在一条公路上开车从A地出发行驶至B地，他行驶的行程y（千米）随时间x（时）变化的图象（全程）如图所示．则下列说法中，错误的是（ ）
A．第1小时小明行驶了21千米
B．在行驶的前小时内，小明行驶的平均速度是42千米/小时
C．在小时内，小明行驶的速度相比前小时变慢
D．A地到B地的距离为40千米
8．（2024九上·重庆市开学考）如图，在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为，若种植花苗的面积为，依题意列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024九上·重庆市开学考）在正方形中，将绕点逆时针旋转到，旋转角为，连接BE，并延长至点，使，连接DF，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024九上·重庆市开学考）定义一种新运算：，例如：，，给出下列说法：
①；
②若，则或4；
③的解集为或；
④若函数的图象与直线（m为常数）只有1个交点，则．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（2024九上·重庆市开学考）在直角坐标系中，点和点关于轴对称，若点的坐标是，则点的坐标是 .
12．（2024九上·重庆市开学考）某单位招聘员工，其中一名应聘者的笔试成绩是90分，面试成绩是80分. 若笔试成绩与面试成绩在综合成绩中的权重分别是70%、30%．则该应聘者的综合成绩是 分．
13．（2024九上·重庆市开学考）正比例函数中，的值随着值的增大而增大，则点在第 象限．
14．（2024九上·重庆市开学考）如图，菱形的对角线，相交于点，点为边的中点，连接．若，，则的长为 ，菱形面积为 ．
15．（2024九上·重庆市开学考）如图，在菱形中，，，动点、分别在线段、上，且，则的最小值为 ．
16．（2024九上·重庆市开学考）如图，点B是反比例函数上一点，矩形OABC的周长是20，正方形BCGH和正方形OCDF的面积之和为68，则反比例函数的解析式是 ．
17．（2024九上·重庆市开学考）若关于的一元二次方程有两个不相等实数解，且关于的分式方程有整数解，那么满足条件的所有整数的和为 .
18．（2024九上·重庆市开学考）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“差中数”.例如：四位数4129，，是“差中数”；又如：四位数，，不是“差中数”.若一个“差中数”为，则这个数为 ；如果一个“差中数”能被11整除，则满足条件的数的最大值是 .
19．（2024九上·重庆市开学考）解下列方程：
（1）；
（2）.
20．（2024九上·重庆市开学考）我校开展了“传统节日”的知识竞答活动，初2024届800名学生参与了此次竞答活动（满分：50分）．答题完成后，在1、2两班各随机抽取了20名学生的竞答成绩，对数据进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，其中A：，B：，C：，D：，E：），并给出了下列信息：
1班E等级同学的竞答成绩统计如下：50，49，50，50，49，50，50，50，50，49
2班D等级同学的竞答成绩统计如下：47，48，48，47，48，48．
1、2两班抽取的学生的竞答成绩的平均数、中位数、众数如表所示：
平均数 中位数 众数
1班 47.5 48.5 c
2班 47.5 b 49
（1）根据以上信息可以求出： ， ， ；
（2）你认为1、2两个班哪个班的学生知识竞答成绩较好，请说明理由（理由写出一条即可）；
（3）若规定49分及以上为优秀，请估计该校参加此次知识竞答活动的所有学生中优秀的学生有多少人？
21．（2024九上·重庆市开学考）小明在探究“夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后所构成的四边形的形状”时做了如下操作，请你完成小明的操作：如图，在四边形中，，是对角线．
（1）用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交，，于点，，，连接，．（只保留作图痕迹）
（2）在（1）问所作的图形中，求证：四边形为菱形．（请完成下面的填空）
证明：垂直平分，
①______，，
，
在和中
，
③______，
，
四边形为平行四边形，
又④______，
四边形为菱形．
请你依照题意完成下面命题：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后⑤______．
22．（2024九上·重庆市开学考）如图，已知菱形中，对角线相交于点O，过点C作，过点D作，与相交于点E．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求四边形的周长．
23．（2024九上·重庆市开学考）公安交警部门提醒市民，笴车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
24．（2024九上·重庆市开学考）如图，矩形中，，，点E为边的中点，点F为边上的三等分点，动点P从点A出发，沿折线运动，到C点停止运动.点P的运动速度为每秒2个单位长度，设点P运动时间为x秒，的面积为y.
（1）请直接写出y关于x的函数解析式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出当直线与该函数图象有两个交点时，b的取值范围.
25．（2024九上·重庆市开学考）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于点A、，与直线交于点，直线与y轴交于点E，连接．
（1）求直线l的解析式；
（2）求的面积；
（3）Q为直线上一点，若为等腰三角形，写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程．
26．（2024九上·重庆市开学考）如图，在矩形中，E，F分别是边上的点，，将沿翻折，C点的对应点为G．
（1）如图（1），若点G正好落在上．求证：；
（2）如图（2），若点G落在矩形的内部，且，延长交于点H，求证：；
（3）在（1）的条件下，若，．请直接写出的长度．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：A、在第一象限，故符合题意；B、在第二象限，故不符合题意；
C、在第四象限，故不符合题意；
D、在第三象限，故不符合题意．
故选：A．
【分析】 平面直角坐标系中，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限，据此判断即可．
2．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴．
故选：D．
【分析】平行四边形的对角相等，据此解答即可.
3．【答案】C
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵，，，，
∴，
∴丙的成绩最稳定，
又∵他们的平均成绩都是98分，
∴最合适的选手是丙．
故选：C．
【分析】方差是衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据波动越小，数据越稳定，反之，则表明数据波动大，不稳定，当平均数相同时，方差越小越稳定，据此解答即可．
4．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题是假命题，不符合题意，A错误；
B、对角线相互平分的四边形是平行四边形，故原命题是真命题，符合题意，B正确；
C、一组对边平行且另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，如等腰梯形，故原命题是假命题，不符合题意，C错误；
D、一组邻边相等并且一个内角是直角的四边形可能是直角梯形，故原命题是假命题，不符合题意，D错误；
故答案为：B．
【分析】本题考查命题真假的判定，行四边形以及矩形、菱形、正方形的判定方法．直接利用菱形的判定方法进行判断可判断A选项；直接利用平行四边形的判定方法进行判断可判断B选项和C选项；直接利用矩形的判定方法进行判断可判断D选项.
5．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：将常数项移到等式右边为x2+8x=-7
左右两边同时加上一次项系数一半的平方得：
x2+8x+16=-7+16
配方得（x +4)2=9，
故答案为：A.
【分析】首先进行移项，再在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形为左边是完全平方式，右边是常数的形式．
6．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
，
，
是等边三角形，
，
在中，，
∴，
，
矩形的面积是，
故选：B．
【分析】根据矩形的性质及已知可推出是等边三角形，可得，利用三角形内角和求出，根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得，根据矩形的面积=AB×BC进行计算即可．
7．【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A、由函数图象看出第1小时小明行驶了21千米，正确，故不符合题意；
B、在行驶的前小时内，小明行驶的平均速度是千米/小时，故符合题意；
C、在小时内，小明行驶的速度为千米/小时，小明行驶的速度相比前小时变慢，正确，故不符合题意；
D、由纵坐标看出汽车共行驶了40（千米），故A地到B地的距离为40千米，正确，故不符合题意；
故选：B．
【分析】根据函数图象可知，小明第1小时小明行驶了21千米，据此可判断A；由函数图象可知前小时内行驶18千米，利用速度=路程÷时间求出平均速度，即可判断B；根据函数图象的横、纵坐标，求出小时内速度，结合A结论即可判断C；根据函数图象可知的纵坐标，直接判断D即可．
8．【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设道路的宽为，则种植花苗的部分可合成长，宽的矩形，
依题意得：，
故选：C．
【分析】设道路的宽为，则种植花苗的部分可合成长，宽的矩形，由种植花苗的面积为，根据矩形的面积=长×宽=112，列出方程并解之即可．
9．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：四边形是正方形，
，，
由旋转的性质可知，，，
，
，
，
，，
，
，
，
故选：A．
【分析】由正方形的性质可得，，由旋转的性质可得，，再利用等腰三角形的性质可
结合正方形性质得到，再利用等腰三角形性质得到，进而得到，最后利用等腰三角形性质即可得到的度数．
10．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；一次函数的图象；解含括号的一元一次方程；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：，
∵，
∴，故①正确；
当即时，，
解得符合题意；
当即时，，
解得与矛盾，不合题意，故②错误；
当即时，，
解得，
∴不等式的解集是；
当即时，，
解得，
∴不等式的解集是；
综上，不等式的解集为或，故③正确；
当即时，，
当即时，
函数图象如下，当函数图象与直线（m为常数）只有1个交点，则．
所以④正确；
正确的结论有①③④，共三个，
故选C．
【分析】①根据新定义且-4＞-5， 对直接列式计算，再判断即可；②分情况讨论：当和当，结合新定义分别解答，再判断即可；③ 分情况讨论：当和当，结合新定义分别建立不等式并解之，再判断即可；分两种情况：当和当时，利用新定义分别求出y值，再结合图象判断即可．
11．【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
12．【答案】87
【知识点】加权平均数及其计算
13．【答案】四
【知识点】点的坐标与象限的关系；正比例函数的性质
【解析】【解答】解：正比例函数中，的值随着值的增大而增大，
，
，
则点在第四象限，
故答案为：四．
【分析】 正比例函数中，当k＞0时，的值随着值的增大而增大，当k＜0时，的值随着值的增大而减小，据此可知中，从而得到，通过点在象限的特征解答即可．
14．【答案】1；
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，，
∵点为边的中点，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
根据勾股定理可得：，
∴，
∴菱形面积为，
故答案为：1，．
【分析】先根据菱形的性质得出，，根据直角三角形斜边上中线的性质求出=1，根据菱形的性质推出为等边三角形，再根据勾股定理求出，最后根据菱形的面积，据此计算即可．
15．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接．
∵在菱形中，，
∴，，
∴和都为等边三角形，
∴，．
∵，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴当最小时，最小．
由垂线段最短可知当时，最小，
∴，
∴，
∴，即．
故答案为：．
【分析】连接，由菱形的性质可得和都为等边三角形，再证明，可得，，从而推出为等边三角形，得出，当最小时，最小．由垂线段最短可知当时，最小，此时，结合含30度角的直角三角形的性质求出AE，再利用勾股定理求出DE的长，即得EF的最小值．
16．【答案】y=
【知识点】完全平方公式及运用；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：设B（a，b），则OA=，AB=b，
∵ 矩形OABC的周长是20， 正方形BCGH和正方形OCDF的面积之和为68，
∴+b=10，2+b2=68，
∵(+b) 2=2+b2+2
∴2=(+b)2- (2+b2)=32
∴=16
∴反比例函数的解析式是
【分析】设B（a，b），则OA=，AB=b，由矩形OABC的周长是20， 正方形BCGH和正方形OCDF的面积之和为68，可得+b=10，2+b2=68，再利用完全平方公式求出ab的值，继而得出反比例函数解析式.
17．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等实数解，
∴，
解得且，
解方程得，
∵分式方程有整数解，
∴为，，，且y≠2，
解得：，（舍去），，（舍去），，
∴满足条件的所有整数的和为，
故答案为：．
【分析】由关于的一元二次方程有两个不相等实数解，可得△＞0且m-2≠0， 据此求出m的范围，然后解分式方程可得出分式方程的解，再由分式方程有正整数解及m的取值范围，可得m的所有值，再将其相加即可得出结论．
18．【答案】；
【知识点】二元一次方程的解；一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：①为“差中数”，
，
，
∴这个数为；
②设满足条件的四位自然数是，
又是差中数，
，即，
故或，
∵各数位上的数字互不相等且均不为0，
∴，，，，，
当时，这个“差中数”是9817，不能被11整除，
当时，这个“差中数”是9725，不能被11整除，
当时，这个“差中数”是9541，不能被11整除，
当时，这个“差中数”是9358，不能被11整除，
当时，这个“差中数”是9174，能被11整除，
∴一个“差中数”能被11整除，则满足条件的数的最大值是9174，
故答案为：5138，9174．
【分析】①根据“差中数”定义列出方程，解之即可；
②设满足条件的四位自然数是，再根据“差中数”的定义可得，从而得出或，再利用各数位上的数字互不相等且均不为0，解不定方程的整数解求出各数，再判断是否能被11整除即可．
19．【答案】（1）解：
或
；
（2）解：
即
，
．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用配方法解一元二次方程即可．
（1）
或
；
（2）
即
，
．
20．【答案】（1）30，48，50
（2）解：1班的学生知识竞答成绩较好，理由如下：
因为两个班的平均数相同，但1班的中位数比2班中位数和众数都比2班高，所以1班的学生知识竞答成绩较好；
（3）解：，
（人，
答：该校参加此次知识竞答活动的所有学生中优秀的学生大约有380人．
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由题意得，，故；
把2班20个学生的竞答成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是48，48，
∴中位数；
1班20个学生的竞答成绩中出现次数最多的是50，则众数．
故答案为：30，48，50；
【分析】 本题考查平均数，中位数和众数，扇形统计图，条形统计图，用样本估计总体.
（1）利用“1”分别减去其他四个等级所占百分比可得：，再进行计算可求出的值；先将2班20个学生的竞答成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是48，48，利用中位数的定义可求出b，利用众数看求出的值；
（2）根据两个班的平均数相同，平均数相同，可比较中位数和众数，据此可得1班的中位数比2班中位数和众数都比2班高，据此可作出判断；
（3）先求出此次知识竞答活动的所有学生中优秀的比例，再用总人数乘样本中49分及以上所占百分比，据此可求出答案．
21．【答案】（1）解：如图所示，即为所求：
（2）①；②；③；④；⑤所构成的四边形为菱形．
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的判定；三角形全等的判定-ASA；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：（2）证明：垂直平分，
，，
，
．
在和中，
，
，
，
，
四边形为平行四边形．
又，
四边形为菱形．
请你依照题意完成下面命题：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后所构成的四边形为菱形．
故答案为：①；②；③；④；⑤所构成的四边形为菱形．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图步骤及已知作出图形即可；
（2）由线段垂直平分线的性质可得OB=OD，．再根据ASA证明△EDO≌△FBO，可得OE=OF，从而可证四边形为平行四边形，结合，利用菱形的判定定理即证结论.
（1）解：如图所示，即为所求：
（2）证明：垂直平分，
，，
，
．
在和中，
，
，
，
，
四边形为平行四边形．
又，
四边形为菱形．
请你依照题意完成下面命题：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后所构成的四边形为菱形．
22．【答案】（1）解：∵四边形为菱形，
∴；
∵，，
∴∠OCE=180°-∠COD=90°，∠OCE=180°-∠COD=90°，
∴四边形是矩形．
（2）解：∵四边形为菱形，
∴，，，
由勾股定理得：
，而，
∴，
∴四边形的周长．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）首先根据菱形的性质得到，然后利用平行线的性质可推出，根据有三个角是直角的四边形是矩形；
（2）根据菱形的性质得到，，，然后利用勾股定理得到，再利用矩形的周长公式即可求解．
23．【答案】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为．
（2）解：设该品牌头盔的实际售价为y元，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：（不合题意，舍去），，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份销量×（1+增长率）2=6月份的月销售量，据此列出关于x的一元二次方程，并解之即可；
（2）根据月销售利润=每个头盔的利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之并检验即可.
24．【答案】（1）解：
（2）解：函数图象如图所示，
当时，y随着x的增大而增大，当时，y随着x的增大而减小；
（3）解：当直线经过点时，，则，
当直线经过点时，，则，
结合图象可知，直线与该函数图象有两个交点时，b的取值范围是.
【知识点】分段函数；一次函数的图象；矩形的性质；一次函数的性质；一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：（1）在矩形中，，，∵点E为边的中点，点F为边上的三等分点，
∴，，
当点P在上时，则则，即，
此时，
∴的面积
；
当点P在上时，即时，如图，
则，
∴的面积
；
∴
【分析】（1）分和两种情况，据此分别画出图形，利用割补法分别求出的面积即得结论；
（2）利用两点法画出函数图象，利用函数的增减性写出其性质即可；
（3）分别求出直线经过点和点时b的值，画出函数图象，结合图像写出图象有两个交点时，b的取值范围即可.
25．【答案】（1）解： 直线过点，则设直线的表达式为，
在直线上，
，
点坐标为，
将代入，
解得，
直线l的解析式为．
（2）解：直线l：与x轴、y轴分别交于点A、，
当y=0时，x=-3，
，
直线与y轴交于点E，
，
，，
．
（3）解：Q为直线上一点，可设，
∵，，
∴，，，
当时，可得，
，解得（舍去），或，
此时，
当时，可得，
，
解得，此时，
当时，可得，
解得，
此时，或，
综上，点的坐标为或或或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；等腰三角形的性质；坐标系中的两点距离公式；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）先求出点C坐标，再利用待定系数法求直线l解析式即可；
（2）先求出A、E的坐标，再求出，，根据即可求解；
（3）由Q为直线上一点，可设，利用两点间的距离公式求出BQ2，BE2，QE2，分三种情况：、、，据此分别列出方程并求解即可．
（1）解： 直线过点，则设直线的表达式为，
在直线上，
，
点坐标为，
点在直线l上，将代入，
解得，
直线l的解析式为．
（2）解：直线l：与x轴、y轴分别交于点A、，
，
直线与y轴交于点E，
，
，，，
．
（3）解：Q为直线上一点，设，由，，的坐标得，
，，，
当时，可得，
，解得（舍去），或，
此时，
当时，可得，
，
解得，此时，
当时，可得，
解得，
此时，或，
综上，点的坐标为或或或．
26．【答案】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵将沿翻折，C点的对应点为G、点G正好落在上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵将沿翻折，C点的对应点为G、点G落在矩形的内部，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图1，过作，连接交于点N，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）解：如图2，作于，
由（1）知，，
∴是的平分线，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，，
由勾股定理得，，即，整理得，，
解得，，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）由矩形的性质可得，由翻折的性质可得，再利用垂直的定义、角平分线的定义、同角的余角相等可得，即，最后根据等角对等边即得结论；
（2）根据AAS证明，可得，过作，连接交于点N， 可得先证明可得，，再证明可得，最后根据线段的和差即可解答；
（3）如图2，作于，由（1）知，则是的平分线，则，根据HL证明，则，设，则，，由勾股定理得，即，解出x值，即得AG的长．
（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵将沿翻折，C点的对应点为G、点G正好落在上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵将沿翻折，C点的对应点为G、点G落在矩形的内部，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图1，过作，连接交于点N，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）解：如图2，作于，
由（1）知，，
∴是的平分线，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，，
由勾股定理得，，即，整理得，，
解得，，
∴．
1 / 1重庆市第七中学校2024-2025学年九年级上学期数学入学测试题
1．（2024九上·重庆市开学考）在平面直角坐标系中，下列各点在第一象限的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：A、在第一象限，故符合题意；B、在第二象限，故不符合题意；
C、在第四象限，故不符合题意；
D、在第三象限，故不符合题意．
故选：A．
【分析】 平面直角坐标系中，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限，据此判断即可．
2．（2024九上·重庆市开学考）在中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴．
故选：D．
【分析】平行四边形的对角相等，据此解答即可.
3．（2024九上·重庆市开学考）从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加沙坪坝区举办的垃圾分类知识竞赛，经过学校三轮初赛，他们的平均成绩都是98分，方差分别是，，，．你认为最合适的选手是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵，，，，
∴，
∴丙的成绩最稳定，
又∵他们的平均成绩都是98分，
∴最合适的选手是丙．
故选：C．
【分析】方差是衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据波动越小，数据越稳定，反之，则表明数据波动大，不稳定，当平均数相同时，方差越小越稳定，据此解答即可．
4．（2024九上·重庆市开学考）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．对角线相互平分的四边形是平行四边形
C．有一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
D．一组邻边相等并且一个内角是直角的四边形是矩形
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题是假命题，不符合题意，A错误；
B、对角线相互平分的四边形是平行四边形，故原命题是真命题，符合题意，B正确；
C、一组对边平行且另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，如等腰梯形，故原命题是假命题，不符合题意，C错误；
D、一组邻边相等并且一个内角是直角的四边形可能是直角梯形，故原命题是假命题，不符合题意，D错误；
故答案为：B．
【分析】本题考查命题真假的判定，行四边形以及矩形、菱形、正方形的判定方法．直接利用菱形的判定方法进行判断可判断A选项；直接利用平行四边形的判定方法进行判断可判断B选项和C选项；直接利用矩形的判定方法进行判断可判断D选项.
5．（2024九上·重庆市开学考）用配方法解方程，配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：将常数项移到等式右边为x2+8x=-7
左右两边同时加上一次项系数一半的平方得：
x2+8x+16=-7+16
配方得（x +4)2=9，
故答案为：A.
【分析】首先进行移项，再在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形为左边是完全平方式，右边是常数的形式．
6．（2024九上·重庆市开学考）如图，在矩形中，对角线，相交于点，若，的长为4，则矩形的面积为（ ）
A． B． C． D．16
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
，
，
是等边三角形，
，
在中，，
∴，
，
矩形的面积是，
故选：B．
【分析】根据矩形的性质及已知可推出是等边三角形，可得，利用三角形内角和求出，根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得，根据矩形的面积=AB×BC进行计算即可．
7．（2024九上·重庆市开学考）小明在一条公路上开车从A地出发行驶至B地，他行驶的行程y（千米）随时间x（时）变化的图象（全程）如图所示．则下列说法中，错误的是（ ）
A．第1小时小明行驶了21千米
B．在行驶的前小时内，小明行驶的平均速度是42千米/小时
C．在小时内，小明行驶的速度相比前小时变慢
D．A地到B地的距离为40千米
【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A、由函数图象看出第1小时小明行驶了21千米，正确，故不符合题意；
B、在行驶的前小时内，小明行驶的平均速度是千米/小时，故符合题意；
C、在小时内，小明行驶的速度为千米/小时，小明行驶的速度相比前小时变慢，正确，故不符合题意；
D、由纵坐标看出汽车共行驶了40（千米），故A地到B地的距离为40千米，正确，故不符合题意；
故选：B．
【分析】根据函数图象可知，小明第1小时小明行驶了21千米，据此可判断A；由函数图象可知前小时内行驶18千米，利用速度=路程÷时间求出平均速度，即可判断B；根据函数图象的横、纵坐标，求出小时内速度，结合A结论即可判断C；根据函数图象可知的纵坐标，直接判断D即可．
8．（2024九上·重庆市开学考）如图，在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为，若种植花苗的面积为，依题意列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设道路的宽为，则种植花苗的部分可合成长，宽的矩形，
依题意得：，
故选：C．
【分析】设道路的宽为，则种植花苗的部分可合成长，宽的矩形，由种植花苗的面积为，根据矩形的面积=长×宽=112，列出方程并解之即可．
9．（2024九上·重庆市开学考）在正方形中，将绕点逆时针旋转到，旋转角为，连接BE，并延长至点，使，连接DF，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：四边形是正方形，
，，
由旋转的性质可知，，，
，
，
，
，，
，
，
，
故选：A．
【分析】由正方形的性质可得，，由旋转的性质可得，，再利用等腰三角形的性质可
结合正方形性质得到，再利用等腰三角形性质得到，进而得到，最后利用等腰三角形性质即可得到的度数．
10．（2024九上·重庆市开学考）定义一种新运算：，例如：，，给出下列说法：
①；
②若，则或4；
③的解集为或；
④若函数的图象与直线（m为常数）只有1个交点，则．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；一次函数的图象；解含括号的一元一次方程；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：，
∵，
∴，故①正确；
当即时，，
解得符合题意；
当即时，，
解得与矛盾，不合题意，故②错误；
当即时，，
解得，
∴不等式的解集是；
当即时，，
解得，
∴不等式的解集是；
综上，不等式的解集为或，故③正确；
当即时，，
当即时，
函数图象如下，当函数图象与直线（m为常数）只有1个交点，则．
所以④正确；
正确的结论有①③④，共三个，
故选C．
【分析】①根据新定义且-4＞-5， 对直接列式计算，再判断即可；②分情况讨论：当和当，结合新定义分别解答，再判断即可；③ 分情况讨论：当和当，结合新定义分别建立不等式并解之，再判断即可；分两种情况：当和当时，利用新定义分别求出y值，再结合图象判断即可．
11．（2024九上·重庆市开学考）在直角坐标系中，点和点关于轴对称，若点的坐标是，则点的坐标是 .
【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
12．（2024九上·重庆市开学考）某单位招聘员工，其中一名应聘者的笔试成绩是90分，面试成绩是80分. 若笔试成绩与面试成绩在综合成绩中的权重分别是70%、30%．则该应聘者的综合成绩是 分．
【答案】87
【知识点】加权平均数及其计算
13．（2024九上·重庆市开学考）正比例函数中，的值随着值的增大而增大，则点在第 象限．
【答案】四
【知识点】点的坐标与象限的关系；正比例函数的性质
【解析】【解答】解：正比例函数中，的值随着值的增大而增大，
，
，
则点在第四象限，
故答案为：四．
【分析】 正比例函数中，当k＞0时，的值随着值的增大而增大，当k＜0时，的值随着值的增大而减小，据此可知中，从而得到，通过点在象限的特征解答即可．
14．（2024九上·重庆市开学考）如图，菱形的对角线，相交于点，点为边的中点，连接．若，，则的长为 ，菱形面积为 ．
【答案】1；
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，，
∵点为边的中点，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
根据勾股定理可得：，
∴，
∴菱形面积为，
故答案为：1，．
【分析】先根据菱形的性质得出，，根据直角三角形斜边上中线的性质求出=1，根据菱形的性质推出为等边三角形，再根据勾股定理求出，最后根据菱形的面积，据此计算即可．
15．（2024九上·重庆市开学考）如图，在菱形中，，，动点、分别在线段、上，且，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接．
∵在菱形中，，
∴，，
∴和都为等边三角形，
∴，．
∵，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴当最小时，最小．
由垂线段最短可知当时，最小，
∴，
∴，
∴，即．
故答案为：．
【分析】连接，由菱形的性质可得和都为等边三角形，再证明，可得，，从而推出为等边三角形，得出，当最小时，最小．由垂线段最短可知当时，最小，此时，结合含30度角的直角三角形的性质求出AE，再利用勾股定理求出DE的长，即得EF的最小值．
16．（2024九上·重庆市开学考）如图，点B是反比例函数上一点，矩形OABC的周长是20，正方形BCGH和正方形OCDF的面积之和为68，则反比例函数的解析式是 ．
【答案】y=
【知识点】完全平方公式及运用；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：设B（a，b），则OA=，AB=b，
∵ 矩形OABC的周长是20， 正方形BCGH和正方形OCDF的面积之和为68，
∴+b=10，2+b2=68，
∵(+b) 2=2+b2+2
∴2=(+b)2- (2+b2)=32
∴=16
∴反比例函数的解析式是
【分析】设B（a，b），则OA=，AB=b，由矩形OABC的周长是20， 正方形BCGH和正方形OCDF的面积之和为68，可得+b=10，2+b2=68，再利用完全平方公式求出ab的值，继而得出反比例函数解析式.
17．（2024九上·重庆市开学考）若关于的一元二次方程有两个不相等实数解，且关于的分式方程有整数解，那么满足条件的所有整数的和为 .
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等实数解，
∴，
解得且，
解方程得，
∵分式方程有整数解，
∴为，，，且y≠2，
解得：，（舍去），，（舍去），，
∴满足条件的所有整数的和为，
故答案为：．
【分析】由关于的一元二次方程有两个不相等实数解，可得△＞0且m-2≠0， 据此求出m的范围，然后解分式方程可得出分式方程的解，再由分式方程有正整数解及m的取值范围，可得m的所有值，再将其相加即可得出结论．
18．（2024九上·重庆市开学考）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“差中数”.例如：四位数4129，，是“差中数”；又如：四位数，，不是“差中数”.若一个“差中数”为，则这个数为 ；如果一个“差中数”能被11整除，则满足条件的数的最大值是 .
【答案】；
【知识点】二元一次方程的解；一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：①为“差中数”，
，
，
∴这个数为；
②设满足条件的四位自然数是，
又是差中数，
，即，
故或，
∵各数位上的数字互不相等且均不为0，
∴，，，，，
当时，这个“差中数”是9817，不能被11整除，
当时，这个“差中数”是9725，不能被11整除，
当时，这个“差中数”是9541，不能被11整除，
当时，这个“差中数”是9358，不能被11整除，
当时，这个“差中数”是9174，能被11整除，
∴一个“差中数”能被11整除，则满足条件的数的最大值是9174，
故答案为：5138，9174．
【分析】①根据“差中数”定义列出方程，解之即可；
②设满足条件的四位自然数是，再根据“差中数”的定义可得，从而得出或，再利用各数位上的数字互不相等且均不为0，解不定方程的整数解求出各数，再判断是否能被11整除即可．
19．（2024九上·重庆市开学考）解下列方程：
（1）；
（2）.
【答案】（1）解：
或
；
（2）解：
即
，
．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用配方法解一元二次方程即可．
（1）
或
；
（2）
即
，
．
20．（2024九上·重庆市开学考）我校开展了“传统节日”的知识竞答活动，初2024届800名学生参与了此次竞答活动（满分：50分）．答题完成后，在1、2两班各随机抽取了20名学生的竞答成绩，对数据进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，其中A：，B：，C：，D：，E：），并给出了下列信息：
1班E等级同学的竞答成绩统计如下：50，49，50，50，49，50，50，50，50，49
2班D等级同学的竞答成绩统计如下：47，48，48，47，48，48．
1、2两班抽取的学生的竞答成绩的平均数、中位数、众数如表所示：
平均数 中位数 众数
1班 47.5 48.5 c
2班 47.5 b 49
（1）根据以上信息可以求出： ， ， ；
（2）你认为1、2两个班哪个班的学生知识竞答成绩较好，请说明理由（理由写出一条即可）；
（3）若规定49分及以上为优秀，请估计该校参加此次知识竞答活动的所有学生中优秀的学生有多少人？
【答案】（1）30，48，50
（2）解：1班的学生知识竞答成绩较好，理由如下：
因为两个班的平均数相同，但1班的中位数比2班中位数和众数都比2班高，所以1班的学生知识竞答成绩较好；
（3）解：，
（人，
答：该校参加此次知识竞答活动的所有学生中优秀的学生大约有380人．
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由题意得，，故；
把2班20个学生的竞答成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是48，48，
∴中位数；
1班20个学生的竞答成绩中出现次数最多的是50，则众数．
故答案为：30，48，50；
【分析】 本题考查平均数，中位数和众数，扇形统计图，条形统计图，用样本估计总体.
（1）利用“1”分别减去其他四个等级所占百分比可得：，再进行计算可求出的值；先将2班20个学生的竞答成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是48，48，利用中位数的定义可求出b，利用众数看求出的值；
（2）根据两个班的平均数相同，平均数相同，可比较中位数和众数，据此可得1班的中位数比2班中位数和众数都比2班高，据此可作出判断；
（3）先求出此次知识竞答活动的所有学生中优秀的比例，再用总人数乘样本中49分及以上所占百分比，据此可求出答案．
21．（2024九上·重庆市开学考）小明在探究“夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后所构成的四边形的形状”时做了如下操作，请你完成小明的操作：如图，在四边形中，，是对角线．
（1）用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交，，于点，，，连接，．（只保留作图痕迹）
（2）在（1）问所作的图形中，求证：四边形为菱形．（请完成下面的填空）
证明：垂直平分，
①______，，
，
在和中
，
③______，
，
四边形为平行四边形，
又④______，
四边形为菱形．
请你依照题意完成下面命题：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后⑤______．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求：
（2）①；②；③；④；⑤所构成的四边形为菱形．
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的判定；三角形全等的判定-ASA；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：（2）证明：垂直平分，
，，
，
．
在和中，
，
，
，
，
四边形为平行四边形．
又，
四边形为菱形．
请你依照题意完成下面命题：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后所构成的四边形为菱形．
故答案为：①；②；③；④；⑤所构成的四边形为菱形．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图步骤及已知作出图形即可；
（2）由线段垂直平分线的性质可得OB=OD，．再根据ASA证明△EDO≌△FBO，可得OE=OF，从而可证四边形为平行四边形，结合，利用菱形的判定定理即证结论.
（1）解：如图所示，即为所求：
（2）证明：垂直平分，
，，
，
．
在和中，
，
，
，
，
四边形为平行四边形．
又，
四边形为菱形．
请你依照题意完成下面命题：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后所构成的四边形为菱形．
22．（2024九上·重庆市开学考）如图，已知菱形中，对角线相交于点O，过点C作，过点D作，与相交于点E．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求四边形的周长．
【答案】（1）解：∵四边形为菱形，
∴；
∵，，
∴∠OCE=180°-∠COD=90°，∠OCE=180°-∠COD=90°，
∴四边形是矩形．
（2）解：∵四边形为菱形，
∴，，，
由勾股定理得：
，而，
∴，
∴四边形的周长．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）首先根据菱形的性质得到，然后利用平行线的性质可推出，根据有三个角是直角的四边形是矩形；
（2）根据菱形的性质得到，，，然后利用勾股定理得到，再利用矩形的周长公式即可求解．
23．（2024九上·重庆市开学考）公安交警部门提醒市民，笴车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
【答案】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为．
（2）解：设该品牌头盔的实际售价为y元，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：（不合题意，舍去），，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份销量×（1+增长率）2=6月份的月销售量，据此列出关于x的一元二次方程，并解之即可；
（2）根据月销售利润=每个头盔的利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之并检验即可.
24．（2024九上·重庆市开学考）如图，矩形中，，，点E为边的中点，点F为边上的三等分点，动点P从点A出发，沿折线运动，到C点停止运动.点P的运动速度为每秒2个单位长度，设点P运动时间为x秒，的面积为y.
（1）请直接写出y关于x的函数解析式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出当直线与该函数图象有两个交点时，b的取值范围.
【答案】（1）解：
（2）解：函数图象如图所示，
当时，y随着x的增大而增大，当时，y随着x的增大而减小；
（3）解：当直线经过点时，，则，
当直线经过点时，，则，
结合图象可知，直线与该函数图象有两个交点时，b的取值范围是.
【知识点】分段函数；一次函数的图象；矩形的性质；一次函数的性质；一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：（1）在矩形中，，，∵点E为边的中点，点F为边上的三等分点，
∴，，
当点P在上时，则则，即，
此时，
∴的面积
；
当点P在上时，即时，如图，
则，
∴的面积
；
∴
【分析】（1）分和两种情况，据此分别画出图形，利用割补法分别求出的面积即得结论；
（2）利用两点法画出函数图象，利用函数的增减性写出其性质即可；
（3）分别求出直线经过点和点时b的值，画出函数图象，结合图像写出图象有两个交点时，b的取值范围即可.
25．（2024九上·重庆市开学考）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于点A、，与直线交于点，直线与y轴交于点E，连接．
（1）求直线l的解析式；
（2）求的面积；
（3）Q为直线上一点，若为等腰三角形，写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程．
【答案】（1）解： 直线过点，则设直线的表达式为，
在直线上，
，
点坐标为，
将代入，
解得，
直线l的解析式为．
（2）解：直线l：与x轴、y轴分别交于点A、，
当y=0时，x=-3，
，
直线与y轴交于点E，
，
，，
．
（3）解：Q为直线上一点，可设，
∵，，
∴，，，
当时，可得，
，解得（舍去），或，
此时，
当时，可得，
，
解得，此时，
当时，可得，
解得，
此时，或，
综上，点的坐标为或或或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；等腰三角形的性质；坐标系中的两点距离公式；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）先求出点C坐标，再利用待定系数法求直线l解析式即可；
（2）先求出A、E的坐标，再求出，，根据即可求解；
（3）由Q为直线上一点，可设，利用两点间的距离公式求出BQ2，BE2，QE2，分三种情况：、、，据此分别列出方程并求解即可．
（1）解： 直线过点，则设直线的表达式为，
在直线上，
，
点坐标为，
点在直线l上，将代入，
解得，
直线l的解析式为．
（2）解：直线l：与x轴、y轴分别交于点A、，
，
直线与y轴交于点E，
，
，，，
．
（3）解：Q为直线上一点，设，由，，的坐标得，
，，，
当时，可得，
，解得（舍去），或，
此时，
当时，可得，
，
解得，此时，
当时，可得，
解得，
此时，或，
综上，点的坐标为或或或．
26．（2024九上·重庆市开学考）如图，在矩形中，E，F分别是边上的点，，将沿翻折，C点的对应点为G．
（1）如图（1），若点G正好落在上．求证：；
（2）如图（2），若点G落在矩形的内部，且，延长交于点H，求证：；
（3）在（1）的条件下，若，．请直接写出的长度．
【答案】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵将沿翻折，C点的对应点为G、点G正好落在上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵将沿翻折，C点的对应点为G、点G落在矩形的内部，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图1，过作，连接交于点N，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）解：如图2，作于，
由（1）知，，
∴是的平分线，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，，
由勾股定理得，，即，整理得，，
解得，，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）由矩形的性质可得，由翻折的性质可得，再利用垂直的定义、角平分线的定义、同角的余角相等可得，即，最后根据等角对等边即得结论；
（2）根据AAS证明，可得，过作，连接交于点N， 可得先证明可得，，再证明可得，最后根据线段的和差即可解答；
（3）如图2，作于，由（1）知，则是的平分线，则，根据HL证明，则，设，则，，由勾股定理得，即，解出x值，即得AG的长．
（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵将沿翻折，C点的对应点为G、点G正好落在上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵将沿翻折，C点的对应点为G、点G落在矩形的内部，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图1，过作，连接交于点N，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）解：如图2，作于，
由（1）知，，
∴是的平分线，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，，
由勾股定理得，，即，整理得，，
解得，，
∴．
1 / 1
